Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm theo hướng; công thức Taylor, Maclaurint; cực trị của hàm nhiều biến. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Giải tích hàm nhiều biến Chương 2: Đạo hàm riêng vi phân (tt) • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (2/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung - 0.4 – Đạo hàm theo hướng 0.5 – Công thức Taylor, Maclaurint 0.6 – Cực trị hàm nhiều biến IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient - có đạo hàm riêng đến cấp n + lân cận IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient - f = f(x,y) oy u (u1 , u2 ) M ( x0 , y0 ) Véctơ đơn vị phương u u l0 l1 , l2 u M ( x, y ) l0 cos ,cos , góc tạo u chiều dương trục 0x 0y tương ứng ox x x0 t cos t0 Phương trình tham số tia M M : y y0 t cos Đạo hàm hàm f theo hướng véctơ u điểm M giới hạn (nếu có) fu' ( M ) f (M ) f (M ) f ( M ) lim M M MM u IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient - fu' ( M ) M M ( x x0 ) ( y y0 ) t fu' ( M ) f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) lim t t 0 f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) lim t t 0 Đây đạo hàm hàm f theo biến t fu' ( M ) fu' ( x0 , y0 ) ' ' ' ' ' ' f x f y f ( x , y ) cos f ft x t y t x 0 y ( x0 , y0 ) cos ' f x' ( x0 , y0 ), f y' ( x0 , y0 ) , cos ,cos gradf ( x0 , y0 ) f x' ( x0 , y0 ), f y' ( x0 , y0 ) fu' ( M ) gradf ( x0 , y0 ), l0 véctơ gradient f M0 Tích vơ hướng véctơ gradient M0 với véctơ đơn vị IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient - Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm f=f(x,y,z) M0 theo hướng u fu' ( M ) f x' ( M ) cos f y' ( M ) cos f z' ( M ) cos fu' ( M ) gradf ( x0 , y0 , z0 ), l0 Trong đó: véctơ đơn vị phương với u là: l0 cos , cos , cos , , góc tạo u chiều dương trục 0x, 0y 0z tương ứng Véctơ Gradient f(x,y,z) M0 là: gradf ( M ) f x' ( M ), f y' ( M ), f z' ( M ) IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient - Ví dụ Tìm đạo hàm f ( x, y ) xy 3x y điểm M0(1,1) theo hướng véctơ u (1, 2) Giải Véctơ đơn vị phương với u là: l0 , cos , cos 5 f x' y 12 x3 y f y' 4 xy 15 x y fu' (1,1) f x' (1,1) 11 f y' (1,1) 13 f x' (1,1) cos f y' (1,1) cos 11 26 3 5 IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient - Ví dụ Tìm đạo hàm f ( x, y ) x3 3xy y điểm M0(1,2) theo hướng véctơ tạo với chiều dương trục 0x góc 300 Giải Véctơ đơn vị là: l0 cos , cos , 1 l0 cos , cos , 2 3x y f x' (1, 2) 3 f y' 3 x y f y' (1, 2) 13 f x' fl' (1, 2) f x' (1, 2) cos f y' (1, 2) cos 3 13 2 IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient - Ví dụ 1 3 y Tìm đạo hàm f ( x, y ) arctg điểm M , x 2 theo hướng pháp véctơ đường tròn x2 + y2 = 2x M0 Giải F ( x, y ) x y x n Fx' , Fy' x 2, y (1, 3) Véctơ đơn vị là: l0 f x' y x y2 f y' x x y2 fl' ( M ) f x' ( M ) cos 1 , 2 ' f y (M ) f x' ( M ) f y' ( M ) cos IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient - Ví dụ Tìm đạo hàm f ( x, y, z ) x3 xy yz điểm M0(3,3,1) theo hướng véctơ l=(2,1,2) 2 Giải Véctơ đơn vị là: l0 , , (cos , cos ,cos ) 3 3 f x' 3x y f x' (3,3,1) 45 f y' xy z f y' (3,3,1) 39 f z' yz f z' (3,3,1) 18 fl' ( M ) f x' ( M ) cos f y' ( M ) cos f z' ( M ) cos 55 VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện - Ví dụ 2 2 Tìm cực trị hàm f ( x, y ) x 12 xy y với điều kiện x y 25 2 2 1) Hàm Lagrange: L( x, y ) x 12 xy y ( x y 25) L'x x 12 y 2 x ' Ly 12 x y 8 y 2 ( x, y ) x y 25 1 : P1 (3, 2), P2 (3, 2), 17 1 : P3 , P4 '' '' '' L , L 12, L 2) Tìm đạo hàm riêng cấp xx xy yy 8 3) Khảo sát điểm dừng P (3, 2), 1 : d L( P1 ) L''xx ( P1 )dx L''xy ( P1 )dxdy L''yy ( P1 )dy 8dx 24dxdy 18dy từ điều kiện: d ( P1 ) 6dx 16dy dx dy d L( P1 ) P1 điểm cực tiểu chặt có điều kiện VI Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ Định nghĩa Số a gọi giá trị lớn hàm f tập đóng bị chặn D, M D : f ( M ) a M D : f ( M ) a Tương tự ta có định nghĩa giá trị nhỏ Nhắc lại: Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ f = f(x) [a,b]: 1) Tìm điểm dừng thuộc (a,b): f ' ( x) x1 , x2 , loại điểm khơng thuộc (a,b) Tính giá trị f điểm cịn lại 2) Tính giá trị f(a), f(b) 3) So sánh giá trị f bước 1) bước 2) Kết luận VI Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ Định lý Weierstrass Hàm nhiều biến f liên tục tập đóng bị chặn D đạt giá trị lớn giá trị nhỏ D Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm nhiều biến f D: 1) Tìm D (giữa điểm D) Tìm điểm dừng f : P1 , P2 , loại điểm khơng điểm D Tính giá trị f điểm cịn lại 2) Tìm biên D 3) So sánh giá trị f bước 1) bước 2) Kết luận VI Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ Chú ý: 1) Tìm biên D: giả sử biên D cho phương trình ( x, y ) Tìm biên D tức tìm cực trị f(x,y) với điều kiện ( x, y ) Lập hàm Lagrange: L( x, y ) f ( x, y ) ( x, y ) Tìm điểm dừng L: L'x ( x, y ) ' L y ( x, y ) ( x, y ) Tính giá trị f điểm Q1, Q2, Q1 ( x1 , y1 ) Q2 ( x2 , y2 ) VI Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ Chú ý: 2) Trường hợp đặc biệt, biên D đoạn thẳng Tìm đoạn thẳng Giả sử tìm đoạn AB có phương trình a c ax by c (b 0) y x b b Thay vào hàm f(x,y) ta có hàm biến x, tìm gtln, gtnn hàm VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f ( x, y ) ( x 6) ( y 8)2 miền D: x y 25 f x' 2( x 6) 1) Tìm D: ' f y 2( y 8) P1 (6, 8) D 2 ( x , y ) x y 25 2) Tìm biên D: Lập hàm Lagrange: L( x, y ) ( x 6) ( y 8) ( x y 25) VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện L'x 2( x 6) 2 x ' Tìm điểm dừng L: Ly 2( y 8) 2 y Q1 (3, 4); Q2 (3, 4) 2 x y 25 f (Q1 ) f (3, 4) 25 f (Q2 ) f (3, 4) 225 3) So sánh giá trị f bước 1) bước 2) Kết luận Giá trị lớn 225 đạt (-3,4) Giá trị nhỏ 25 đạt (3,-4) VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f ( x, y ) x xy y miền D: | x | | y | A(0,1) D(1,0) B(1, 0) C (0, 1) f x' x y P1 (0, 0) D f ( P1 ) 1) Tìm D: ' f y x y VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện 2) Tìm biên D Có cạnh Tìm cạnh Trên AB: phương trình AB y x, x [0,1] f x x(1 x) (1 x)2 x x Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm biến [0,1] f x x [0,1] ' 1 2 Trên AB có điểm nghi ngờ: A(0,-1), B(1,0) Q1 , 3 3 Tính giá trị f điểm này: f ( A) 1; f ( B ) 1; f (Q1 ) Tương tự tìm cạnh lại 3) so sánh, kết luận: GTLN: 1; GTNN: VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện Ví dụ 2 f ( x , y ) x y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ miền D: x y x 1) Tìm D: f x' x P1 (0,0) loại khơng điểm D ' f y 2 y VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện -2 2) Tìm biên D: ( x, y ) x y x y2 x x2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm biến f x (2 x x ) x x f 4x x ' [0,2] 1 f ; f (0) 0; f (2) 2 1 3) So sánh, kết luận: Giá trị lớn 4; giá trị nhỏ Chú ý: lập hàm Lagrange Bài tập Bài tập Bài tập Bài tập ... ) n n n Vậy hàm không đạt cực trị (0,0) VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự - VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự ... 0, f y'' ( x0 , y0 ) Chứng minh Điểm dừng: đạo hàm riêng cấp Điểm tới hạn: đạo hàm riêng cấp không tồn Điểm cực trị: hàm đạt cực đại cực tiểu VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự ... nhỏ đạo hàm theo hướng f M0 Giải 1) Đạo hàm theo hướng hàm f M0 hàm phụ thuộc vào hướng véctơ l =(l1, l2,l3) Giá trị lớn đạo hàm theo hướng độ lớn véctơ gradf (M0) Giá trị lớn đạt lấy đạo hàm theo