ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Thị Huyền Trang BIỂU DIỄN ĐA THỨC KHÔNG ÂM TRÊN DẢI [0, 1] × R VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Thị Huyền Trang BIỂU DIỄN ĐA THỨC KHÔNG ÂM TRÊN DẢI [0, 1] × R VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS Hồ Minh Toàn Thái Nguyên, năm 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, kết nghiên cứu trung thực chưa công bố cơng trình khác Thái Ngun, tháng 06 năm 2020 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Huyền Trang Xác nhận Xác nhận khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Hồ Minh Toàn - người hướng dẫn bảo tận tình cho em, tạo điều kiện thuận lợi nguồn động lực quan trọng để em hồn thành tốt Luận văn tốt nghiệp Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy khoa Tốn, gia đình, bạn bè quan tâm, giúp đỡ, động viên em Trong trình làm Luận văn khơng tránh khỏi sai sót, em mong nhận ý kiến đóng góp chân thành từ phía thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng 06 năm 2020 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Huyền Trang ii Mục lục LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỞ ĐẦU Chương 1.Biểu diễn đa thức khơng âm dải [0, 1] × R 1.1.Giới thiệu toán kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Bài toán thứ 17 Hilbert 1.2.Đa thức không âm dải 1.2.1 Phát biểu định lí 1.2.2 Một số kiến thức chuẩn bị 10 1.2.3 Ý tưởng chứng minh 15 1.2.4 Kiến thức cần dùng để chứng minh 16 1.2.5 Chứng minh Định lý 1.2.1 24 Chương 2.Một số ứng dụng 28 2.1.Bài toán tối ưu đa thức 28 2.2.Bài tốn mơmen 32 2.2.1 Bài tốn mơmen cổ điển 32 iii 2.2.2 Bài tốn mơmen tập nửa đại số 33 2.2.3 Ứng dụng Bài tốn mơmen 34 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 iv MỞ ĐẦU Cho f ∈ R[X] đa thức theo n biến X1 , , Xn Nếu f biểu diễn thành tổng bình phương hữu hạn đa thức R[X] rõ ràng f khơng âm Rn Do đó, câu hỏi tự nhiên đặt chiều ngược lại có khơng, tức f Rn =⇒ f ∈ R[X]2 ? Câu trả lời cho đa thức biến, khơng nói chung cho nhiều biến Hilbert chứng minh hình thức vào năm 1888 Bài toán phát biểu mở rộng cho trường hợp biểu diễn đa thức không âm tập nghiệm K hệ hữu hạn bất phương trình đa thức Giả sử G = {g1 , , gm } họ đa thức thực m biến K ⊂ Rn xác định KG = {x ∈ Rn | g1 (x) ≥ 0, , gm (x) ≥ 0} Một tập T ⊂ R[x] gọi tiền thứ tự T chứa tổng bình phương, đóng với phép cộng nhân Ký hiệu TG tiền thứ tự bé chứa G Khi đa thức thuộc TG khơng âm K Vì tốn biểu diễn đa thức dương K phát biểu sau: Nếu đa thức f ∈ R[x] dương K f có thuộc T không? Gần đây, với lời giải Schmudgen [7] khẳng định đa thức f ∈ TG trường hợp tập K compact vào năm 1991, có lời giải cho số trường hợp tập K khơng compact Mục đích luận văn trình bày lại kết biểu diễn đa thức khơng âm dải [0, 1]× R Kết viết báo: Marshall M (2010), "Polynomials non-negative on a strip", Proc Amer Math Soc., 138 (5), 1559–1567 mở rộng báo Nguyen H and Powers V (2012), "Polynomials non-negative on strips and half-strips", J Pure Appl Algebra, 216 (10), 2225–2232 Ngoài Mục lục, Lời mở đầu, Tài liệu tham khảo Kết luận, nội dung Luận văn gồm chương, hình thành chủ yếu từ tài liệu [2], [3]: • Chương : Biểu diễn đa thức không âm trờn di [0, 1] ì R ã Chng : Một số ứng dụng Trong Chương cung cấp khái niệm Hình học đại số thực cho đa thức kết sử dụng Luận văn gồm: Bài toán thứ 17 Hilbert Định lý biểu diễn đa thức không âm dải Trong chương trình bày ứng dụng Định lý biểu diễn đa thức không âm tối ưu đa thức giải Bài tốn mơmen Chương Biểu diễn đa thức không âm dải [0, 1] × R Trong chương trình bày số kiến thức biểu diễn đa thức không âm dải Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [2], [3] 1.1 Giới thiệu toán kiến thức chuẩn bị Trước tiên, luận văn trình bày số khái niệm Hình học đại số thực cho đa thức trích dẫn từ cơng trình Marshall 1.1.1 Định nghĩa Cho A vành giao hốn có đơn vị Kí hiệu A2 tập hợp tổng bình phương A, tức tập hợp phần tử có dạng k a2i , k ∈ N, ∈ A, i = 1, , k i=1 Cho n ≥ 1, kí hiệu R[X1 , , Xn ] := R[X] vành đa thức n biến X1 , , Xn với hệ số thực; R[X]2 tập hợp gồm tổng hữu hạn bình phương đa thức R[X], tức tập hợp phần tử có dạng k i=1 fi2 , k ∈ N, fi ∈ R[X], i = 1, , k Định nghĩa 1.1.1 Cho A vành giao hốn có đơn vị (i) Một môđun bậc hai A tập M A thỏa mãn: • M + M ⊆ M; • ∈ M; • a2 M ⊆ M với a ∈ A (ii) Một tiền thứ tự A tập T A thỏa mãn: • T + T ⊆ T; • T · T ∈ T; • a2 ∈ T với a ∈ A Từ định nghĩa 1.1.1 có số nhận xét sau Chú ý 1.1.2 Cho A vành giao hốn có đơn vị Khi đó: (i) Mỗi tiền thứ tự A môđun bậc hai A (ii) A2 tiền thứ tự nhỏ A Bây xét A vành đa thức R[X] := R[X1 , , Xn ] G = {g1 , , gm } tập R[X] Khi đó: 1.2.5 Chứng minh Định lý 1.2.1 Đặt 2d (x)y i , d ≥ f (x, y) = i=0 Từ Bổ đề 1.2.2 1.2.3, giả sử a2d (x) > đoạn [0, 1] f (x, y) có hữu hạn khơng điểm [0, 1] × R Theo Bổ đề 1.2.5, tồn đa thức (x) ∈ R[x] cho f (x, y) ≥ (x)(1 + y )d dải [0, 1] × R, (x) ≥ [0, 1] (x) = tồn y ∈ R cho f (x, y) = Đặt f1 (x, y) := f (x, y) − (x)(1 + y )d Khi f1 khơng (x) , N > 1, cần, có N âm dải [0, 1] × R Thay (x) thể giả sử f1 có bậc 2d (khi xem f1 đa thức theo biến y ) hệ số cao f1 dương [0, 1] Theo Bổ đề 1.2.7, với r ∈ [0, 1], tồn lân cận mở U (r) r R cho f1 có phân tích là: 2 f1 = g0j (r) + j=1 2 g2j (r)2 (1 − x) g1j (r) x + j=1 j=1 U (r)× R, gij (r) đa thức theo biến y (có bậc ≤ d) có hệ số hàm giải tích x, với x ∈ U (r) (Áp dụng Bổ đề 1.2.7, chọn gij (r) cho g2j (r) = 0, j = 1, 2, r = 0; g2j (r) = 0, j = 1, 2, r = 1; g1j (r) = g2j (r), j = 1, 2, < r < 1.) Do tính compact [0, 1], tồn hữu hạn tập U (r) phủ [0, 1], giả sử tập U (r1 ), , U (rl ) phủ [0, 1] Chọn phân hoạch liên tục đơn vị = ν1 + · · · + νl [0, 1], với ≤ νk ≤ [0, 1] supp(νk ) ⊆ U (rk ) 24 với k = 1, , l, cho, với nghiệm r (x) [0, 1], có k cho νk (x) = với x gần với r (vì νk (x) = với x gần với r) Để phân hoạch đơn vị có tính chất vừa rồi, phải thu nhỏ tập U (rk ) cần, ta giả sử nghiệm r (x) [0, 1] U (rk ) Khi f1 có biểu diễn là:  l f1 = l νk f = k=1 φ20jk +  k=1 j=1 φ21jk x + j=1  φ22jk (1 − x) j=1 [0, 1] × R, φijk đa thức có bậc ≤ d theo biến y có hệ số hàm giá trị thực, xác định [0, 1] thu cách thác triển hệ số tương ứng √ νk gij (rk ) tập U (rk ) Các hệ số φijk hàm liên tục [0, 1] giải tích nghiệm (x) [0, 1] (vì νk ln lân cận nghiệm này) Theo Mệnh đề 1.2.8, với số thực N > ba i, j, k, tồn đa thức hijk có bậc ≤ d theo y có hệ số R[x], cho, với hệ số u φijk , hệ số tương ứng ω hijk thỏa mãn: u(x) − (x) (x) ≤ ω(x) ≤ u(x) + , với x ∈ [0, 1] N N Lấy xấp xỉ hệ số φijk đa thức (bằng cách lấy N đủ lớn), để thu đa thức hijk có bậc ≤ d theo biến y có hệ số R[x] cho 25 l f1 (x, y) =  2 k=1 h0jk (x, y) +  j=1 j=1 2d bi (x)y i , h2jk (x, y) (1 − x)+ h1jk (x, y) x + bi (x) ∈ R[x], |bi (x)| ≤  j=1 i=0 (x) [0, 1], i = 0, , 2d Kết hợp điều với f (x, y) = f1 (x, y) + (x)(1 + y )d mang lại f (x, y) = s1 (x, y) + s2 (x, y) + s3 (x, y), l s1 (x, y) :=  j=1  h0jk (x, y)2 +  k=1 h1jk (x, y)2 x + j=1 h2jk (x, y)2 (1 − x) , j=1 s2 (x, y) := (x)(2 + y + 3y + y + 3y + + y 2d−1 + 2y 2d ) + 2d bi (x)y i , i=0 s3 (x, y) := (x) (1 + y )d − (2 + y + 3y + y + 3y + + y 2d−1 + 2y 2d ) Gọi T tiền thứ tự R[x, y] sinh x(1 − x) Như trước đó, x, − x ∈ T Rõ ràng s1 (x, y) ∈ T, s2 (x, y) ∈ T Thật vậy, |bi (x)| ≤ 2 (x) [0, 1], (x) ± bi (x) ∈ T, với i = 0, , 2d Điều 5 dẫn đến (x)y i + bi (x)y i ∈ T, với i chẵn Đối với i lẻ, giả sử i = 2m + 1, sử dụng đồng thức y 2m+1 = y 2m (y + 1)2 − y − đa thức 2 (x)y 2m (y + 1)2 + bi (x)y 2m (y + 1)2 , (x)y 2m y − bi (x)y 2m y 5 26 (1.4) (x)y 2m − bi (x)y 2m thuộc T ta có (x)(y i+1 + y i + y i−1 ) + bi (x)y i ∈ T, với i lẻ (1.5) Từ (1.4) (1.5), thấy s2 (x, y) ∈ T Tương tự ta có s3 (x, y) ∈ T sử dụng đẳng thức sau: (1 + y )d − (2 + y + 3y + y + 3y + + y 2d−1 + 2y 2d ) = (1 + y )d + (1 + y + + y 2d−2 )(1 − y )2 − (y + y + + y 2d−2 ) − (1 + y 2d ) = (1 + y + + y 2d−2 )(1 − y )2 + d−1 i=1 Vậy f (x, y) = s1 (x, y) + s2 (x, y) + s3 (x, y) ∈ T 27 d i − 2i y Chương Một số ứng dụng Chương trình bày ứng dụng Định lý biểu diễn đa thức không âm tối ưu đa thức giải Bài tốn mơmen Các kết trình bày trích từ tài liệu [2] 2.1 Bài tốn tối ưu đa thức Bài toán tối ưu đa thức tốn tìm f ∗ = inf f (x), x∈KG (2.1) đó: f ∈ R[X], G = {g1 , , gm } ⊆ R[X], KG = {x ∈ Rn | g1 (x) ≥ 0, , gm (x) ≥ 0} Trong trường hợp G = ∅, KG = Rn , toán gọi Bài tốn tối ưu đa thức khơng ràng buộc Biểu thức (2.1) viết lại f ∗ = sup{λ | λ ≤ f (x), x ∈ KG } 28 = sup{λ | f (x) − λ ≥ 0, x ∈ KG } Như vậy, để tìm f ∗ cần tìm λ cho f − λ không âm KG Đây tốn khó Vì thế, ta thay điều kiện khơng âm điều kiện tổng bình phương tức là: Tìm sup λ cho f − λ ∈ TG f − λ ∈ MG Bài toán giải Quy hoạch nửa xác định (SDP) Ký hiệu: ∗ fSOS,G := sup{λ | f (x) − λ ∈ MG } Hệ 2.1.1 Giả sử K = KG tập nửa đại số nêu f ∈ R[x] Khi đó: (i) f ∗ SOS,G cận f K, tức f ∗ SOS,G ≤ f ∗ (ii) Nếu G = {x(1 − x)} K = [0, 1] × R f ∗ SOS,G = f ∗ Chứng minh (i) Nếu đa thức g ∈ T g(x) ≥ với x ∈ K nên ta f ∗ SOS,G cận f K (ii) f ∗ SOS,G cận f K đa thức khơng âm K thuộc T theo Định lý 1.2.1 29 Nhờ ứng dụng Hệ ta giải số tốn sơ cấp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm đa thức (có thể nhiều biến) tập nửa đại số compact dải Ví dụ 2.1.2 Tìm f [0, 1] × R, với f (x, y) := 3x2 − 2xy + 2y − x2 y + xy − 6x + 2y + Nhận xét: ∗ ∗ ∗ Theo Hệ 2.1.1 f ∗ = fSOS nên ta tìm fSOS Để tìm fSOS ta cần biểu diễn đa thức f Định lí 1.2.1 Giải: Ta biểu diễn: f (x, y) = (x−y−1)2 +y +x(1−x)y +2(x−1)2 ≥ 0, x ≤ 1, y ∈ R (2.2) với ≤ x ≤ 1, y ∈ R Dấu = xảy x = 1, y = nên f [0, 1] × R Chú ý: Ta dùng phần mềm (như SOStools, ) để tìm f ∗ hay biểu diễn f cơng thức (2.2) Ta ứng dụng Hệ 2.1.1 việc chứng minh số bất đẳng thức đa thức tập nửa đại số compact dải Ví dụ 2.1.3 Chứng minh bất đẳng thức: x − x2 − axy − x2 y − y − 2by + bxy + 2by < 30 với a > 0, b > với x, y thỏa mãn: x ≤ x ≤ y ≤ − Nhận xét: Xét tập G = x, − x, y, − y, − y − x Ta có: KG = = (x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, − x ≥ 0, ≤ y ≤ 1, y ≤ − x (x, y) ∈ R2 | ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ − x tam giác vng Khi đó: MG = σ0 + xσ1 + (2 − x)σ2 + yσ3 + (1 − y)σ4 + − y − x σ5 , σ1 , , σ5 tổng bình phương đa thức Với tập sinh G trên, môđun bậc hai MG Archimedean Theo Định lý biểu diễn Putinar [6], f > f ∈ MG nên ta biểu diễn f theo dạng phần tử thuộc MG Giải: Từ điều kiện x, y ta đặt: f (x, y) = − x + x2 + axy + x2 y + y + 2by − bxy − 2by 31 Khi ta có biểu diễn: f (x, y) = axy +(2−x)+y(2x2 +y )+(1−y)x2 +2by − y − x ∈ MG (2.3) Do đó, f (x, y) ≥ KG Dấu ‘=’ xảy x axy = 0, (2−x) = 0, y(2x2 +y ) = 0, (1−y)x2 = 0, 2by (1−y− ) = Tuy nhiên hệ vô nghiệm nên f (x, y) > Vậy ta có điều phải chứng minh Chú ý: Ta dùng phần mềm (như SOStools, ) để biểu diễn f cơng thức (2.3) 2.2 Bài tốn mơmen Dạng thứ (cổ điển) tốn mơmen phát biểu sau: 2.2.1 Bài tốn mơmen cổ điển Cho K tập đóng Rn Cho L : R[X] → R phiếm hàm tuyến tính Có tồn hay khơng độ đo Borel dương µ với giá K cho với f ∈ R[X], L(f ) = f dµ? K Haviland đưa điều kiện cần đủ cho tồn độ đo dương µ sau 32 Định lý 2.2.1 Điều kiện cần đủ để tồn độ đo Borel dương µ với giá K cho với f ∈ R[X] ta có: L(f ) = f dµ K L(f ) ≥ với f ≥ K Như thế, việc mô tả đa thức không âm K quan trọng việc giải tốn mơmen K Tuy nhiên, việc kiểm tra đa thức không âm tập K (vơ hạn) tốn khó nói chung chưa thể xây dựng thuật tốn Giống tốn biểu diễn dương, Bài tốn mơmen phát biểu tập nửa đại số với mục đích xây dựng thuật tốn SDP Một dạng khác tốn mơmen phát biểu sau 2.2.2 Bài tốn mơmen tập nửa đại số Cho G = {g1 , , gm } ⊆ R[X] Ký hiệu KG , TG Nếu L(f ) ≥ với f ∈ TG tồn hay khơng độ đo Borel dương µ có giá KG cho với f ∈ R[X] ta có: L(f ) = f dµ? KG Chú ý với f ∈ TG f ≥ KG Do điều kiện thuộc TG mạnh điều kiện không âm KG Việc giải tốn mơmen dạng dễ so với việc giải tốn mơmen dạng 33 2.2.3 Ứng dụng Bài tốn mơmen Cũng giống toán biểu diễn đa thức dương, kết tốn mơmen sử dụng để tìm giá trị tối ưu đa thức tập nửa đại số 2.2.3.1 Ứng dụng vào toán tối ưu đa thức toàn cục Giả sử f đa thức thực n biến Đặt f ∗ = infn f (x) x∈R Việc tìm f ∗ tốn khó nói chung Cho số ngun d lớn bậc đa thức f, kí hiệu R[X]d khơng gian đa thức có bậc khơng q d, Xd khơng gian phiếm hàm tuyến tính R[X]d cho L(1) = L(p2 ) ≥ với đa thức p có bậc khơng q d/2 Đặt: f+ := inf{L(f ) : L ∈ Xd } Khi ta có: f+ ≤ f ∗ Thật vậy, với x ∈ Rn , phiếm hàm tuyến tính Lx định nghĩa ∀pR[X] Lx (p) = p(x) thuộc Xd f+ ≤ Lx (f ) = f (x) với x Chú ý ta có thuật tốn để tìm f+ Tuy nhiên nói chung chưa có thuật tốn tìm f ∗ Trong số 34 trường hợp đặc biệt, đa thức dương biểu diễn thành tổng bình phương, ta có kết sau: Hệ 2.2.2 Giả sử f ∈ R[X] đa thức n biến có bậc d chẵn lớn Nếu n = d = n = d = f+ = f ∗ 2.2.3.2 Ứng dụng vào toán tối ưu đa thức tập nửa đại số Giả sử f đa thức thực n biến K tập nửa đại số xác định sau: K = {x ∈ Rn | g1 (x) ≥ 0, , gm (x) ≥ 0} Quadratic module sinh g1 , , gm là: M = {p0 + p1 g1 + · · · + pm gm | p0 , p1 , pm tổng bình phương} M gọi Archimedean tồn số N để N − x21 − x22 − · · · − x2n thuộc M Đặt f ∗ = inf f (x) x∈K Việc tìm f ∗ tốn khó nói chung chưa có thuật tốn Cho số nguyên d lớn bậc đa thức f, kí hiệu Xd khơng gian phiếm hàm tuyến tính R[X]d cho L(1) = L(p) ≥ ∀p ∈ M Đặt f+,d := inf{L(f ) : L ∈ Xd } 35 Khi ta có f+,d ≤ f+,d+1 ≤ f+,t ≤ f ∗ Ta có thuật tốn SDP để tìm f+,d Nhờ vào định lý biểu diễn dương tập nửa đại số Archimedian K , Bài tốn mơmen K có lời giải: Mọi phiếm hàm tuyến tính không âm M không âm tập đa thức khơng âm K Vì ta thu hệ sau: Hệ 2.2.3 Nếu M Archimedean f ∗ cận dãy (f+,d ) Và theo kết Marshall trình bày đầu chương, ta có được: Hệ 2.2.4 Nếu K dải [0, 1] × R f ∗ cận dãy (f+,d ) 36 KẾT LUẬN Trong Luận văn đạt kết chính: (1) Trình bày lại kết biểu diễn đa thức không âm dải [0, 1] × R Kết viết báo: Marshall M (2010), "Polynomials non-negative on a strip", Proc Amer Math Soc., 138 (5), 1559–1567 mở rộng báo Nguyen H and Powers V (2012), "Polynomials non-negative on strips and half-strips", J Pure Appl Algebra, 216 (10), 2225–2232 (2) Trình bày số ứng dụng Định lý biểu diễn đa thức không âm tối ưu đa thức giải Bài tốn mơmen Các kết đóng góp thêm vào hướng nghiên cứu Định lý biểu diễn dương cho đa thức, ứng dụng chúng Tối ưu đa thức Bài tốn mơmen Hướng phát triển luận văn: Tìm thêm ứng dụng Định lý biểu diễn đa thức không âm lĩnh vực khác 37 Tài liệu tham khảo [1] Krivine J K (1964), "Anneaux preordonnes", J Analyse Math 12, 307-326 [2] Marshall M (2008), "Positive polynomials and sum of squares" Mathematical Sur-veys and Monographs, 146 American Mathematical Society, Providence, RI [3] Marshall M (2010), "Polynomials non-negative on a strip", Proc Amer Math Soc., 138 (5), 1559–1567 [4] Motzkin T (1967), "The arithmetic-geometric inequalities", Proc Symp Wright-Patterson AFB, Academic Press, 205-224 [5] Nguyen H and Powers V (2012), "Polynomials non-negative on strips and half-strips", J Pure Appl Algebra, 216 (10), 2225–2232 [6] Putinar M (1993), "Positive polynomials on compact semialgebraic sets", Indiana Univ Math J, 43 (3), 969-984 [7] Schmudgen K (1991), "The K-moment problem for compact semialgebraic sets", Math Ann 289, 203-206 38 ... Định lý biểu diễn đa thức không âm dải Trong chương trình bày ứng dụng Định lý biểu diễn đa thức không âm tối ưu đa thức giải Bài tốn mơmen Chương Biểu diễn đa thức không âm dải [0, 1] × R Trong... − x) + Nếu r = =⇒ b (x) = ¯b (x) .x, ¯b (x) ≥ [0, 1] (1.2) nên σ (x, y) = σ ¯ (x, y) .x2 Từ thu ¯b (x) f (x, y) = σ ¯ (x, y) .x + τ (x, y)(1 − x) Do có biểu diễn x = x2 + x( 1 − x) − x = (1 − x) 2 + x( 1... phản ví dụ đa thức hai biến bậc không âm R2 biểu diễn thành tổng bình phương đa thức hai biến Cụ thể, đa thức Motzkin: M (X, Y ) = − 3X Y + X Y + X Y ∈ R [X, Y ], không âm R2 biểu diễn thành tổng