Chuyên đề : Phơng trình vô tỉ ------------------------------------------ Phơng trình vô tỉ là phơng trình có chứa ẩn trong dấu căn Các phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vô tỉ I. Ph ơng pháp biến đổi t ơng đ ơng: Dạng1: ( ) ( )f x g x= ( ) ( ) 0 ( ) ( ) x TXD f x g x f x g x = = (*) Chú ý: Điều kiện (*) đợc lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp của f(x) 0 và g(x) 0 VD: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: 2 2 3 2 2x x m x x + = + 2 2 2 1 2 3 2 0 3 2 2 0 1 1 x x x x x m x x x m x m + + = + = + = + Để phơng trình có nghiệm thì 1 1 2 0 1m m + Dạng2: 2 ( ) & ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) g x conghia g x f x g x f x g x = = Chú ý: Không cần đặt điều kiện ( ) 0f x VD: Giải phơng trình: 2 2 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 ( 1) x x x x x x x x x x + = = + = = = + Vậy phơng trình có nghiệm x=-1 Dạng3: 2 ( ) & ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) & ( ) 0 ( ( ) ( )) ( ) f x conghia f x f x g x h x g x conghia g x f x g x h x + = + = Chú ý: Không cần đặt điều kiện ( ) 0h x VD: Giải phơng trình: 4 1 1 2 1 1 0 1 1 1 2 4 1 2 0 2 1 1 2 2 (1 )(1 2 ) 4 (1 )(1 2 ) 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + = + + + = + = + 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 0 0 0 2 2 2 7 0 7 (1 )(1 2 ) (2 1) 2 x x x x x x x x x x x x + = = + = = + = Hoặc có thể trình bày theo cách khác nh sau: - Tìm điều kiện để các bt có nghĩa - Biến đổi phơng trình Các bài tập đề nghị: Bài1: Giải các phơng trình sau: a/ 2 3 0x x = e/ 1 1 2x x + = b/ 2 1 1x x+ + = g/ 15 3 6x x + = c/ 3 4 1x x+ = h/ 4 1 3 4 1x x+ + = d/ 10 3 5x x + + = k/ 2 3 2 2x x x + = Bài2: Giải các phơng trình sau: 2 2 / 4 1 1 2 / 3 4 2 1 3 /( 3) 10 12 a x x x b x x x c x x x x + = + + = + + = / 2 1 1 1 / 2 1 2 1 2 / 6 9 6 9 6 d x x x e x x x x g x x x x = + + = + + = Bài3: Cho phơng trình: 2 1x x m = a/ Giải phơng trình với m=1 b/ Giải và biện luận phơng trình Bài4: Cho phơng trình: 2 2 3x mx x m+ = a/ Giải phơng trình với m=1 b/ Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm Bài5: Giải và biện luận các phơng trình sau: 2 / 3 2 / 1 1 a m x x x b x x a + = + + = II. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 1: Phơng pháp đặt ẩn phụ dạng 1 là sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phơng trình ban đầu thành 1 phơng trình với 1 ẩn phụ Các phép thởng đặt là: - Nếu bài toán có chứa ( )f x và f(x) thì đặt t= ( )f x , t 0. Khi đó f(x)=t 2 - Nếu bài toán có chứa ( )f x , ( )g x và ( ). ( )f x g x =k(hằng số) thì đặt t= ( )f x , t 0 - Nếu bài toán chứa ( ) ( ), ( ). ( ), ( ) ( )f x g x f x g x f x g x k + = thì đặt t= ( ) ( )f x g x Chú ý: Với các phơng trình căn thức chứa tham số sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ , nhất thiết phải tìm điều kiện đúng của ẩn phụ. Cách tìm ĐK: - Sử dụng tam thức bậc hai : VD: t= 2 2 2 5 ( 1) 4 2x x x + = + - Sử dụng BĐT: VD: t= 3 6x x+ + + T 2 =( 3 6x x+ + ) 2 (3+x+6-x)(1+1)=18 t 3 2 + T 2 =( 3 6x x+ + ) 2 =3+x+6-x+2 (3 )(6 ) 9 3x x t+ VD1: Giải phơng trình: 2 2 2 2 1 31 11 11 42 0 x x x x + + = + + + = Đặt t= 2 11 11x t+ . Khi đó phong trình có dạng: t 2 +t 42 =0 6 7 t t = = Vì t 11 nên t=6 2 2 2 11 6 11 36 25 5x x x x + = + = = = Vậy phơng trình có 2 nghiệm x=-5; x=5 VD2: Giải phơng trình : ( ) ( ) 2 2 2 4 4 4 2 1 3 1 1 0x x x+ + + = Giải: Vì x=1 không là nghiệm của phơng trình nên chia 2 vế của phơng trình cho ( ) 2 4 1 0x , ta đợc: 4 4 1 1 2 4 0 1 1 x x x x + + + = + Đặt t= 4 4 1 1 1 0 1 1 x x x x t + = + f , Khi đó phơng trình trở thành: 2t+ 2 1 0 1 3 0 2 3 1 0 1 0 2 t t t t t = < + = + + = = < (không thoả mãn ĐK) Vậy phơng trình vô nghiệm. VD3: Giải phơng trình : ( ) 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2m x x x x x + = + + a) Giải phơng trình với m=1 b) Tìm m để PT có nghiệm. Giải: Điều kiện: 3 2 0 1 1 0 x x x Phơng trình viết lại dới dạng: ( ) ( ) 2 3 2 1 3 2 1 6m x x x x + = + Đặt t= 3 2 1 1x x t + a) x=2 b) m 5 III. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2: - Là phơng pháp sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phơng trình ban đầu thành 1 phơng trình với 1 ẩn phụ nhng các hệ số vẫn còn chứa x - Phơng pháp này đợc sử dụng đối với những phơng trình khi lựa chọn ẩn phụ cho 1 BT thì các BT còn lại không biểu diễn đợc triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn đợc thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp. - Khi đó ta thờng đợc 1 PT bậc 2 theo ẩn phụ hoặc vẫn theo ẩn x có biệt thức là 1 số chính phơng VD: Giải PT: ( ) 3 3 4 1 1 2 2 1x x x x + = + + Giải: Đặt t= 3 2 3 1, 0 1x t t x+ = + . Khi đó PT có dạng: (4x-1)t=2(x 3 +1) + 2x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 1 2 1 0 4 1 8 2 1 4 3 2 1 4 1 4 3 1 4 2 t x t x x x x t x x x t t + = = = = = = Thay trở lại ẩn x, ta đợc: ( ) 2 3 3 3 3 1 2 1 0 2 2 0 1 2 1 3 2 1 4 1 3 4 4 x x x x x x x x x x = = + = = = + = = Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt IV. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 3: - Là phơng pháp sử dụng k ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành 1 hệ Pt với k ẩn phụ. Trong hệ mới thì k-1 pt nhận đợc từ các mối liên hệ giữa các đại lợng tơng ứng. Chẳng hạn với PT : ( ) ( ) m m a f x b f x c + + = Đặt ( ) ( ) m m m m u a f x u v a b v b f x = + = + = + . Khi đó ta có hệ PT: m m u v a b u v c + = + + = VD: Giải PT: 3 2 1 1x x = Giải: Điều kiện : x-1 0 1x Đặt 3 3 2 2 1 1, 0 u x u v v x v = + = = . Khi đó ta có hệ: 3 2 1 1 u v u v + = + = Giải hệ ta tìm đợc u=0,1,2 , thay trở lại ẩn x ta đợc: x=2,1,10 Vậy pt đã cho có 3 nghiệm 1,2,10 V. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 4: - Là phơng pháp sử dụng 1 ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành 1 hệ phơng trình với 1 ẩn phụ và 1 ẳn x Dạng1: Phơng trình chứa căn bậc 2 và luỹ thừa bậc 2 2 ( ) , ,ax b c dx e x d ac e bc + = + + + = + = + (*) Cách giải: Điều kiện ax+b 0 Đặt dy+e= , 0ax b dy e+ + . Khi đó chuyển phơng trình về hệ 2pt 2ẩn x,y Nhận xét: Để sử dụng phơng pháp trên cần khéo léo biến đổi phơng trình ban đầu về dạng thoả mãn ĐK(*) VD: Giải PT: 2 1 4 5x x x+ = + + Giải: Điều kiện: x+1 0 1x . PT đợc viết đới dạng: 2 1 ( 1) 1x x+ = + + ở đậy a=b=c=d= 1; 2; 0e = = = . Thoả mãn điều kiện d=ac+ ;e bc = + Đặt y+2= 1, 2 0 2x y y+ + . Khi đó phơng trình đợc chuyển thành hệ 2 2 2 2 2 ( 2) 1 1 ( 2) ( )( 4) ( )( 5) 0 ( 2) 1 1 ( 2) y x y x x y x y x y x y x y y x x y + = + + + = + = + + + + = + = + + = + Do 1; 2x y nên x+y+5>0 0x y x y = = Thay x=y vào PT(1), ta có x 2 +3x+3=0: PT vô nghiệm Vậy PT đã cho vô nghiệm. Dạng2: PT có chứa căn bậc 3 và luỹ thừa bậc 3 3 3 ( ) , ,b ay c dy e y d ac e bc + = + + + = + = + Cách giải: Đặt dx+e= 3 ay b+ . Khi đó chuyển PT về hệ 2ẩn 2 PT VD: Giải PT: 3 3 2 3 3 2x x+ = Đặt y= 3 3 2x . Khi đó phơng trình chuyển thành hệ 3 3 2 3 3 2 x y x y y x + = = = Từ đó tìm đợc x=1; x=-2 Bài tập đề nghị: Bài1: Giải các phơng trình sau: 2 2 2 2 2 2 2 / 3 3 3 6 3 / 2 5 2 2 2 5 6 1 / 3 2 2 2 6 2 2 /( 5)(2 ) 3 3 a x x x x b x x x x c x x x x d x x x x + + + = + + + = + + + + = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 4 4 2 2 2 / ( 1) 2 1 2 2 / 1 1 / 2 1 3 1 1 0 n n n e x x x x g x x x x h x x x + = + + = + + + + = Bài2: Cho phơng trình: 1 8 (1 )(8 )x x x x m+ + + + = a/ Giải phơng trình với m=3 b/ Tìm m để pt có nghiệm c/ Tìm m để pt có nghiệm duy nhất Bài3: Cho phơng trình: ( ) 2 2 2 2 2 3 0x x x x m + = a/ Giải pt với m=9 b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm Bài4: Cho phơng trình : ( ) ( ) ( ) 1 3 1 4 3 3 x x x x m x + + + = a/ Giải pt với m=-3 b/ Tìm m để pt có nghiệm Bài 5: Giải các pt sau: a/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 3 2 2 3 2 2 / 2 2 4 2 3 2 x x x x x x x b x x x x + + + = + + + = Bài6: Giải các phơng trình sau: ( ) 2 2 2 2 / 1 2 2 / 4 2 2 4 a x x x x b x x x x x = + + = + + ( ) 2 2 3 3 / 1 2 2 / 4 1 1 2 2 1 c x x x x d x x x x = + = + + Bài 7: Giải các phơng trình sau: ( ) 3 3 2 / 9 2 1 / 2 1 1 / 1 1 0 a x x b x x c x x x x x x = = + = Bài8: Với giá trị nào của a thì các pt sau có nghiệm: 3 3 / 1 1a x x a + + = / 1 1b x x a + + = Bài9: Giải và biện luận các phơng trình sau: / 4a x x m+ = 2 / 1b x x m+ = Bài10: Giải các phơng trình sau: 3 3 3 3 3 3 3 3 / 1 7 2 / 25 3 4 /1 16 3 / 4 6 1 a x x b x x c x x d x x + + = + + = + = + + = 3 3 3 3 / 2 1 1 / 24 12 6 / 2 1 1 / 2 1 3 e x x g x x h x x i x x + = + + = + = + + = Bài11: Giải các phơng trình sau: ( ) ( ) 3 3 3 2 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 / 1 1 5 / 1 1 1 1 / 1 2 3 0 7 5 6 7 5 a x x x b x x x c x x x x x d x x x + + = + + + = + + + + + = = + 2 2 / 2 3 2 2 2 2 1 2 2 / 2 9 4 3 2 1 2 21 11 2 2 / 2 2 2 2 2 e x x x x x g x x x x x x x h x x + + + + + = + + + + = + + + = + + Bài12: Giải các phơng trình sau: 2 2 3 3 / 1 4 5 / 3 1 4 13 5 / 2 3 3 2 a x x x b x x x c x x + = + + + = + + = ( ) 2 3 3 3 33 3 4 9 / 7 7 , 0 28 / 1 2 2 1 / 35 35 30 x d x x x e x x g x x x x + = + > + = + = VI. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: * Hớng1: - Đa pt về dạng f(x)=k - Xét hàm số y=f(k) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu(đb) - Nhận xét: + Với x=x 0 thì f(x)=f(x 0 )=k nên x=x 0 là nghiệm + Với x>x 0 thì f(x)>f(x 0 )=k : ptvn + Với x<x 0 thì f(x)<f(x 0 )=k : ptvn Vậy x=x 0 là nghiệm duy nhất của pt * Hớng 2: - Đa pt về dạng f(x)=g(x). - Xét hàm số y=f(x) và y=g(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số y=f(x) là hàm đồng biến còn hàm y=g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến. Xác định x 0 sao cho f(x 0 )=g(x 0 ). - x=x 0 là nghiệm duy nhất. *Hớng3: - Đa pt về dạng f(u)=f(v) - Xét hàm số y=f(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu - Khi đó u=v với mọi u,v thuộc TXĐ Bài tập đề nghị: Bài1: Giải các phơng trình sau: 3 2 2 3 / 1 4 5 / 1 3 / 1 2 2 a x x x b x x x c x x x x = + = + = + Bài2: Giải và biện luận pt: ( ) 2 2 1 2 1 1x m x m m = + + + + , với x -m VII. Ph ơng pháp điều kiện cần và đủ: *Thờng áp dụng cho các dạng toán. Tìm điều kiện của tham số để: - Pt có nghiệm duy nhất - Pt có nghiệm với mọi giá trị của 1 tham số - Pt nghiệm đúng với mọi x thuộc D - Pt tong đơng với 1 pt hoặc 1 bất ph khác * Cách làm: - Đặt ĐK để các biểu thức trong pt có nghĩa - Tìm ĐK cần - Tìm ĐK đủ VD1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất: 32 2 1 2 1x x m + = Giải: Điều kiện: 2 1 0 1 1x x ĐK cần: Nếu pt có nghiệm x 0 thì -x 0 cũng là nghiệm của pt. Do đó để pt có nghiệm duy nhất thì x 0 =-x 0 0 0 3x m = = ĐK đủ: Với m=3 thì pt: 32 2 1 2 1 3x x + = Vì 2 32 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 1 x x x x + Do đó phơng trình có nghiệm 2 3 2 1 1 0 1 1 x x x = = = Vởy với m= 3 thì phơng trình có nghiệm duy nhất VD2: Tìm m để phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x 0 2 2 2 2 4 2x x m m x m+ + + = + (1) Giải: *ĐK cần: G/s (1) có nghiệm với mọi x 0 thì x=0 là nghiệm của (1), khi đó (1): ( ) 2 2 2 2 0 2 4 2 3 2 4 2 m m m m m m m m + + = = + + = * ĐK đủ: Với m=3 thì (1) có dạng: 2 2 1 1 0x x x x+ + = + Vởy với m=3 thì (1) có nghiệm đúng với mội x 0 VD3: Tìm a,b để phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x 2 2 1 1 0a x x bx+ + + = Giải: *ĐK cần: giả sử pt có nghiệm với mọi x thì x=0 là nghiệm của pt . khi đó thay vào tìm đ- ợc a=1; b=0 *ĐK đủ: Với a=1; b=0 thay vào pt ta có pt luôn đúgn với mọi x Vởy với a=1; b=0 thì phơng trình nghiệm đúng với mọi x VD4: Cho 2 phơng trình: ( ) ( ) 2 5 2 3 3 1x x m x x m+ = + + (1) X 4 +6x 3 +9x 2 -16 =0 (2) Giải: Giải (2): x=1 hoặc x=4 ĐK cần: G/s (1) tơng đơng với (2) thì x=1 là nghiệm của (1) .Thay vào tìm đợc m=1 ĐK đủ: với m=1, thay vào (1) Tìm đợc nghiệm là 1 và -4 Vởy với m=1 thì (1) tơng đơng với (2) Bài tập đề nghị: Bài1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất: 32 2 32 2 52 2 / 1 1 / 1 2 1 / 1 8 / 4 5 a x x m b x x m c x x m d x x m + + = + = + = + + = 4 4 4 4 4 4 4 4 / 2 / 1 3 1 3 / 3 1 ( 3 1) / 2 2 e x x m g x x x x m h x x m x x i x x x x m + = + + + = + + = + + + + + = Bài2:Tìm a,b để pt sau có gnhiệm duy nhất: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 3 3 ( )ay b ay b a y b b+ + + = Bài3: Tìm m để phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x 1 2 2 2 3 3 1x x m m mx + + = Bài4: Tìm m để pt sau nghiệm đúng với [ ] 0,2x 2 2 2 1 ( 1)x x m m x x = + + Bài5: Tìm a,b để pt sau nghiệm đúng với mọi x ( ) 2 2 1 1 0x a bx b x+ + + = Bài6: Cho phơng trình và bất phơng trình : 2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 2 5 x m x x m x x x x x + + = + + + + Tìm m để phơng trình và bất phơng trình tơng đơng với nhau. VIII. Ph ơng pháp đánh giá: Đánh giá dựa trên tam thức bậc hai, BĐT, GTTĐ, . VD1: Giải phơng trình: 2 2 5 1 2x x x + + = Giải: Từ ĐK đánh giá VT luôn lớn hơn hoặc bằng 2 dựa trên tam thức bậc hai VD2: Giải phơng trình: 2 2 1 1 2x x x x + + = Giải: ĐK: 1x đánh giá VT 2 dựa trên BĐT Cosi, dấu = xảy ra khi x=1,-1 Do 1x nên x=1 VD3: Giải pt: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 4 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 2 5 x x x x x x x x x x x + + = + = + Bài tập đề nghị: Bài1: Giải các phơng trình sau: 3 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 4 44 4 / 2 7 11 25 12 6 1 1 1 / 2 2 4 / 1 2 2 1 2 2 1 3 / 2 1 2 1 2 / 2 5 3 3 2 6 1 / 1 1 1 1 1 1 6 a x x x x x b x x x x c x x x x y d y y y y e x x x x x f x x x x x x − + − = + −   − + − = − +  ÷   − + − − − − − = + + − − − − = + + − = + − + + − + + + − + + + − = 4 4 4 4 24 2 2 4 4 34 2 44 4 / 1 1 2 8 / 2 3 4 6 / 2 1 19 2 10 24 / 2 1 / 2 2 4 g x x x x h x x x i x x x x k x x x x l x x x x + − + + − = + − = − + − + − = − + − − = − + + + − + − = Bµi2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 2 2 / 4 4 6 9 1 / 4 4 9 6 1 / 6 4 2 11 6 2 1 a x x x x b x x x x c x x x x − + + − + = + − + + − = + − + + + − + = 2 2 2 / 2 4 2 7 6 2 1 / 6 2 1 / 7 9 16 66 d x x x x e x x x g x x x x + − − + + − − = + = − − − + − = − + Bµi3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: ( ) ( ) 2 / 1 10 2 5 / 1 3 2 1 3 5 4 2 a x x x x b x x x x x x + + + = + + + − + + + − − + = − ----------------------------------------------------------------------------------------------------- . / 4 4 6 9 1 / 4 4 9 6 1 / 6 4 2 11 6 2 1 a x x x x b x x x x c x x x x − + + − + = + − + + − = + − + + + − + = 2 2 2 / 2 4 2 7 6 2 1 / 6 2 1 / 7 9 16 66. x x x b x x x c x x x x + = + + = + + = / 2 1 1 1 / 2 1 2 1 2 / 6 9 6 9 6 d x x x e x x x x g x x x x = + + = + + = Bài3: Cho phơng trình: