Bài tập hệ phương trình phép biến đổi tương đương : ễÊ_ =.lc BES Tee i aia —_ r® a mia aur i iba — : = ''' Sư x6 ae “wT FF eT a tia ais — es Ss Jj1x.ăaãm a me r , to _— ” = ——_——"E* + $F = FE mẽ Ww Eas cu ĐC =z ee i as ' 1s a = rs zi :) = nm = > Fr Fi ẵ km: EEZz UF = = =e c+— 71~ = Fs za htto://kinhhoa.violetvn HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI §1 VÀI PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phần chứng minh vài định lí phép biến đổi tương đương hệ phương trình Chúng sở cho việc giải hệ phương trình Trước hết ta nhớ lại : Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng nết có tập nghiệm Giải hệ phương trình thực liên tiếp phép biến đổi tương đương để đưa hệ cho hệ phương trình đơn giản Bây ta tìm hiểu vài phép biến đổi tương đương Để cho đơn giản ta chi phát biểu định lí hệ hai phương trình hai ẩn, song chúng hệ có số hữu hạn phương trình số hữu hạn ẩn Chúng cách phát biểu tổng quát phương pháp giải hệ phương trình học lớp Ta kí hiệu phương trình hai ẩn dang thitc F(x y)= G(x, y), F G biểu thức hai biến x y Nếu cho x = a, y = B, voi a, B la số thực F(œ, B), G(a, B) trở thành số thực Khi hai phương trình F,(x, y) = G¡Œ, y) Fa(x, y) = G2, y) tương đương ta viết F¡(x, y) = G¡Œ, y) © Fa(x, y) = Go(x, y) Bạn chứng tỏ hai hệ phương trình sau tương đương : a) a x =l —xy =6 a) ay a (2) x° 2y+l —xy =6 q ) (2) Nhận xét hai hệ thấy rằng, ta thay phương trình (1) phương trình (1) tương đương với phương trình (1) để hệ (II) Tổng quát ta có : ĐỊNH LÍ Nếu ta thay phương trình hệ phương trình tương đương với hệ tương đương với hệ cho 53 Bạn tìm hiểu cách chứng minh để vận dụng mà tự chứng minh định lí Chứng minh Giả sử ®Ð Peay (1) F,(x,y)=G(x,y) (D Ệ 3a (2) F, (x, y) = G, (x, y) (2) (1) © (1), giả sử (œ, ð) nghiệm (1) Khi R (œ,B) = G¡(œ,B) F, (a, B) = G; (œ, B) Vì (1) © (1) nên (œ, ðB) nghiệm (1) ; tức 1a, F, (a, B) = G, (a B) Do fF (œ,B) = G¡(œ,B) Điều chứng tỏ (œ, B) nghiệm cha (II) Tương tự, ta chứng minh (œ, 8) nghiệm (ID) O nghiệm (ï) Vậy Œ) © q -? 2Ì Hãy chứng minh hệ sau : HE QUA Mọi hệ phương trình dạng (I) đêu viết dạng th K3(x,y)=0 ĐỊNH LÍ Cho hệ phương trình (H1) F,( y))=0 (Xxx,y 1) F›(x,y)=0 (2) Néu G(x, y) z0, H(x, y) #0 với cặp số (x, y) thoả mãn điều kiện xác định hệ phương trình (HH) hệ (HH) tương đương với hệ a) ee F,(x,y).G(x, 54 | y) + Fy(x, y).H (x,y) = (1) (2) Chứng minh Dành cho bạn doc U HỆ QUA 1) Với hai số c¡ # 0, cạ#Ư ta có : k &y)=0 _ © F, (x,y) =0 ree ce =0 c,F, (x,y) +c ,F, (x,y) =0 Pee LE) (x,y) =0 F(x, y)+F, (x,y) =0 Định lí sở phương pháp cộng đại số 23 Ban phai chon G(x, y), H(x, y) định lí để từ định lí SUY phan 1) hệ ? Câu hỏi tương tự phần 2) hệ Ví dụ Dùng hệ định lí giải hệ phương trình : “eee x?+y°+2x~10y+6=0 — (1) ĐỘ: +3y?+4x-6y-4=0 (2) Giải Nhân hai vế (1) với —3 cộng vào (2), ta : x+y? +2x-l0y+6=0 (1) x? +y?42x-l0y+6=0 (1) —-2x+24y—-22=0 (2) x-l2y+l1=0 (3) v2 _ "¬ =|) 2, ty?+2x-l0y+6=0 x=12y-11 (1) (4) x=l2y-ll 29y?~50y+21=0 Từ :y ¬- 21 67 =1l,x=l;Y=—.x=—-— —- 29 Nghiệm hệ phương trình : a3), (-229 : 3) 29 55 Giải hệ phương trình : x? +2y? —2xy+x= —4y?+4xy+l= 13 — l = tương đương với phương trình ĐỊNH LÍ Nếu phương trình F„(x, y) x= g(y) thi (HII) ne tơng đương vớ hệ() | x= | g(y) 70) F,(x,y)=0 (2) F5(g(y),y) =0 Chitng minh Danh cho bandoc (3) (4) Dinh lí sở cho phương pháp thế; đẳng thức (3) phép rút x từ phương trình (1) ; cịn đẳng thức (4) phép biểu thức x vào phương trình (2) Ví dụ Giải hệ phương trình : een (1) yÌ~2xy=Š (2) Nghiên cứu cách giải Muốn rút x từ phương trình (1) phải coi y SỐ biết, giải phương trình bậc hai ẩn x Điều phức tạp Tương tự, rút y từ (1) rút y từ (2) e Vay rút x từ (2) : 2xy =y“— (2) x? ~3xy+y’ =11 ; (1) Sẽ chia hai vế (2') cho y ? — Cân thận trọng ! (Vì y nhận giá trị y =0 nghiệm) Nhưng y = khơng thoả mãn (2') nên chia hai vế (2) cho y : vˆ_-5 (3) 2y x= e Thay biểu thức x vào (1) : vˆ—5 x= 2y cố -5| Y 2y 56 (3) 2_ -3Ÿ yyy? 11=0 2y (4) ¬ hay (3) 2y y`+24y? —25 = (5) Tiếp tục giải hệ ta nghiệm hệ phuong trinh 1a: (2;-1), (-2; 1) Giải hệ phương trình: 2x?—xy+yˆ =4 x?— 3xy =7 Chú ý Khi giải hệ phương trình khơng sử dụng phép biến đổi tương đương nêu cần thận trọng để khỏi nghiệm lấy nghiệm ngoại lai Chẳng hạn : — Nếu chia hai vế cho biểu thức chứa ẩn nghiệm ; - Nếu nâng hai vế phương trình lên luỹ thừa bậc chấn xuất nghiệm ngoại lai Để tránh thiếu sót trường hợp ta nên làm sau : - Khi chia hai vế phương trình cho biểu thức chứa ẩn cần đảm bảo biểu thức khác giá trị ẩn làm cho biểu thức thành phần nghiệm hệ phương trình ; — Khi nâng hai vế phương trình lên luỹ thừa bậc chẵn nhân hai vế phương trình với biểu thức chứa ẩn cần thử lại giá trị tìm ẩn để loại bỏ nghiệm ngoại lai BÀI TẬP Giải hệ phương trình : a) c) 2x?-6xy+x—2y =—5 ; x2~3xy+2x+3y+l1=4 3x?—4y” + xy +30 =0 |2x?+xy =2 , b) d) x? +3xy -y? —x+3y =26 x” —3xy +y” —3xT— 3y +20 = 3x* —2y? +xy =42 2x?+3xy+y7 =2L 57 \ Hai hệ phương trình sau có tương đương khơng : por x-y=l va , -y? X-y x-y=l a Hãy giải thích ! Đối với hệ hai phương trình, mệnh đề sau hay sai : a) Nếu cộng vế hai phương trình hệ phương trình thu với hai phương trình cho lập thành hệ tương đương với hệ cho Hãy chứng minh cho câu trả lời Chẳng hạn, ® ir (x, y) = G, (x,y) ‹ (I) (1) F, (x,y) = Go(x, y) (2) (; (x, y) = G,(x,y) (1) F, (xy) + F(x, y) = G¡(x,y)+ G2 (X,y) ' (2') b) Nếu nhân vế hai phương trình hệ phương trình thu với hai phương trình cho lập thành hệ tương đương với hệ cho Hãy chứng minh cho câu trả lời Chẳng hạn, an (1) = G, (x,y) ' ie F,(x,y) = G2(x, y) (2) te (.y) (1) y) y) = G, (x, y).G2(x, F, (x, y).-F)(x, §2 VÀI DẠNG CƠ BẢN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2.1 Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai Phương pháp chung để giải hệ phương trình phương pháp Giải hệ phương trình : 2x+3y =13 ( 58 —4xy+y? —2x+y-1 =-5 (2') 2.2 Hệ phương trình đối xứng loại I Hệ hai phương trình hai ẩn gọi đối xứng loại I hoán vị hai ẩn, phương trình khơng đổi Nói cách khác, hệ phương trình F,(x,y) =0 ren (1) =0 (2) dugc goi la déi xing loai I néu F j(y, x) = F(x, y), Foy, x) = F(x, y) Ví dụ si x+y+xy=-7 (I) > x* +y* —3x-3y=16 Chú ý Từ định nghĩa ta thấy (a, B) 14 mot nghiém cua déi xứng loại I (B, œ) nghiệm Cách giải Ta biết : 1) Nếu xị, x; hai nghiệm phương trình ax” + bx +c =O thi: c a ve 2) Nếu JRItXQ=S XIX¿a phuong trinh = a (I) v, Pp? với điều kiện x—§x+P=0 S5“ - 4P>0 ` hai nahi xị, x¿ hai nghiệm cua - ŒD 3) Có thể biểu diễn tổng luỹ thừa bậc hai nghiệm qua X¡+x¿ X¡xa, chẳng hạn : x; + x3 =(X, +X) —2XIX¿; x; +x3 =(X, +x) —3X1X(X, +X), Xị 4.4 +X2 =[(XI +X¿} -2XIX¿ |“2 — 2x] 2,2 x3, V.V, 59 'Nhờ cách biểu diễn này, đặt : x+y=S (HD) xy=P biến đổi hệ phương trình đối xứng loại I thành hệ phương trình hai ẩn S P Nếu tìm S P từ đẳng thức (II) phương trình (II) ta tim x y Vi dụ 2, Giải hệ phương trình x+y+xy=-~7 {" Giải +yˆ—3x—3y= l6 Hệ (I) viết : x+y+xy =-~7 pr —2xXYy—3(x+y)= 16 Đặt xt+ty=S xy=P ` ta được: S+P=-7 S* -3S-2P-—16=0 15 P=-S-7 S*-S-2=0 P=-ầ7 5|S=-1 S=2 e Với S = ~1 P = -6 ; ta có hệ phương trình : x+y=-—l xy=-6 x y hai nghiệm phương trình hệ có hai nghiệm : x7 +x-6=0 (=3;2y, (2; -3) e Với S = 2thì P = -9; ta có hệ phương trình : x+y=2 xy=-9 60 | Suy Xị = —3, xạ =2 Do Giải tương tự ta hai nghiệm: (1-X10 ;1+10), (1+ v10 ;1-/10) Vậy hệ cho có bốn nghiệm : (-3 ; 2), (23-3), 1-10 ;1+A/10), (1+V10 ;1—+210) Qua ví dụ nêu lên : Phương pháp chung để giải hệ phương trình đối xứng loại I sau : ` ~ Đặt x+y=S i xy =P - Biến đổi hệ cho thành hệ phuong trinh doi voi hai dn S va P ; —Giải hệ phương trình vừa nhận hai ẩn S va P ; hee Re no age Lae yg a ~ Với môi cặp S va P tương ứng, tiếp tục giải hệ phương trình 22] pixty=s Pp xy = Giai phương trình : x? —xy ty? =3(x-y)? a 2x+2y=(x-y)Ÿ 2.3 Hệ phương trình đối xứng loại II Hệ hai phương trình hai ẩn gọi đối xứng loại II hốn vị hai ẩn phương trình biến thành phương trình _Nói cách khác, hệ phương trình fF (x,y) =0 F;œ,y)=0s q) (2) goi la déi xing loai II néu F j(y, x) = F(x, y), Foy, x) = Fy(x, y) Ví dụ Giải hệ phương trình : (1) 2x? ty =3y" -2 2y? +x=3x?-2 61 ...htto://kinhhoa.violetvn HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI §1 VÀI PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phần chứng minh vài định lí phép biến đổi tương đương hệ phương trình Chúng sở cho việc giải hệ phương trình Trước... Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng nết có tập nghiệm Giải hệ phương trình thực liên tiếp phép biến đổi tương đương để đưa hệ cho hệ phương trình đơn giản Bây ta tìm hiểu vài phép biến đổi. .. hệ thấy rằng, ta thay phương trình (1) phương trình (1) tương đương với phương trình (1) để hệ (II) Tổng qt ta có : ĐỊNH LÍ Nếu ta thay phương trình hệ phương trình tương đương với hệ tương đương