ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Tiến Đức MƠ HÌNH THÚ MỒI NGẪU NHIÊN VÀ TÍNH ERGODIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60460106 Người hướng dẫn khoa học GS.TS NGUYỄN HỮU DƯ HÀ NỘI- Năm 2014 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Một số khái niệm mở đầu 1.1 1.2 1.3 1.4 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.2 Quá trình thích nghi với lọc 1.1.3 Quá trình Wiener Tích phân ngẫu nhiên Itơ 1.2.1 Tích phân Itơ hàm bậc thang 10 1.2.2 Tích phân Itơ hàm ngẫu nhiên bị chặn 11 Vi phân ngẫu nhiên Công thức Itô 13 1.3.1 Vi phân ngẫu nhiên 13 1.3.2 Công thức Itô tổng quát 14 Tích phân Itơ nhiều chiều 14 1.4.1 Quá trình Wiener n- chiều 14 1.4.2 Tích phân Itô nhiều chiều 15 1.4.3 Công thức Itô nhiều chiều 15 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 17 2.1 Khái niệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 17 2.2 Định lý tồn nghiệm 18 2.3 Điều kiện cho tính quy nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 19 2.4 Tính chất Ergodic nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 21 2.4.1 Quá trình hồi quy miền 21 2.4.2 Hồi quy không hồi quy 22 2.4.3 Hồi quy dương hồi quy không 23 2.4.4 Sự tồn phân phối dừng 24 Mơ hình thú mồi ngẫu nhiên tính ergodic 26 3.1 Cạnh tranh lồi, tính ergodic elip 28 3.2 So sánh với kết khác 39 3.3 Thảo luận 44 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học tự nhiên- Đại học quốc gia Hà Nội, hướng dẫn tận tình chu đáo thầy giáo GS.TS Nguyễn Hữu Dư Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy, người dạy kiến thức kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp này, tác giả bảy tỏ lởi cảm ơn chân thành thành tới Ban chủ nhiệm khoa Tốn- Cơ-Tin học, phịng Sau đại học trường Đại học Khoa học tự nhiênĐại học Quốc gia Hà Nội Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy, cô giáo môn Lý thuyết xác suất thống kê toán học, khoa Toán - Cơ - Tin học nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn lớp Cao học tốn khóa học 2011-2013, thường xun quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song lực cịn hạn chế nên chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy giáo, giáo, góp ý bạn đọc để luận văn ngày hoàn thiện Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả Lời nói đầu Giải tích ngẫu nhiên, hay giải tích mơi trường ngẫu nhiên, hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết xác suất, đồng thời ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác bên toán học Vật lý (lý thuyết chuyển động hỗn loạn, lý thuyết trường bảo giác ), Sinh học (động lực học quần thể ), Công nghệ ( lý thuyết lọc, ổn định điều khiển hệ động lực ngẫu nhiên ) đặc biệt kinh tế tài (định giá quyền lựa chọn thị trường chứng khốn ) Ngày nay, phép tích tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên trở thành cơng cụ tốn học có hiệu lực cho nhiều vấn đề vật lý, học, sinh học kinh tế (kể thị trường chứng khoán) Trong luận văn này, chúng tơi xin trình bày tính ergodic nghiệm phương trình thú mồi ngẫu nhiên chịu nhiễu ồn trắng Gauss Luận văn chia làm chương: Chương Trong chương này, ta nhắc lại số kiến thức giải tích ngẫu nhiên bao gồm trình ngẫu nhiên, q trình đo tính chất trình ngẫu nhiên quan trọng- trình Wiener, đồng thời ta tìm hiểu khái niệm, tồn tích phân ngâu nhiên Itơ hàm ngẫu nhiên bị chặn khái niệm vi phân ngẫu nhiên Itô (xem xét đồng thời trường hợp chiều nhiều chiều) Chương Ở chương ta nhắc lại khái niệm phương trình vi phân ngẫu nhiên điều kiện tồn nghiệm Trong chương ta tìm hiểu số khái niệm gắn liền với q trình ngẫu nhiên (tính quy, hồi quy, hồi quy dương) đặc biệt ta nghiên cứu tính chất ergodic nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Chương Chúng ta xét mơ hình cạnh tranh lồi ngẫu nhiên với tốc độ tăng trưởng chịu nhiễu tiếng ồn trắng Gauss Ta chứng tỏ cường độ tiếng ồn khơng qua lớn, nghiệm phương trình ngẫu nhiên có tính ergodic Một mối liên hệ hiển cường độ tiếng ồn tham số loài cạnh tranh ban đầu cho ta điều kiện đủ cho tính chất ergodic Bên cạnh ta thảo luận so sánh điều kiện đủ cho tính ergodic mà nhận với kết thu báo Rudnicki[20], đồng thời đề cập đến tính ergodic nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich Chương Một số khái niệm mở đầu Cho (Ω, F, P) không gian xác suất, tức ba gồm • Ω tập hợp sở mà phần tử ω ∈ Ω đại diện cho yếu tố ngẫu nhiên Mỗi tập Ω gồm số yếu tố ngẫu nhiên • F họ tập Ω, chứa Ω đóng phép hợp đếm phép lấy phần bù; nói cách khác F σ - trường tập Ω Mỗi tập A ∈ F gọi biến cố ngẫu nhiên • P độ đo xác suất xác định không gian đo (Ω, F) 1.1 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1 a) Cho (Ω, F, P) không gian xác suất T tập Một ánh xạ X : T × Ω → R cho với t ∈ T , ánh xạ ω → X(t, ω) đo được, gọi hàm ngẫu nhiên T ta viết X = {X(t), t ∈ T } Như vậy, hàm ngẫu nhiên T chẳng qua họ biến ngẫu nhiên X = {X(t), t ∈ T } số hóa tập tham số T • Nếu T = N tập số tự nhiên ta gọi X = {X(n), n ∈ N} dãy biến ngẫu nhiên • Nếu T khoảng đường thẳng thực ta gọi X = {X(t), t ∈ T } trình ngẫu nhiên Trong trường hợp tham số t đóng vai trị biến thời gian • Nếu T tập Rd ta gọi X = {X(t), t ∈ T } trường ngẫu nhiên Nếu trình ngẫu nhiên X = {X(t), t ∈ T } lấy giá trị Rn ta có q trình ngẫu nhiên n− chiều Giả sử X = {X(t), t ∈ T } trình ngẫu nhiên, ký hiệu |X(t)|2 dP (ω) < ∞ L2 (Ω) = X(t) : E Ω 1.1.2 Q trình thích nghi với lọc Định nghĩa 1.2 a) Một họ σ - trường {Ft }t≥0 F , Ft ⊂ F gọi lọc thỏa mãn điều kiện thông thường nếu: i) Đó họ tăng, tức Fs ⊂ Ft s < t ii) Đó họ liên tục phải, tức Ft = Ft+ε ε>0 iii) Mọi tập P- bỏ qua A ∈ F chứa F0 , tức A ∈ F P(A) = A ∈ F0 b) Cho trình ngẫu nhiên X = {X(t), t ≥ 0} Ta xét họ σ - trường {FtX }t≥0 sinh tất biến ngẫu nhiên X(s) với s ≤ t, tức FtX = σ(Xs , ≤ s ≤ t) σ - trường chứa đựng thông tin diễn biến khứ trình X thời điểm t Người ta gọi lọc tự nhiên q trình X , lịch sử X , hay cịn gọi trường thơng tin X c) Một không gian xác suất (Ω, F, P) ta gắn thêm lọc {Ft }t≥0 , gọi không gian xác suất lọc ký hiệu (Ω, F, (Ft ), P) c) Cho lọc bất kì, {Ft }t≥0 Quá trình X = {X(t), t ≥ 0} gọi thích nghi với lọc {Ft }t≥0 , với t ≥ Xt Ft - đo 1.1.3 Quá trình Wiener Định nghĩa 1.3 Cho σ > Quá trình ngẫu nhiên W = {W (t), t ≥ 0} gọi trình Wiener (hay chuyển động Brown) với tham số σ thỏa mãn điều kiện sau i) W (0) = hầu chắn ii) W có gia số độc lập, tức với < t1 < t2 < < tn biến ngẫu nhiên W (t1 ), W (t2 ) − W (t1 ), , W (tn ) − W (tn−1 ), độc lập iii) Với ≤ s < t W (t) − W (s) biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn W (t) − W (s) ∼ N (0; σ (t − s)) Trong trường hợp σ = trình gọi trình Wiener tiêu chuẩn Một số tính chất q trình Wiener Cho trình ngẫu nhiên Wiener W = {W (t), t ≥ 0} a) W (t) martingale lọc tự nhiên {FtW }t≥0 trình Wiener W , tức E(Wt |FsW ) = Ws , ∀s < t b) P{ω : quĩ đạo t → W (t, ω) khả vi } = c) P{ω : quĩ đạo t → W (t, ω) có biến phân bị chặn khoảng hữu hạn } = d) W tuân theo luật lôgarit- lặp sau: P ω : lim sup √ t→∞ 1.2 W (t) 2t ln ln t = = Tích phân ngẫu nhiên Itơ Định nghĩa 1.4 Cho q trình ngẫu nhiên Wiener W = {W (t), t ≥ 0} không gian xác suất (Ω, F, P) a) Với t ≥ 0, ký hiệu Ht = FtW σ - trường sinh họ {W (s), ≤ s ≤ t} Khi Ht gọi σ - trường đại số chứa thông tin lịch sử hàm ngẫu nhiên W thời điểm t b) Ký hiệu Ht+ σ - trường sinh họ {W (u) − W (t), u ≥ t} Khi Ht+ gọi σ - trường đại số chứa thông tin tương lai hàm ngẫu nhiên W sau thời điểm t c) Một họ {Ft }t≥0 σ - trường F gọi họ lọc trình Wiener W • Fs ⊂ Ft s < t • Ht ⊂ Ft với t ≥ • Ft độc lập với Ht+ với t ≥ Định nghĩa 1.5 Giả sử f (t, ω), t ≥ trình ngẫu nhiên a) Ta nói f (t, ω) phù hợp họ lọc {Ft }t≥0 với t ≥ 0, ánh xạ ω → f (t, ω) Ft - đo Điều có nghĩa thời điểm t, biến ngẫu nhiên f (t, ω) phụ thuộc vào thông tin σ - trường Ft b) Ta nói f (t, ω) đo lũy tiến lọc {Ft }t≥0 với t ≥ 0, hàm (t, ω) → f (t, ω) xác định [0, t] × Ω Bt × Ft đo được, Bt σ trường Borel [0, t] Rõ ràng f (t, ω) đo lũy tiến lọc {Ft }t≥0 phù hợp với lọc {Ft }t≥0 c) Ký hiệu N (0, T ) tập hợp hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo lũy tiến T f (t, ω)dt < ∞ E Ta có N (0, T ) không gian Banach với chuẩn T ||f || = f (t, ω)dt E d) Ký hiệu N (0, T ) tập hợp hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo lũy tiến T |f (t, ω)|dt < ∞ E 34 Áp dụng định lí hội tụ đơn điệu hội tụ τm → ∞, ta F (x, y) d0 E(x,y) τ ≤ Hơn nữa, chọn a1 > b1 > cho elip x− D∗∗ = (x, y) : α β a21 y− + µ λ b21 =1 , nằm biên D∗ Dm Từ D∗∗ ⊂ D∗c , có sup (x,y)∈D∗∗ E(x,y) τ ≤ Chú ý elip có tâm d0 sup F (x, y) < ∞ (x,y)∈D∗∗ α µ , xem khoảng cách từ β λ α µ Trong xây dựng trên, có miền elip lồng , β λ (x, y) tới D ⊂ D∗ ⊂ bao lồi (D∗∗ ), D∗ tập mở chứa α µ , β λ phần Áp dụng định lý 2.8 ta có nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên (5) có tính ergodic Định lý 3.2 Xét q trình cạnh tranh lồi ngẫu nhiên (3) Giả sử γ < δ < , đặt ε1 = 0< γ δ ε2 = Đồng thời giả sử β λ σ12 α + σ22 µ 2(α )2 < −ε1 = − γ µ < β α < σ12 α + σ22 µ 2(µ )2 < −ε2 , µ = µ + ε1 α α − ε2 µ α = + ε1 ε2 + ε1 ε2 Khi nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên (3) có tính ergodic Chứng minh Định lí 3.2 hệ định lí 3.1, từ việc áp dụng bổ đề 3.1 có µ > α > Nhận xét Định lý 3.2 nói rằng, hệ số tiếng ồn σ1 σ2 đủ nhỏ γ < 0, − µβ < γ < 0, nghiệm trình cạnh tranh lồi ngẫu nhiên (3) α có tính ergodic Chú ý nghiệm (2) với tốc độ triệt tiêu x∗ y∗ = γδ + βλ λα − δµ βµ + γα 35 Vậy x∗ > 0, y ∗ > δ < − µα < γ < Do ta thấy điều kiện β bổ sung nghiệm phương trình (3) có tính ergodic tự nhiên, yêu cầu hệ cạnh tranh loài tất định phải có điểm bất động R2+ Định lý 3.3 Giả sử điều kiện sau (i) γ < 0, δ > 2µ − σ12 < 2α + σ22 − γ λ , , β δ 2µ − σ12 γ δ > Khi nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên (5) không hồi quy Chứng minh.Ta chứng minh kết luận với phần i) Trên R2+ , xét hàm F (x, y) = A1 x − A2 ln x + A3 y − A4 ln y + c, A1 , A2 , A3 , A4 , c số Chọn số dương A2 A4 cho A4 = A2 − γ λ , β δ Khi γA2 + βA4 ≤ δA4 − λA2 ≤ Xét A1 = A3 = c = Viết Ft = F (xt , yt ), áp dụng công thức Itô, ta 1 −dFt = A2 µ − σ12 − A4 α + σ22 + (δA4 − λA2 )yt + (γA2 + βA4 )xt dt 2 +A2 σ1 dW1 (t) + A4 σ2 dW2 (t) Suy 1 −F (xt , yt ) ≤ F (x0 , y0 )+ A2 µ − σ12 − A4 α + σ22 2 Từ t+A2 σ1 W1 (t)+A4 σ2 W2 (t) 2µ − σ12 γ λ A4 2 < min{− , } = ⇔ A µ − σ − A α + σ < β δ A2 2 2α + σ22 |Wi (t)| lim sup √ = 1, t→∞ 2t ln ln t Chúng ta có i = 1, 36 1 A2 µ − σ12 − A4 α + σ22 2 t + A2 σ1 W1 (t) + A4 σ2 W2 (t) → −∞, Vì thế, −F (xt , yt ) → −∞, t → ∞, và, từ A2 A4 A4 −F (xt , yt ) = ln(xA t ) ln(yt ) = ln(xt yt ), A4 với số A2 A4 dương, thu xA t yt → Do đó, (xt , yt ) không hồi quy ii) Trong trường hợp ta chọn A1 = A3 = A4 γ A4 −λ =− ⇒ ≥ A2 β A2 −δ Suy γA2 + βA4 = 0, δA4 − λA2 ≤ Sau lập luận tương tự phần i) ta có q trình (xt , yt ) không hồi quy iii) Lấy > cho σ1 < ε1 σ22 < ε2 , định nghĩa 2 x e− t dt = (e− − e− x ) H(x) = Ta có H(x) hàm tăng lim H(x) < ∞ Xét hàm x→∞ F (x, y) = βx − α ln x + λy − µ ln y + c, với c = −α + α ln α µ − µ + µ ln Khi hàm ngẫu nhiên Ft = F (xt , yt ) có vi phân β λ ngẫu nhiên (7), áp dụng công thức Itô, ta dH(Ft ) = H (Ft ) ε1 (βxt − α)2 + ε2 (λyt − µ)2 + (σ12 α + σ22 µ) dt + H (Ft ) σ12 (βxt − α)2 + σ22 (λyt − µ)2 dt + H (Ft )σ1 (βxt − α)dW1 (t) + 12 H (Ft )σ2 (λxt − µ)dW2 (t) 1 = e− Ft ε1 − σ12 (βxt − α)2 + ε2 − σ22 (λyt − µ)2 + (σ12 α + σ22 µ) dt 2 37 +e− Ft σ (βxt − α)dW1 (t) + e− Ft σ (λx t − µ)dW2 (t) Đặt D(r) = {(x, y) : F (x, y) ≤ r} Cố định r0 > xét miền D(r0 ) Giả sử (x, y) ∈ / D(r0 ) τ thời điểm chạm tập hợp D(r0 ) trình (5) với giá trị ban đầu (x, y), tức τ = inf{t ≥ : (xt , yt ) ∈ D(r0 )} Ta chứng tỏ P(x,y) (τ < ∞) < tương đương P(x,y) (τ = ∞) > Tồn r > r0 cho (x, y) thuộc phần D(r) Đặt τr = inf {t ≥ : (xt , yt ) ∈ D(r)} , thời điểm chạm D(r) Từ bổ đề 3.2 tính chất F , ta có τr → ∞ r → ∞ Lấy kì vọng, ta E(x,y) H(Fτ ∧τr ) = H(F (x, y))+ +E(x,y)  τ ∧τ  r e−  Ft ε1 −   1 σ1 (βxt − α)2 + ε2 − σ12 (λyt − µ)2 + (σ12 α + σ22 µ) dt 2  Suy E(x,y) H(Fτ ∧τr ) ≥ H(F (x, y)), từ tính khơng âm hàm dấu tích phân Chú ý H(Fτ ) = H(r0 ) H(Fτr ) = H(r), nên ta có H(F (x, y)) ≤ E(x,y) H(Fτ ∧τr ) = E(x,y) [H(Fτ )1(τ ≤ τr )] + E(x,y) [H(Fτ )1(τ > τr )] = H(r0 )P(x,y) [τ ≤ τr ] + H(r)P(x,y) [τ > τr ] = H(r0 ) + [H(r) − H(r0 )] P(x,y) [τ > τr ] và, P(x,y) [τ > τr ] ≥ H(F (x, y)) − H(r0 ) > 0, H(r) − H(r0 ) (x, y) ∈ / D(r0 ) ⇒ F (x, y) > r0 ⇒ H(F (x, y)) > H(r0 ) r > r0 ⇒ H(r) > H(r0 ) Cho r → ∞ ta P(x,y) [τ = ∞] ≥ H(F (x, y)) − H(r0 ) > ⇔ P{τ < ∞} < H(r) − H(r0 ) Vậy ta chứng minh xong Định lí 3.3 38 Sau ta chứng tỏ với tập compact bất kỳ, trình phần q trình chạm tới biên thời điểm hữu hạn Bổ đề 3.3 Cho D tập đóng R2+ Xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên dxt = xt [µ − λyt + ε1 (βxt − α)] dt + σ1 xt dW1 (t), dyt = yt [−α + βxt + ε2 (λyt − µ)] dt + σ2 yt dW2 (t), µ, λ, α β số dương với điều kiện ban đầu (x0 , y0 ) ∈ D0 , phần D Đặt τ = inf {t ≥ : (xt , yt ) ∈ ∂D}, thời điểm chạm biên tập D Khi E(x0 ,y0 ) τ < ∞ Chứng minh Xét hàm F (x, y) = βx − α ln x + λy − µ ln y + c, H = ecu với c số dương mà ta xác định sau Chú ý H không âm đơn điệu tăng Đặt Ft = F (xt , yt ) a = (σ12 α + σ22 µ) Khi dH(Ft ) = L(xt , yt ) + dMt M martingale trung bình khơng số hạng chuyển dịch cho hàm L(x, y) = cH(F (x, y)) a − | ε1 | (βx − α)2 + | ε2 | (λx − µ)2 + + c σ12 (βx − α)2 + σ22 (λy − µ)2 2 = cH(F (x, y)) a + cσ1 − | ε1 | (βx − α)2 + cσ2 − | ε2 | (λx − µ)2 2 Chọn số c cho c > max |ε1 | |ε2 | , σ12 σ2 Khi D tập bị chặn L liên tục nên tồn η = inf (x,y)∈D L(x, y) > Ta có τ E(x0 ,y0 ) H(Fτ ) = H(F0 ) + E(x0 ,y0 ) L(xt , yt )dt ≥ H(F0 ) + η E(x0 ,y0 ) τ , 39 và, sup H(F (x, y)) ≥ E(x0 ,y0 ) H(Fτ ) ≥ H(F0 ) + η E(x0 ,y0 ) τ, (x,y)∈D D bao đóng D E(x0 ,y0 ) τ ≤ sup H(F (x, y)) < ∞ (x,y)∈D Ta chứng minh xong Bổ đề 3.3 3.2 So sánh với kết khác Trong phần này, so sánh cách chi tiết kết với kết [20] Để tạo điều kiện thuận lợi cho so sánh này, phần sử dụng ký hiệu [20] Bảng cho tương ứng tham số Rudnicki nghiên cứu phương trình vi phân ngẫu nhiên chiều có liên quan đến phương trình chúng ta, với tiếng ồn Brown W1 = W2 Ông đồng thời đưa số khẳng định cho trường hợp W1 , W2 chuyển động Brown độc lập với Kết của ơng thu có liên quan đến hệ mà có ma trận khuếch tán suy biến Chúng ta nghiên cứu trường hợp mà W1 , W2 chuyển động Brown độc lập Phương pháp dựa ý tưởng [6] yêu cầu ma trận khuếch tán hệ khơng suy biến Do đó, so sánh với phần có liên quan đến [20] Rudunick [20, bổ đề 2] xây dựng nghiệm cho phương trình vi phân ngẫu nhiên nghiệm tốn tử Xem phương trình ơng (19)-(21) Điều tương đương với việc nhận nghiệm mạnh phương trình vi phân ngẫu nhiên (3), là, nghiệm hàm riêng chuyển động Brown W1 , W2 Đây ý tưởng thú vị, tiếp tục khai thác nhiều Rudnicki [20, bổ đề 5] sau đưa phương pháp chứng minh phần cho Định lí ơng, dựa hàm Khasminskii Chúng ta có điều tương tự [20, Định lí (III)] Định lí 3.3 chúng ta, [20, Định lí 1(I) ] điều kiện đủ khác với Định lí 3.2 40 Chúng ta chứng tỏ Bổ đề 3.4, dây, δc1 − µc2 = nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên (3) có tính ergodic điều kiện σ ρ Do đó, δc1 − µc2 > điều kiện đủ, điều kiện cần Phương pháp chứng minh dựa hàm bùng nổ có dạng F (x, y) = A1 x − A2 ln x + A3 x − A4 ln y + c Khi Ai > ∀i = 1, 2, 3, ta lấy c = A2 ln A2 −1 A1 + A4 ln A4 −1 A3 BẢNG : Hệ số tương ứng kí kiệu Rudninki[20] —————————— Trong báo Rudnicki[20] ——————————————– µ α λ β −γ µ α γ β δ −δ ν σ1 σ σ2 ρ ——————————————– Khi phương trình (3) viết thành dxt = xt (α − βyt − µxt )dt + σxt dW1 (t), dyt = yt (−γ + δxt − νyt )dt + ρyt dW2 (t) Vì F (x, y) > ngoại trừ điểm (x, y) = A2 A4 , A1 A3 (tại F (x, y) = 0) F (x, y) → ∞ (x, y) tiến đến biên R2+ Từ bổ để Itô áp dụng hệ trên, thu dFt = H(xt , yt )dt + dMt , Mt maritingale trung bình H(x, y) hàm bậc hai x y Định lý 3.4 Giả sử tìm thấy số dương A1 , A2 , A3 A4 hàm (4) cho H(x, y) = tập elip R2+ , H hàm trượt Điều kiện tương đương H 41 (i) H(x, y) > phần elip, (ii) H(x, y) < phần elip, bảo đảm H(0, 0) < 0, H(x, 0) < 0, H(0, y) < Khi nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên (3) có tính ergodic Chứng minh Chúng ta tiến hành theo cách chứng minh Định lí 3.1, xây dựng giới hạn thời điểm dừng cuả trở lại miền trung tâm, đó, thu tính ergodic việc sử dụng phương pháp [6] Và ta có điều phải chứng minh Rudnicki [20, Định lí (I) ], thu kết ổn định tiệm cận điều kiện đủ c1 > δc1 − µc2 > 0, δc1 − µc2 > c2 = γ + ρ2 Chọn số A1 = 1, A2 = k1 , A3 = A A4 = Ak2 , từ chỗ F (x, y) = x − k1 log(x) + A(y − k2 log(y)) + c Sau H(x, y) = −µ(x − k1 )2 − Aν(y − k2 )2 + (−β + Aδ)(x − k1 )(y − k2 )+ +(α−µk1 −βk2 )(x−k1 )−A(γ −δk1 +νk2 )(y−k2 )+ (σ k1 +Aρ2 k2 ) (8) Sau vài bước biến đổi đại số có kết 1 H(0, 0) = −k1 (α − σ ) + Ak2 (γ + ρ2 ) = −k1 c1 + Ak2 c2 2 Hàm H(x, y) viết dạng H(x, y) = −µx2 + (Aδ − β)xy − Aνy + c1 x + c2 y + d Đường đồng mức H(x, y) = elip (Aδ − β)2 − 4Aν < 0, elip tập R2+ H(x, 0) < H(0, y) < Hàm H(x, 0) hàm bậc hai x, đó, H(x, 0) < với x H(x, 0) = khơng có nghiệm thực, hệ số x âm Tương tự, H(0, y) < H(0, y) = khơng có nghiệm thực Do đó, tập hợp điều kiện tương đương với điều kiện (ii) Định lí 3.4 42 4µ(−c1 k1 + Ac2 k2 ) + (α + µk1 − Aδk2 )2 < 0, 4Aν(−c1 k1 + Ac2 k2 ) + (−Aγ + βk1 + Aνk2 )2 < 0, (−β + Aδ)2 − 4Aµν < Cuối cùng, lấy k1 = bδ Ak2 = bµ, với b số dương Vậy H(0, 0) = −b(δc1 − µc2 ) điều kiện Định lí 3.4 thỏa mãn δc1 − µc2 > 0, b > 0, α2 < 4µb(δc1 − µc2 ), [b(µν + βδ) − Aγ]2 < 4Aνb(δc1 − µc2 ) Do A b tùy ý, lấy A=b (µν + βδ) , γ cho bất đẳng thức trước giữ nguyên Như vậy, thu điều tương tự [20, Định lí 1(I)], là, tính ergodic nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên (3) Điều kiện (δc1 − µc2 ) > thay điều kiên (δc1 − µc2 ) ≥ Ta giả định phương trình vi phân cạnh tranh lồi tất định có nghiệm cố định R2+ Bổ đề 3.4 Giả sử (δc1 − µc2 ) = Khi hệ phương trình α − µk1 − βk2 = 0, γ − δk1 + νk2 = 0, có nghiệm dương (k1 , k2 ) Đặt A = β δ Nếu σ > ρ > thỏa mãn bất đẳng thức sau, nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên (3) có tính ergodic (σ k1 + ρ2 Ak2 ) < µk12 , 2 (σ k1 + ρ2 Ak2 ) < Aνk2 Chứng minh Phương pháp chứng minh sau xuất phát từ phương pháp chứng minh sử dụng Định lí 3.1, lần chọn số dương k1 , k2 , A, (8) cho elip H(x, y) = tập R2+ Khi thu thời điểm dừng xây dựng từ elip, ta sử dụng kết Battacharya làm Định 3.1 Ở (8), lấy k1 , k2 thỏa mãn 43 α − µk1 − βk2 = 0, γ − δk1 + νk2 = 0, k1 = βγ + αν , βδ + µν k2 = αδ − γµ βδ + µν Rõ ràng k1 > k2 > αδ − γµ > Chú ý 1 αδ − γµ = δ α − σ + 12 σ − µ γ + ρ2 − ρ2 2 = δc1 − µc2 + δσ + µρ2 = δσ + µρ2 dương, từ δc1 − µc2 = Bây H đơn giản hóa thành H(x, y) = −µ(x − k1 )2 − Aν(y − k2 )2 + (−β + Aδ)(x − k1 )(y − k2 )+ + (σ k1 + Aρ2 k2 ) Từ A = β , thấy H cịn có dạng đơng giản δ H(x, y) = −µ(x − k1 )2 − Aν(y − k2 )2 + σ k1 + Aρ2 k2 Chú ý số k1 , k2 A tất dương không phụ thuộc vào hệ số tiếng ồn σ ρ Tiếp theo quan tâm đến elip H(x, y) = 0, tập điểm (x, y) thỏa mãn µ(x − k1 )2 + Aν(y − k2 )2 = σ k1 + Aρ2 k := > 0, hoặc, tương đương (x − k1 )2 (y − k2 )2 + = /µ /Aν Đây tập R2+ điều kiện (σ k1 + ρ2 Ak2 ) < µk12 , 2 (σ k1 + ρ2 Ak2 ) < Aνk2 , thỏa mãn Vậy ta chứng minh xong Bổ đề 3.4 44 3.3 Thảo luận Chúng ta chứng tỏ rằng, điều kiện giới hạn cường độ tiếng ồn, nghiệm phương trình cạnh tranh lồi ngẫu nhiên (3) có tính ergodic Phương pháp chứng minh liên quan đến đối lượng hình học tự nhiên, elip Miền D, cho phía (7) chứng minh, đóng vai trị then chốt Nếu chứa phần R2+ , nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên (3) có tính ergodic Giờ ta xét trường hợp γ = δ = 0, ta có hệ hệ thú mồi dxt = xt (µ − λyt )dt + σ1 xt dW1 (t), dyt = yt (−α + βxt )dt + σ2 yt dW2 (t) Trong trường hợp này, (7) trở thành dFt = (σ12 α + σ22 µ)dt + σ1 (βxt − α)dW1 (t) + σ2 (λyt − µ)dW2 (t), và, đó, có số dịch chuyển dương hệ số tiếng ồn dương Trong trường hợp này, ta khơng thể kiểm sốt dịch chuyển Nghiệm hệ thú mồi ngẫu nhiên khơng có tính ergodic có tiếng ồn Thực vậy, thấy EF (xt , yt ) = (σ12 α + σ22 µ)t + F (x0 , y0 ) → ∞ t → ∞ Vì F (x, y) → ∞ (x, y) tiến tới biên R2+ , cặp (xt , yt ) tiến tới (trong xác suất) biên R2+ t → ∞ Tuy nhiên, kết khơng nói tới điểm biên mà (xt , yt ) tới: tiến tới (0, 0) xt tiến tới vơ Q trình thú mồi ngẫu nhiên khác biệt với trình cạnh tranh lồi ngẫu nhiên (3) Với tham số tiếng ồn σ1 > σ2 > 0, nghiệm phương trình thú mồi khơng có tính ergodic, nghiệm phương trình cạnh tranh lồi ngẫu nhiên (3) có tính ergodic với cường độ tiếng ồn đủ nhỏ khác Chúng ta giải thích phiên ngẫu nhiên (3) tích phân 45 Stratonovichvich thay tích phân Itơ Khi có dxt = xt (µ − λyt + γxt )dt ± σ1 xt ◦ dW1 (t) (9) dyt = yt (−α + βxt + δyt )dt ± σ2 yt ◦ dW2 (t) b(xt ) ◦ dWt ký hiệu tích phân Stratonovich Chúng ta xét trường hợp thêm vào bỏ tích phân Stratonovich cách riêng biệt, chúng dẫn tới kết khác Tích phân Strotonovich tích phân Itơ liên hệ với cơng thức b(xt ) ◦ dW (t) = db(xt ) b(xt )dW (t) dx Nếu hàm hệ số khuếch tán b(x) = σx b(xt ) ◦ dW (t) = σ xt + σxt dW (t) Do đó, (9) cho q trình Itơ tương đương dxt = xt (µ ± σ12 ) − λyt + γxt dt + σ1 xt dW1 (t), dyt = yt −(α ∓ σ22 ) + βyt + δyt dt + σ2 yt dW2 (t) Đây phương trình dạng (3) với hạn chế thêm µ ± σ12 > 2 α ∓ σ22 > Định lí 3.1 lần cho kết dạng Định lí 3.2, miễn tính dương điều kiện thỏa mãn Phiên yếu chúng σ1 > σ2 < Nếu hệ số tiếng ồn σ1 σ2 đủ nhỏ, q trình cạnh tranh lồi ngẫu nhiên (9) với tích phân Stratonovich ergodic Nếu hai tham số tiếng ồn q lớn, điều kiện tính ergodic khơng Karlin Taylor [12, trang 352] đưa vài nhận xét việc sử dụng tích phân Itơ so với tích phân Stratonovich áp dụng tích phân ngẫu nhiên Ở Bổ đề 3.4, làm yếu điều kiện Rudnicki [20] cho tính ergodic nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên (3) cho δc1 −µc2 ≥ Rudnicki có kết luận khác – trình tiệm cận ổn định – kết luận nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên (3) có tính ergodic 46 Kết luận Khóa luận nghiên cứu Mơ hình thú mồi ngẫu nhiên tính chất ergodic trình bày số vấn đề sau - Khái niệm hàm ngẫu nhiên, q trình đo tính chất trình ngẫu nhiên Wiener Khái niệm, cách xây dựng tính chất tích phân Itô, vi phân ngẫu nhiên Itô - Khái niệm phương trình vi phân ngẫu nhiên, định lý tồn nghiệm phương trình - Tính quy nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên Khái niệm hồi quy, hồi quy dương trình ngẫu nhiên - Tính chất ergodic nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên, cụ thể nghiên cứu tính chất ergodic mơ hình cạnh tranh lồi ngẫu nhiên làm nhiễu tiếng ồn trắng 47 Tài liệu tham khảo [1] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [2] Đặng Hùng Thắng (2009), Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục [3] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mơ hình xác suất ứng dụng, phần III: Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Bhattacharya, R.N (1978), "Criteria for recurrence and existence of invariant measure for multidimensional diffusions", Ann.Prob, 6, pp.541-553 [7] Chen, Z., Kulperger, R (2003), "A stochastic prey predator process and damping" In preparation [8] Chessa, S., Fujita Y.H (2002), "The stochastic equation of predator-prey population dynamics", Boll Unione Mat Ital Sez B.Artic Ric Mat, 5, pp.789-804 (in Italian) [9] Friedman, A (1973), "Wandering out to infinity of diffusion processes", Trans Am Math Soc., 184, pp.185-203 [10] Gard, T.C (2000), "Transient effects of stochastic multi-population models", in Electron J Differential Equat., Conf 05 (Proc Conf Nonlinear Differential Equations, Coral Gables, FL, 1999), eds S.Cantrell and C Cosner, Texas State University, pp.81-90 48 [11] Gard, T., Kannan, D (1976), "On a stochastic differential equation modeling of prey-predator evolution", J Appl Prob, 13, pp.429-433 [12] Karlin, S., Taylor, H (1981), A Second Course in Stochastic Processes, Academic Pree, New York [13] Khasminskii, R.Z., Klebaner, F.C (2001), "Long term behavior of solutions of the Lotka-Volterra system under small random perturbations", Ann.Appl.Prob, 11, pp 952-963 [14] King, A et al (1996), "Weakly dissipative predator-prey systems", Bull Math Biology, 58, pp.835-859 [15] Mangel, M., Ludwig, D (1977), "Probability of extinction in a stochastic competition", SIAM J Appl Math, 33, pp.256-266 [16] Manthey, R., Maslowski, B (2002) "A random continous model for two interacting populations", Apll Math Optimization, 45, pp.213-236 [17] Mao, X., Marion, G., Renshaw, E (2002), "Evironmental Brownian noise suppresses explosions in population dynamics", Stoch Process Appl, 97, pp.95-110 [18] Rafail Khasminskii (2012), Stochastic Stability of Differiential Equations, Spinger [19] Renshaw, E (1991), Modelling Biological Populations in Space and Time, Cambridge University Press [20] Rudnicki, R (2003), " Long-time behavior of a stochastic prey-predator models", Stoch, Process Appl, 108, pp.93-107 ... nghiên cứu Mơ hình thú mồi ngẫu nhiên tính chất ergodic trình bày số vấn đề sau - Khái niệm hàm ngẫu nhiên, q trình đo tính chất trình ngẫu nhiên Wiener Khái niệm, cách xây dựng tính chất tích... giải tích ngẫu nhiên bao gồm trình ngẫu nhiên, trình đo tính chất q trình ngẫu nhiên quan trọng- trình Wiener, đồng thời ta tìm hiểu khái niệm, tồn tích phân ngâu nhiên Itơ hàm ngẫu nhiên bị chặn... thang Cho {Ft }t≥0 họ lọc tự nhiên trình ngẫu nhiên Wiener W = {W (t), t ≥ 0}, f (t, ω) trình ngẫu nhiên thuộc N (0, T ) Định nghĩa 1.6 Quá trình ngẫu nhiên (hàm ngẫu nhiên) f (t, ω) ∈ N (0, T )