Đang tải... (xem toàn văn)
Basnet-Sharma-Dutta đã giới thiệu và nghiên cứu khái niệm đồ thị lũy linh của một vành giao hoán hữu hạn. Trong bài báo này, chúng tôi tính được số thành phần liên thông của đồ thị lũy linh cho vành Zn. Áp dụng kết quả này, chúng tôi đặc trưng được tính liên thông và tính đầy đủ của đồ thị lũy linh cho vành Zn.
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 48, Số 4A (2019), tr 5-22 ĐỒ THỊ LŨY LINH TRÊN VÀNH Zn Lê Văn An (1) , Nguyễn Thị Hải Anh (1) , Nguyễn Thị Thanh Huyền (2) Latthvone Douangsanga (3) Khoa Sư phạm - Trường Đại học Hà Tĩnh Lớp cao học khóa 26, Đại số Lý thuyết số - Trường Đại học Vinh Sinh viên K8 Sư phạm Toán - Trường Đại học Hà Tĩnh Ngày nhận 18/8/2019, ngày nhận đăng 22/10/2019 Tóm tắt: Trong [4], Basnet-Sharma-Dutta giới thiệu nghiên cứu khái niệm đồ thị lũy linh vành giao hốn hữu hạn Trong báo này, chúng tơi tính số thành phần liên thơng đồ thị lũy linh cho vành Zn Áp dụng kết này, chúng tơi đặc trưng tính liên thơng tính đầy đủ đồ thị lũy linh cho vành Zn Từ khóa: Phần tử lũy linh; đồ thị; đồ thị lũy linh; đồ thị đầy đủ; đồ thị liên thông; thành phần liên thông Đặt vấn đề Trong tồn báo này, chúng tơi quan tâm xem xét vành R hữu hạn, kết hợp có đơn vị khác khơng Ký hiệu Zn để vành lớp thặng dư môđulô n Cho tập hợp hữu hạn X, ký hiệu card(X) số phần tử tập hợp X Cho hai số tự nhiên k, n, ký n n = Cho số tổ hợp chập k n phần tử với lưu ý n < k hiệu k k hai số nguyên dương a, b, ký hiệu ước chung lớn chúng gcd(a, b) Lý thuyết đồ thị đối tượng nghiên cứu quan trọng Hình học tổ hợp có nhiều ứng dụng thực tế Hiện nay, Lý thuyết đồ thị tác động vào nhiều chuyên ngành khác Toán học Một lĩnh vực Tốn học mà Lý thuyết đồ thị có nhiều tác động Đại số Nghiên cứu cấu trúc đại số thông qua Lý thuyết đồ thị ngược lại vấn đề thời nhiều tác giả quan tâm (xem [1], [2], [9]) Trong [4], tác giả sử dụng khái niệm đồ thị để biễu diễn phần tử lũy linh vành giao hoán hữu hạn có đơn vị = Trong báo đó, tập hợp đỉnh đồ thị tập hợp phần tử không lũy linh vành, cạnh nối hai đỉnh phân biệt x, y x + y phần tử lũy linh vành R Đồ thị G khơng có khuyên hai phần tử không lũy linh phân biệt có tổng phần tử lũy linh dẫn đến đồ thị G đầy đủ Một câu hỏi đặt là: Câu hỏi 1: "Vành giao hốn R có đặc trưng để đồ thị G đầy đủ ngược lại?" Một số câu hỏi thú vị khác đặt là: Câu hỏi 2: Vành R có đặc trưng để đồ thị G liên thơng? Câu hỏi 3: Tính số thành phần liên thông đồ thị lũy linh? 1) Email: an.levan@htu.edu.vn (L V An) L V An, N T H Anh, N T T Huyền, L Douangsanga/ Đồ thị lũy linh vành Zn Việc giải câu hỏi cho lớp vành giao hốn hữu hạn có đơn vị = vấn đề thú vị không đơn giản Trong báo này, xem xét câu hỏi cho trường hợp đặc biệt Cụ thể nghiên cứu số khía cạnh đồ thị lũy linh cho vành lớp thặng dư môđulô n Định lý 11 báo trả lời Câu hỏi 1, cho vành lớp thặng dư môđulô n Chúng ta biết vành giao hoán tổng hai phần tử lũy linh phân biệt x, y có bậc lũy linh m n phần tử lũy linh m+n m+n (x + y) = k=0 xk m+n k xk y m+n−k = 0, y m+n−k (do = với k ≥ m = với k < m) Tuy nhiên tổng hai phần tử khơng lũy linh phân biệt khơng phần tử lũy linh Vì thế, Định lý 11 trả lời phần câu hỏi: "Khi tổng hai phần tử không lũy linh phân biệt phần tử lũy linh?" Định lý Định lý 10 báo trả lời Câu hỏi Câu hỏi cho lớp vành lớp thặng dư môđulô n Kỹ thuật để giải vấn đề đặt báo tính tốn tổ hợp tập hợp hữu hạn ý tưởng số học số nguyên tố Một kết thường xuyên sử dụng Định lý số học nói số tự nhiên lớn biễu diễn cách thành tích thừa số nguyên tố với số mũ Tức là, n ≥ 2, biễu diễn dạng n = pα1 pα2 pαk k p1 , p2 , , pk số nguyên tố đôi phân biệt α1 , α2 , , αk số nguyên dương (với k số nguyên dương) Các khái niệm Cho vành R, phần tử x ∈ R gọi lũy linh (nilpotent) tồn số nguyên dương k cho xk = 0, số ngun dương k nhỏ có tính chất gọi bậc lũy linh phần tử x Đối với vành R bất kỳ, ký hiệu N il(R) tập tất phần tử lũy linh Một kết quan trọng đẹp Đại số tuyến tính khẳng định A phần tử vành ma trận vuông cấp n trường K bậc lũy linh A khơng vượt q n Các khái niệm tính chất phần tử lũy linh tìm thấy tài liệu [3], [10] Các phần tử lũy linh vành đối tượng nghiên cứu Lý thuyết vành nhiều tác giả quan tâm Giả thuyết Kothe liên quan đến phần tử lũy linh iđêan lũy linh đề xuất từ năm 1930 đến chưa giải nhận quan tâm nhiều nhà đại số giới (xem [5], [7], [8]) Một đồ thị vô hướng (graph) gồm thành phần G = G(V, E) V tập đỉnh E tập cạnh, cạnh AB ∈ E nghĩa cạnh nối điểm A với điểm B (hay điểm B nối với điểm A) Trong trường hợp cạnh nối điểm A với gọi khun (loop) Một đồ thị G khơng có khun, hai đỉnh nối với nhiều cạnh gọi đồ thị đơn (simple graph) Một đồ thị đơn G gọi đầy đủ (complete graph) cặp đỉnh G nối với cạnh Xét đỉnh v ∈ V đồ thị G = G(V, E) ta nói bậc v k ký hiệu k = deg(v) v đầu mút k cạnh (tính khuyên) Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 48, Số 4A (2019), tr 5-22 Cho G = G(V, E) đồ thị, đường (path) từ đỉnh A ∈ V đến đỉnh B ∈ V đồ thị dãy đỉnh v1 v2 vk cho v1 = A, vk = B đỉnh vi nối với đỉnh vi+1 (i = 1, 2, , k − 1) Đường đơn (simple path) đường mà đỉnh đơi phân biệt trừ điểm đầu điểm cuối không thiết phân biệt Chu trình (cycle) đường khép kín tức điểm đầu điểm cuối trùng Chu trình đường đơn gọi chu trình đơn (simple cycle) Đồ thị G khơng có chu trình gọi acyclic Lưu ý cạnh đường Tương tự khuyên chu trình gọi chu trình tầm thường (trivial cycle) Một chu trình khơng phải khun gọi chu trình khơng tầm thường (nontrivial cycle) Đồ thị G gọi liên thông (connected) hai đỉnh x, y G tồn đường G nối x với y Cho G = G(V, E) đồ thị, đồ thị G = G (V , E ) V ⊂ V E ⊂ E gọi đồ thị (subgraph) đồ thị G Đồ thị liên thông tối đại G (tức đồ thị đồ thị liên thơng khơng thể nhận thêm đỉnh mà trì tính chất liên thơng) gọi thành phần liên thông (connected component) G Nếu G đồ thị liên thơng có thành phần liên thơng (chính tồn đồ thị) Nếu G đồ thị không liên thông chia nhỏ thành đồ thị liên thông mà đồ thị thành phần liên thông G Các khái niệm tính chất Lý thuyết đồ thị tìm thấy tài liệu [6], [9] Hình 1: Đồ thị liên thơng có khun L V An, N T H Anh, N T T Huyền, L Douangsanga/ Đồ thị lũy linh vành Zn Hình 2: Các ví dụ đồ thị đầy đủ với số đỉnh 2, 3, Nếu gộp ba đồ thị lại có đồ thị gồm thành phần liên thông Đồ thị lũy linh Trong mục giới thiệu định nghĩa đồ thị lũy linh cho vành kết hợp Lưu ý rằng, khái niệm đồ thị lũy linh mà Basnet-Sharma-Dutta giới thiệu [4], xét R vành giao hoán hữu hạn Trong báo này, chúng tơi xét vành R có tính chất kết hợp có đơn vị = tổng qt [4] Sau chúng tơi số ví dụ đồ thị lũy linh cho số lớp vành cụ thể Định nghĩa Cho R vành kết hợp có đơn vị Đồ thị G = G(V, E) gọi đồ thị lũy linh (nilpotent graph) vành R tập đỉnh V G tập tất phần tử thuộc R\N il(R) tập cạnh E G tập tất đường nối hai phần tử x y phân biệt thuộc V cho x + y ∈ N il(R) Tiếp theo chúng tơi giới thiệu số ví dụ cụ thể đồ thị lũy linh cho số lớp vành Trong trường hợp vành R khơng giao hốn quan tâm đến lớp vành ma trận vuông cấp (Ví dụ Ví dụ 2) Trong trường hợp vành R giao hốn chúng tơi quan tâm lớp vành lớp thặng dư mơđulơ n Ví dụ Xét vành R = M2 (Z2 ) vành ma trận vuông cấp vành Z2 Khi có 0 N il(R) = N il(M2 (Z2 )) = { ; 0 0 ; 0 Vì tập đỉnh đồ thị G là: V = {V1 1 1 0 ; V3 } ; ; V2 1 ; Trường Đại học Vinh 0 Tạp chí khoa học, Tập 48, Số 4A (2019), tr 5-22 1 1 V4 ; V5 ; V6 ; V7 ; V8 ; 1 0 1 0 1 1 ; V10 ; V11 ; V12 } V9 1 1 Do đồ thị G là: Hình 3: Đồ thị lũy linh vành R = M2 (Z2 ) Ví dụ Xét vành R = T2 (Z2 ) vành ma trận tam giác cấp vành Z2 Khi có 0 ; } N il(R) = { 0 0 1 0 ; V2 ; V3 ; Vì tập đỉnh đồ thị G là: V = {V1 0 0 1 1 ; V5 ; V6 } V4 = 1 L V An, N T H Anh, N T T Huyền, L Douangsanga/ Đồ thị lũy linh vành Zn Do đồ thị G là: Hình 4: Đồ thị lũy linh vành R = T2 (Z2 ) Ví dụ Xét vành R = Z12 , suy N il(R) = {0, 6} Do có V = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11} Đồ thị G là: Hình 5: Đồ thị lũy linh vành R = Z12 Vấn đề chủ yếu mà báo quan tâm tính số thành phần liên thơng đồ thị lũy linh cho vành lớp thặng dư môđulô n Từ điều kiện cần đủ số nguyên dương n để đồ thị lũy linh vành Zn đồ thị liên thông đồ thị đầy đủ Các kết vấn đề nội dung phần sau 10 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 48, Số 4A (2019), tr 5-22 Tính liên thơng đầy đủ đồ thị lũy linh cho vành Zn Trong mục xét đồ thị lũy linh vành lớp thặng dư môđulô n Để bắt đầu cho kết mục này, đưa số nhận xét sau đây: n Nhận xét Nếu G = G(V, E) đồ thị đầy đủ card(V ) = n card(E) = Nhận xét Nếu G = G(V, E) đồ thị đơn card(E) = v∈V deg(v) Nhận xét Cho n số nguyên dương lớn 1, n có phân tích tiêu chuẩn thành tích thừa số nguyên tố n = pα1 pα2 pαk k với p1 , p2 , , pk số nguyên tố đôi phân biệt α1 , α2 , αk số nguyên dương (và k số nguyên dương) Xét Zn vành lớp thặng dư mơđulơ n, đó: N il(R) = {ip1 p2 pk }, với i = 0, 1, , pα1 −1 pα2 −1 pkαk −1 − Kết chúng tơi đưa cơng thức tính số đỉnh đồ thị lũy linh vành lớp thặng dư môđulô n với n > số nguyên dương Mệnh đề Cho số nguyên dương n lớn có biểu diễn dạng n = pα1 pα2 pαk k p1 , p2 , , pk số nguyên tố phân biệt α1 , α2 , , αk số nguyên dương (với k số nguyên dương) Gọi G = G(V, E) đồ thị lũy linh vành R = Zn Khi đó: card(V ) = (pα1 −1 pα2 −1 pαk k −1 )(p1 p2 pk − 1) Chứng minh Chúng ta có: N il(R) = {ip1 p2 pk }, với i = 0, 1, , pα1 −1 pα2 −1 pkαk −1 − 1, suy ra, card(N il(R)) = pα1 −1 pα2 −1 pαk k −1 Do đó: card(V ) = n − card(N il(R)) = (pα1 −1 pα2 −1 pαk k −1 )(p1 p2 pk − 1) Một câu hỏi thú vị đặt n = 2t với t số nguyên dương G = G(V, E) đồ thị lũy linh vành R = Zn , G có đặc điểm gì? Từ việc quan sát ví dụ cụ thể có kết sau: Mệnh đề Cho vành R = Z2t với t số nguyên dương G = G(V, E) đồ thị lũy linh vành R Khi G đồ thị đầy đủ Chứng minh Giả sử n = 2t , chứng minh G đồ thị đầy đủ Trong trường hợp t = vành Z2 = {0, 1}, suy V = {1} khơng có cạnh Đồ thị đồ thị đầy đủ 11 L V An, N T H Anh, N T T Huyền, L Douangsanga/ Đồ thị lũy linh vành Zn Với t = 2, đồ thị G gồm hai đỉnh cạnh nên đồ thị đầy đủ Cuối xét t ≥ 3, có: N il(Z2t ) = {2i | i = 0, 1, , 2t−1 − 1} Suy V = {1, 3, , 2t − 1} Xét hai đỉnh phân biệt x y V Vì số nguyên dương x, y số lẻ nên x + y số chẵn Do với x + y = z, có z số nguyên dương chẵn, tức z ∈ N il(Z2t ) Điều suy đỉnh x nối với đỉnh y Vậy G đồ thị đầy đủ Trong trường hợp này, số cạnh đồ thị lũy linh là: Hệ Cho vành R = Z2t với t số nguyên dương G = G(V, E) đồ thị lũy linh vành R Khi đó: 2t−1 card(E) = Chứng minh Theo Mệnh đề 1, card(V ) = 2t−1 Mặt khác, theo Mệnh đề 2, G đồ thị đầy đủ nên có: card(E) = 2t−1 Từ quan sát đồ thị lũy linh vành Z3t với t = 1, 2, thấy G đồ thị liên thông Tổng quát hơn, có: Mệnh đề Cho vành R = Z3t với t số nguyên dương G = G(V, E) đồ thị lũy linh vành R Khi G đồ thị liên thơng Chứng minh Giả sử n = 3t , chứng minh G đồ thị liên thông Trong trường hợp t = vành Z3 = {0, 1, 2}, suy V = {1, 2} có cạnh nối với Do đồ thị đồ thị liên thơng Với t ≥ 2, có: N il(Z3t ) = {3i | i = 0, 1, , 3t−1 − 1} Do V = {3i + 1, 3i + | i = 0, 1, , 3i−1 −1} Nhận xét với i, j ∈ {1, 2, , 3i−1 − 1} có 3i + + 3j + ∈ N il(3t ), suy đỉnh 3i + nối với đỉnh 3j + Từ có chu trình e = 3i − 3i + 3i + 3t − 3t − 3t − 1 qua tất đỉnh G Do với hai đỉnh x, y ∈ V x = y tồn đường từ x đến y phần chu trình e Hệ sau cách tính số cạnh đồ thị lũy linh vành R = Z3t Hệ Cho vành R = Z3t với t số nguyên dương G = G(V, E) đồ thị lũy linh vành R Khi card(E) = 32t−2 12 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 48, Số 4A (2019), tr 5-22 Chứng minh Công thức với t = (khi card(E) = 1) Với t ≥ 2, xét tập hợp V1 = {i.3 + : i = 0, 1, , 3t−1 − 1} V2 = {i.3 + : i = 0, 1, , 3t−1 − 1}, suy V = V1 ∪ V2 V1 ∩ V2 = ∅ Xét hai đỉnh i.3 + i + V1 có: i.3 + + i + ∈ N il(Z3t ), suy đỉnh V1 khơng nối với Hồn tồn tương tự đỉnh V2 không nối với Mặt khác xét hai đỉnh i.3 + ∈ V1 i + ∈ V2 có: i.3 + + i + ∈ N il(Z3t ), suy đỉnh V1 nối với tất đỉnh V2 ngược lại đỉnh V2 nối với tất đỉnh V1 Do đó: card(E) = card(V1 ).card(V2 ) = 3t−1 3t−1 = 32t−2 Một câu hỏi đặt đồ thị lũy linh G có thành phần liên thơng? Cụ thể hơn, G đồ thị lũy linh vành R = Zn số n liên hệ với số thành phần liên thông G Bổ đề đưa công thức liên hệ cho trường hợp đặc biệt số ngun dương n (với n khơng có ước phương) Bổ đề Cho số nguyên dương n lớn có biểu diễn dạng n = p1 p2 pk p1 , p2 , , pk số nguyên tố phân biệt cho p1 < p2 < < pk (với k số nguyên dương) Gọi G = G(V, E) đồ thị lũy linh vành R = Zn Gọi C số thành phần liên thông G, đó: n = 2; 1 C = p2 p3 pk p1 = k ≥ 2; n−1 p1 > 2 Chứng minh Chúng ta có N il(Zn ) = 0, suy ra, V = {1, 2, , n − 1} Tính toán tầm thường với n = Chúng ta kiểm tra với n > Nhận xét với x ∈ V tồn phần tử y = n − x ∈ V cho x + y = Do đỉnh G có bậc (đỉnh x có bậc x = n − x) Nếu n = 2p2 p3 pk (với k ≥ n > 2), thành phần liên thông G {1, 2p2 pk − 1}, {2, 2p2 pk − 2}, , {p2 p3 pk − 1, p2 p3 pk + 1} {p2 p3 pk } Do số thành phần liên thông G là: C = p2 p3 pk Nếu n = p1 p2 pk với p1 > n−1 số chẵn x = n − x Từ tất đỉnh G có bậc số thành phần liên thơng G C = n−1 Hệ sau đưa cơng thức tính số cạnh đồ thị G trường hợp n khơng có ước phương 13 L V An, N T H Anh, N T T Huyền, L Douangsanga/ Đồ thị lũy linh vành Zn Hệ Cho số nguyên dương n lớn có biểu diễn dạng n = p1 p2 pk p1 , p2 , , pk số nguyên tố phân biệt cho p1 < p2 < < pk (với k số nguyên dương) Gọi G = G(V, E) đồ thị lũy linh vành R = Zn Khi n = 2; 0 card(E) = p2 p3 pk − p1 = k ≥ 2; n−1 p1 > 2 Chứng minh Tính tốn tầm thường với n = Nếu n = 2p2 p3 pk với k ≥ 2, thành phần liên thông G là: G1 = {1, 2p2 pk − 1}, G2 = {2, 2p2 pk − 2}, , Gp2 p3 pk −1 = {p2 p3 pk − 1, p2 p3 pk + 1} Gp2 p3 pk = {p2 p3 pk } Trong thành phần liên thơng G1 , , Gp2 p3 pk −1 có cạnh thành liên thơng Gp2 p3 pk có đỉnh khơng có cạnh Từ đó: card(E) = p2 p3 pk − Nếu n = p1 p2 pk với p1 > n − số chẵn tất đỉnh G có bậc suy ra, n−1 card(E) = Định lý sau đưa công thức tính số thành phần liên thơng đồ thị lũy linh G vành R = Zn với n > số nguyên dương Định lý Cho số nguyên dương n lớn có biểu diễn dạng n = pα1 pα2 pαk k p1 , p2 , , pk số nguyên tố phân biệt cho p1 < p2 < < pk α1 , α2 , , αk số nguyên dương (với k số nguyên dương) Gọi G = G(V, E) đồ thị lũy linh vành R = Zn Gọi C số thành phần liên thông G, đó: p1 = k = 1; 1 C = p2 p3 pk p1 = k ≥ 2; p1 p2 pk −1 p1 > 2 Hơn nữa, với p1 = tồn αj > với j ∈ {1, , k} ln có thành phần liên thơng đồ thị đầy đủ không tầm thường (tức số đỉnh đồ thị đầy đủ lớn 1) Chứng minh Bước Nếu α1 = α2 = = αk = 1, theo Bổ đề 6, có: p1 = k = 1; 1 C = p2 pk p1 = k ≥ 2; p1 p2 pk −1 p1 > 2 14 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 48, Số 4A (2019), tr 5-22 Bước Nếu tồn αj > với j ∈ {1, , k} Chúng ta có: N il(R) = {ip1 p2 pk }, với i = 0, 1, , pα1 −1 pα2 −1 pkαk −1 − Trường hợp Nếu p1 > 2, n số nguyên dương lẻ Xét tập hợp: V1 = {ip1 p2 pk + 1, ip1 p2 pk + p1 p2 pk − 1}, với i = 0, 1, , pα1 −1 pα2 −1 pαk k −1 − 1; V2 = {ip1 p2 pk + 2, ip1 p2 pk + p1 p2 pk − 2}, với i = 0, 1, , pα1 −1 pα2 −1 pαk k −1 − 1; ; V p1 p2 pk −1 = {ip1 p2 pk + p1 p2 pk − p1 p2 pk + , ip1 p2 pk + }, 2 với i = 0, 1, , pα1 −1 pα2 −1 pαk k −1 − Chúng ta có: p1 p2 pk −1 V = Vs s=1 Vs Vt = ∅ k −1 với s, t ∈ {1, 2, , p1 p2 p } s = t Với tập Vs có: ip1 p2 pk + s + i p1 p2 pk + p1 p2 pk − s ∈ N il(R), đó, i, i ∈ {0, 1, , pα1 −1 pα2 −1 pαk k −1 − 1}; suy hai điểm ip1 p2 pk + s i p1 p2 pk + p1 p2 pk − s nối với Do es = s p1 p2 pk − s p1 p2 pk + s pα1 pα2 pαk k − p1 p2 pk + s pα1 pα2 pαk k − s s chu trình qua tất đỉnh Vs k −1 Xét hai tập Vs Vt cho s, t ∈ {1, 2, , p1 p2 p } s = t, có: ip1 p2 pk + s + i p1 p2 pk + t ∈ N il(R); ip1 p2 pk + s + i p1 p2 pk + p1 p2 pk − t ∈ N il(R); ip1 p2 pk + p1 p2 pk − s + i p1 p2 pk + t ∈ N il(R); 15 L V An, N T H Anh, N T T Huyền, L Douangsanga/ Đồ thị lũy linh vành Zn ip1 p2 pk + p1 p2 pk − s + i p1 p2 pk + p1 p2 pk − t ∈ N il(R); i, i ∈ {0, 1, , pα1 −1 pα2 −1 pαk k −1 − 1} Điều suy đỉnh Vs nối với đỉnh thuộc Vt Từ đồ thị G rã thành đồ thị G1 , G2 , , G p1 p2 pk −1 với tập đỉnh V1 , V2 , , V p1 p2 pk −1 tập cạnh Vs nối đỉnh dạng ip1 p2 pk + s i p1 p2 pk + p1 p2 pk − s Mặt khác đỉnh Vs thuộc chu trình es , suy Gs đồ thị liên thơng tối đại G Điều có nghĩa Gs thành phần liên thông G Vậy số thành phần liên thông trường hợp là: C= p1 p2 pk − Trường hợp Nếu p1 = 2, n số nguyên dương chẵn Nếu n = 2α1 , theo Mệnh đề 2, có C = Hơn G đồ thị đầy đủ Với k ≥ 2, xét tập hợp: V1 = {i2p2 pk + 1, i2p2 pk + 2p2 pk − 1}, với i = 0, 1, , 2α1 −1 pα2 −1 pαk k −1 − 1; V2 = {i2p2 pk + 2, i2p2 pk + 2p2 pk − 2}, với i = 0, 1, , 2α1 −1 pα2 −1 pαk k −1 − 1; ; Vp2 pk −1 = {i2p2 pk + p2 pk − 1, i2p2 pk + p2 pk + 1}, với i = 0, 1, , 2α1 −1 pα2 −1 pαk k −1 − 1; Vp2 pk = {i2p2 pk + p2 pk }, với i = 0, 1, , 2α1 −1 pα2 −1 pαk k −1 − Chúng ta có: p2 pk V = Vs s=1 Vs với s, t ∈ {1, 2, , p2 pk } s = t 16 Vt = ∅ Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 48, Số 4A (2019), tr 5-22 Lý luận tương tự trường hợp 1, đồ thị G tách thành thành phần liên thông G1 , G2 , , Gp2 pk với tập đỉnh V1 , V2 , , Vp2 pk Điều suy số thành phần liên thông đồ thị G trường hợp là: C = p2 pk Hơn nữa, trường hợp thành phần liên thông Gp2 pk với tập đỉnh Vp2 pk đồ thị đầy đủ Thật vậy, với hai đỉnh Vp2 pk có: i2p2 pk + p2 pk + i 2p2 pk + p2 pk ∈ N il(R) i, i ∈ {0, 1, , pα1 −1 pα2 −1 pαk k −1 − 1}; i = i Điều suy hai đỉnh phân biệt Vp2 pk nối với Do Gp2 pk đồ thị đầy đủ Ngoài thành phần liên thông G1 , G2 , , Gp2 pk −1 không đồ thị đầy đủ Thật vậy, xét thành phần liên thông Gs với tập đỉnh Vs s ∈ {1, , p2 pk − 1} có hai đỉnh s + 2p2 pk + s ∈ N il(R) Điều dẫn đến hai đỉnh s 2p2 pk + s không nối với Gs , suy Gs không đồ thị đầy đủ Vậy trường hợp ln có thành phần liên thông đồ thị đầy đủ Từ Định lý 8, đưa công thức tính số cạnh đồ thị lũy linh G vành R = Zn với n > số nguyên dương Như với Mệnh đề 1, Hệ cho ta công thức tính số đỉnh số cạnh đồ thị lũy linh vành lớp thặng dư môđulô n với n > số nguyên dương Hệ Cho số nguyên dương n lớn có biểu diễn dạng n = pα1 pα2 pαk k p1 , p2 , , pk số nguyên tố phân biệt cho p1 < p2 < < pk α1 , α2 , , αk số nguyên dương (với k số nguyên dương) Gọi G = G(V, E) đồ thị lũy linh vành R = Zn Khi đó: 2α1 −1 n = 2α1 ; 2α1 −1 pα2 −1 pαk k −1 card(E) = 2α1 −2 p2α2 −2 p2αk −2 )(p p p − 1) + (2 p1 = 2, k ≥ 2; k k 2α −2 2α −2 2α −2 (p1 p2 pk k )(p1 p2 pk −1) p > 2 Chứng minh Gọi C số thành phần liên thông G, xét hai trường hợp sau: k −1 Trường hợp Nếu p1 > 2, n số nguyên dương lẻ C = p1 p2 p Gọi G1 , G2 , , G p1 p2 pk −1 thành phần liên thông G với tập đỉnh V1 , , V p1 p2 pk −1 2 17 L V An, N T H Anh, N T T Huyền, L Douangsanga/ Đồ thị lũy linh vành Zn xác định chứng minh Định lý Xét tập đỉnh Vs thành phần liên thông Gs k −1 (với s = 1, , p1 p2 p ) có: Vs = {ip1 p2 pk + s, ip1 p2 pk + p1 p2 pk − s}, với i = 0, 1, , pα1 −1 pα2 −1 pαk k −1 − Nhận xét rằng: ip1 p2 pk + s + i p1 p2 pk + p1 p2 pk − s ∈ N il(R), ip1 p2 pk + s + i p1 p2 pk + s ∈ N il(R), ip1 p2 pk + p1 p2 pk − s + i p1 p2 pk + p1 p2 pk − s ∈ N il(R), i, i ∈ {0, 1, , pα1 −1 pα2 −1 pαk k −1 − 1} Điều dẫn đến bậc phần tử Vs pα1 −1 pα2 −1 pαk k −1 Do đó: −2 2α2 −2 card(Es ) = p2α p2 pk2αk −2 với Gs = Gs (Vs , Es ), Es tập cạnh thành phần liên thông Gs Mặt khác thành phần liên thông G1 , G2 , , G p1 p2 pk −1 có số đỉnh số cạnh Chúng ta có p1 p2 pk −1 card(E) = card(Es ) = s=1 k −2 −2 2α2 −2 (p2α p2 p2α )(p1 p2 pk − 1) k Trường hợp Nếu p1 = 2, n số nguyên dương chẵn Nếu n = 2α1 C = theo Hệ 3, có card(E) = 2α1 −1 Với k ≥ 2, suy C = p2 pk Lý luận tương tự theo chứng minh Định lý 8, có p2 pk − thành phần liên thông Gs ứng với tập đỉnh Vs với s = 1, , p2 pk − xác định bởi: V1 = {i2p2 pk + s, i2p2 pk + 2p2 pk − s}, với i = 0, 1, , 2α1 −1 pα2 −1 pαk k −1 − Gọi Es tập cạnh Gs , tương tự trường hợp 1, suy ra, −2 card(Es ) = 22α1 −2 p2α pk2αk −2 18 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 48, Số 4A (2019), tr 5-22 Thành phần liên thông Gp2 pk với tập đỉnh Vp2 pk xác định bởi: Vp2 pk = {i2p2 pk + p2 pk }, với i = 0, 1, , 2α1 −1 pα2 −1 pαk k −1 − 1; đồ thị đầy đủ Do gọi tập cạnh Gp2 pk Ep2 pk có: 2α1 −1 pα2 −1 pαk k −1 card(Ep2 pk ) = Vậy p2 pk −1 card(E) = card(Es ) + card(Ep2 pk ) = s=1 k −2 −2 )(p2 p3 pk − 1) + = (22α1 −2 p2α p2α k 2α1 −1 pα2 −1 pαk k −1 Theo Mệnh đề Mệnh đề 3, R = Z2t R = Z3t đồ thị lũy linh R liên thông (lưu ý đồ thị đầy đủ đồ thị liên thơng) Tuy nhiên liệu có lớp số nguyên dương n > khác để G đồ thị liên thông hay không? Định lý sau khẳng định có n = 2t n = 3t mà Định lý 10 Cho vành R = Zn với n số nguyên dương lớn G = G(V, E) đồ thị lũy linh vành R Khi khẳng định sau tương đương: (i) G(V, E) đồ thị liên thông; (ii) n = 2t n = 3t với t số nguyên dương Chứng minh (i) =⇒ (ii) Giả sử G(V, E) đồ thị liên thông, chứng minh n = 2t t với t số nguyên dương Đặt n = pα1 pα2 pαk k p1 , p2 , , pk số nguyên tố phân biệt cho p1 < p2 < < pk α1 , α2 , , αk số nguyên dương (với k số nguyên dương) Khi theo Định lý 8, số thành phần liên thơng C đồ thị G là: 1 C = p2 p3 pk p1 p2 pk −1 n = 2α1 ; p1 = k ≥ 2; p1 > Vì G đồ thị liên thông nên C = Nếu p1 = k ≥ số thành phần liên thông p2 p3 pk ≥ > 1, điều mâu thuẫn với tính chất số thành phần liên thơng G Do n = 2α1 Nếu p1 > 2, giả sử p1 ≥ số thành phần liên thơng G là: p1 p2 pk − ≥ 2 19 L V An, N T H Anh, N T T Huyền, L Douangsanga/ Đồ thị lũy linh vành Zn Điều mâu thuẫn với tính chất C = Do p1 = giả sử k > (tức tồn p2 ≥ 5), số thành phần liên thơng G là: 3p2 pk − ≥ Điều mâu thuẫn với tính chất số thành phần liên thơng G Do k = n = 3α1 Vậy n = 2t n = 3t (với t = α1 ), tính chất (ii) chứng minh (ii) =⇒ (i) Với n = 2t n = 3t (trong t số nguyên dương) Theo Định lý 8, số thành phần liên thông C đồ thị G là: C= 3−1 p = 2; = p = Điều dẫn đến G đồ thị liên thông Định lý sau đưa điều kiện cần đủ n để đồ thị lũy linh vành R = Zn đồ thị đầy đủ Định lý 11 Cho vành R = Zn với n số nguyên dương lớn G = G(V, E) đồ thị lũy linh vành R Khi khẳng định sau tương đương: (i) G(V, E) đồ thị đầy đủ; (ii) n = 2t với t số nguyên dương n = Chứng minh (i) =⇒ (ii) Giả sử G(V, E) đồ thị đầy đủ, chứng minh n = 2t (với t số nguyên dương) n = Giả sử n = 2t n = Chúng ta xét phân tích tiêu chuẩn số nguyên dương n = pα1 pα2 pαk k p1 , p2 , , pk số nguyên tố phân biệt α1 , α2 , , αk số nguyên dương (với k số nguyên dương) Khơng tính chất tổng qt ta có giả sử ≤ p1 < p2 < < pk Trường hợp Xét trường hợp k = 1, suy n = pα1 Theo giả sử ta có p1 ≥ Trước hết ta giả sử p1 ≥ 5, có: N il(Zpα1 ) = {ip | i = 0, 1, , pα1 −1 − 1} Suy 1, 2, ∈ V = Zpα1 \N il(Zpα1 ) + = Do đỉnh khơng nối với đỉnh 2, trái 1 giả thiết G đồ thị đầy đủ Từ p1 = theo giả sử α1 ≥ Khi N il(Z3α1 ) = {3, 6, , 3α1 − 3}, suy 1, 4, ∈ V + = Do đỉnh không nối với đỉnh 4, trái giả thiết G đồ thị đầy đủ Từ k > Trường hợp Xét trường hợp k ≥ 2, suy ra, N il(Zn ) = {ip1 p2 pk | i = 0, 1, , pα1 −1 pα2 −1 pαk k −1 − 1} Vì p1 p2 pk ≥ nên 1, 2, ∈ V + = Do đỉnh khơng nối với đỉnh 2, trái giả thiết G đầy đủ Vậy xảy n = 2t n = Điều kiện (ii) chứng minh 20 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 48, Số 4A (2019), tr 5-22 (ii) =⇒ (i) Giả sử n = 2t n = 3, chứng minh G đồ thị đầy đủ Với n = 3, có vành Z3 = {0, 1, 2} đồ thị G gồm hai đỉnh đồng thời hai đỉnh nối với cạnh, suy G đồ thị đầy đủ Với n = 2t theo Mệnh đề 2, G đồ thị đầy đủ Điều kiện (i) chứng minh Chúng kết thúc viết câu hỏi mở đây: Câu hỏi Mơ tả vành giao hốn mà đồ thị lũy linh chúng đầy đủ hay liên thông? Lời cảm ơn: Bài báo hỗ trợ kinh phí đề tài cấp Bộ Giáo dục Đào tạo, Mã số: B2018-HHT-02 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G Abrams and G Aranda Pino, "The Leavitt path algebra of a graph", J Algebra, Vol 293, 319-334, 2005 [2] D F Anderson and P Livingston, "The Zero-Divisior Graph of a commutative ring", J Algebra, Vol 217, 434-447, 1999 [3] M F Atiyah and I G MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, AddisonWesley, Reading, MA, 1969 [4] D K Basnet, A Sharma and R Dutta, Nilpotent graph, Arxiv: 1804.08937, page, 2018 [5] A J Diesl, "Nil clean rings", J Algebra, Vol 383, 197-121, 2013 [6] R Diestel, Graph Theory, Springer - Verlag, New York, 1997 [7] G Kă othe, Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollstăandig reduzibel ist, Math Zei., Vol 32, 161-186, 1930 [8] J Matczuk, "Conjugate (nil) clean rings and Kothe’s problem", Journal of Algebra and Its Applications, Vol 16, (14 page), 2017 [9] I Reaburn, Graph Algebras, Volume 103 of CBMS Regional Conference Serial in Mathematics Published for the Conference Board of the Mathematical Science, Washington DC, 2005 [10] R Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach, Reading, 1991 21 L V An, N T H Anh, N T T Huyền, L Douangsanga/ Đồ thị lũy linh vành Zn SUMMARY NILPOTENT GRAPHS OF THE RINGS Zn In [4], Basnet-Sharma-Dutta introduced and studied the concept of the nilpotent graph of a finite commutative ring In this paper, we calculate the number of connected components of the nilpotent graphs of the rings Zn Applying this result, we characterize the connective properties and completeness of the nilpotent graphs of the rings Zn Keyword: Nilpotent element; graph; nilpotent graph; complete graph; connected graph; connected component 22 ... Douangsanga/ Đồ thị lũy linh vành Zn Hình 2: Các ví dụ đồ thị đầy đủ với số đỉnh 2, 3, Nếu gộp ba đồ thị lại có đồ thị gồm thành phần liên thông Đồ thị lũy linh Trong mục giới thiệu định nghĩa đồ thị lũy. .. đỉnh đồ thị G là: V = {V1 0 0 1 1 ; V5 ; V6 } V4 = 1 L V An, N T H Anh, N T T Huyền, L Douangsanga/ Đồ thị lũy linh vành Zn Do đồ thị G là: Hình 4: Đồ thị lũy linh vành. .. tính số thành phần liên thông đồ thị lũy linh cho vành lớp thặng dư mơđulơ n Từ điều kiện cần đủ số nguyên dương n để đồ thị lũy linh vành Zn đồ thị liên thông đồ thị đầy đủ Các kết vấn đề nội
