Gia sư : Tạ Xuân Hiếu SĐT :0354655580 CÁC DẠNG TỐN ƠN TẬP HÌNH HỌC CHƯƠNG Dạng Xác vectơ, phương, hướng: * Phương pháp : Sử dụng khái niệm véctơ + K/n Véctơ + K/n hai véctơ phương, hai véctơ hướng BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC Có thể xác định véctơ ( khác vectơ-khơng ) có điểm đầu điểm cuối đỉnh tam giác? Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm uuurlà O Gọi M, N trung điểm AD, BC a) Tìm vectơ phương với AB ; uuu r b) Tìm vectơ hướng với AB ; uuur c) Tìm vectơ ngược hướng với AB ; uuuu r uuur d) Tìm vectơ với MO , với OB Bài 3: Cho lục giác ABCDEF có tâm O uuu r r a) Tìm vectơ khác phương OA ; uuu r b) Tìm vectơ vectơ AB ; uuur c) Hãy vẽ vectơ vectơ AB có: + Các điểm đầu B, F, C + Các điểm cuối F, D, C Bài 4: Cho hình bình hành ABCD r có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C , D , O uuu r uuu a) vectơ AB ; OB uuu r b) Có độ dài  OB  HD: Bài 1: có cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C} Mà cặp điểm xác định véctơ Bài 2: A B M N O Bài 3: D C uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur a DA, AD, BC , CB, AO, OD, DO, FE , EF A uuur uuur uuur b OC , ED, FO B c.uuuTrên tia r uu u r AB, ta lấy điểm B’ cho BB’=AB BB ' = AB uuur * FO vectơ cần tìm * Trên tia OC lấy uuuC’ u r uuu rcho CC’=OC=AB Do CC’//AB ⇒CC ' = AB + tương tự Bài 4: O D C Gia sư : Tạ Xuân Hiếu SĐT :0354655580 uuu r uuur uuu r uuur , OB = DO AB = DC uuu r uuur uuur uuur b | OB |=| BO |=| DO |=| OD | a Dạng Chứng minh hai vectơ nhau: * Phương pháp : Ta dùng cách sau: r r  r r | a |=| b | r + Sử dụng định nghĩa: r uu ⇒ a =b a, b cù ng hướ ng dụng uu+ur Sửuu ur utính uur chất uuur hình Nếu ABCD hình bình hành D AB = DC , BC = AD ,…(hoặc viết ngược lại) r r r r r r + Nếu a = b, b = c ⇒ a = c BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E, uuu r Fulần uur lượt trung điểm BC, CA, AB Chứng minh: EF = CD Bài 2: Cho tứ giác ABCD uuur uuur Chứng minh ABCD hình bình hành AB = DC uuur uuur uuur uuur Bài 3: Cho tứ giác ABCD Chứng minh AB = DC AD = BC Bài : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh : MN = QP ; NP = MQ HD Bài 1: Bài 2:  AB // CD ⇒  AB = CD  AB // CD ⇒ AB = DC *   AB = CD Chứng minh chiều ⇐ : * AB = DC ⇔ AB , DC hướng AB = DC * AB DC hướng ⇒ AB // CD (1) * AB = CD ⇒ AB = CD (2).Từ (1) (2) suy ABCD hình bình hành uuur uuur uuur uuur Bài : AB = DC ⇒ AB=DC, AB//CD⇒ABCD hình bình hành ⇒ AD = BC Bài : MP=PQ MN//PQ chúng AC Và //AC Vậy MNPQ hình bình hành ⇒ đpcm B o C A Cách 1: EF đường trung bình ∆ ABC nên EF//CD, F uuur uuur EF = CD EF= BC=CD⇒ EF=CD⇒ (1) uuur uuur CD (2) EF hướng uuur uuur B Từ (1),(2) ⇒ EF = CD Cách 2: Chứng minh EFDC hình bình hành uuur uuur EF= BC=CD EF//CD⇒ EFDC hình bình hành⇒EF = CD Chứng minh chiều ⇒ : * ABCD hình bình hành A E D C Gia sư : Tạ Xuân Hiếu SĐT :0354655580 Dạng Chứng minh đẳng thức vectơ: Phương pháp: sử dụng phương pháp sau 1) Biến đổi vế thành vế 2) Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với đẳng thức biết 3) Biến đổi đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh Cơ sở : sử dụng quy tắc véctơ uuu r uuur uuur  Quy tắc điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC uuu r uuur uuur  Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD hình bình hành AB + AD = AC B C A D  Quy tắc hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có: uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r OB − OA = AB (hoặc OA − OB = BA )hay AB = OB − OA  Tính chất trung điểm đoạn thẳng : uu r uur r + Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ IA + IB =  Tính chất trọng tâm tam giác : uuu r uuu r uuur r + Điểm G trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = BÀI TẬP → → → → Bài Cho điểm A, B, C, D CMR : AC + BD = AD + BC Bài Gọi O tâm hình bình hành ABCD CMR : → → → → a/ DO + AO = AB → → b/ OD + OC = BC  → → → → → → → → c/ OA + OB + OC + OD = d/ MA + MC = MB + MD (với M điểm tùy ý) Bài Cho tứ giác ABCD Gọi O trung điểm AB → → → → CMR : OD + OC = AD + BC → → → Bài Cho ∆ABC Từ A, B, C dựng vectơ tùy ý AA ' , BB' , CC' → → → → → → CMR : AA' + BB' + CC' = BA' + CB' + AC' Bài : Cho tam giác ABC Gọi A’ la điểm đối xứng B qua A, B’ điểm đối xứng với C qua B, C’ điểm đối xứng A qua C với điểm O bất kỳ, ta có: OA + OB + OC = OA' + OB' + OC ' Bài 6: Cho uuulụ r giác uuur uuurABCDEF uuur uucó ur tâm uuu r rO CMR : uuur uuur uuur r a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = b) OA + OC + OE = uuur uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur c) AB + AO + AF = AD d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý ) Dạng Tính độ dài hệ thức véctơ : Cơ sở:  sử dụng quy tắc véctơ : uuur uuur uuur uuu r uuur uuur + Quy tắc điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC ⇒ AB + BC = AC uuur uuur uuur uuu r uuur uuur + Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD hình bình hành AB + AD = AC ⇒ AB + AD = AC Gia sư : Tạ Xuân Hiếu B SĐT :0354655580 C A D + Quy tắc hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có: uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r OB − OA = AB (hoặc OA − OB = BA )hay AB = OB − OA ⇒ AB = OB − OA  Sử dụng tính chất hai véctơ : r r r r r r + Nếu hai véc tơ a , b hướng | a + b | = | a |+| b | r r r r r r r r + Nếu hai véc tơ a ↑↓b | b | ≥ | a | | a + b |=| b |−| a | BÀI TẬP Bài Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a → → a/ Tính AD − AB    → → b/ Dựng u = CA − AB Tính u  Bài Cho ∆ABC cạnh a Gọi I trung điểm BC → → a/ Tính AB − AC  → b/ Tính BA −→ BI  → → Bài Cho ∆ABC vuông A Biết AB = 6a, AC = 8a TínhAB − AC  uuur r uuur r Bài Cho hình bình hành ABCD tâm O Đặt AO = a ; BO = b r r uuur uuur uuur uuur Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a b → → Bài Cho hình vng ABCD cạnh a Tính  AB + AD  theo a Bài Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a → → a/ Tính AB + AD    → → b/ Dựng u = AB + AC Tính  u  r Dạng Xác định vectơ k a : r *Phương pháp : Dựa vào định nghĩa vectơ k a tính chất BÀI TẬP r uuu r Ví dụ Cho a = AB điểm O Xác định hai điểm M N cho : uuuu r r uuur r OM = 3a; ON = −4a r a Giải N O M r r r Vẽ d qua O // với giá a (nếu O ∈ giá a d giá a ) r uuuu r r r uuuu r −Trên d lấy điểm M cho OM=3| a |, OM a hướng OM = 3a uuur r r uuur r −Trên d lấy điểm N cho ON= 4| a |, ON a ngược hướng nên ON = −4a Ví dụ Cho đoạn thẳng AB M điểm nằm đoạn AB cho AM= thức sau: uuuu r uuu r a ) AM = k AB; uuur uuur b) MA = k MB; uuur uuu r c) MA = k AB AB Tìm k đẳng Gia sư : Tạ Xuân Hiếu Giải SĐT :0354655580 A M uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r | AM | AM 1 r = = , AM ↑↑ AB ⇒ k= a) AM = k AB ⇒| k |= uuu AB 5 | AB | 1 b) k= − c) k= − B Ví dụ r r a) Chứng minh:vectơ đối a (−5) a r r r r b) Tìm vectơ đối véctơ a +3 b , a −2 b Giải r r r r a) −5 a =(−1)(5 a )=((−1)5) a = −(−5) a r r r r r r r r r r b) −(2 a +3 b )= (−1)( a +3 b )= (−1) a +(−1)3 b =(−2) a +(−3) b =−2 a −3 b c) Tương tự Dạng Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ khơng phương : Ví dụ 1.Cho ∆ ABC có trọng âtm G Cho điểm D, E, F trung điểm cạnh BC, CA, AB I r uuur r uuur uur uuur uuur uuur giao điểm AD EF Đặt u = AE ; v = AF Hãy phân tích vectơ AI , AG , DE , DC theo hai vectơ r r u, v A uur uuur uuur uuur r r AD = ( AE + AF ) = u + v) 2 2 uuur uuur r r AG = AD = u + v 3uu 3ur 3r uuur u r uu r DE = FA = − AF = 0.u + (−1)v uuur uuu r uuur uuur r r DC = FE = AE − AF = u − v Giải Ta có AI = C uuuu r Ví dụ Cho tam giác ABC Điểm M nằm cạnh BC cho MB= 2MC Hãy phân tích vectơ AM theo hai r uuur r uuur vectơ u = AB, v = AC Giải uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuur BC uuur uuur uuu r mà BC = AC − AB uuuu r uuu r uuur uuu r 1r 2r ⇒ AM = AB + ( AC − AB ) = u + v 3 Ta có AM = AB + BM = AB + Dạng Chứng minh điểm thẳng hàng : Cơ sở: uuu r uuur uuur uuu r + A, B, C thẳng hàng ⇔ AB phương AC ⇔∃ 0≠k ∈ ¡ : AB = k AC uuu r uuur + Nếu AB = kCD hai đường thẳng AB CD phân biệt AB//CD Ví dụ Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K trung điểm AC AK= AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Giải Gia sư : Tạ Xuân Hiếu SĐT :0354655580 uur uuu r uuuu r uuu r uuur BI = BA + BM = BA + BC Ta có uur uuu r uuur BI = BA + BC (1) Ta có uuur uuu r uuur uuu r uuur BK = BA + AK = BA + AC uuu r uuur uuu r uuu r uuur = BA + ( BC − BA) = BA + BC 3 uuur uuu r uuur 3BK = BA + BC (2) uuur uur uuur uur Từ (1)&(2)⇒ 3BK = BI ⇒ BK = BI ⇒ B, I, K thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC M, uuur uHai uur điểm r uu u r Nuuđược u r uxác uur định r hệ thức: BC + MA = , AB − NA − 3AC = Chứng minh MN//AC Giải uuur uuur uuu r uuu r uuur r BC + MA + AB − NA − 3AC = uuur uuuu r uuur r uuuu r uuur hay AC + MN − 3AC = ⇔ MN = 2AC uuuu r uuur uuur uuuu r MN / / AC Theo giả thiết BC = AM Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M hình bình hành ⇒ M không thuộc AC⇒ MN//AC BÀI TẬP → → Bài 1: Cho điểm A, B, C, D thỏa AB + AC = CMR : B, C, D thẳng hàng   → → → → → → Bài 2: Cho ∆ABC, lấy M, N, P cho MB = MC ; NA +3 NC = PA + PB = → → → → a/ Tính PM , PN theo AB AC b/ CMR : M, N, P thẳng hàng Bài 3: Cho tam giác ABC.Gọi A’ điểm đối xứng với A qua B, B’ điểm đối xứng với B qua C, C’ điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm Dạng Xác định vị trí điểm nhờ đẳng thức véctơ : Cơ sở: uuu r r + AB = ⇔ A ≡ B r uuuu r r + Cho điểm A a Có M cho : AM = a uuu r uuur uuur uuur + AB = AC ⇔ B ≡ C ; AD = BD ⇔ A ≡ B uuur uuur Ví dụ Cho tam giác ABC có D trung điểm BC Xác định vị trí G biết AG = 2GD Giải uuur uuur AG = 2GD ⇒A,G,D thẳng hàng A AG=2GD gà G nằm A D Vậy G trọng tâm tam giác ABC G uu r uur r Ví dụ Cho hai điểm A B Tìm điểm I cho: IA + IB = A I B B I C Gia sư : Tạ Xuân Hiếu SĐT :0354655580 uu r uur r uu r uur uu r uur IA + IB = ⇔ IA = −2 IB ⇒ IA = −2 IB uu r uur 3r uuur uuur r uuu r uuu Ví dụ Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm G cho: GA + GB + GC + GD = hay IA=2IB , IA ↑↓ IB Vậy I điểm thuộc AB cho IB= AB Giải uuu r uuu r uur Ta có GA + GB = 2GI , I trung điểm AB uuur uuur uuur Tương tự GC + GD = 2GK , K trung điểm CD uuu r uuu r uuur uuur uur uuur GA + GB + GC + GD = 2GI + 2GK uur uuur r hay GI + GK = B I C K A ⇒ G trung điểm IK D BÀI TẬP Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F trung điểm AB, CD O trung điểm EF → → → a/ CMR : AD + BC = EF  → → → → b/ CMR : OA + OB + OC + OD = → → → → → c/ CMR : MA + MB + MC + MD = MO (với M tùy ý) −→ −→ −→ −→ d/ Xác định vị trí điểm M choMA + MB + MC + MD nhỏ Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H trung điểm AB, BC, CD, DA M điểm tùy ý  → → → → a/ CMR : AF + BG + CH + DE = → → → → → → → → b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH → → → → c/ CMR : AB + AC + AD = AG (với G trung điểm FH) Bài 3: Cho hai ∆ABC DEF có trọng tâm G H → → → → CMR : AD + BE + CF = GH Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O E trung điểm AD CMR :  → → → → a/ OA + OB + OC + OD = → → → → b/ EA + EB + EC = AB → → → → c/ EB + EA + ED = EC → → Bài 5: Cho ∆ABC có M, D trung điểm AB, BC N điểm cạnh AC cho AN = NC Gọi K trung điểm MN → → → → → → a/ CMR : AK = AB + AC b/ CMR : KD = AB + AC → → → → Bài 6: Cho ∆ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy điểm D E cho AD = DB , CE = EA Gọi M trung điểm DE I trung điểm BC CMR : → → → a/ AM = AB + AC → → → b/ MI = AB + AC