Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 2(tt) - Trường ĐH Bách Khoa TP. Hồ Chí Minh

66 89 0
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến: Chương 2(tt) - Trường ĐH Bách Khoa TP. Hồ Chí Minh

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Đạo hàm riêng và vi phân cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm theo hướng; công thức Taylor, Maclaurint; cực trị của hàm nhiều biến. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Giải tích hàm nhiều biến Chương 2: Đạo hàm riêng vi phân (tt) • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (2/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung - 0.4 – Đạo hàm theo hướng 0.5 – Công thức Taylor, Maclaurint 0.6 – Cực trị hàm nhiều biến IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient - có đạo hàm riêng đến cấp n + lân cận IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient - f = f(x,y) oy  u  (u1 , u2 )  M ( x0 , y0 )   Véctơ đơn vị phương u   u l0     l1 , l2  u  M ( x, y )  l0   cos  ,cos     ,  góc tạo u chiều dương trục 0x 0y tương ứng ox   x  x0  t cos  t0 Phương trình tham số tia M M :   y  y0  t cos   Đạo hàm hàm f theo hướng véctơ u điểm M giới hạn (nếu có) fu' ( M )  f (M )  f (M ) f  ( M )  lim M M MM u IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient - fu' ( M ) M M  ( x  x0 )  ( y  y0 )  t fu' ( M ) f ( x, y )  f ( x0 , y0 )  lim t t 0 f ( x0  t cos  , y0  t cos  )  f ( x0 , y0 )  lim t t 0 Đây đạo hàm hàm f theo biến t fu' ( M ) fu' ( x0 , y0 )   ' ' ' ' ' '  f  x  f  y  f ( x , y )  cos   f  ft x t y t x 0 y ( x0 , y0 )  cos  '  f x' ( x0 , y0 ), f y' ( x0 , y0 ) ,  cos  ,cos    gradf ( x0 , y0 )  f x' ( x0 , y0 ), f y' ( x0 , y0 )  fu' ( M )    gradf ( x0 , y0 ), l0     véctơ gradient f M0 Tích vơ hướng véctơ gradient M0 với véctơ đơn vị IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient -  Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm f=f(x,y,z) M0 theo hướng u fu' ( M )  f x' ( M )  cos   f y' ( M )  cos   f z' ( M )  cos  fu' ( M )    gradf ( x0 , y0 , z0 ), l0     Trong đó: véctơ đơn vị phương với u là: l0   cos , cos , cos    ,  ,  góc tạo u chiều dương trục 0x, 0y 0z tương ứng  Véctơ Gradient f(x,y,z) M0 là: gradf ( M )  f x' ( M ), f y' ( M ), f z' ( M )   IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient - Ví dụ Tìm đạo hàm f ( x, y )  xy  3x y điểm M0(1,1)  theo hướng véctơ u  (1, 2) Giải    Véctơ đơn vị phương với u là: l0   ,     cos , cos  5  f x'  y  12 x3 y f y' 4  xy  15 x y fu' (1,1)   f x' (1,1)  11  f y' (1,1)  13 f x' (1,1)  cos  f y' (1,1)  cos 11 26   3 5 IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient - Ví dụ Tìm đạo hàm f ( x, y )  x3  3xy  y điểm M0(1,2) theo hướng véctơ tạo với chiều dương trục 0x góc 300  Giải Véctơ đơn vị là: l0   cos , cos      ,           1  l0   cos , cos    ,    2    3x  y  f x' (1, 2)  3 f y'  3 x  y  f y' (1, 2)  13 f x' fl' (1, 2)  f x' (1, 2)  cos  f y' (1, 2)  cos 3 13   2 IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient - Ví dụ 1 3 y Tìm đạo hàm f ( x, y )  arctg điểm M   ,  x 2  theo hướng pháp véctơ đường tròn x2 + y2 = 2x M0 Giải  F ( x, y )  x  y  x   n  Fx' , Fy'   x  2, y   (1, 3)  Véctơ đơn vị là: l0  f x' y  x  y2 f y' x  x  y2 fl' ( M )   f x' ( M )  cos   1   ,   2    '  f y (M )  f x' ( M )  f y' ( M )  cos  IV Đạo hàm theo hướng, véctơ Gradient - Ví dụ Tìm đạo hàm f ( x, y, z )  x3  xy  yz điểm M0(3,3,1) theo hướng véctơ l=(2,1,2)   2  Giải Véctơ đơn vị là: l0   , ,   (cos  , cos  ,cos  )  3 3 f x'  3x  y  f x' (3,3,1)  45 f y'  xy  z  f y' (3,3,1)  39 f z'  yz  f z' (3,3,1)  18 fl' ( M )  f x' ( M )  cos  f y' ( M )  cos  f z' ( M )  cos  55 VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện - Ví dụ 2 2 Tìm cực trị hàm f ( x, y )  x  12 xy  y với điều kiện x  y  25 2 2 1) Hàm Lagrange: L( x, y )  x  12 xy  y   ( x  y  25)  L'x  x  12 y  2 x   '  Ly  12 x  y  8 y   2  ( x, y )  x  y  25   1  : P1 (3, 2), P2 (3, 2), 17 1   : P3 , P4 '' '' '' L    , L  12, L 2) Tìm đạo hàm riêng cấp xx xy yy   8 3) Khảo sát điểm dừng P (3, 2), 1  : d L( P1 )  L''xx ( P1 )dx  L''xy ( P1 )dxdy  L''yy ( P1 )dy  8dx  24dxdy  18dy từ điều kiện: d ( P1 )   6dx  16dy   dx  dy d L( P1 )  P1 điểm cực tiểu chặt có điều kiện VI Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ Định nghĩa Số a gọi giá trị lớn hàm f tập đóng bị chặn D, M  D : f ( M )  a M  D : f ( M )  a Tương tự ta có định nghĩa giá trị nhỏ Nhắc lại: Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ f = f(x) [a,b]: 1) Tìm điểm dừng thuộc (a,b): f ' ( x)   x1 , x2 , loại điểm khơng thuộc (a,b) Tính giá trị f điểm cịn lại 2) Tính giá trị f(a), f(b) 3) So sánh giá trị f bước 1) bước 2) Kết luận VI Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ Định lý Weierstrass Hàm nhiều biến f liên tục tập đóng bị chặn D đạt giá trị lớn giá trị nhỏ D Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm nhiều biến f D: 1) Tìm D (giữa điểm D) Tìm điểm dừng f : P1 , P2 , loại điểm khơng điểm D Tính giá trị f điểm cịn lại 2) Tìm biên D 3) So sánh giá trị f bước 1) bước 2) Kết luận VI Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ Chú ý: 1) Tìm biên D: giả sử biên D cho phương trình  ( x, y )  Tìm biên D tức tìm cực trị f(x,y) với điều kiện  ( x, y )  Lập hàm Lagrange: L( x, y )  f ( x, y )    ( x, y ) Tìm điểm dừng L:  L'x ( x, y )   '  L y ( x, y )    ( x, y )  Tính giá trị f điểm Q1, Q2,  Q1 ( x1 , y1 )   Q2 ( x2 , y2 )    VI Cực trị hàm nhiều biến: giá trị lớn nhất, nhỏ Chú ý: 2) Trường hợp đặc biệt, biên D đoạn thẳng Tìm đoạn thẳng Giả sử tìm đoạn AB có phương trình a c ax  by  c (b  0)  y   x  b b Thay vào hàm f(x,y) ta có hàm biến x, tìm gtln, gtnn hàm VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f ( x, y )  ( x  6)  ( y  8)2 miền D: x  y  25  f x'  2( x  6)  1) Tìm D:  ' f  y  2( y  8)   P1 (6, 8)  D 2  ( x , y )  x  y  25  2) Tìm biên D: Lập hàm Lagrange: L( x, y )  ( x  6)  ( y  8)   ( x  y  25) VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện  L'x  2( x  6)  2 x   ' Tìm điểm dừng L:  Ly  2( y  8)  2 y   Q1 (3, 4); Q2 (3, 4)  2  x  y  25 f (Q1 )  f (3, 4)  25 f (Q2 )  f (3, 4)  225 3) So sánh giá trị f bước 1) bước 2) Kết luận Giá trị lớn 225 đạt (-3,4) Giá trị nhỏ 25 đạt (3,-4) VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f ( x, y )  x  xy  y miền D: | x |  | y |  A(0,1) D(1,0)   B(1, 0) C (0, 1)  f x'  x  y   P1 (0, 0)  D  f ( P1 )  1) Tìm D:  '  f y   x  y  VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện 2) Tìm biên D Có cạnh Tìm cạnh Trên AB: phương trình AB y   x, x  [0,1] f  x  x(1  x)  (1  x)2  x  x  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm biến [0,1] f  x    x   [0,1] ' 1 2 Trên AB có điểm nghi ngờ: A(0,-1), B(1,0) Q1  ,  3 3 Tính giá trị f điểm này: f ( A)  1; f ( B )  1; f (Q1 )  Tương tự tìm cạnh lại 3) so sánh, kết luận: GTLN: 1; GTNN: VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện Ví dụ 2 f ( x , y )  x  y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ miền D: x  y  x 1) Tìm D:  f x'  x   P1 (0,0) loại khơng điểm D  '  f y  2 y  VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị có điều kiện -2 2) Tìm biên D:  ( x, y )  x  y  x   y2  x  x2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm biến f  x  (2 x  x )  x  x f  4x    x  ' [0,2]   1 f    ; f (0)  0; f (2)  2 1 3) So sánh, kết luận: Giá trị lớn 4; giá trị nhỏ Chú ý: lập hàm Lagrange Bài tập Bài tập Bài tập Bài tập ... )     n n n Vậy hàm không đạt cực trị (0,0) VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự - VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự ... 0, f y'' ( x0 , y0 )  Chứng minh Điểm dừng: đạo hàm riêng cấp Điểm tới hạn: đạo hàm riêng cấp không tồn Điểm cực trị: hàm đạt cực đại cực tiểu VI Cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự ... nhỏ đạo hàm theo hướng f M0 Giải 1) Đạo hàm theo hướng hàm f M0 hàm phụ thuộc vào hướng véctơ l =(l1, l2,l3) Giá trị lớn đạo hàm theo hướng độ lớn véctơ gradf (M0) Giá trị lớn đạt lấy đạo hàm theo

Ngày đăng: 27/10/2020, 01:01

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan