ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HƯƠNG LIÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG VỚI HÀM PHA LÀ ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun Ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Nhật Huy Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HƯƠNG LIÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG VỚI HÀM PHA LÀ ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên Ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Nhật Huy Hà Nội - 2017 Mục lục Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tích Phân Lebésgue 1.1.1 Vành, σ - đại số độ đo 1.1.2 Không gian đo được, ánh xạ đo được, hàm đo 1.1.3 Tích phân Lebésgue 1.2 Không Gian Các Hàm Giảm Nhanh S (Rn ) 11 1.3 Phép Biến Đổi Fourier 12 1.3.1 1.3.2 Phép biến đổi Fourier không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) 12 Biến đổi Fourier không gian L1 (Rn ) 18 ƯỚC LƯỢNG TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG 20 2.1 Ước lượng tập mức 20 2.2 Bổ Đề vander Corput 21 2.3 Đánh giá tích phân dao động thông qua không điểm đạo hàm hàm pha ĐÁNH GIÁ CHUẨN CỦA TOÁN TỬ DAO ĐỘNG 25 29 3.1 Chuẩn toán tử dao động j < n/2 29 3.2 Chuẩn toán tử dao động j > n/2 36 3.3 Chuẩn toán tử dao động j = n/2 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 43 Lời cám ơn Trước trình bày nội dung luận văn, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới TS Vũ Nhật Huy, giúp đỡ, bảo tận tình, lời động viên vô ý nghĩa Thầy suốt q trình tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Khoa Sau đại học, nhiệt tình truyền thụ kiến thức tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành khóa Cao học Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè ln động viên, khuyến khích, giúp đỡ nhiều suốt thời gian nghiên cứu học tập Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian thực nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2017 Nguyễn Hương Liên Mở đầu Tích phân dao động thu hút nhiều quan tâm nhà Toán học nhà Vật lý từ xuất cơng trình Théorie Analytique de la Chaleur Joseph Fourier vào năm 1822 Nhiều toán Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, hình học đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết số; toán quang học, âm học, học lượng tử, đưa việc nghiên cứu tích phân dao động Mặc dù tốn có từ lâu, phạm vi ứng dụng rộng lớn nó, nên đến có nhiều nhà Tốn học quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết quan trọng Trong phạm vi luận văn này, dành phần lớn cho việc nghiên cứu chuẩn toán tử dao động Tλ eiλS(x,y) ψ(x, y)φ(y)dy, Tλ φ(x) = R sau chúng tơi nghiên cứu dáng điệu tích phân kỳ dị dao động có dạng eiλϕ(x) f (x)dx, I(λ) = R λ số dương đủ lớn, ϕ hàm trơn gọi hàm pha, f hàm trơn có giá trị phức gọi hàm biên độ Theo Elias M Stein, có ba vấn đề xét dáng điệu I(λ), λ → ∞, địa phương hóa, đánh giá tiệm cận Có nhiều phương pháp cơng cụ để khảo sát dáng điệu tích phân dao động I(λ), việc sử dụng tính chất đa diện Newton hàm pha ϕ công cụ hữu hiệu Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức tích phân Lebésgue, tích phân Fourier không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) làm sở để xây dựng nội dung chương Chương 2: Ước lượng tích phân dao động Chương trình bày việc đánh giá tập mức qua chứng minh bổ đề vander Corput phương pháp đánh giá tích phân dao động thông qua không điểm đạo hàm hàm pha Chương 3: Đánh giá chuẩn toán tử dao động Chương trình bày chuẩn tốn tử dao động từ không gian L2 (R) vào L2 (R) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, luận văn trình bày khái niệm, tính chất số định lý quan trọng lý thuyết tích phân Lebésgue phép biến đổi Fourier Nội dung chương tham khảo tài liệu [1], [2] [3] 1.1 Tích Phân Lebésgue 1.1.1 Vành, σ - đại số độ đo Định nghĩa 1.1 Cho X tập Một họ A tập X gọi σ - đại số thỏa mãn điều kiện sau: (a) X ∈ A; ∞ Ai ∈ A; (b) A kín phép hợp đếm được, tức Ai ∈ A(i ∈ N) i=1 (c) A kín phép lấy phần bù, tức A ∈ A Ac := X/A ∈ A Định nghĩa 1.2 Một họ C tập X gọi vành X thỏa mãn điều kiện sau: (a) C kín phép hợp hữu hạn, tức Ai ∈ C(i ∈ R∗ ) n Ai ∈ C ; i=1 (b) Nếu A, B ∈ C A/B ∈ C Ngồi ra, X ∈ C ta nói C vành có đơn vị hay đại số Kí hiệu R = R ∪ {±∞} Định nghĩa 1.3 Cho A σ - đại số X Ánh xạ µ : A −→ R gọi độ đo điều kiện sau thỏa mãn: (a) µ ≥ 0, ∀A ∈ A; (b) µ σ -cộng tính A, tức Ai ∈ A(i = 1, 2, ) rời đơi ∞ µ ∞ Ai = i=1 µ(Ai ); i=1 (c) µ khơng đồng +∞ A , tức tồn A ∈ A cho µ(A) < +∞ Chú ý: Thay cho σ - đại số A ta lấy vành C định nghĩa độ đo hoàn toàn ∞ Ai ∈ C , giả thiết không tương tự, trừ điều kiện (b) ta phải giả thiết thêm i=1 cần thiết C σ - đại số Một độ đo µ vành C gọi hữu hạn với A ∈ A, µ(A) < +∞ Độ đo µ gọi σ - hữu hạn với A ∈ C tồn tập An ∈ C(n = 1, 2, ) An µ(An ) < ∞ cho A ⊂ n 1.1.2 Không gian đo được, ánh xạ đo được, hàm đo Một tập hợp X với σ - đại số A X gọi khơng gian đo được, kí hiệu (X, A) Nếu A xác định độ đo µ ta có khơng gian đo (X, A, µ) Cho (X, χ) (Y, Υ) hai không gian đo, ánh xạ f : X → Y Định nghĩa 1.4 Ánh xạ f gọi (χ, Υ) đo với B ∈ Υ có f −1 (B) ∈ χ Tức nghịch ảnh tập đo tập đo (trường hợp ta viết f −1 (Υ) ⊂ χ) Cho không gian đo (X, χ) hàm f : X → R gọi hàm thực đo (χ, B) đo được, B σ - đại số Borel R Định lý 1.1 Các điều kiện sau tương đương: a) f (χ, B) đo b) {x ∈ X, f (x) < a} ∈ χ, ∀a ∈ R c) {x ∈ X, f (x) ≤ a} ∈ χ, ∀a ∈ R d) {x ∈ X, f (x) > a} ∈ χ, ∀a ∈ R e) {x ∈ X, f (x) ≥ a} ∈ χ, ∀a ∈ R Chứng minh (a) ⇒ (b): hiển nhiên ∞ (b) ⇒ (c): {x ∈ X, f (x) ≤ a} = {x ∈ X, f (x) < a + n=1 } ∈ χ n (c) ⇒ (d): {x ∈ X, f (x) > a} = R/{x ∈ X, f (x) ≤ a} ∈ χ ∞ } ∈ χ n n=1 (e) ⇒ (a): Gọi D lớp nửa khoảng [a, ∞) với a ∈ R Ta có σ(f −1 (D)) = f −1 (σ(D)) (d) ⇔ (e): {x ∈ X, f (x) ≥ a} = {x ∈ X, f (x) > a − Mặt khác, dễ thấy σ(D) = B Vậy f −1 (B) ⊂ χ Hơn nữa, {x ∈ X, f (x) = +∞} = {x ∈ X, f (x) ≥ n} ∈ χ n∈N {f (x) ≥ n}c ∈ χ Vậy f −1 ({±∞}) ∈ χ Tương tự, {x ∈ x, f (x) = −∞} = n∈N Do điều kiện tương đương Định nghĩa 1.5 Hàm f gọi hàm đơn giản tồn hữu hạn tập rời E1 , E2 , , Em số thực α1 , α2 , , αm cho f (x) =   α   i xi ∈ Ei (i = 1, 2, , m)   0 i ∈ / m Ei m hay f (x) = αi 1Ei (x) 1.1.3 Tích phân Lebésgue 1)Tích phân hàm đơn giản Lớp hàm đơn giản (Ω, A) kí hiệu S := S(Ω, A) Xét lớp S gồm hàm không âm S + := {f ∈ S : f ≥ 0} Định nghĩa 1.6 Cho f ∈ S + có biểu diễn f = m αi 1Ai Ta gọi giá trị f dµ := αi µ(Ai ) tích phân hàm f theo độ đo µ i=1 2)Tích phân hàm đo khơng âm Trước hết ta định nghĩa tích phân cho hàm đo khơng âm, sau ta định nghĩa hàm đo hiệu hai tích phân thành phần Kí hiệu L+ = L+ (Ω, A) lớp hàm đo không âm Định nghĩa 1.7 Cho hàm f ∈ L+ Tích phân hàm f theo độ đo µ định nghĩa sau: f dµ = sup fn dµ n X X 3)Tích phân hàm đo Với hàm f đo ta có f = f + − f − f + := max(f, 0) f − := max(−f, 0) Ta có định nghĩa tích phân hàm đo sau: Lấy x, y ∈ R số thực j ∈ N Ta có hai bất đẳng thức sau: Bổ đề 3.1 x−y xj − y j ≥ 2 j j lẻ; (3.2) j chẵn (3.3) , xj − y j x2 − y ≥ 2 j/2 , Chứng minh • Chứng minh (3.2) Xét trường hợp x ≥ y j = 2m + Do 2m j j x −y =x 2m+1 −y 2m+1 xk y 2m−k = (x − y) k=0 Mà 2m k=0 xk y 2m−k − (x2m + y 2m ) = = m x y = x2 x y x2k−1 y 2m−2k+1 +2 k=0 k=1 m m−1 x 2k−2 2m−2k y +y m 2k 2m−2k−2 x y k=1 m k=1 x2k−2 y 2m−2k + 2xy k=0 m x2k−2 y 2m−2k + y (x + y)2 m 2k 2m−2k + k=1 = x2 = m−1 2k 2m−2k k=1 m x2k−2 y 2m−2k + 2xy k=1 x2k−2 y 2m−2k k=1 m x2k−2 y 2m−2k k=1 ≥0 Vậy x2m + y 2m |x| + |y| ≥ (x − y) 2 2m+1 2m x−y x−y ≥ (x − y) = 2 x2m+1 − y 2m+1 ≥ (x − y) 2m Xét trường hợp x ≤ y Chuyển đổi vai trò x y ta thu x−y x2m+1 − y 2m+1 ≥ 2m+1 • Chứng minh (3.3) Cho j := 2m + Xét trường hợp |x| ≥ |y| Khi m j j x −y =x 2m+2 −y 2m+2 2 x2k y 2m−2k = (x − y ) k=0 Mà m x2k y 2m−2k ≥ k=0 30 x2m + y 2m Vậy x 2m+2 −y 2m+2 x2 − y 2 x2 − y 2m 2m ≥ x +y x − y2 ≥ 2 m x2 − y 2 ≥ m+1 Xét trường hợp |x| ≤ |y| Chuyển đổi vai trò x y ta thu x 2m+2 −y 2m+2 x2 − y ≥ 2 m+1 Vậy bổ đề chứng minh Ta nhắc li bt ng thc Hăolder nh sau: Gi s S không gian đo, với ≤ p, q ≤ ∞ thỏa mãn p + q = đồng thời f ∈ Lp (S)và g ∈ Lq (S) Khi f g ∈ L1 (S) 1/q 1/p | q p |g(x)| dx |f (x)| dx f (x)g(x)dx| ≤ R R R Xét φ ∈ L2 (R) Từ định nghĩa toán tử Tλ Tλ∗ ta Chứng minh định lý 3.1 thấy e−iλS(z,x) ψ(z, x)Tλ φ(z)dz (Tλ∗ Tλ φ)(x) = R e−iλS(z,x) ψ(z, x) = eiλS(z,y) ψ(z, y)φ(y)dy dz R = R e−iλ(S(z,x)−S(z,y)) ψ(z, x)ψ(z, y)dz dy φ(y) R R Từ đó, tốn tử Tλ∗ Tλ tốn tử tích phân với K(x, y) xác định sau e−iλ(S(z,x)−S(z,y)) ψ(z, x)ψ(z, y)dz K(x, y) = (3.4) R (Tλ∗ Tλ φ)(x) = φ(y)K(x, y)dy R Ta kí hiệu ||K(x, y)| |1,y = |K(x, y)| dy , ||K(x, y)| |1,x = R |K(x, y)| dx R Cλ,1 = max{sup K(x, y) x∈R 1,y , sup y∈R K(x, y) 1,x } Nên áp dụng bt ng thc Hăolder ta c |(T T )(x)|2 ≤ |φ(y)K(x, y)|dy R |φ(y)|2 |K(x, y)|dy ≤ R |φ(y)|2 |K(x, y)|dy sup K(x, y) |K(x, y)|dy ≤ R R 31 x∈R 1,y Tλ∗ Tλ φ 2 |φ(y)|2 |K(x, y)|dy dx ≤ Cλ,1 R R |φ(y)|2 = Cλ,1 |K(x, y)|dx dy R R |φ(y)|2 dy ≤ Cλ,1 φ = Cλ,1 2 R hay Tλ∗ Tλ φ n k n−k k=1 αk y x Ta có S(x, y) = ≤ Cλ,1 φ (3.5) nên n n k n−k S(z, x) − S(z, y) = αk x z αk y k z n−k − k=1 k=1 n αk z n−k (xk − y k ) = k=1 Vì αj = α1 = · · · = αj−1 = nên n αk z n−k (xk − y k ) S(z, x) − S(z, y) = k=j =⇒ S(z, x) − S(z, y) = αj z n−j (xj − y j ) + αj+1 z n−j−1 (xj+1 − y j+1 ) + αj+2 z n−j−2 (xj+2 − y j+2 ) + + αn (xn − y n ) Do ∂ n−j (λ(S(z, x) − S(z, y)) = λ.αj (n − j)!(xj − y j ) ∂ n−j z mà (n − j)! ≥ 1, nên ta có ∂ n−j (λ(S(z, x) − S(z, y)) =⇒ ≥ |αj λ(xj − y j )| n−j ∂ z ∀x, y ∈ R Nhắc lại hệ 2.1 bổ đề van der Corput cho tích phân dao động ta có b eiλφ(x) ψ (x) dx ≤ Ck ψ |λ| k a L∞ (a,b) + ψ L1 (a,b) Khi đó, sử dụng bổ đề van der Corput cho tích phân dao động, tồn số c1 không phụ thuộc λ mà |K(x, y)| ≤ c1 |λ(xj − y j )|−1/(n−j) ) 32 ∀x, y ∈ R Đặt M = |x| sup (z,x)∈suppψ Ta thấy K(x, y) = với (x, y) ∈ [−M, M ] × [−M, M ] sup |K(x, y)| ≤ |ψ(x, z)ψ(y, z)|dz ≤ c2 < ∞ (x,y)∈R2 R Từ |K(x, y)| ≤ min{c1 (|xj − y j |λ)−1/(n−j) ), c2 } ∀x, y ∈ R Trường hợp j số tự nhiên lẻ Từ bổ đề 3.1, ta |K(x, y)| ≤ min{c3 (|x − y|j λ)−1/(n−j) ), c2 } ∀x, y ∈ R với c3 = c1 2j/(n−j) Sử dụng K(x, y) = với (x, y) ∈ [−M, M ] × [−M, M ], ta có y ∈ [−M, M ] |K(x, y)|dx = 0, R y ∈ [−M, M ] M |K(x, y)|dx = |K(x, y)|dx −M R ≤ M c3 |λ|1/(n−j) |x − y|−j/(n−j) dx −M Đặt x − y = t Khi với y ∈ [−M, M ] ta có −y+M M |x − y|−j/(n−j) dx = −M 2M |t|−j/(n−j) dt ≤ −y−M |t|−j/(n−j) dt −2M Vì |K(x, y)|dx ≤ 2M c3 |t|−j/(n−j) dt |λ|1/(n−j) −2M Từ j < n/2 ta có j/(n − j) < 2M −2M R |t|−j/(n−j) dt < ∞ Do |K(x, y)|dx ≤ R c4 = c3 2M −2M c4 |λ|1/(n−j) |t|−j/(n−j) dt Từ sup K(x, y) 1,x ≤ C|λ|−1/(n−j) y∈R 33 ∀y ∈ R Tương tự, sup K(x, y) 1,y ≤ C|λ|−1/(n−j) x∈R Trường hợp j số tự nhiên chẵn Theo bổ đề 3.1, ta |K(x, y)| ≤ c3 (|x2 − y |j/2 λ)−1/(n−j) ) ∀x, y ∈ R c3 = c1 2j/(2(n−j)) Ta thấy, |x − y| > |x + y| |x2 − y | ≥ |x + y|2 , điều dẫn đến |K(x, y)| ≤ c3 (|x + y|j λ)−1/(n−j) )) ∀x, y ∈ R, ngược lại |x − y| ≤ |x + y| |x2 − y | ≥ |x − y|2 , điều dẫn đến |K(x, y)| ≤ c3 (|x − y|j λ)−1/(n−j) )) ∀x, y ∈ R, Vậy ta có |K(x, y)| ≤ (c3 (|x − y|j λ)−1/(n−j) ) + c3 (|x + y|j λ)−1/(n−j) )), với x, y ∈ R Mà K(x, y) = với (x, y) ∈ [−M, M ] × [−M, M ] Nên M |K(x, y)|dx = |K(x, y)|dx −M R ≤ M c3 |λ|1/(n−j) |x − y|−j/(n−j) + |x + y|−j/(n−j) dx −M Chứng minh tương tự trường hợp ta có M 2M −j/(n−j) |x − y| −M |t|−j/(n−j) dt dx ≤ −2M M 2M |x + y|−j/(n−j) dx ≤ −M |t|−j/(n−j) dt −2M Nên |K(x, y)|dx ≤ R 2c3 |λ|1/(n−j) 2M |t|−j/(n−j) dt −2M Từ j < n/2 ta có j/(n − j) < 2M |t|−j/(n−j) dt < ∞ −2M 34 Từ |K(x, y)|dx ≤ R 2M −2M c4 = 2c3 2c4 |λ|1/(n−j) |t|−j/(n−j) dt Vì sup K(x, y) 1,x ≤ C|λ|−1/(n−j) 1,y ≤ C|λ|−1/(n−j) y∈R Tương tự, sup K(x, y) x∈R Từ (3.5) ta có Tλ∗ Tλ φ ≤ C|λ|−1/(n−j) φ (3.6) ≤ C|λ|−1/(n−j) (3.7) Tλ∗ Tλ Kí hiệu f, g = R L2 →L2 f (x)g(x)dx Ta chứng minh Tλ φ, g = φ, Tλ∗ g (3.8) Thật vậy, eiλS(x,y) ψ(x, y)φ(y)dy g(x)dx Tλ f (x)g(x)dx = Tλ φ, g = R R R eiλS(x,y) ψ(x, y)g(x)dx φ(y)dy = R R Tλ∗ g(y)φ(y)dy = φ, Tλ∗ g = R Bằng việc đặt g = Tλ φ theo (3.8) Tλ φ 2 = φ, Tλ∗ Tλ φ Sử dụng bất ng thc Hăolder ta cú T 2 = φ, Tλ∗ Tλ φ ≤ φ Tλ∗ Tλ φ Sử dụng (3.7) ta có Tλ∗ Tλ φ ≤ φ C.(|λ|)−1/(n−j) Vì từ (3.9) ta Tλ φ Vậy Tλ L2 →L2 2 ≤ φ 22 C.(|λ|)−1/(n−j) ≤ C(|λ|)−1/((2n−2j)) Định lý chứng minh xong 35 (3.9) Chuẩn toán tử dao động j > n/2 3.2 Định lý 3.2 Cho Tλ định nghĩa mục (3.1) Khi Tλ tốn tử bị chặn từ L2 (R) vào L2 (R) với chuẩn đánh sau Tλ L2 →L2 ≤ C(|λ|)−1/(2j) αj = với j > n/2 ∈ N α1 = · · · = αj−1 = Chứng minh Như ta biết mục 3.1 (Tλ∗ Tλ φ)(x) = φ(y)K(x, y)dy R e−iλ(S(z,x)−S(z,y)) ψ(z, x)ψ(z, y)dz K(x, y) = (3.10) R Nờn ỏp dng bt ng thc Hăolder ta |(Tλ∗ Tλ φ)(x)|2 ≤ |φ(y)K(x, y)|dy R |φ(y)|2 |K(x, y)|dy ≤ R |φ(y)|2 |K(x, y)|dy sup K(x, y) |K(x, y)|dy ≤ R 1,y x∈R R Tλ∗ Tλ φ 2 |φ(y)|2 |K(x, y)|dy dx ≤ Cλ,1 R K(x, y)|dx dy ≤ Cλ,1 φ |φ(y)|2 = Cλ,1 R R 2 R hay Tλ∗ Tλ φ ≤ Cλ,1 φ (3.11) Cλ,1 = max{sup K(x, y) x∈R 1,y , sup y∈R K(x, y) 1,x } Từ αj = 0, α1 = · · · = αj−1 = 0, ta ∂ n−j (λ(S(z, x) − S(z, y)) ≥ |αj λ(xj − y j )| ∂ n−j z ∀x, y ∈ R Sau đó, sử dụng bổ đề van der Corput cho tích phân dao động, tồn số c1 không phụ thuộc vào λ |K(x, y)| ≤ c1 (|(xj − y j )λ|)−1/(n−j) ) 36 ∀x, y ∈ R Ta đặt M = sup |x| (z,x)∈suppψ Ta thấy K(x, y) = với (x, y) ∈ [−M, M ] × [−M, M ] sup |K(x, y)| ≤ (x,y)∈R2 |ψ(x, z)ψ(y, z)|dz ≤ c2 < ∞ R Từ |K(x, y)| ≤ min{c1 (|(xj − y j )λ|)−1/(n−j) ), c2 } ∀x, y ∈ R Trường hợp j lẻ, j = 2m + Từ đó, theo bổ đề 3.1, ta có |K(x, y)| ≤ min{c3 (|x − y|j |λ|)−1/(n−j) ), c2 } ∀x, y ∈ R c3 = c1 22m/(n−j) Đặt λ1 = |λ|−1/(n−j) Chú ý K(x, y) = với (x, y) ∈ [−M, M ] × [−M, M ] Áp dụng cho β ∈ [0, M ] M |K(x, y)|dx = |K(x, y)|dx −M R M min{c3 |λ1 (x − y)−j/(n−j) |, c2 }dx = −M 2M min{c3 λ1 |t|−j/(n−j) , c2 }dt ≤ −2M min{c3 λ1 |t|−j/(n−j) , c2 }dt + = |t|≤β ≤ 2M ≥|t|≥β c3 λ1 |t|−j/(n−j) dt c2 dt + |t|≤β min{c3 λ1 |t|−j/(n−j) , c2 }dt 2M ≥|t|≥β Từ |K(x, y)|dx ≤ c2 2β + c3 λ1 β 1−(j/(n−j)) = c2 2β + c3 λ1 β 1−(j/(n−j)) R Bằng việc chọn β = λ(n−j)/(jq) = |λ|−1/j , ta thu |K(x, y)|dx ≤ c4 |λ|−1/j R Vì sup K(x, y) 1,x ≤ C|λ|−1/j 1,y ≤ C|λ|−1/j y∈R Tương tự, sup K(x, y) x∈R Trường hợp j chẵn Sử dụng Bổ đề 3.1 ta có |K(x, y)| ≤ c1 (|x2 − y |j/2 λ)−1/(n−j) ) 37 ∀x, y ∈ R Vì thế: |K(x, y)| ≤ (c1 (|x − y|j λ)−1/(n−j) ) + c1 (|x + y|j λ)−1/(n−j) )), với x, y ∈ R Chú ý K(x, y) = với (x, y) ∈ [−M, M ] × [−M, M ] Nên M |K(x, y)|dx = |K(x, y)|dx −M R = M c1 |x − y|−j/(n−j) + |x + y|−j/(n−j) dx |λ|1/(n−j) −M Chứng minh tương tự ta có sup K(x, y) 1,x ≤ C|λ|−1/(j) 1,y ≤ C|λ|−1/(j) y∈R Tương tự, sup K(x, y) x∈R Theo (3.11) ta Tλ∗ Tλ φ r ≤ C(|λ|)−1/(j) φ (3.12) Tλ∗ Tλ L2 →L2 ≤ C(|λ|)−1/j (3.13) Kí hiệu f, g = f (x)g(x)dx R sau tương tự chứng minh định lý 3.1 ta thu Tλ φ, g = f, Tλ∗ g (3.14) Đặt g = Tλ φ Do từ (3.14) Tλ φ 2 = φ, Tλ∗ Tλ φ S dng bt ng thc Hăolder ta cú T 2 = φ, Tλ∗ Tλ φ ≤ φ Tλ∗ Tλ φ Sử dụng (3.13) ta có: Tλ∗ Tλ φ r ≤ C φ |λ|−1/j 38 (3.15) Vì thế: 2 Tλ φ ≤ C φ 22 |λ|−1/j Do vậy, theo (3.15) ta thu Tλ L2 →L2 ≤ C|λ|−1/(2j) Định lý chứng minh xong Từ định lý 3.1 định lý 3.2 ta có định lý sau: Định lý 3.3 Cho Tλ định nghĩa mục (3.1) Khi Tλ toán tử bị chặn từ L2 (R) vào L2 (R) với chuẩn Tλ L2 →L2 ≤ C max{(|λ|)−1/(2j) ; (|λ|)−1/(2(n−j)) } αj = với j = n/2 α1 = · · · = αj−1 = 3.3 Chuẩn toán tử dao động j = n/2 Định lý 3.4 Cho Tλ định nghĩa mục (3.1) Khi Tλ toán tử bị chặn từ L2 (R) to L2 (R) với chuẩn đánh giá qua công thức sau Tλ L2 →L2 ≤ C|λ|−1/(2j) log |λ| αj = với j = n/2 ∈ N α1 = · · · = αj−1 = Chứng minh Xét φ ∈ L2 (R) Từ định nghĩa toán tử Tλ Tλ∗ ta thấy (Tλ∗ Tλ φ)(x) = e−iλS(z,x) ψ(z, x)Tλ φ(z)dz R e−iλS(z,x) ψ(z, x) = R = eiS(z,y) ψ(z, y)φ(y)dy dz R e−iλ(S(z,x)−S(z,y)) ψ(z, x)ψ(z, y)dz dy φ(y) R R Từ đó, tốn tử Tλ∗ Tλ tốn tử tích phân với hạch K(x, y) xác định e−iλ(S(z,x)−S(z,y)) ψ(z, x)ψ(z, y)dz K(x, y) = R (Tλ∗ Tλ φ)(x) = φ(y)K(x, y)dy R 39 (3.16) áp dụng Bổ đề Chính ta có Tλ∗ Tλ φ ≤ Cλ,1 φ (3.17) Cλ,1 = max{sup K(x, y) x∈R 1,y , sup y∈R K(x, y) 1,x } Từ αj = 0, α1 = · · · = αj−1 = 0, ta thu ∂ n−j (λ(S(z, x) − S(z, y)) ≥ |αj λ(xj − y j )| ∂ n−j z ∀x, y ∈ R Từ đó, áp dụng Bổ đề van der Corput cho tích phân dao động, tồn số c1 khơng phụ thuộc vào λ |K(x, y)| ≤ c1 (|(xj − y j )λ|)−1/(n−j) ) Ta đặt M = ∀x, y ∈ R |x| sup (z,x)∈suppψ Ta thấy K(x, y) = với (x, y) ∈ [−M, M ] × [−M, M ] sup |K(x, y)| ≤ (x,y)∈R2 |ψ(x, z)ψ(y, z)|dz ≤ c2 < ∞ R Do |K(x, y)| ≤ min{c1 (|(xj − y j )λ|)−1/(n−j) ), c2 } ∀x, y ∈ R Trường hợp j lẻ, j = 2m + Khi đó, từ bổ đề 3.1, ta có |K(x, y)| ≤ min{c3 (|x − y|j |λ|)−1/(n−j) ), c2 } ∀x, y ∈ R c3 = c1 22m/(n−j) Đặt λ1 = |λ|−1/(n−j) = |λ|−1/j Mà K(x, y) = với (x, y) ∈ [−M, M ] × [−M, M ] j/(n − j) = Áp dụng với β ∈ [0, M ] ta có M |K(x, y)|dx = |K(x, y)|dx −M R M min{c3 |λ1 (x − y)−1 |, c2 }dx = −M 2M min{c3 λ1 |t|−1 , c2 }dt ≤ −2M min{c3 λ1 |t|−1 , c2 }dt + = |t|≤β ≤ 2M ≥|t|≥β c3 λ1 |t|−1 dt c2 dt + |t|≤β min{c3 λ1 |t|−1 , c2 }dt 2M ≥|t|≥β 40 Từ |K(x, y)|dx ≤ c2 2β + 2c3 λ1 log R 2M 2M = c2 2β + 2c3 |λ|−1/j log β β Đặt β = |λ|−1/j log |λ|, ta |K(x, y)|dx ≤ c4 |λ|−1/j log |λ| R Vì sup K(x, y) 1,x ≤ C|λ|−1/j (log |λ|) 1,y ≤ C|λ|−1/j (log |λ|) y∈R Tương tự, sup K(x, y) x∈R Trường hợp j chẵn Từ đó, áp dụng bổ đề 3.1 |K(x, y)| ≤ c1 (|x2 − y |j/2 λ)−1/(n−j) ) ∀x, y ∈ R Nên |K(x, y)| ≤ (c1 (|x − y|j λ)−1/(n−j) ) + c1 (|x + y|j λ)−1/(n−j) )), với x, y ∈ R Hơn nữa, K(x, y) = với (x, y) ∈ [−M, M ] × [−M, M ], nên ta có M |K(x, y)|dx = = |K(x, y)|dx −M R M c1 |λ|1/(n−j) |x − y|−j/(n−j) + |x + y|−j/(n−j) dx −M Tương tự chứng minh ta có sup K(x, y) 1,x ≤ C|λ|−1/j (log |λ|) 1,y ≤ C|λ|−1/j (log |λ|) y∈R Tương tự, sup K(x, y) x∈R Sử dụng (3.17) ta có Tλ∗ Tλ φ ≤ C(|λ|)−1/(j) φ (3.18) Tλ∗ Tλ L2 →L2 ≤ C(|λ|)−1/j log |λ| 41 (3.19) Kí hiệu f, g = f (x)g(x)dx R Từ áp dụng chứng minh Định lý 3.1 ta thu Tλ φ, g = f, Tλ∗ g (3.20) Đặt g = Tλ φ Do theo (3.20) Tλ φ 2 = φ, Tλ∗ Tλ φ p dng bt ng thc Hăolder ta cú T φ 2 = φ, Tλ∗ Tλ φ ≤ φ Tλ∗ Tλ φ Sử dụng (3.19) ta có Tλ∗ Tλ φ ≤ C φ |λ|−1/j (log |λ|) Vì Tλ φ 2 ≤ C φ 22 |λ|−1/j (log |λ|) Do vậy, từ (3.21) ta có Tλ L2 →L2 ≤ C|λ|−1/(2j) (log |λ|)1/2 Định lý chứng minh xong 42 (3.21) Kết luận Luận văn trình bày kiến thức tích phân dao động với nội dung quan trọng chứng minh bổ đề vander Corput đánh giá chuẩn tốn tử dao động Nội dung luận văn bao gồm: • Đưa số kiến thức tích phân Lebésgue, phép biển đổi Fourier khơng gian hàm giảm nhanh S (Rn ) khơng gian L1 (Rn ) • Uớc lượng tập mức dưới, chứng minh bổ đề vander Corput đánh giá tích phân dao động thơng qua khơng điểm đạo hàm hàm pha • Đưa đánh giá chuẩn tốn tử dao động khơng gian L2 (R) Tôi xin chân thành cảm ơn! 43 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long, Giáo trình hàm thực giải tích hàm NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2001) [2] Nguyễn Hữu Dư, Độ đo tích phân [3] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phượng, Giải tích hàm nhiều biến NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2002) [4] D H Phong and E M Stein, Oscillatory integrals with polynomial phases Inv Math 110, 39-62 (1992) [5] D H Phong and E M Stein, Newton Polyhedron and Oscilatory integral operators Acta Math, 179, 105-152 (1997) [6] A Carbery, M Christ and J Wright, Multidimentional Van der Corput and sublevel set estimates Journal of the american mathematical society, 981-1015 (1999) [7] P K Anh, V N Huy and N M Tuan, Norm decay rates of oscillatory integrals operators with polynomial phases acting between Lp and L2 spaces Submitted (2016) 44 ... HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HƯƠNG LIÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG VỚI HÀM PHA LÀ ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun Ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học:... đánh giá thể tích tập mức đánh giá tích phân dao động có mối liên hệ mật thiết với 24 2.3 Đánh giá tích phân dao động thơng qua khơng điểm đạo hàm hàm pha Chúng ta xem xét tích phân dao động sau:... Kết luận Luận văn trình bày kiến thức tích phân dao động với nội dung quan trọng chứng minh bổ đề vander Corput đánh giá chuẩn toán tử dao động Nội dung luận văn bao gồm: • Đưa số kiến thức tích