Tailieumontoan.com  Sưu tầm CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề tốn THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy em chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi lớp Chúng kham khảo qua nhiều tài liệu để làm chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng tuyển tập chuyên đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề số học lớp giúp ích nhiều cho học sinh lớp phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian để sưu tầm tổng hợp song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Mục Lục Trang Lời nói đầu Chủ đề Rút gọn biểu thức tốn liên quan Chủ đề Tính giá trị biểu thức, chứng minh đẳng thức Chủ đề Các dạng toán số học Chủ đề Các dạng tốn phương trình Chủ đề Các dạng tốn hệ phương trình Chủ đề Các toán bất đẳng thức cực trị Chủ đề Đa thức Chủ đề Hàm số Chủ đề Hình Học Chủ đề 10 Tổ hợp Chủ đề 11 Giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 1: Rút gọn biểu thức toán liên quan A Bài toán a a  a +1  với a > ; a ≠ Bài 1: Rút gọn biểu= thức B  + : a −2 a−4 a +4 a−2 a Bài 2: Cho biểu thức M = x y− y−y x+ x + xy 1) Tìm điều kiện xác định rút gọn M 2) Tính giá trị M, biết x= (1 − ) y= − 2 − − a − 16 a −4 a +4 1) Tìm điều kiện a để biểu thức C có nghĩa rút gọn C Bài 3: Cho biểu thức: C = 2) Tìm giá trị biểu thức C a= − a a  a +1  Bài 4: Cho biểu= thức: M  + : a −2 a−4 a +4 a−2 a 1) Rút gọn biểu thức M 2) Tìm tất giá trị a để M ≤ Bài 5: Cho biểu thức A= ( a > 0; a ≠ ) a2 + a 2a + a − + với a > a − a +1 a 1) Rút gọn A 2) Tìm giá trị a để A = 3) Tìm giá trị nhỏ A Bài 6: Rút gọn biểu thức: A= x − + x + x x −1 x − x  x + x + x + x +1   Bài 7: Cho biểu thức = A  + +  :3+   x −1   x −2 x +1   x x −8 1) Rút gọn A 2) Tìm giá trị x để A > Bài 8: Rút gọn biểu thức: = A 10 x x −3 x +1 − + ( x ≥ 0; x ≠ 1) x+3 x −4 x + 1− x  x +3 x +2 x +2   x−2  Bài 9: Cho biểu thức: A =  + + − 1 :   x − 3− x x −5 x +   x − x −  1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm x để = P A − đạt giá trị lớn x Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bài 10: Cho biểu thức: = P x +1 x −3 x + 16 x − Với x > − − x + x −3 x +3 x −1 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tính giá trị biểu thức khi= x 2 +3 Bài 11: 1) Tính giá trị biểu thức A = 26 + 15 − 26 − 15  a−2 +2  a−2 a +   a − +1  2) Rút gọn biểu thức P =  + −    :   a −     + a − 11 − a   a − a − − − − x  (1 + x )3 + (1 − x )3    Bài 12: Cho A = − 1− x2 1) Rút gọn A 2) Tìm x biết A ≥ Bài 13: Tính giá trị biểu thức: M =( x − y )3 + 3( x − y )( xy + 1) , biết: x = 3 + 2 − 3 − 2 , y = 17 + 12 − 17 − 12  Bài 14: Cho biểu= thức A  + x− x 1) Rút gọn A 2) Tìm x để A = Bài 15: 1) Rút gọn biểu thức P=  : x −1 x − x +1 x2 − x x + x ( x − 1) với x > , x ≠ − + x + x +1 x x −1 2) Cho x + = Tính giá trị biểu thức A = ( x − x ) 100 + ( x − x ) + 2016 50 Bài 16: 1) Rút gọn biểu thức: P = x + x −1 + x − x −1 x + 2x −1 − x − 2x −1 2) Cho x số thực dương thỏa mãn điều kiện x + A = x5 + = Tính giá trị biểu thức x2 1 = x7 + ; B x x Bài 17: Rút gọn biểu thức P = Bài 18: Tính = A , với x ≥ x −3+ x + x + 2017 Tìm x cho P = 2018 x+3 x +2 + 11 + + 11 18 − 11 Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  x+2 x  x −1 Bài 19: Cho biểu thức A = với x > ; x ≠ + +  x x − x + + x − x  : x   1) Rút gọn A 2) Chứng minh A < Bài 20: Cho A  1 1 2017     2018 So sánh A với 2018  x +1   xy + x Bài 21: Cho biểu thức = + + 1 :  − P   xy + 1 − xy   xy ≠ 1) Rút gọn P xy + x − xy − x +1   với x; y ≥ xy +  2) Tính giá trị biểu thức P x = − + + = y x2 + Bài 22:    x 3  1) Rút gọn biểu= thức A  + + + 1 , với x ≠ 3; x ≠ ⋅ x  x + x + x − 27    2) Tính tổng B = + 1 1 1 + + + + + + + + 2 2 2018 20192   ( a + b)   a + 2b a Bài 23: Rút gọn biểu thức: P =  − ⋅ − a  với a ≥ ;  3  a + 2ab + 2b   2b + 2ab  a − 2b  b > ; a ≠ 2b Bài 24: Cho biểu thức: A = + − 13 + 48 6+ Bài 25: Rút gọn biểu thức: A = Bài 26: Cho biểu thức A = Chứng minh A số nguyên − + − 11 − 2 − + + − 10 với x ≥ − + x +1 x x +1 x − x +1 1) Rút gọn A 2) Tìm giá trị lớn A Bài 27: Khơng dùng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức B = + 10 + + − 10 +  x x − x −1  x + x −5  Bài 28: Rút gọn biểu thức P = − −  :  với x > ; x ≠ x − x   x +1 x − x −   x −2 Bài 29: 1) Trục thức mẫu biểu thức sau 4+ 2+2 2) Tìm điều kiện để biểu thức A = x − x −1 x−2 có nghĩa rút gọn A − + x −2 x −1 x − x + Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bài 30: Rút gọn biểu thức: = P Bài 31: Cho= biểu thức B (x x + 16 x + + x+2 x −3 ) x −2 + x −1 −2 x +3 − + 12x 2 x trị nguyên x để B có giá trị nguyên (x + 2) + − 8x Rút gọn biểu thức B tìm giá − 2x x +1 x −1 x −1 a) Tìm điều kiện x để P xác định rút gọn P b) Tìm giá trị x để P có giá trị Bài 32: Cho biểu thức P = x x x + +     xy + x xy + x Bài 33: Cho biểu thức = + 1 :  − − x +1  P  x +1 +  xy + 1 − xy   xy − xy +     a) Rút gọn biểu thức P b) Cho + = Tìm giá trị lớn P x y  x   x +3 x +2 x +2  Bài 34: Cho biểu thức A = + + 1 −  :   x +   x − − x x − x +   a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x= − c) Tìm m để có giá trị x thoả mãn A ( ) x + 1= m ( x + 1) − x x+2 Bài 35: Cho biểu thức: P = + + x − x x + x ( x − 1)( x + x ) a) Rút gọn P b) Tính P x= + 2 c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Bài 36: Cho biểu thức: A = x x −x−4 x +4 x x + x−4 x −4 − với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 2−3 x + x x 2+3 x − x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x = Bài 37: Rút gọn biểu thức A = (2 + 3) − −1 3+ 2 + 3+ Bài 38: Cho số dương: a; b x = + 3− 2 − 3− 2ab Xét biểu thức P = b2 +1 a) Chứng minh P xác định Rút gọn P b) Khi a b thay đổi, tìm giá trị nhỏ P x x − 4x − x + Bài 39: Cho biểu thức: A = x x − 14 x + 28 x − 16 Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 a+x+ a−x + a + x + a − x 3b Website: tailieumontoan.com a) Tìm x để A có nghĩa, từ rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên  x− y x + y  x2 y y Bài 40: Cho biểu thức  + − , ( x > 0; y > 0, x ≠ y )  x y + y x x y − y x  x + y x − y   a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A biết x,y nghiệm phương trình t2 – 4t + = Bài 41: Cho biểu thức M = a ( ) ( ) a + 2a - 3b + 3b a - 3b - 2a a a + 3ab a) Tìm điều kiện a b để M xác định rút gọn M 11 b) Tính giá trị M a = + , b = 10 +  x+ y x − y   x + y + 2xy  +  : 1 +   − xy xy − xy +     Bài 42: Cho biểu thức: P =  a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P với x = Bài 43: a)Rút gọn biểu thức A = 2+ 1− 1− x2 ( (1 + x)3 + (1 − x)3 ) − 1− x2 với −1 ≤ x ≤ b) Cho a b số thỏa mãn a > b > a − a 2b + ab − 6b3 = Tính giá trị biểu thức B = a − 4b4 b − 4a     xy + x xy + x Bài 44: Cho biểu thức A =  x +1 + + 1 :  − − x +1   xy + 1 − xy   xy − xy +     Rút gọn biểu thức A Tìm giá trị lớn A Cho + = x y Bài 45: Cho biểu thức: a) Rút gọn P  a +1  a −1  P= a a − + −     a −1  a a +    ( b) Tính giá trị P a = 2+ )( ) −1 2−  x+2 x  x −1 Với x ≥ 0, x ≠ + + : x x x x 1 x − + + −   Bài 46: Cho biểu thức: P = a) Rút gọn biểu thức P Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com b) Tìm x để P = c) So sánh: P2 2P Bài 47:Rút gọn biểu thức: = P x −9 x +1 x +3 với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ + + x −5 x +6 x −3 2− x  x −1 2x − x  x −1 Bài 48:Rút gọn biểu thức: = + A   : − − + x x x 1   x +1 Bài 49:Rút gọn biểu thức B  13  30   Bài 50:Rút gọn biểu thức: A = +3 + 3+ + 3− − 3− x2 − x x2 + x Bài 51: Cho A = − x + x +1 x − x +1 a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Đặt B = A + x – Tìm giá trị nhỏ biểu thức B  2x − x −1   x−4 x  Bài 52:Cho biểu thức P  với x > x ≠ = −  x x + + +   2x + x −  4x −1   x  Rút gọn biểu thức P tìm x để P ≤ Bài 53: Rút gọn biểu thức A = Bài 54: Cho P = x + x − + x − x − với x ≥ x x − 2x − x + + x x + 2x − x − x x −3 x −2 x x −3 x +2 Rút gọn P Với giá trị x P > Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn  x−4 x x −   ( x − 2) + x  : Bài 55: Cho biểu thức A =  +  − x   x +2  x −2  Với x không âm,khác a,Rút gọn A b,Chứng minh A < với x không âm,khác c,Tìm x để A số nguyên x x + 26 x − 19 x x −3 Bài 56: Cho biểu= thức: P − + x + x −3 x −1 x +3 a) Rút gọn P b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  x + 16 x − −  x+2 x −3 x +1 − x +3 Bài 57: Cho biểu thức: A  = x +7  :2 − x −1   x   x −1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A = −6  x + x + x + x +1   x − x + 10  Bài 58: Cho biểu thức M = + +   :   x −   x − x + x +   x x −8 Rút gọn M tìm x để M>1 Bài 59: Cho biểu thức: A = x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ x x −x−4 x +4 x x + x−4 x −4 với − 2−3 x + x x 2+3 x − x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x = (2 + 3) − −1 Bài 60: Cho biểu thức: a a −1 a a +1 a 2+ a p= − +( a − )( − ) a− a a+ a a a −1 a +1 a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh với giái trị a (thỏa điều kiện thích hợp) ta có P>6 x x +3 x +2 x +2 Bài 61: a) Cho M = (1 − ):( + + ) x +1 x −2 3− x x −5 x +6 Rút gọn M Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên ( 3+ Bài 62: Rút gọn= biểu thức: A Bài 63: Cho biểu thức: A = 2 + 3+ + ( 3− 6+ ) 2 − 3− + − 13 + 48 Bài 64: Rút gọn biểu thức: A = Bài 65: Tính A = ) Chứng minh A số nguyên − + − 11 − 2 − + + − 10 2 − − 2− 3−      Bài 66: Cho S= 1 − 1 −  ⋅⋅⋅ 1 −  Tính S (kết để dạng phân số tối  2.3  3.4   2020.2021  giản) Bài 67: Cho hàm số f (x) = (x + 12x − 31) 2010 Tính f (a) a = 16 − + 16 + ( + 15 Bài 68: Tính giá trị biểu thức A = )( 10 − Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 ) − 15 Website: tailieumontoan.com Vậy trường hợp dẫn đến mẫu thuẩn, tức điều giả sử sai Mệnh đề chứng minh Áp dụng mệnh đề cho n = 1010 ta có điều phải chứng minh Bài 7: Có 15 bạn học sinh nam 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh bàn trịn Chứng minh ln tồn học sinh mà bạn ngồi cạnh bạn nữ Lời giải Giả sử tồn cách xếp 30 bạn lên bàn trịn cho khơng có bạn ngồi hai bạn nữ Gọi bạn theo thứ tự A1 ; A2 ;; A30 Chúng ta chia 30 bạn sang hai bàn tròn gồm ( A1; A3 ;; A29 ) ( A2 ; A4 ;; A30 ) giữ nguyên thứ tự Khi hai bàn mới, khơng có hai bạn nữ ngồi cạnh 15 ⇒ Số bạn nữ bàn không vượt Suy tổng số bạn nữ hai bàn nhỏ 15 (trái giả thiết) Vậy tồn học sinh mà bạn ngồi cạnh bạn nữ Bài 8: Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142; ; 19992 gam thành ba nhóm có khối lượng (không chia nhỏ vật đó) Giải: - Nhận xét: n2 + (n + 5)2 = 2n2 + 10n + 25 = x + 25 (n + 1)2 + (n + 4)2 = 2n2 + 10n + 17 = x + 17 (n + 2)2 + (n + 3)2 = 2n2 + 10n + 13 = x + 13 Lần thứ nhất, chia vật có khối lượng 19992, , 20042 thành ba phần: A + 25, A + 17, A + 13 Lần thứ hai, chia vật có khối lượng 20052, , 20102 thành ba phần: B + 25, B + 17, B + 13 Lần thứ ba, chia vật có khối lượng 20112, , 20162 thành ba phần: C + 25, C + 17, C + 13 Lúc ta chia thành nhóm sau: Nhóm thứ A + 25, B + 17, C + 13; nhóm thứ hai B + 25, C + 17, A + 13; nhóm thứ ba C + 25, A + 17, B + 13 Khối lượng nhóm A + B + C + 55 gam Bài 9: Mỗi điểm mặt phẳng tô ba màu Đỏ, Xanh, Vàng Chứng minh tồn hai điểm A , B tô màu mà AB = Giải: Giả sử khơng có điểm mặt phẳng tô màu mà khoảng cách chúng đơn vị độ dài Xét điểm O có màu vàng mặt phẳng Vẽ đường tròn O, Lấy điểm P ( O ) ( ) Dựng hình thoi OAPB có cạnh có đường chéo OP Dễ thấy OA = OB = AB = AC = BC = Theo giả thiết, A, B phải tô khác màu vàng khác màu Do P phải tơ vàng Từ suy tất điểm ( O ) phải tơ vàng Điều trái với giả thiết dễ thấy tồn hai điểm ( O ) có khoảng cách đơn vị độ dài Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 P/s: Số thay số thực dương Website: tailieumontoan.com Bài 10: Cho tập hợp A gồm 21 phần tử số nguyên khác thỏa mãn tổng 11 phần tử lớn tổng 10 phần tử lại Biết số 101 102 thuộc tập hợp A Tìm tất phần tử tập hợp A Giải: Giả sử A = {a1;a ;a 3; ;a 21} với a1; a ; a 3; ; a 21 ∈  a1 < a < a < < a 21 Theo giả thiết ta có a1 + a + a + + a11 > a12 + a13 + + a 21 ⇔ a1 > a12 − a + a13 − a + + a 21 − a11 (1) Mặt khác với x; y ∈ Z y > x y ≥ x + ⇒ a12 − a ≥ 10, a13 − a ≥ 10, ,a 21 − a11 ≥ 10 (2) Nên từ (1) suy a1 > 10 + 10 + +10 = 100 mà a1 nhỏ 101 ∈ A ⇒ a1 =101 100 Ta có 101 > a12 − a + a13 − a + + a 21 − a11 ≥ 100 ⇒ a12 − a + a13 − a + + a 21 − a11 = Kết hợp với (2) ⇒ a12 − a = a13 − a = = a 21 − a11 =10 (3) ⇒ 10 = a12 − a = (a12 − a11 ) + (a11 − a10 ) + + (a − a ) ≥ 10 ⇒ a12 − a11 =a11 − a10 = =a − a =1 (4) ∈ ⇒ a2 = 102 Ta có a1 =101 mà 102 A Kết hợp với (3) (4) suy A = {101;102;103; ;121} Bài 11: (1.0 điểm) Cho đa giác 2n đỉnh nội tiếp đường tròn (O ) Chia 2n đỉnh thành n cặp điểm, cặp điểm thành đoạn thẳng (hai đoạn thẳng số n đoạn thẳng tạo khơng có đầu mút chung) a) Khi n = , cách chia cho bốn đoạn thẳng tạo khơng có hai đoạn có độ dài b) Khi n = 10 , chứng minh mười đoạn thẳng tạo tồn hai đoạn thẳng có độ dài Giải: Bài 11Ta đánh số 2n đỉnh đa giác từ đến 2n Khi đó, độ dài đoạn thẳng nối hai đỉnh coi tương ứng với số lượng cung nhỏ nằm hai đỉnh đó, chênh lệch hai số thứ tự theo mod n cộng thêm Sự tồn hai cặp đoạn thẳng có độ dài đề tương ứng với việc tồn hai cặp đỉnh có chênh lệch số thứ tự theo mod n a) Ta cần cách chia cặp số từ đến cho khơng có hai cặp có chênh lệch giống theo mod Cụ thể là, (1, ) , ( 2,6 ) , ( 3,5) ( 7,8 ) với chênh lệch , , , , thỏa mãn đề Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 10 Website: tailieumontoan.com b) Gỉa sử tồn cách ghép cặp (a1 , b1 ) , (a2 , b2 ) , , (a10 , b10 ) cho số từ đến 20 cho hai số có số dư chia cho 10 Suy a1 − b1 + a2 − b2 + + a10 − b10 ≡ + + + ( mod 10 ) a1 − b1 + a2 − b2 + + a10 − b10 ≡ ( mod 10 ) Do tổng a1 − b1 + a2 − b2 + + a10 − b10 số lẻ Chú ý với x , y nguyên x −y có tính chẵn lẻ với x + y Kết hợp với kết trên, ta suy tổng (a1 ,b1 ) + (a2 ,b2 ) + + (a10 ,b10 ) , lẻ (a1 ,b1 ) + (a2 ,b2 ) + + (a10 ,b10 ) =1 + + + 20 =210 Mặt khác, ta lại có số chẵn Mâu thuẫn nhận cho ta kết cần chứng minh Bài 12: Xét gỗ có hai đầu Một kiến từ đầu đến đầu gỗ phút Khi đến hai đầu kiến rơi xuống đất, Bây giả sử gỗ có kiến với tốc độ hướng khác Nếu có hai kiến ngược hướng đụng đầu chúng quay ngược lại tiếp (Giả sử kích thước thời gian quay đầu kiến không đáng kể) Hãy lý luận để chứng tỏ tất cảcác kiến thể rơi hết xuống đất Cần tối thiểu phút để chắn kiến rơi hết xuống đất? Giải: Đội cho kiến mũ đánh số mũ (chẳng hạn từ đên 5) Với hai kiến ngược chiều gặp thay chúng quay ngược lại chúng đổi mũ cho tiếp tục theo hướng cũ (Thời gian đổi mũ ko đáng kể thời gian quay đầu ko đáng kể) Theo cách khơng có kiến phải quay đầu… Vậy tất theo chiều không đổi nên tất rơi hết xuống đất Từ suy quãng đường mà kiến phải xa độ dài gỗ Thời gian để đảm bảo chắn tất kiến rơi xuống đất phút Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 11 Website: tailieumontoan.com Bài 13: Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích tam giác với đỉnh điểm cho không lớn Chứng minh số điểm cho tìm 2019 điểm nằm nằm cạnh tam giác có diện tích khơng lớn Lời giải 13 Gọi A i A j hai điểm xa điểm thuộc tập hợp 8073 điểm cho Giả sử A k điểm cách xa đoạn thẳng A i A j Khi Tam giác A i A j A k tam giác lớn có diện tích khơng lớn Vẽ đường thẳng qua điểm A i , A j , A k song song với cạnh ∆A i A jA k Ta tam giác nhỏ tam giác lớn chứa tam giác nhỏ Tam giác lớn có diện tích khơng q đơn vị Do đó, tam giác lớn chứa tất 8073 điểm cho Ta có 8073 chia cho 2018 dư nên theo ngun lý Dirichlet suy có tam giác có tam giác chứa 2019 8073 điểm cho Bài 14: Xét bảng ô vng cỡ 10 × 10 gồm 100 hình vng có cạnh đơn vị Người ta điền vào ô vuông bảng số nguyên tùy ý cho hiệu hai số điền hai ô chung cạnh có giá trị tuyệt đối khơng vượt Chứng minh tồn số nguyên xuất bảng lần Lời giải Gọi số nhỏ điền vào bảng x Khi với số nguyên y điền vào bảng, ta xét bảng vng n × m (n dòng, m cột, ≤ n ≤ 10,0 ≤ m ≤ 10 ) nối ô vuông điền x ô vng điền y hình vẽ bên dưới, đó= a11 x= , anm y (các trường hợp a11 góc khác xét tương tự) a11 a12 a1m a2m anm Ta có: a12 ≤ a11 + 1, a13 ≤ a12 + ≤ a11 + 2, , a1m ≤ a1 + m − Và a2 m ≤ a1m + ≤ a1 + m, a3m ≤ a2 m + ≤ a1 + m + 1, , anm ≤ a1 + n + m − Như vậy, ta có: x ≤ y ≤ x + n + m − ≤ x + 18 Suy y y ∈ { x, x + 1, , x + 18} Suy có khơng q 19 số khác điền vào bảng ô vuông cho Do bảng cho có 100 vng nên theo nguyên lý Dirichlet, có số xuất khơng  100   lần  +1 =  19  Bài 15: Trong hình vng cạnh có 2019 điểm phân biệt Chứng minh tồn hình trịn bán kính nằm hình vng mà khơng chứa điểm 2019 điểm cho 91 Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 12 Website: tailieumontoan.com Chia hình vng cho thành 2025 hình vng nhỏ có cạnh 45 Gọi (C1 ), (C2 ), , (C2025 ) hình trịn nội tiếp hình vng nhỏ trên, chúng có bán 90 ' ' ' Gọi (C1 ), (C2 ), , (C2025 ) hình trịn đồng tâm với hình trịn có bán kính là: Khi hình trịn nằm hình vng đơi khơng có điểm chung (rời 91 kính nhau) ' ' ' Trong hình vng cho có hình trịn rời (C1 ), (C2 ), , (C2025 ) có 2019 điểm nên tồn hình trịn hình trịn khơng chứa điểm 2019 điểm cho 1 1 Bài 16: Cho dãy gồm 2015 số: ; ; ; ; 1 ; 2014 2015 Người ta biến đổi dãy nói cách xóa hai số u, v dãy viết thêm vào dãy số có giá trị u + v + uv vào vị trí u v Cứ làm dãy thu sau 2014 lần biến đổi, dãy cuối lại số Chứng minh giá trị số cuối khơng phụ thuộc vào việc chọn số u, v để xóa lần thực việc biến đổi dãy, tìm số cuối Lời giải Với hai số thực u,v ta ln có: ( u + 1)( v + 1) = u + v + uv + = ( u + v + uv ) + (*) Với dãy số thực a1 ;a2 ; ;a2015 , ta xét “Tích thêm T ”: T= ( a1 + 1)( a2 + 1)( a3 + 1) ( a2015 + 1) Áp dụng cách biến đổi dãy đề kết hợp với nhận xét (*), ta nhận thấy “Tích thêm T ” khơng thay đổi với dãy thu Với dãy cho ban đầu tốn, “Tích thêm T ”:        2015 2016 2016 T= + 1 = =  + 1 + 1 + 1 + 1  2015 2014 2015        Giả sử sau 2014 lần biến đổi tùy ý theo yêu cầu, dãy cịn lại cịn số x “Tích thêm T ” dãy cuối là: T= x + Vậy ta có: x += 2016 ⇒= x 2015 Bài toán giải quyết; sau 2014 lần biến đổi dãy theo yêu cầu toán ta thu số 2015 Bài 17: Trường trung học phổ thơng A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đoàn 26 – Biết có n đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội đấu với trận) Đội thắng điểm, đội hịa điểm đội thua khơng điểm Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa tổng số điểm đội 336 Hỏi có tất đội bóng tham gia? Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 13 Website: tailieumontoan.com Gọi số trận hòa x ( x ∈ N * ) ⇒ tổng số điểm trận hịa 2x, (1 trận hịa có đội, đội điểm) Theo giả thiết số trận thắng 4x ⇒ tổng số điểm trận thắng 12x Tổng số điểm đội 336 ⇒ 2x + 12x = 336 ⇒ x = 24 Vậy ta có tất 24 + 4.24 = 120 trận đấu diễn Từ giả thiết có n đội, đội đấu với n – đội lại nên số trận đấu diễn n(n – 1) , tính trận lượt lượt về, giả thiết đội đấu với lần nên tổng số trận giảm nửa, có tất Vậy n(n − 1) trận đấu n(n − 1) = 120 ⇒ n(n − 1) = 240 ⇒ n = 16, (n = −15 loại) KL : có tất 16 đội bóng tham gia Bài 18: Cho lớp học có 35 học sinh, học sinh tổ chức số câu lạc môn học Mỗi học sinh tham gia câu lạc Nếu chọn 10 học sinh ln có học sinh tham gia câu lạc Chứng minh có câu lạc gồm học sinh Lời giải Giả sử tất câu lạc có khơng q học sinh Gọi N số câu lạc có học sinh Nếu N > , từ số câu lạc này, chọn câu lạc học sinh, 10 học sinh khơng thỏa mãn điều kiện toán Nếu N 1000000000 thỏa mãn, n = 2a thỏa mãn Thật 2019 n 2019 ( 2a ) 22019 a 2019 22019 a 2019 a 2019 = = ⋅ < ⋅ < a < 2a 1000000000 n a a a 2 2 2 2020 k Từ nhận xét kết hợp với quy nạp, ta thấy n = 10 thỏa mãn toán với k ∈  Vậy tồn vô số số nguyên dương n 2019 9.2019 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI XI Dạng 11: Giải toán cách lập hệ phương trình, phương trình A Bài tốn Bài 1: Một ruộng hình chữ nhật, giảm chiều rộng 1m tăng chiều dài thêm 2m diện tích khơng đổi; ngồi giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta hình vng Tính diện tích ruộng ban đầu Bài 2: Một người mang trứng chợ bán Tổng số trứng bán tính sau: Ngày thứ 1 số trứng lại Ngày thứ hai bán 16 trứng số trứng lại 8 Ngày thứ ba bán 24 trứng số trứng lại Cứ ngày cuối bán bán trứng hết trứng Biết số trứng bán ngày Hỏi tổng số trứng người bán bán hết ngày ? Bài 3: Một người từ A đến B với vận tốc thời gian dự định trước Nếu người nhanh 10km tới B sớm dự định 36 phút; người chậm 10km tới B muộn dự định 54 phút Hỏi quãng đường AB dài km? Bài 4: Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên hai lần số đo diện tích ba lần số đo chu vi Bài 5: An khởi hành từ Sài Gịn Biên Hịa.Sau phút, Bình Cường khởi hành từ Biên Hòa Sài Gòn.Trên đường đi, An gặp Cường địa điểm C gặp bình địa điểm D Tính vận tốc người, biết quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD = km ; Vận tốc An 1,5 lần vận tốc Bình vận tốc Cường Bài 6: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC , đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc DB , tổng cộng dài 30 km Một người từ A đến B từ B A hết tất 25 phút Tính quãng đường nằm ngang, biết vận tốc lên dốc (cả lẫn về) 10 km / h ; vận tốc xuống dốc (cả lẫn về) 20 km / h ; vận tốc đoạn đường nằm ngang 15 km / h Bài 7: An khởi hành từ Sài Gịn Biên Hịa Sau phút , Bình Cường khởi hành từ Biên Hịa Sài Gòn Trên đường , An gặp Cường địa điểm C gặp bình địa điểm D Tính vận tốc người , biết quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD = km ; Vận tốc An 1,5 lần vận tốc Bình vận tốc Cường Bài 8: Điểm số trung bình vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn 8,35 điểm Kết cụ thể ghi sau, có ba bị mờ chữ số hàng đơn vị khơng đọc (tại vị trí đánh dấu *) Điểm số lần bắn 10 Số lần bắn 2* 40 1* 1* Em tìm lại chữ số hàng đơn vị ba Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bài 9: An khởi hành từ Sài Gòn Biên Hòa Sau phút , Bình Cường khởi hành từ Biên Hòa Sài Gòn Trên đường , An gặp Cường địa điểm C gặp bình địa điểm D Tính vận tốc người , biết quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD = km ; Vận tốc An 1,5 lần vận tốc Bình vận tốc Cường Bài 10: Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40 km/h Lúc đầu tơ với vận tốc đó, cịn 60 km nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h quãng đường cịn lại Do tơ đến tỉnh B sớm so với dự định Tính quãng đường AB Bài 11: Cho tam giác vng có độ dài cạnh số nguyên số đo chu vi hai lần số đo diện tích Tìm độ dài cạnh tam giác Bài 12: Trường trung học phổ thơng A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đoàn 26 – Biết có n đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội đấu với trận) Đội thắng điểm, đội hịa điểm đội thua khơng điểm Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa tổng số điểm đội 336 Hỏi có tất đội bóng tham gia? B Lời giải Bài 1: Một ruộng hình chữ nhật, giảm chiều rộng 1m tăng chiều dài thêm 2m diện tích khơng đổi; ngồi giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta hình vng Tính diện tích ruộng ban đầu Lời giải Gọi chiều rộng chiều dài ruộng hình chữ nhật x ; y với ( x > ; y >4) Nếu giảm chiều rộng 1m tăng chiều dài thêm 2m diện tích khơng đổi nên ta có pt xy (1) ( x − 1) ( y + ) = Nếu giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta hình vng nên ta có pt x + = y − ⇔ x = y − (2) Thế (2) vào (1) ta có: ( y − 8) ( y + )= y ( y − ) ⇔ y= 16 ; x = Vậy diện tích ruộng ban đầu là: 16.9=144 ( m ) Bài 2: Một người mang trứng chợ bán Tổng số trứng bán tính sau: Ngày thứ bán trứng 1 số trứng lại Ngày thứ hai bán 16 trứng số trứng lại 8 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ngày thứ ba bán 24 trứng số trứng lại Cứ ngày cuối bán hết trứng Biết số trứng bán ngày Hỏi tổng số trứng người bán bán hết ngày ? Lời giải Gọi x số trứng bán ( x ∈ N , x > ) , thì: x −8 x −8  x − 16 + +    Số trứng bán ngày thứ hai : 16 + Số trứng bán ngày thứ : + Theo ta có phương trình : x −8  x − 16 + +  x −8   8+ = 16 + 8 Giải phương trình ta được: x = 392 Vậy tổng số trứng bán 392 trứng Số trứng bán ngày + Số ngày 392 : 56 = ngày 392 − = 56 Bài 3: Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Một người từ A đến B với vận tốc thời gian dự định trước Nếu người nhanh 10km tới B sớm dự định 36 phút; người chậm 10km tới B muộn dự định 54 phút Hỏi quãng đường AB dài km? Lời giải Đổi 36 phút = 0, 6h ; 54 phút = 0,9h Gọi vận tốc dự định là: v(km / h)(v > 0) Gọi thời gian dự định là: t (h)(t > 0) Nếu người thêm đc 10km vận tốc là: (v + 10)(km / h) Khi người đến B sớm dự định 36 phút nên thời gian người là: (t − 0, 6)(h) Vì qng đường AB khơng đổi nên ta có phương trình là: (v + 10)(t − 0, 6) = v.t (1) Nếu người chậm 10km vận tốc là: (v − 10)(km / h) Khi người đến B muộn dự định 54 phút nên thời gian người là: (t + 0,9)(h) Vì qng đường AB khơng đổi nên ta có phương trình là: (v − 10)(t + 0,9) = v.t (2) v.t (v + 10)(t − 0, 6) = Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:  v.t (v − 10)(t + 0,9) = v.t vt + 10t − 0, 6v − = ⇔ v.t vt − 10t + 0,9v − =  10t − 0, 6v = ⇔ −10t + 0,9v = t = 3, ⇔  v = 50 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Vậy quãng đường AB là: 50.3, = 180(km) Bài 4: Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên hai lần số đo diện tích ba lần số đo chu vi Lời giải Gọi a, b, c cạnh huyền cạnh góc vng ∆ vng Khi đó: a, b, c ∈ N a ≥ 5; b, c ≥ a = b + c (1) Ta có hệ phương trình:  bc = 3(a + b + c) (2) (1): a2 = b2 + c2 = (b + c)2 – 2bc = (b + c)2 – 6(a + b + c) ⇔ a2 + 6a + = (b + c)2 – 6(b + c) + ⇔ (a + 3)2 = (b + c – 3)2 ⇔ a+3=b+c–3 ⇔ a=b+c–6 (2): bc = 3(b + c – + b + c) = 3(2b + 2c – 6) ⇔ (b – 6)(c – 6) = 18 Nên ta có trường hợp sau: b – = c – = 18 b = 7; c = 24 a = 25 b – = c – = b = 8; c = 15 a = 17 b – = c – = b = 9; c = 12 a = 15 Bài 5: An khởi hành từ Sài Gòn Biên Hịa.Sau phút, Bình Cường khởi hành từ Biên Hòa Sài Gòn.Trên đường đi, An gặp Cường địa điểm C gặp bình địa điểm D Tính vận tốc người, biết quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD = km ; Vận tốc An 1,5 lần vận tốc Bình vận tốc Cường Lời giải Gọi x, y, z vận tốc An, Bình, Cường Suy y = x z = x 3 Gọi S quãng đường mà An gặp cường.Kết hợp với CD = km suy quãng đường mà An gặp Bình 39 − ( S + ) = 33 − S Theo đề ta có hệ phương trình  S 39 − S = x − 12 x   Giải hệ cho ta x = 48 vận tốc An 48km / h vận tốc Bình   S + − 33 − S =  x 12 x  32km / h vận tốc Cường 64km / h Bài 6: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC , đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc DB , tổng cộng dài 30 km Một người từ A đến B từ B A hết tất 25 phút Tính quãng đường nằm ngang, biết vận tốc lên dốc (cả lẫn về) 10 km / h ; vận tốc xuống dốc (cả lẫn về) 20 km / h ; vận tốc đoạn đường nằm ngang 15 km / h Lời giải Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com s2 C D s3 s1 A B AB=30 km Gọi AC = s1 ; CD = s2 ; BD = s3 s1 > 0; s2 > 0; s3 > Ta có: s1 + s2 + s3 = 30 ( km ) Gọi vận tốc lên, vận tốc ngang, xuống v1 ; v2 ; v3 53 Thời gian là: 4h 25′ = h 12 s s s s s s 53 Theo đề bài, ta có phương trinh: + + + + + = v1 v2 v3 v3 v2 v1 12 1 1  1  2s 53 ⇔ s1  +  + s3  +  + =  v1 v3   v1 v3  v2 12 53 1   1  2s ⇔ s1  +  + s3  +  + =  10 20   20 10  15 12 53  1  2s ⇔ ( s1 + s3 )  +  + =  10 20  15 12 2s 53 ⇔ ( 30 − s2 ) = 20 15 12 ( km ) ⇔ s2 = Vậy quãng đường ngang CD ( km ) Bài 7: An khởi hành từ Sài Gịn Biên Hịa Sau phút , Bình Cường khởi hành từ Biên Hịa Sài Gòn Trên đường , An gặp Cường địa điểm C gặp bình địa điểm D Tính vận tốc người , biết quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD = km ; Vận tốc An 1,5 lần vận tốc Bình vận tốc Cường Lời giải Gọi x, y, z vận tốc An , Bình , Cường Suy y = x z = x 3 Gọi S quãng đường mà An gặp cường Kết hợp với CD = km suy quãng đường mà An gặp Bình 39 − ( S + ) = 33 − S Theo đề ta có hệ phương trình Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  S 39 − S = x − 12 x   Giải hệ cho ta x = 48 vận tốc An 48km / h vận tốc Bình   S + − 33 − S =  x 12 x  32km / h vận tốc Cường 64km / h Bài 8: Điểm số trung bình vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn ghi sau, có ba bị mờ chữ số hàng đơn vị đánh dấu *) Điểm số lần bắn 10 Số lần bắn 2* 40 1* 1* Em tìm lại chữ số hàng đơn vị ba Lời giải 44 Tổng số ô bị mờ số 100 − ( 40 + + ) = 8,35 điểm Kết cụ thể khơng đọc (tại vị trí Tổng số điểm 100 lần bắn 8,35.100 = 835 449 Tổng số điểm vị trí không bị số 9.40 + 6.9 + 5.3 = Suy tổng số điểm bắn vị trí bị 835 − 449 = 386 , số chẵn Suy ô điểm số lần bắn số chẵn, có khả 10, 12, 14 Gọi x, y số lần bắn 10 điểm điểm Điều kiện: x, y ∈ N ; 20 ≤ x < 30;10 ≤ x < 20 Trường hợp 1: Ô điểm nhận giá trị 10, theo đề ta có hệ phương trình  = x + y 34 = x + y 34 =  x 22 thỏa điều kiện ⇔ ⇔  y + 70 835 10 = x + y 316 =  y 12 449 + 10 x + = Trường hợp 2: Ô điểm nhận giá trị 12, theo đề ta có hệ phương trình  = x + y 32 = x + y 32 =  x 23 loại ⇔ ⇔  y + 84 835 10= x + y 316 = y 449 + 10 x + 8= Trường hợp 3: Ô điểm nhận giá trị 14, x = 20 y = 10 suy Tổng số điểm bắn là: 20.10 + 9.40 + 8.10 + 7.14 + 6.9 + 5.7 = 827 không phù hợp Vậy chữ số hàng đơn vị ô 10 điểm, điểm, điểm 2, 2, Bài 9: An khởi hành từ Sài Gòn Biên Hòa Sau phút , Bình Cường khởi hành từ Biên Hòa Sài Gòn Trên đường , An gặp Cường địa điểm C gặp bình địa điểm D Tính vận tốc người , biết quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km CD = km ; Vận tốc An 1,5 lần vận tốc Bình vận tốc Cường Lời giải Gọi x, y, z vận tốc An , Bình , Cường Suy y = x z = x 3 Gọi S quãng đường mà An gặp cường Kết hợp với CD = km suy quãng đường mà An gặp Bình 39 − ( S + ) = 33 − S Theo đề ta có hệ phương trình Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com  S 39 − S = x − 12 x   Giải hệ cho ta x = 48 vận tốc An 48km / h vận tốc Bình   S + − 33 − S =  x 12 x  32km / h vận tốc Cường 64km / h Bài 10: Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40 km/h Lúc đầu tơ với vận tốc đó, cịn 60 km nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h quãng đường cịn lại Do tơ đến tỉnh B sớm so với dự định Tính quãng đường AB Lời giải Gọi x quãng đường AB (x>0) x Quãng đường ô tô với vận tốc ban đầu : − 60 Quãng đường ô tô với vận tốc tăng lên Thời gian ô tô lúc ban đầu là: x + 60 x − 120 80 Thời gian ô tô lúc tăng vận tốc là: x + 120 100 Theo đề ta có phương trình: x − 120 x + 120 x + =− 80 100 40 Giải phương trình x = 280 (thỏa mãn điều kiện) Vậy quãng đường AB dài 280 km Bài 11: Cho tam giác vng có độ dài cạnh số nguyên số đo chu vi hai lần số đo diện tích Tìm độ dài cạnh tam giác Lời giải Gọi độ dài cạnh tam giác vuông a, b, c (a độ dài cạnh huyền) Theo giả thiết định lý Pitago, ta có: a + b + c = bc (1)  2 a2 ( )  b + c = ⇒ b2 + c2 + 2bc= ( a + b + c ) + a2 ⇔ ( b + c − 1) = ( a + 1) ⇔ ( b + c − 1) − ( a + 1) = 2 ⇔ (b + c − + a + 1)(b + c − − a − 1) =0 ⇔ (b + c + a)(b + c − a − 2) = b + c − = a ⇔ ( loaïi ) a + b + c = Thế a = b + c - vào (2) ta được: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 + bc - 2b - 2c = ⇔ ( b-2 )( c − ) = Website: tailieumontoan.com Vì b, c số nguyên dương nên ta có trường hợp sau: Trường hợp b - c-2 B c a Kết luận 1 Nhận 2 Nhận -1 -2 -1 Loại -2 -1 -1 Loại Vậy tam giác cần tìm có cạnh 3; 4; Bài 12: Trường trung học phổ thơng A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đoàn 26 – Biết có n đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội đấu với trận) Đội thắng điểm, đội hịa điểm đội thua khơng điểm Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa tổng số điểm đội 336 Hỏi có tất đội bóng tham gia? Lời giải Gọi số trận hòa x ( x ∈ N * ) ⇒ tổng số điểm trận hịa 2x, (1 trận hịa có đội, đội điểm) Theo giả thiết số trận thắng 4x ⇒ tổng số điểm trận thắng 12x Tổng số điểm đội 336 ⇒ 2x + 12x = 336 ⇒ x = 24 Vậy ta có tất 24 + 4.24 = 120 trận đấu diễn Từ giả thiết có n đội, đội đấu với n – đội lại nên số trận đấu diễn n(n – 1) , tính trận lượt lượt về, giả thiết đội đấu với lần nên tổng số trận n(n − 1) trận đấu giảm nửa, có tất n(n − 1) Do đó: = 120 ⇒ n(n − 1) = 240 ⇒ n = 16, (n = −15 loại) Vậy có tất 16 đội bóng tham gia Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 ... word mơn tốn zalo: 0 39. 373.2038 20 Website: tailieumontoan.com 1 1 1 + + + + + + + + 2 2 2018 20 192 1 1 1 B = + − + + − + + + − 2 2018 20 19 2018.20 19 − B = 2018 − = 20 19 20 19 B = 1+   ( a +... x +3 x +7 x +7 x ? ?9 = − = 2− = x +3 x −1 x −1 x −1 = ( − ) x x −2 = x −1 x −1 Từ đó: A = x ? ?9 x −2 = : x −1 x −1 b) (0,5 điểm) Tìm x để A = −6 Biến đổi: A =−6 ⇔ x ? ?9 x −2 x ? ?9 =−6 ⇔ x − =−6 x... tailieumontoan.com = P x x + 26 x − 19 x x −3 − + ( x − 1)( x + 3) x −1 x +3 = x x + 26 x − 19 − x ( x + 3) + ( x − 3)( x − 1) ( x − 1)( x + 3) = x x + 26 x − 19 − x − x + x − x + ( x − 1)( x +