Rèn luyện và phát triển năng lực khai thác bài toán cho sinh viên sư phạm toán

10 34 0
Rèn luyện và phát triển năng lực khai thác bài toán cho sinh viên sư phạm toán

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Bài báo đề xuất các hướng khai thác bài tập toán trung học phổ thông và cách tổ chức rèn luyện phương pháp khai thác, đào sâu các bài toán cho sinh viên sư phạm toán trên các giờ học chuyên đề tự chọn. Mời các bạn cùng tham khảo.

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci 2011, Vol 56, No 4, pp 3-12 RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC KHAI THÁC BÀI TOÁN CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN Bùi Duy Hưng Trường Đại học Sư phạm Hà Nội E-mail: buiduyhungtb@yahoo.com.vn Tóm tắt Việc rèn luyện cho sinh viên sư phạm toán giải cách sáng tạo tốn chương trình Tốn trường trung học phổ thơng biện pháp góp phần nâng cao chất lượng đào tạo trường Đại học Sư phạm Bài báo đề xuất hướng khai thác tập tốn trung học phổ thơng cách tổ chức rèn luyện phương pháp khai thác, đào sâu toán cho sinh viên sư phạm toán học chuyên đề tự chọn Mở đầu Để nâng cao chất lượng đào tạo giáo viên giảng dạy Tốn trường phổ thơng, ngồi việc trang bị cho sinh viên sư phạm toán trường Đại học Sư phạm (ĐHSP) tri thức phương pháp dạy học, cần rèn luyện phát triển cho họ khả phương pháp giải cách sáng tạo tập thuộc chương trình mơn tốn trung học phổ thông (THPT) Qua khảo sát thực tế, nhận thấy nhiều sinh viên sư phạm toán chưa vận dụng thành thạo tri thức chương trình tốn THPT để giải tập, cịn nhiều lúng túng gặp phải tốn khó sách giáo khoa mơn Tốn, đặc biệt chưa biết phương pháp khai thác, tìm tịi sáng tạo từ tốn Để khắc phục tồn cho cần bồi dưỡng lực giải tập rèn luyện phương pháp khai thác tốn cho sinh viên sư phạm tốn thơng qua hệ thống tập toán THPT với biện pháp sư phạm phù hợp Trong báo đề xuất hướng khai thác tập toán cách tổ chức rèn luyện phát triển lực khai thác toán cho sinh viên sư phạm toán trường ĐHSP Nội dung nghiên cứu Tìm hiểu việc dạy học Tốn trường THPT cho thấy thực tế việc dạy học toán thường kết thúc học sinh có lời giải cho tốn Nhiều giáo viên toán chưa trọng tới việc khai thác đào sâu toán, Bùi Duy Hưng nhằm phát triển lực trí tuệ nói chung khả sáng tạo học sinh nói riêng Chúng tơi nhận thấy cần làm cho sinh viên sư phạm toán, trường ĐHSP nhận thấy cần thiết hiệu việc khai thác, đào sâu toán dạy học; trang bị cho họ phương pháp khai thác, đào sâu toán; áp dụng biện pháp cần thiết để rèn luyện cho họ thực hành thông qua hệ thống chọn lọc tốn thuộc chương trình mơn tốn THPT Làm đạt mục tiêu kép Thứ nhất, thông qua việc giải khai thác tốn sinh viên nắm kiến thức mơn tốn THPT, hiểu sâu sắc nội dung khó sách giáo khoa, trước mắt giảng dạy tốt đợt thực tập sư phạm trường phổ thơng Thứ hai, giúp cho giáo viên tốn THPT tương lai biết cách khai thác, đào sâu tốn, từ hướng dẫn, tổ chức học sinh thực cơng việc khai thác đó, góp phần phát triển tư sáng tạo cho học sinh nâng cao hiệu dạy học môn Tốn Việc khai thác tốn thực theo hướng sau: - Nhìn nhận tốn nhiều góc độ khác để tìm nhiều lời giải tốn, từ tìm lời giải hợp lí - Tiến hành hoạt động đặc biệt hóa, tương tự hóa, khái qt hóa để tìm kết mới, đề xuất toán - Tiến hành lật ngược vấn đề, đề xuất nghiên cứu toán đảo - Biến đổi tốn phát biểu chúng hình thức khác để tạo linh hoạt mềm dẻo tư học sinh, góp phần hình thành cho họ phẩm chất trí tuệ Cần phải ý rằng, kết nhận nhờ suy đoán tương tự, khái quát hóa hay lật ngược vấn đề giả thuyết, đúng, sai, cần kiểm nghiệm, chứng minh hay bác bỏ Với tốn khai thác đào sâu theo hướng khác để thu kết mới, độc đáo, từ đề xuất tốn Chúng tơi tiến hành trang bị rèn luyện phương pháp khai thác, đào sâu toán cho sinh viên sư phạm toán học chuyên đề tự chọn theo quy trình gồm bước sau: Bước Trang bị tri thức Giảng viên trang bị cho sinh viên tri thức lí luận khái quát hóa, đặc biệt hóa tương tự, dạng suy đốn thường gặp dạy học toán trường THPT Bước Nắm vững phương pháp Giới thiệu cho sinh viên hướng khai thác, đào sâu toán Tổ chức cho sinh viên tập luyện hoạt động khai thác, đào sâu toán theo hướng riêng rẽ tiếp cận toán theo nhiều hướng khác nhau, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, lật ngược vấn đề, chuyển đổi toán sang dạng khác Bước Thực hành theo nhóm Rèn luyện phát triển lực khai thác toán cho sinh viên Giảng viên lựa chọn toán tiềm thuộc số dạng điển hình sách giáo khoa mơn Tốn THPT Các nhóm sinh viên tiến hành khai thác, đào sâu tốn Họ thảo luận, bàn bạc với cách thức tiến hành công việc, kết đạt được, đề xuất giải toán Bước Tập luyện tổng hợp Giảng viên tổ chức điều hành cho sinh viên nhóm báo cáo kết khai thác, đào sâu toán chuẩn bị Trong bước này, việc khai thác đào sâu toán tiến hành cách toàn diện, hệ thống, theo hướng nêu trên, giúp cho sinh viên hiểu kỹ, khắc sâu dần thành thạo việc khai thác, đào sâu toán, nâng cao khả giải sáng tạo toán THPT Sau chúng tơi trình bày số tốn kết khai thác, đào sâu từ toán Bài tốn Chứng minh hình bình hành ABCD có đẳng thức: (2.1) AB + BC + CD + DA2 = AC + BD sau: * Thứ nhất, Có thể chứng minh đẳng thức (2.1) theo hướng sau: - Sử dụng công thức trung tuyến b2 + c2 a2 m2a = − b2 + c2 = a2 + 2m2a vào ∆ABC ACD - Sử dụng biểu thức véc tơ, để biến đổi vế phải đẳng thức (2.1) −→ −−→ AC + BD = AC + BD −→ −−→ = AB + BC −→ −−→ = AB + BC 2 −−→ −−→ + BC − DC −−→ −→ + BC − AB 2 - Sử dụng công thức Cosine ∆ABC ∆ABD - Áp dụng dịnh lí Pitago sau hạ đường vng góc AH DK lên đường thẳng BC * Thứ hai, khai thác tốn đặc biệt hóa: Chuyển từ hình bình hành hình vng hình thoi Kết thu thể toán sau Bài tốn 1.1 Chứng minh hình thoi cạnh a, tổng bình phương hai đường chéo 4a2 Đây toán dễ với học sinh lớp 10, áp dụng định lí Pitago để giải tốn mà khơng cần tới định lí Cosine Tuy nhiên nên nêu để sinh viên thấy mối quan hệ toán * Thứ ba, khai thác toán cách phát biểu giải toán đảo Bùi Duy Hưng Bài toán 1.2 Chứng minh tứ giác ABCD thoả mãn đẳng thức (2.1) ABCD hình bình hành Việc giải trực tiếp tốn 1.2 khơng dễ dàng với học sinh khá, giỏi lớp 10 THPT, trở lại toán phần sau * Thứ tư, khai thác toán khái qt hóa, chuyển từ hình bình hành sang tứ giác Khi nghiên cứu tứ giác ABCD ta áp dụng cơng thức tổng bình phương hai cạnh ∆ABC ∆ACD áp dụng hướng thứ Gọi M, N tương ứng trung điểm đường chéo AC BD tứ giác Khi áp dụng cơng thức đường trung tuyến cho ∆ABC ∆ACD có: AB + BC = AC + 2BM 2 DA2 + DC = AC + 2DM 2 Cộng hai đẳng thức được: AB + BC + CD + DA2 = AC + 2(BM + DM ) (2.2) Tương tự, ∆MBD có: BM + DM = BD + 2MN 2 (2.3) AB + BC + CD + DA2 = AC + BD + 4MN (2.4) Thế (2.3) vào (2.2) được: Từ kết phát biểu tốn cho tứ giác sau Bài toán 1.3 Chứng minh tứ giác ABCD với trung điểm hai đường chéo M N ln có đẳng thức: AB + BC + CD + DA2 = AC + BD + 4MN Nhận thấy đặc biệt hóa tứ giác ABCD cách cho điểm M trùng với điểm N tứ giác ABCD trở thành hình bình hành hệ thức (2.4) thành hệ thức (2.1) Từ nhận kết quả: tứ giác ABCD hình bình hành thoả mãn hệ thức (2.1) Vậy toán 1.2 giải nhờ vận dụng toán 1.3 Tiếp tục xem xét đẳng thức (2.4), nhận thấy đại lượng 4MN ≥ Từ đề xuất toán Bài toán 1.4 Chứng minh tứ giác bất kỳ, tổng bình phương bốn cạnh khơng nhỏ tổng bình phương hai đường chéo Rèn luyện phát triển lực khai thác toán cho sinh viên gian * Thứ năm, khai thác tương tự từ Hình học phẳng sang Hình học khơng Trong Hình học khơng gian, hình hộp thường coi hình tương tự với hình bình hành Hình học phẳng Khá nhiều tính chất hình bình hành nhờ phép tương tự chuyển thành tính chất hình hộp Người giáo viên tốn cần nắm điều này, từ có cách hướng dẫn học sinh lớp 11 dựa vào kết biết hình bình hành để giải tốn hình hộp Tính chất đề cập tốn chuyển thành tốn sau đây, có mặt sách giáo khoa Hình học lớp 11 THPT Bài tốn 1.5 Chứng minh tổng bình phương cạnh hình hộp tổng bình phương bốn đường chéo Việc giải tốn 1.5 giúp học sinh củng cố tri thức hình bình hành thấy mối liên hệ tri thức Hình học phẳng Hình học khơng gian Ngoài ra, giảng viên gợi ý để sinh viên tiếp tục khai thác tốn 1.3 theo hướng xét tứ diện ABCD, khái quát hóa trung điểm M, N đoạn AC, BD thành điểm chia đoạn theo tỉ số k Bài tốn Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên b Tính thể tích khối chóp S.ABC Việc giải tốn đơn giản với đa số học sinh lớp 12, cần tính diện tích tam giác ABC cạnh a đường cao SH nhờ định lí Pitago, kết thu là: √ V = a2 3b2 − a2 (2.5) 12 Khi đặc biệt hóa tốn 2, cho a = b hình chóp trở thành tứ diện nhận tốn sau: Bài tốn 2.1 Tính thể tích khối tứ diện có cạnh a Kết nhận thể tích khối tứ diện cạnh a √ 2a V = (2.6) 12 Khai thác toán theo hướng thay biến Chúng ta cho yếu tố hình chóp S.ABC thay đổi giữ nguyên yếu tố khác, thể tích V khối chóp hàm số biến Trước hết cố định cạnh đáy hình chóp a, cho cạnh bên SA = x thay đổi Khi thể tích khối chóp S.ABC tính √ a2 3x2 − a2 V = = f (x) (2.7) 12 Bùi Duy Hưng a Thể tích V khối chóp hàm số theo biến x thuộc khoảng ( √ ; +∞) Tính đạo hàm hàm số, nhận thấy f ′ (x) ln dương, từ suy hàm f (x) đồng biến khoảng xác định Đến có lẽ chưa thu kết thú vị Theo hướng khác, ta cố định cạnh bên SA = b cho cạnh đáy hình chóp thay đổi, đặt AB = x Theo cơng thức (2.5) ta có thể tích khối chóp là: √ x2 3b2 − x2 V = = f (x) (2.8) 12 √ Thể tích khối chóp giá trị hàm số f (x) với biến x thuộc khoảng ( ; b ) Tính đạo hàm f ′ (x) lập bảng biến thiên f (x) nhận giá trị lớn √ b3 thể tích V là: max V = , giá trị lớn đạt x = 2b Từ kết nhận ta đề xuất toán cực trị sau Bài toán 2.2 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy AB = x, cạnh bên SA = b Tính thể tích V khối chóp S.ABC theo x b Khi x thay đổi, tìm giá trị lớn V Một hướng khai thác toán biến đổi thành tốn mở sau Bài tốn 2.3 Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA = b, yếu tố cịn lại thay đổi Tìm GTLN thể tích V khối chóp S.ABC Bài tốn có tác dụng tốt việc rèn luyện phát triển tư học sinh THPT, đặc biệt tư sáng tạo, thường có nhiều hướng tiếp cận để tìm lời giải tốn Ở có ba hướng mà giảng viên cần gợi ý cho sinh viên thực tìm lời giải tốn - Hướng 1: Đặt AB = x tiến hành giải toán 2.2 - Hướng 2: Đặt SH = x √ √ 3 3b b Tính được: V = x(b − x2 ) Từ có max V = x = - Hướng 3: Gọi góc cạnh bên SA mặt đáy α Khơng khó để học sinh tính thể tích khối chóp là: √ √ 3 b cos2 α sin α b (1 − sin2 x) sin x V = = (2.9) 4 Sau đặt t = sin α, nhờ lập bảng biến thiên hàm số y = t − t3 với t ∈ (0; 1) nhận kết có Ngồi tiếp cận theo hướng khác nữa, chẳng hạn đặt AH = x, gọi góc cạnh bên SA đường cao SH β, góc ASB = 2α Chuyển từ tốn tính tốn thành tốn chứng minh bất đẳng thức (BĐT) Rèn luyện phát triển lực khai thác toán cho sinh viên Trở lại tốn 2, sau tính thể tích khối chóp S.ABC theo cơng thức (2.5) ta biến đổi biểu thức V sau: V = 24 (2.10) (2a2 )(2a2 )(3b2 − a2 ) Áp dụng BĐT trung bình cộng trung bình nhân cho ba số dương được: (2a2 )(2a2 )(3b2 − a2 ) ≤ 2a2 + 2a2 + 3b2 − a2 3 = a2 + b2 (2.11) (a2 + b2 )3 Dấu đẳng thức xảy 24 a = b Vậy toán ban đầu chuyển thành tốn BĐT hình học sau đây: Bài tốn 2.4 Khối chóp S.ABC có cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = b (a2 + b2 )3 tích V Chứng minh: V ≤ 24 Đến giảng viên khuyến khích sinh viên cách biến đổi khéo léo áp dụng BĐT để tìm thêm số tốn tương tự nêu sau đây: Bài tốn 2.5 Khối chóp đều√S.ABC với cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = b, tích V Chứng minh: V ≤ (a2 + 2b2 )3 60 Bài tốn 2.6 Khối chóp S.ABC với cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = b, (3a2 + b2 )3 tích V Chứng minh: V ≤ 120 Ngoài hướng xét trên, giảng viên gợi ý để sinh viên thực khai thác, đào sâu tương tự cho hình chóp tứ giác đều, ngũ giác khái qt hóa cho hình chóp n-giác Bài toán Cho ba số dương a, b, c tùy ý Chứng minh rằng: Từ (2.10) (2.11) nhận được: V ≤ ab bc ca + + ≥a+b+c c a b (2.12) - Để chứng minh (2.12) tiến hành theo nhiều hướng khác Dưới vài hướng phù hợp với học sinh lớp 10 THPT với trình độ trung bình Theo hướng thứ nhất, ta dùng phép biến đổi đại số đơn giản, quy đồng mẫu số vế trái, chuyển vế thực nhóm số hạng phù hợp sau: (2.12) ⇔ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ≥ abc(a + b + c) ⇔ 2a2 b2 + 2b2 c2 + 2c2 a2 − 2abc(a + b + c) ≥ ⇔ (ab − bc)2 + (bc − ca)2 + (ca − ab)2 ≥ (2.13) Bùi Duy Hưng BĐT (2.13) đúng, BĐT (2.12) chứng minh Dấu đẳng thức xảy khi: ab = bc = ca ⇔ a = b = c Theo hướng thứ hai, áp dụng BĐT trung bình cộng trung bình nhân hai số dương cho cặp số hạng vế trái (2.12) ab bc + ≥2 c a ab bc = 2b, c a bc ca + ≥ 2c, a b ca ab + ≥ 2a b c Cộng vế với vế ba BĐT rút gọn ta BĐT (2.12) bc ca ab = = ⇔ a = b = c Dấu đẳng thức xảy có: c a b Theo hướng thứ ba, từ BĐT quen thuộc: x2 + y + z ≥ xy + yz + zx, với ab bc ca x, y, z ∈ R, nhờ việc đặt: = x2 , = y 2, = z ta nhận (2.12) c a b Tiếp theo hướng khai thác, đào sâu (2.12), đề xuất tốn phù hợp với chương trình mơn tốn lớp 10 THPT - Trong toán cho giả thiết a, b, c số dương yêu cầu chứng minh (2.12) Theo hướng lật ngược vấn đề, ta đề nghị học sinh tìm điều kiện cần đủ số a, b, c khác để (2.12) Để tìm câu trả lời cần trở lại xem xét lời giải toán Theo hướng thứ tìm điều kiện tích abc phải số dương, theo hướng thứ hai khơng thể tìm điều kiện - Theo hướng đặc biệt hóa tốn bổ sung điều kiện ba số dương a, b, c Chẳng hạn, cho c = 1, cho a + b + c = 1, có ab bc ca thể cho + + = ta nhận toán sau c a b b a Bài toán 3.1 Cho hai số dương a, b Chứng minh: ab + + ≥ a + b + a b Bài toán 3.2 Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ ab bc ca của: T = + + c a b Bài toán 3.3 Cho số dương a, b, c thoả mãn a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 = 3abc Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b + c - Khi xem xét tìm kiếm BĐT tương tự với (2.12) cần ý tới mối liên hệ số mũ thừa số có mặt tử thức, mẫu thức vế trái vế phải BĐT Khơng khó để đề xuất tốn tương tự sau: Bài toán 3.4 Cho số dương a, b, c Hãy chứng minh BĐT a2 b b2 c c2 a + + ≥a+b+c c2 a b 10 (2.14) Rèn luyện phát triển lực khai thác toán cho sinh viên Bài toán 3.5 Cho số dương a, b, c Hãy chứng minh BĐT a3 b b3 c c3 a + + ≥a+b+c c3 a b (2.15) Bài toán 3.6 Cho số dương a, b, c Chứng minh: a3 b b3 c c3 a + + ≥a+b+c c3 a b (2.16) Có thể chứng minh (2.14), (2.15), (2.16) cách sử dụng BĐT trung bình cộng trung bình nhân cho số dương Chẳng hạn chứng minh BĐT (2.14) sau: Áp dụng BĐT trung bình cộng trung bình nhân cho số dương 2 a2 b b2 c a2 b b2 c a b b c + +c≥3 c = 3b ⇒ + ≥ 3b − c c2 a c2 a2 c a c2 a a2 b b2 c c2 a + ≥ 3c − a + ≥ 3a − b a2 b2 b2 c Cộng ba BĐT theo vế rút gọn (2.14) Ta nêu BĐT tương tự sau với số dương a, b, c: Tương tự có: a2 b b2 c c2 a + + ≥ a2 + b2 + c2 c a b (2.17) Đây BĐT có hình thức đẹp, nhiên bắt tay vào chứng minh nhận hồn tồn khơng dễ dàng Các phương pháp chứng minh thông thường đem áp dụng khơng đạt kết Khi tự nhiên nảy sinh nghi vấn: BĐT (2.17) sai? Ta thử tìm ba số dương a, b, c mà (2.17) sai Sau hồi thử với ba số dương khác nhau, chúng tơi tìm 11 thấy với a = 1, b = 2, c = vế trái (2.17) 52 + , vế phải 14 54 Vậy (2.17) sai với a = 1, b = 2, c = Như (2.17) không BĐT với a, b, c dương Tuy nhiên lại đặt câu hỏi: Với điều kiện số dương a, b, c (2.17) BĐT đúng? Đây vấn đề hay khó, đề nghị sinh viên khá, giỏi tiếp tục nghiên cứu - Bây ta chuyển sang tổng quát hóa BĐT (2.12) theo hướng sau: Thứ nhất, tăng số biến, nghĩa tăng số số dương có mặt (2.12) từ ba số thành n số, với n nguyên dương lớn Thứ hai, tăng số mũ thừa số có mặt vế (2.12) từ 1, 2, lên n Có thể nhận số BĐT tổng quát (2.12), số là: 11 Bùi Duy Hưng minh: Bài toán 3.6 Cho số dương a, b, c n số nguyên dương tùy ý Chứng an b bn c cn a + n + n ≥ a+b+c cn a b (2.18) Giảng viên đề nghị sinh viên chứng minh BĐT tiếp tục nghiên cứu giải trọn vẹn vấn đế đặt mà việc nghiên cứu còn dở dang Kết luận Qua thực tế giảng dạy chuyên đề Giải toán THPT cho sinh viên nhận thấy rằng: Việc rèn luyện phát triển lực khai thác, đào sâu toán THPT cho sinh viên sư phạm toán, trường ĐHSP cần thiết để nâng cao chất lượng đào tạo giáo viên tốn Việc thực thơng qua hệ thống tốn biện pháp sư phạm phù hợp học chuyên đề tự chọn buổi sinh hoạt nhóm sinh viên u thích giải tốn THPT Qua góp phần làm cho sinh viên nâng cao khả giải toán, sáng tạo toán thêm yêu thích cơng việc giảng dạy Tốn sau trường THPT TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Polia G, 2010 Sáng tạo toán học Nxb Giáo dục, Hà Nội [2] Polia G, 2010 Tốn học suy luận có lý Nxb Giáo dục, Hà Nội [3] Hoàng Chúng, 1969 Rèn luyện khả sáng tạo toán học trường phổ thơng Nxb Giáo dục, Hà Nội [4] Nguyễn Cảnh Tồn, 1992 Tập dượt cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học Nxb Giáo dục, Hà Nội ABSTRACT Training and developing ability of exploiting mathematical problems for prospective teachers of Mathematics Training pre-service teachers of Mathematics for solving mathematical problems creatively at Upper Secondary Schools is a way to develop the quality of training in universities of education This article discusses orientations of exploiting Mathematics exercises at Upper Secondary Schools and solutions to developing abilities of solving mathematical problems for prospective teachers of Mathematics in optional lessons in the Faculty of Mathematics in Hanoi National University of Education 12 ... xuất toán tương tự sau: Bài toán 3.4 Cho số dương a, b, c Hãy chứng minh BĐT a2 b b2 c c2 a + + ≥a+b+c c2 a b 10 (2.14) Rèn luyện phát triển lực khai thác toán cho sinh viên Bài toán 3.5 Cho. .. THPT cho sinh viên chúng tơi nhận thấy rằng: Việc rèn luyện phát triển lực khai thác, đào sâu toán THPT cho sinh viên sư phạm toán, trường ĐHSP cần thiết để nâng cao chất lượng đào tạo giáo viên. .. theo nhóm Rèn luyện phát triển lực khai thác toán cho sinh viên Giảng viên lựa chọn tốn tiềm thuộc số dạng điển hình sách giáo khoa mơn Tốn THPT Các nhóm sinh viên tiến hành khai thác, đào sâu

Ngày đăng: 25/11/2020, 20:58

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan