THCS.TOANMATH.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM 2020 Mơn thi: TỐN (chun) Dành cho thí sinh thi vào trường THPT chuyên Hạ Long Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm có 01 trang - ịà ùũ íá ắÃfô ơá'ẵ ợ ăừù ợ ă ù ăừợ òó ă ợ ¨ ¨ ë ¨õê ° ¨õì ° ¨ ï ° ă ê2à ă ă ờó ùồ ă ờó ỡồ ă ờó ỗổ ùũ ẻ-ơ ạ; ò ợũ èd ă ẵá ò ọ ợũ ịà ợũ ùũ íá á)4ạ ơđdá ăỡ ợăợ ợ ợ ợ ó ứ ơá ư8ữũ èd ạáÃe á{ ắÃeơ ăù ăợ ăớ ăỡ ơá< ~ ¨ìï õ ¨ìỵ õ ¨ìí õ ¨ìì ã ỵìị ° ợ ă Đ ó Đợ Đ ă ợũ Ã}à áe á)4ạ ơđdá ũ Đ ù ó ă ớĐ ù ỡ ịà ớũ íá ăồ Đ áà ư8 ơá$ẵ ơá< ~ ăợ ởĐ ợ ỡăĐ ớă ỡĐ ó ợộũ èd ạà ơđ@ áyơụ á< áyơ ẵ+ ắÃfô ơá'ẵ ể ó ă ợĐũ ò ịà ỡũ ịồ í ê2à ĩ ơ|à ỉ ứẹữ àl ẵẵ ơÃh ơôĐh òịồ òí ê ẵơ ơôĐh òĩ ê2à òĩ ọ òồ ĩị ọ ĩí ẹ ịí ơ|à ế ũ íá'ạ Ãáổ ùũ è' ạÃẵ ịíẹỉ ơÃhũ ợũ ếĩ ứẹữ ũ ó ỉịí ớũ ĩịí ịà ởũ èd ơyơ ẵ} ẵẵ ẵp ư8 ạôĐj ẳ)4ạ ứồ ắữ ẵá ắ ắữ ư8 ạôĐjũ ắ ợ THCS.TOANMATH.com ịà ùũ ùũ íá ă Đ Ư ó ăợ Đ ợ Ư ợ ó ợ ê ăĐƯ ờó ũ íá'ạ Ãá đtạ ù ù ù ù ừ ó ũ ă Đ Ư ăĐƯ ợũ íá ọ ă ọ ợ ơá< ~ ợỡ ứăợ ớă ùữ ứăợ ởă ùữ ợớ ó ổ ¨ỵ õ ¨ ï ¨ỵ õ ỵ¨ ï ï ỵðỵð ècá ạà ơđ@ ẵ+ ắÃfô ơá'ẵ è ó ứăợ ă ợữ ũ ứăợ ăữợợù ịà ợũ ùũ íá á)4ạ ơđdá ăợ ă ó ạáÃe ă ơád ảă ả ọ ợợùũ ợ ợ ó ợợũ íá'ạ Ãá hô á)4ạ ơđdá ẵ> ịà ớũ ùũ Ã}à áe á)4ạ ơđdá ù ăợ ớữ Đ ừ Đ ợ Đ ù ợ ỡ ợ ă ợứớ ốĐữă ùờĐ ộ ó ứă ợũ èd ẵẵ ư8 ạôĐj ăồ Đ ơá< ~ ỗăợ ùờă ỗờ ùờĐ ó ớă ó ợ ổ ợỡổ ứẹữ ũ ;à é ịà ỡũ íá ạÃẵ á; òịí ẵ> ơđ$ẵ ơ{ ỉ ỉịí ê t ơđạ ạÃẵ òịí ụứé ờó Þå Ýå Ø÷ị Ù;· Ĩ ÐÞ øĨ êã Þ÷å Ị é í ê2à ứẹữ ụ ứề ờó íữ ịể ẵsơ òí ơ|à íề ẵsơ òị ơ|à ạÃẵ òể òề ẵsơ áô ơ|à ẽồ ứẽ ờó òữũ ùũ íá'ạ Ãá ơ' ạÃẵ òé 5à ơÃhũ ợũ íá'ạ Ãá ểồ ềồ ẽ ơáqạ áạũ ớũ èđạ ơđ)3ạ á/ òé á{ ạÃẵ ẵ+ ể òềụ ẵá'ạ Ãá é ẽ ịí ũ ịà ởũ íá ăồ Đồ Ư õ ăĐ ù ù ĐƯ ăĐ ĐƯ ợ ĐƯ ù ăĐ ợ THCS.TOANMATH.com UBND TNH LAI CHU SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG PTDTNT VÀ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn thi: TỐN (mơn chun) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát ) Ngy thi: 17/07/2020 ăừợ ăừù ịà ùũ íá ắÃfô ơá'ẵ é ó ă ùũ ợũ èd ă ă ă ă ă ợ ổ ă ¨ ° ỵ ¨ ° õ° ị ¨ ỵ ¨ ợ é é ó ùũ ịà ợũ ùũ íá éđắ ẵ> á)4ạ ơđdáổ Đ ó ớăợ Đ ó ờă ợ ợũ íá á)4ạ ơđdáổ ăợ ờă ợ ù ó ổ ơá< ~ ăớù ăớợ ọ ộợ ịà ớũ íá ứẹồ ẻữ ơđ? ứịồ í ê2à ẹì ơ|à ì ò ì ù ứẳữũ ăù ăợ ò àl áà ơÃh ơôĐh òị ê òí ịíứìị ọ ìíữ ẳ êô:ạ ạ>ẵ òịồ òí z )/ơ ê ũ ẳ ùũ íá'ạ Ãá ơ' ạÃẵ ẹìị ê ơ' ạÃẵ ẹì í ẵẵ ơ' ạÃẵ 5à ơÃhũ ũ ợũ íá'ạ Ãá ì ớũ ẽô ẹ ơđc ẵ+ ò ịà ỡũ Ã}à á)4ạ ơđdáổ ợăợ ẹò òịồ òí z )/ơ ơ|à é ê ẽũ èd ê@ òé ẽ á< áyơũ ù ăợ ớă ợ ó ợăợ ợă ừ ăợ ă ợũ ịà ởũ íá ắồ ẵ ắ ư8 ẳ)4ạ ắÃhơ ắ ẵ ắ ắẵ ẵ ó ờắẵũ íá'ạ Ãá ù ù ù ợừ ợ ợ ắ ẵ ớổ THCS.TOANMATH.com ịà ùũ ùũ íá ắÃfô ơá'ẵ ăứ ¨ õ ï÷ ø ¨ Ð ã õ ï ¨ ă ợ ợữ ă ù ă ă é ọ ốũ ợũ íá ứữ ó ợ ỡ ơcá ẽ ó ứùữ ứợữ õ ï ° ° ïø ỵ² õ ï õ ỵ² ùữ ứỡữũ ịà ợũ ẹăĐ ;à òồ ị j ơđ*ẵ ááũ èd ăằơÃnơữũ ợũ Ã}à áe á)4ạ ơđdá ứẳữ ổ Đ ó ă ỡ ứ ờó ữ ê đắ ứé ữ ổ Đ ó ợăợ ũ ứẳữ ê ứé ữồò ê ị z )/ơ ádá ẵáÃhô êô:ạ ạ>ẵ ẵ+ ò ê ị òịị ò ắtạ ùở ẵợ ăợ Đ Đ ă ó ớăĐ ũ ăĐ ợ Đ ăớ ó ớăĐ ịà ớũ ùũ Ã}à á)4ạ ơđdá ứ ăừớừ ợũ íá'ạ Ãá á)4ạ ơđdá ăợ ạà ơđ@ ẵ+ ũ ;à ăù ăợ ạà ơđ@ á< áyơũ ứợ ăữứờ ợă ùữ ă ứ ợă ùớữ ó ợổ ùữợ ó ứ ă w ư8 ữ ô: ẵ> ạáÃe ê2à ;à ăù ăợ ụ ơd ăợ ứẹữ ê ứẹ ữ ịà ỡũ ò ê ị ẹ t ạà ứẹ ữ òị ụ êm ẵẵ ơÃh ơôĐh ể íồ ể ĩ ứẹữ ứ íồ ĩ ĩ ứẹ ữ òí ê òĩ ơđ? ứẹ ữ z )/ơ ơ|à ê ứ ê àá:ạ ơđ.ạ ê2à ò íĩ ê ẵsơ áô ơ|à ì ũ ùũ íá'ạ Ãá ơ' ạÃẵ ịíì 5à ơÃh ê ì ịĩ ó ịì òĩũ ợũ íá'ạ Ãá ì ớũ íá'ạ Ãá àáà ể ũ òị íĩ ịà ởũ ùũ èd ơyơ ẵ} ẵẵ ạà ơđ@ ạôĐj ẵ+ ă ê Đ ơá< ~ ợợù ăợ ợĐ ợ ợợứợăĐ Đữ ó ợợợổ ợũ íá ăồ Đồ Ư ắ ư8 ơá$ẵ ẳ)4ạụ ơd ạà ơđ@ á< áyơ ẵ+ ắÃfô ơá'ẵ ợăợ ăĐ ợĐ ợ ợĐ ợ ĐƯ ợƯ ợ ợƯ ợ Ưă ợăợ ó ừ ổ ă Đ ợƯ Đ Ư ợă Ư ă ợĐ ịà ùũ íá ắÃfô ơá'ẵ é ó ăừợ ăừù ă ă ă ¨ í ỵ ỉ ¨ ¨ ° ¨ ỵ ° ă ợ ă ợ ổ ùũ ẻ-ơ ạ; ắÃfô ơá'ẵ é ũ ợũ íá'ạ Ãá é ù ũ ộ ịà ợũ ùũ Ã}à á)4ạ ơđdá ăợ ùợ ó ớă ăợ ởũ ợũ íá á)4ạ ơđdá ăợ ứ ợ ùữă ạáÃe ẵ+ á)4ạ ơđdá ứùữụ ơd ẽó ợ ó ứùữ ứ ê2à ơá ư8ữũ;à ăù ăợ áà ợ ăù ăợ ăợ ăù ịà ớũ íá ắồ ẵ ẵẵ ư8 ơá$ẵ àá:ạ { ơá< ~ ắ ẵ ó ớổ èd ạà ơđ@ á< áyơ ẵ+ è ó ứ ùữớ ứắ ùữớ ứẵ ùữớ ũ ịà ỡũ èd ơyơ ẵ} ẵẵ ư8 ạôĐj ẳ)4ạ ẵá ể ó ỡ ẵáà áhơ ẵá ộ ũ ịà ởũ òịí ứẹữ ò ê ẵsơ ẵôạ á< òị ơ|à ứ ò ê ị ứẹữ z )/ơ ơ|à ể ê ề ũ ;à ơÃh ơôĐh ơ|à ị ê í íá'ạ Ãá đtạổ ùũ íòề ịể òồ ể ịí ịíề ũ ịồ ểồ ẳ ẳ ẳ ẵsơ áà ể í ê ịề ũ ịà ùũ ùũ ẻ-ơ ạ; ắÃfô ơá'ẵổ ỗ ứữ ò ã ° ị ¿ í ° ° í ê ° ứắữ ị ó ù ợ ợừ ố ũ ùừ ợ ợũ Ã}à á)4ạ ơđdá ảăợ ớă ùả ó ớũ ịà ợũ ùũ íá á)4ạ ơđdá ăợ ă ù ó ứ ơá ư8 ữũ èd ăù ăợ ơá< ~ ăợù ăợợ ỡ ứăù ăợ ữ ó ởũ ị ợũ ể5ơ ẵ : ăô:à ẳ?ạ ơđj 5ơàá-ẵ ư:ạ ơ( ắh ò í ẵẵá ắh ị ù àụ ơá3à ạà ẵ : ăô:à ẳ?ạ á4 ơá3à ạà ạ)/ẵ ẳ?ạ á-ơũ ècá êv ơ8ẵ đÃjạ ẵ+ ẵ :ụ ắÃhơ êv ơ8ẵ ẵ+ ẳ?ạ )2ẵ ỡ àủáũ ịà ớũ ứẹồ ẻữ êm áà ơÃh ơôĐh òịồ òí ịồ í ịí ể ứ ể àáẵ ị ụ ể àáẵ í ữụ ơ( ể àl ể ì ụ ể ế ụ ể é z )/ơ êô:ạ ạ>ẵ ê2à òị ụ òí ụ ịí ứì ợ òịồ ế ợ òíồ é ợ ịíữũ ò ùũ íá'ạ Ãá đtạổ ể éế ó ể ịíũ ểéế ũ ợũ íá'ạ Ãá đtạổ è ạÃẵ ể ìé ể ơđj ẵôạ á< ịí ểì ểế ểé ịà ỡũ ùũ Ã}à áe á)4ạ ơđdá ứă Đữ ứĐ ợ ợĐữ ó ă Đợ Đ ó ợ ù ũ ợũ íá ắ ư8 ăồ Đồ Ư ăợ ợĐ ù ó Đ ợ ợƯ ù ó Ư ợ ợă ù ó ổ ècá ạà ơđ@ ẵ+ ắÃfô ơá'ẵ ò ó ăù Đ ù Ư ù ũ ịà ởũ ùũ èd ẵẵ ư8 ạôĐj ă ê Đ ơá< ~ổ ăĐợ Đ ợ ăợ ăĐ ợă Đ ó ũ ợũ íá ạÃẵ òịí ứẹữ ũ èà á{ ạÃẵ ẵ+ ạ>ẵ ò ũ íá'ạ Ãá đtạ òị òí ọ ợòĩũ ứẹữ ơ|à ĩ S GIO DC V O TO BÌNH DƯƠNG ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUN NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn Tốn chun Ngày thi 10/7/2020 Thời gian 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình    x  2020  x  2019  x  x  2019  2020  4039 b) Cho hai số thực m, n khác thỏa mãn 1   Chứng minh phương trình: m n  x2  mx  n x  nx  m  ln có nghiệm Câu (1,5 điểm) Với số thực x, y thay đổi thỏa mãn  x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P   x  y    x  y  xy   Câu (2,0 điểm) a) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn phương trình x  xy  y  x y b) Với a, b số thực dương thỏa mãn ab  a  b  Chứng minh rằng: a b  ab   2 1 a 1 b 1  a 1  b  Câu (3,5 điểm)     900 nội tiếp đường trịn O bán kính R, M điểm nằm cạnh Cho tam giác ABC cân A BAC BC cho BM  CM Gọi D giao điểm AM đường tròn O với  D  A , H trung điểm đoạn thẳng BC Gọi E điểm cung lớn BC , ED cắt BC N a) Chứng minh MA  MD  MB  MC BN  CM  BM  CN b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD Chứng minh ba điểm B, I , E thẳng hàng c) Khi AB  R, xác định vị trí M để 2MA  AD đạt giá trị nhỏ HẾT LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu a) Điều kiện: x  2019 Nhân hai vế phương trình cho   4039  x  x  2019  2020  4039 x  2020  x  2019, ta được:  x  2020  x  2019   x  2020  x  2019    x  2020 x  2019    x  2020 x  2019  x  2020        x  2019 1   x  2019 1   x  2020 1   x  2019     x  2020  x  2020  So với điều kiện ban đầu ta thấy x  2020 nghiệm phương trình b) Ta có 1    m  n  mn m n Phương trình tương đương: x  mx  n  1 x  nx  m  2 Phương trình 1 2 có 1  m2  4n 2  n  4m Ta có: 1  2  m  n2  4m  4n  m  n  2mn  m  n  Suy hai số 1 2 lớn Do hai phương trình 1 2 ln có nghiệm Suy phương trình cho ln có nghiệm Câu Ta có: P   x  y    x  y  xy     x  y    x  y     x  y 1    y  x 1    y  x 1 Đẳng thức xảy        1  x  y    x  0; 4 Chẳng hạn x  2; y  x  3; y  Vậy giá trị nhỏ P đạt y  x 1 x  0; 4 Câu a) Ta có x y  x  xy  y  y  x y Mặt khác x y  x  xy  y  x  y  x Suy ra: x  y x   y Với x  y, ta có: 3x  x  x   y  x   Với x   y, ta có: x  x   x    x  1  Với x  1, ta có: y  1 Với x  1, ta có: y  Vậy phương trình cho có ba nghiệm  x; y   0;0 , 1; 1 , 1;1 b) Ta có: ab  a  b    a  a  ab  a  b  a  ba  1 Tương tự  b  a  bb  1 Suy ra: a b a b    a  b  a  ba  1 a  bb 1   2ab  a  b  ab  a  b1  a 1  b a  b1  a   a  b1  a   1  a 1  b  ab 1  a 1  b  Suy điều phải chứng minh Câu  chắn cung   AC  a) Ta có:  ABM  MDC AMB  CMD Suy BMA  DMC đó: MA MB  MC MD  MA  MD  MB  MC   ACE  nên ABE  ACE ABE ACE có AE cạnh chung, AB  AC ABE     ACE   ABE  ACE  900 (do tứ giác ABEC nội tiếp) Suy ABE Câu 1: Lời giải tham khảo a b c Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện + + = 2020 b+c c+a a+b  a2 b2 c2  P  + + Tính giá trị biểu thức=  : (a + b + c) b+c c+a a+b Hướng dẫn giải  a2 b2 c2  P  = + +  : (a + b + c) b+c c+a a+b   a   b   c  = a  + − 1 + b  + − 1 + c  + − 1   c+a   a+b  a + b + c  b+c a+b+c a+b+c  a+b+c  =  a − a + b −b+c − c  b+c c+a a+b   a+b+c b c     a = ( a + b + c )  + +  − ( a + b + c ) b+c a+c a+b   a+b+c a b c −= 2020 −= 2019 + + b+c a+c a+b (2,5 điểm) = Câu 2: a) Giải phương trình 2x2 + x + + 2x2 − x + = x + 2  y − xy = x − x + b) Giải hệ phương trình   y = x + x − x + Hướng dẫn giải x2 + x + + x2 − x + = x + a Điều kiện x ∈  x2 + x + > a − b2 a = Đặt  ⇒ = x+4 2x2 − x + > b = Khi phương trình trở thành a − b2 a+b = ⇔ 2(a + b) = (a − b)(a + b) ⇔ a − b = (do a + b > 0) Do 2x2 + x + − 2x2 − x + = ⇔ 2x2 + x + = + 2x2 − x + ⇔ x2 + x + = + x2 − x + + 2x2 − x +  x ≥ −2 ⇔ 2x2 − x + = x + ⇔  2 4(2 x − x + 1) = x + x +  x ≥ −2 x =   x ≥ −2  x = ⇔ ⇔  ⇔ x = x x − = 8   x =     8 Vậy S = 0;   7 b  y − xy = x − x + 1(1)   y = x + x − x + 1(2)  y − x = 3x −  y = x − Từ phương trình (1) ta có ( y − x) = (3 x − 1) ⇔  ⇔  y − x =1 − x  y =1 − x Với = y x − , thay vào (2) ta (4 x − 1) = x + x − x + ⇔ x − x + x = ⇔ x( x − x + 7) = 0⇒ y = −1 x = x =  ⇔ ⇔  x =1 ⇒ y =3  x − 8x + =  x = ⇒ y = 27 Với y = − x , thay vào (2) ta (1 − x) =x3 + x − x + ⇔ x3 + x + x =0 ⇔ x( x + x + 3) =0  x = ⇒ y =1 x = ⇔ ⇔  x =−1 ⇒ y =3  x + 4x + =  x =−3 ⇒ y =7 S Vậy = Câu 3: {(0;1), (0; −1), (1;3), (7; 27), (−1;3), (−3;7)} (1,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < BC < CA) nội tiếp đường tròn ( O ) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt ( O ) A1 Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( O ) B1 Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt ( O ) C1 Chứng minh đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vng góc với BC , CA, AB đồng quy Hướng dẫn giải A H B M A1 K O C Gọi H trực tâm tam giác ABC OH cắt đường thẳng qua A1 , vng góc với BC điểm K Gọi M trung điểm AA1 OM ⊥ AA1 Suy OM ⊥ BC Mặt khác, tứ giác AHKA1 hình thang AH  A1 K nên ta có OM đường trung bình, kéo theo O trung điểm HK hay nói cách khác, đường thẳng qua A1 , vng góc với BC qua điểm đối xứng với trực tâm H tam giác ABC qua O Rõ ràng điểm bình đẳng với B, C nên hai đường qua B1 , C1 vng góc với CA, AB qua K Vì nên ta có đường thẳng đề đồng quy K Câu 4: a) b) Câu 5: a) (2,0 điểm) a + b2 ( a − b) a) Cho số thực a, b Chứng minh rằng: ≥ ab + a + b2 + 2 b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b ≤ 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = b − a + + a b Hướng dẫn giải a + b2 ( a − b) Cho số thực a, b Chứng minh rằng: ≥ ab + a + b2 + 2 Ta có: 2 a − b) a − b) a − b) ( ( ( a + b2 ≥ ab + 2 ⇔ ≥ 2 2 a +b +2 a +b +2 21  ⇔ (a − b)  − 2 ≥0  a +b +2 Cho hai số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b ≤ 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = b − a + + a b 20 20 20 Ta có: −a ≥ b − nên Q = b − a + + ≥ b + b − + + + = 2b − + 3−b b a b 3−b b 20 20 + 7b − 18 = 16 = (3 − b) + + 7b + − 18 ≥ ( − b ) 3−b b 3−b b ⇒ Qmin = 16 20  5 ( − b ) = 3−b Dấu xảy  1⇒a= ⇒b= 7b =  b (2,0 điểm) Đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC , CA D, E , F Kẻ đường kính EJ đường trịn ( I ) Gọi d đường thẳng qua A song song với BC Đường thẳng JD cắt d , BC L, H a) Chứng minh: E , F , L thẳng hàng b) JA, JF cắt BC M , K Chứng minh: MH = MK Hướng dẫn giải Ta có JE đường kính ( I ) nên = 90° tam giác HDE vuông D JDE L A T J Chú ý BD = BE , tiếp tuyến F kẻ từ B đến ( I ) nên BD = BH (tính chất D I trung tuyến ứng với cạnh huyền) Do tam giác BHD cân B H B E M C Vì AL  BH nên hai tam giác ADL BDH đồng dạng, kéo theo ADL cân A hay AL = AD = AE  = FCE  , mà hai tam giác ALF , CEF cân có góc đỉnh Vì AL  CE nên LAF  , kéo theo L, F , E thẳng hàng nên chúng đồng dạng Suy  AFL = CFE K b) Kéo dài JF cắt d T tương tự câu a, ta có T , D, E thẳng hàng Câu 6: AT = AD = AF = AL AL AJ AT Theo định lý Thales với d  BC = = , mà AT = AL nên MH = MK MH JM MK Tìm tất số nguyên dương x, y thỏa mãn 3x − y = Hướng dẫn giải x Ta có = y + = ( y + 1)( y − y + 1) Do đó, tồn số tự nhiên u , v cho 3u  y + =  3v  y − y + = Vì y + > nên 3u > hay u ≥ Rút = y 3u − , thay vào phương trình dưới, ta có (3u − 1) − (3u − 1) + = 3v hay 32u − ⋅ 3u + = 3v ⇔ 32u −1 − 3u + = 3v −1 Vì vế phải nguyên nên ta phải có v − ≥ hay v ≥ Tuy nhiên, v − > 3v −1 chia hết cho 3, vế trái không chia hết cho 3, vơ lý Do đó, v = hay y2 − y +1 = ⇔ y2 − y = Giải y = Thay vào đề bài, ta 3x = y + = nên x = Vậy nên tất nghiệm phương trình cho ( x, y ) = (2; 2) HẾT CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG CHUN NĂM 2020 Mơn thi: Tốn (Dùng riêng cho thí sinh thi vào chun Toán, chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài (2,0 điểm) 2= x3 3= y3 z3  Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện:  x + y + z =+ 12 + 16  xyz >  Tính giá trị biểu thức P = 1 + + x y z Bài (2,0 điểm) Xét phương trình bậc hai ax + bx + c = (1) Trong a, b, c số nguyên dương Biết điều kiện sau thỏa mãn: phương trình (1) có nghiệm; số a 2020b chia hết cho 12; số c + chia hết cho c + Hãy tìm giá trị lớn tổng a + b + c Bài (2,0 điểm) Tìm số nguyên a nhỏ cho bất đẳng thức x + x − x + a ≥ với số thực x Bài (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn ( O ) có AB > BC Một đường tròn qua hai đỉnh A, C tam giác ABC cắt cạnh AB, BC hai điểm K , N (O ) (K, N khác đỉnh tam giác ABC ) Giả sử đường tròn đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt giao điểm thứ hai M với M khác B Chứng minh rằng: a) Ba đường thẳng BM , KN , AC đồng quy điểm P b) Tứ giác MNCP nội tiếp c) BM − PM = BK ⋅ BA − PC ⋅ PA Bài (1,0 điểm) Cho hai số A, B có 2020 chữ số Biết số A có 1945 chữ số khác bao gồm 1930 chữ số bên trái 15 chữ số ngồi bên phải, số B có 1945 chữ số khác bao gồm 1930 chữ số bên trái 24 chữ số bên phải Chứng minh ƯCLN ( A; B ) số có khơng q 1954 chữ số - HẾT - LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài Từ giả thiết thứ nhất, ta suy x, y, z ba số dấu Mà xyz > nên ba số x, y, z số dương Bây giờ, đặt 2= x3 3= y 4= z k (k > 0) ta có: 1 1 x3 y z 2x + 3y + 4z = + + = k + +  x y z x y z Mà: + 12 + 16= 4k 4k 4k + 3 + 3= x y z 1 1 4k  + +  x y z Do đó, giả thiết thứ hai tốn viết lại thành Từ đây, ta dễ dàng suy P = 1 1 k  + +=  x y z 1 1 4k  + +  x y z 1 1 + + = x y z Bài Từ giả thiết, ta suy a, b số có chữ số Vì c + chia hết cho c + nên (c + 3)(c − 3c + 9) − (c + 3) = 24 chia hết cho c + ( ) Do phương trình (1) có nghiệm nên biệt thức không âm, tức b − 4ac ≥ ( 3) Do a 2020b chia hết cho 12 nên b chia hết cho a + b + chia hết cho 4 Do b chia hết cho b nguyên dương nên b = b = • Với b = , ta có ac ≤ (do (3)) a + chia hết cho (do (4)) Kết hợp với (2), ta tìm cặp (a; c) thỏa mãn (1;1), (1;3) (4;1) • Với b = , ta có ac ≤ 16 (do (3)) a chia hết cho (do(4)) Kết hợp với (2), ta tìm cặp (a; c) thỏa mãn (3;1), (3;3), (3;5), (6;1) (9;1) So sánh kết quả, ta thấy a + b + c lớn 18, đạt khi= a 9,= b c = Bài Cho x = 23 23 , ta a − Mà a số nguyên nên a ≥ ≥ , tức a ≥ 16 16 Mặt khác, với a = , ta có x + x − x + 2= x + 2( x − 1) ≥ 0, ∀x ∈  Vậy a = số nguyên nhỏ thỏa mãn yêu cầu đề Bài a) Vì tam giác ABC khơng cân A nên AC , KN cắt nhau, AC , BM phải cắt Gọi P giao điểm BM AC Ta có ∠CPM = ∠APB = 180o − ∠ABP − ∠BAP = (180o − ∠KBM ) + (180o − ∠CAK ) − 180o = ∠MKN + ∠CNK − 180o = 360o − ∠CNM − 180o = 180o − ∠CNM Suy tứ giác CNMP nội tiếp Từ đây, với ý tứ giác ACNK , ABMC nội tiếp, ta có ∠CNP = ∠CMP = ∠CAB = ∠CAK = ∠BNK Mà hai góc CNP BNK vị trí đối đỉnh nên ba điểm K , N , P thẳng hàng Vậy AC , BM KN đồng quy P b) Theo câu a), ta chứng minh tứ giác MNCP nội tiếp c) Gọi ( I ),( J ) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC , BKN ∠BKN = ∠NCA Mà hai góc vị trí so le Vẽ tiếp tuyến Bx, By theo thứ tự ( J ),(O ) Ta có ∠xBN = nên ta có Bx  AC Mà JB ⊥ Bx nên BJ ⊥ AC Tương tự, ta có ∠YBA = ∠BCA = ∠NCA = ∠BKN nên By  KN , dẫn đến BO ⊥ KN Mặt khác, theo tính chất đường nối tâm hai đường trịn vng góc với dây cung chung, ta có OI ⊥ BM , IJ ⊥ KN OI ⊥ AC Do BJ  OI (cùng vng góc với AC ) OB  IJ (cùng vng góc với KN ) nên tú giác BOIJ hình bình hành Hệ OJ qua trung điểm BM (tính chất đường trung trực), nên OJ chứa đường trung bình tam giác BIM Suy OJ  IM , mà OJ ⊥ BM nên IM ⊥ BM Kẻ tiếp tuyến BS CP đến đường trịn ( I ) hình vẽ Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông BIM PIM , BIS PIT , ta có BM − PM = ( BI − IM ) − ( PI − IM ) = BI − PI = ( BS + IS ) − (( PT + IT ) Mà IS = IT nên BM − PM =BS − PT (1) Dễ thấy cặp tam giác BSA BKS , PAT PTC đồng dạng (g-g), ta suy BS= BA ⋅ BK , PT= PC ⋅ PA (2) Từ (1) (2), ta suy BM − PM = BA ⋅ BK − PC ⋅ PA Bài Từ giả thiết, ta suy A= 1090 ⋅ a + b B= 1090 ⋅ c + d với a, c hai số có 1930 chữ số, b số có 15 chữ số d có 24 chữ số Đặt x = ƯCLN ( A; B ) ta có aB − cA chia hết cho x , thức ad − bc chia hết cho x Ta chứng minh ad − bc khác Thật vậy, giả sử ad = bc , ta có Do a c hai số có 1930 chữ số nên (1) c d = a b c 101930 < = 10 Trong đó, d số có 24 chữ số b số có 15 a 101929 d 1023 d c chữ số nên > 15 > 10 Suy > 10 > , mâu thuẫn Vậy ad − bc ≠ b 10 b a Vì ad − bc khác nên từ (1), ta suy ad − bc ≥ x Mặt khác, ta lại có • • ad < 101930 ⋅1024 = 101954 , tức ad có khơng q 1954 chữ số bc < 101930 ⋅1015 = 101945 b, tức bc có khơng q 1945 chữ số Do đó, với ý ad − bc < max {ad , bc} , ta suy ad − bc số nguyên dương có khơng q 1954 chữ số, từ x số có khơng q 1954 chữ số (đpcm) - HẾT - THCS.TOANMATH.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM HỌC 2020 - 2021 MƠN THI: TỐN Dành cho thí sinh thi chun Tốn - Tin Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ịà ùũ ùũ íá ắÃfô ơá'ẵ é ó ứă ợữợ ũ èd ư8 ơ$ áÃj ă ăừợ ă ù é ẵ> ạà ơđ@ ư8 ẵácá á)4ạũ ợũ íá é ứăữ íá'ạ Ãá đtạ é ứăữ àá:ạ ẵ> ạáÃe ạôĐjũ é ứữ ó ợùồ é ứùữ ó ộổ ịà ợũ ă ùũ Ã}à á)4ạ ơđdáổ ă ù ó ớă ù ăừợ ợũ Ã}à áe á)4ạ ơđdáổ ăợ ăĐ ă ăĐ ớĐ ợ ùợĐ ó ùợ ă ờĐ ó ịà ớũ íá ạÃẵ òịí ẵ> òị ọ òí ê òí ọ ịí z )/ơ ơ|à é ê ẽ ứẹồ ẻữồ ạÃ} ư% ịồ í ò òị ẵsơ òí ê ịí òí ẵsơ òị ê ịí z )/ơ ơ|à ể ê ề ũ ùũ íá'ạ Ãá đtạ ẹểổẹề ó ẻợ ợũ ểồ ềồ éồ ẽ ớũ ẵáÃhô êô:ạ ạ>ẵ ẵ+ ị ò ịể ề ê íé ẽ ẵsơ áô ơ|à ê è ụ ạ;à ỉ ádá è ũ íá'ạ Ãá đtạ ỉ ịà ỡũ Ã} ư% á)4ạ ơđdá ợăợ ợă ù ắ ó ẵ> áà ạáÃe ạôĐj ứê2à ụ ắ z )/ơ ơá ư8ữũ íá'ạ Ãá đtạ ợ ắợ ợ ư8 ạôĐj ê àá:ạ ẵáà áhơ ẵá ũ ịà ởũ íá ẵẵ ư8 ơá$ẵ ẳ)4ạ ắồ ẵ ắ ẵ ó ỗũ èd ạà ơđ@ áyơ ẵ+ ắÃfô ơá'ẵổ ắ ắẵ ẵ ù è ó ừ ổ ỡắ ởẵ ớắ ỡẵ ớẵ ỡ ởắ ắứ ợẵữứắ ợẵữ THCS.TOANMATH.com THCS.TOANMATH.com K THI TUYN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TỐN Dành cho thí sinh dự thi vào lớp chuyên Toán - Tin Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG N ĐỀ THI CHÍNH THỨC Þ€· ïị ể ó ợă ù ăớ ù ù ¨ ï ỉ ï ¨õì ° ¨õ ¨õï ª2· ¨ ă ờó ùồ ă ờó ỗũ ùũ ẻ-ơ ạ; ắÃfô ơá'ẵ ể ũ ể áv ạà ơđ@ ạôĐj ẳ)4ạũ ợũ èd ạà ơđ@ ẵ+ ă ịà ợũ òứợồ ùữ ê ơ| ùũ ù ũ ợ ợăợ ùộ á{ ắÃeơ ăù ăợ ơá< ~ ăợù ăợợ ó ũ ỡ ợũ èd ẵẵ ạà ơđ@ ẵ+ ởữă ợ ó ứ ơá ư8ữ ẵ> áà ạáÃe ịà ớũ ùũ Ã}à á)4ạ ơđdá ởăợ ợũ Ã}à áe á)4ạ ơđdá ợă ă ăợ ăợ ứợă ùữ ởăợ ợă ùó ợ ăợ Đ ỡ ó ợ ăợ Đ Đừợó ịà ỡũ ùũ íá ádá êô:ạ òịíĩ ơ{ ẹồ ẵ|á ũ ể ì ể ê ơÃh ă-ẵ ê2à ịí ơ|à ị ă-ẵ ê2à íĩ ơ|à ĩ ứìữ ứệữ ứữ ẹị ứể àáẵ ẹ ê ị ữũ ệ ể ê ơÃh ềũ òồ ềồ ịồ íồ ĩ ứắữ ợũ íá ạÃẵ ể ềé êô:ạ ẵ{ ơ|à ểụ ể ề ó ĩ ơáô5ẵ ẵ|á ể ề ơáô5ẵ ẵ|á ềé ẵá ẵáô êà ạÃẵ ềĩ ắtạ ợũ èd ạà ơđ@ áyơ ẵ+ ẳÃe ơcẵá ạÃẵ ềĩ ịà ởũ íá ắ ắữớ ỡắ ù ù ừ ợợắ ùừ ùừắ ùợũ íá'ạ Ãá đtạ ợợùổ THCS.TOANMATH.com S GIO DC V O TẠO TỈNH ĐIỆN BIÊN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: Tốn (Chun) Ngày thi: 15/7/2020 Đề thức (Có 01 trang) Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ BÀI Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức: P = a2 − a 2a + a 2(a − 1) ( với a > 0, a ≠ ) − + a + a +1 a a −1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P  x − + =  y+3  Giải hệ phương trình:  4 x − − =  y+3 Câu (2,0 điểm) Cho phương trình: x − 5mx − 4m = ( với m tham số) a) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm b) Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 thì: x12 + 5mx2 + m + 14m + > Câu (2,0 điểm) a) Một Robot thiết kế thẳng, quay góc 900 sang phải sang trái Robot xuất phát từ vị trí A thẳng 2m quay sang trái thẳng 3m , quay sang phải thẳng 5m đến đích vị trí B Tính khoảng cách đích đến nơi xuất phát Robot b) Cho hai số a, b thỏa mãn a > b > a.b = Chứng minh: a + b2 ≥2 a −b Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AD, BE cắt H Kéo dài BE , AO cắt đường tròn (O) F M a) Chứng minh ∆HAF cân b) Gọi I trung điểm BC Chứng minh ba điểm H , I , M thẳng hàng AH = 2OI c) Khi BC cố định, xác định vị trí A đường trịn (O) để DH DA lớn Câu (1,0 điểm) a) Cho xy + yz + xz = xyz ≠ Chứng minh rằng: yz xz xy + + = x2 y z b) Cho n số nguyên dương Biết 2n + 3n + hai số phương Chứng minh n chia hết cho 40 Hết KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐIỆN BIÊN Năm học : 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MƠN TỐN CHUN (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Hướng dẫn Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P Điểm a2 − a 2a + a 2(a − 1) − + a + a +1 a a −1 1.1 (1,0đ) a ( a − 1) a (2 a + 1) 2( a − 1)( a + 1) Với a > 0, a ≠ ⇒ P = − + a + a +1 a a −1 0,25 a ( a − 1)(a + a + 1) − (2 a + 1) + 2( a + 1) = a − a + a + a +1 0,25 P= b) Tính giá trị nhỏ P 1 3   a −  + ≥ (Với ∀a > 0, a ≠ ) P = a − a += 2 4  Vậy giá trị nhỏ P = a = 4 0,25 0,25   x −1 + y + =  Giải hệ phương trình:  4 x − − =  y+3 1.2 x ≥ Điều kiện:   y ≠ −3 0,25 = u x −1 u+v =  2= u  Đặt  (thỏa mãn) ⇔ (điều kiện u ≥ ) ⇒  −1 4u − 3v = v =  v = y+3  0,5  x −1 =  x=2  (thỏa mãn) Vậy HPT có nghiệm (2; −4) ⇒ ⇔ y = − = −  y+3  0,25 Phương trình: x − 5mx − 4m = a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm 0,25 Ta có:= ∆ 25m + 16m 2.a (1,0đ)  m=0  m = − 16 25  Để phương trình có nghiệm kép ∆ = ⇔ 25m + 16m = ⇔  5m = 5m 16 nghiệm kép x1 = x2 = +) m = − = − 25 x= +) m = nghiệm kép x= 0,25 0,25 0,25 b) Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 x12 + 5mx2 + m + 14m + > 2.b (1,0đ) PT có nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì= ∆ 25m + 16m > 0,25 x12 − 5mx1 − 4m =0 ⇔ x12 =5mx1 + 4m x1 + x2 = 5m 0,25 Xét P = x12 + 5mx2 + m + 14m + = 5mx1 + 4m + 5mx2 + m + 14m + 0,25 = 5m( x1 + x2 ) + m + 18m + = 26m + 18m + Suy P = 25m + 16m + m + 2m + = ∆ + (m + 1) > (vì ∆ > ) Đpcm 0,25 a) Một Robot thiết kế thẳng, quay góc 900 sang phải sang trái Robot xuất phát từ vị trí A thẳng 2m quay sang trái thẳng 3m , quay sang phải thẳng 5m đến đích vị trí B Tính khoảng cách đích đến nơi xuất phát Robot Học sinh vẽ hình minh họa B 0,25 3.a (1,0đ) A Kẻ AC ⊥ BC hình vẽ: B 0,25 A C Ta có:= AC 7;= BC 0,25 ⇒ AB = + 33 = 58 Vậy khoảng cách đích đến nơi xuất phát Robot 58 0,25 a + b2 b) Chứng minh: ≥ 2 Với a > b > a.b = a −b Vì a.b =1 ⇒ a + b ( a − b) + = =(a − b) + a −b a −b ( a − b) Do a > b > ⇒ (a − b) + 3.b (1,0đ) 2 ≥ (a − b) = 2 (BĐT AM-GM) ( a − b) ( a − b) Dấu xẩy khi: (a − b) = ⇔ a− = a Vậy 0,25 0,25 ⇔ ( a − b) = ⇔ a − b = ( a − b)  2+ a = 2⇔  2− a =  (t / m) ⇒ b= ( Loai ) a + b2 = a ≥ 2 Dấu xẩy a −b 0,25 6− 2 6+ = ;b 6− 2 0,25 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AD, BE cắt H Kéo dài BE , AO cắt đường tròn (O) F M a) Chứng minh ∆HAF cân Vẽ hình đến câu 4.a F A E 4.a (1,0đ) H B 0,25 O D C I M 4.b (1,0đ) ) Ta có:  AHF =  ACB (cùng phụ với DAE Lại có  ACB =  AFB (cùng chắn cung AB ) 0,25   AFB   AHF cân Suy AHF A b) Gọi I trung điểm BC Chứng minh ba điểm H , I , M thẳng hàng AH = 2OI Ta có BH / / CM (cùng vuông AC ), HC / / BM (cùng vng AB ) ⇒ BHCM hình bình hình Mà I trung điểm BC ⇒ I trung điểm HM ⇒ ba điểm H , I , M thẳng hàng 0,25 0,25 ⇒ OI đường trung bình ∆AHM ⇒ AH = 2OI c) Khi BC cố định, xác định vị trí A đường tròn (O) để DH DA lớn   AFB   BHD   ACB   DAC  DBH (g g) Theo câu ta có AHF 4.c (1,0đ) 5.a (0,5đ) Suy DA DB   DA.DH  DB.DC DC DH 0,25 0,25 0,25 0,25  BD  CD   BC  Ta có DB.DC    DB.DC         Dấu xẩy BD  DC Vậy để DH DA lớn A điểm cung lớn BC yz xz xy a) Cho xy + yz + xz = xyz ≠ Chứng minh rằng: + + = x y z 1 + += x y z Chứng minh nếu: a + b + c = ⇒ a + b3 + c3 = 3abc Vì: xy + yz += xz 0; xyz ≠ ⇒ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Áp dụng cơng thức ta có: 1 1 1 + + = ⇒  + + = x y z x y z xyz 1 1 yz xz xy xyz Lại có: + + =  3+ 3+ =  (Đpcm) x y z2 y z3  x b) Cho n số nguyên dương Biết 2n + 3n + hai số phương Chứng minh n chia hết cho 40 0,25 Đặt 2n + = x ⇒ x lẻ ⇒ 2n =( x − 1)( x + 1) x − 1; x + chẵn ⇒ n chẵn 5.b (0,5đ) Đặt 3n + 1= y ⇒ y lẻ (do n chẵn) 3n = ( y − 1)( y + 1)8 y − 1; y + hai số chẵn liên tiếp mà (3;8) = ⇒ n8 (1) Ta có số phương chia cho dư hoặc Mặt khác x + y = 5n + ⇒ x , y chia cho dư Nên n = ( 3n + 1) − ( 2n + 1) = (y − x )5 (2) Từ (1), (2) (5;8) = 1 ⇒ n 40 Đpcm (Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa) 0,25 0,25 ... THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUN NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn Tốn chuyên Ngày thi 10/ 7 /2020 Thời gian 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình    x  2020  x... 4039  x  x  2019  2020  4039 x  2020  x  2019, ta được:  x  2020  x  2019   x  2020  x  2019    x  2020? ?? x  2019    x  2020? ?? x  2019  x  2020       ... ù ợ ắợ ẵợ ổ ùờ THI TUYN SINH VO LỚP 10 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG PHỔ THƠNG NĂNG KHIẾU Năm học 2020 -2021 Mơn thi: TOÁN (chuyên) HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10 Thời gian làm bài: 150