BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP.HCM TRƯỜNG ĐIỆN TỪ Biên soạn: ThS Phạm Hùng Kim Khánh www.hutech.edu.vn TRƯỜNG ĐIỆN TỪ Ấn 2014 MỤC LỤC I MỤC LỤC MỤC LỤC I HƯỚNG DẪN IV BÀI 1: CÁC ĐỊNH LUẬT VÀ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN 1.1 GIẢI TÍCH VECTOR 1.1.1 Các hệ tọa độ 1.1.2 Các yếu tố vi phân 1.1.3 Phép tính vector 1.1.4 Tích phân 1.1.5 Các toán tử 1.2 KHÁI NIỆM 10 1.2.1 Các vector đặc trưng 10 1.2.2 Định luật bảo tồn điện tích 13 1.2.3 Các đặc trưng môi trường 15 1.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL 16 1.3.1 Khái niệm dòng điện dịch 16 1.3.2 Phương trình Maxwell thứ ba thứ tư 17 1.3.3 Phương trình Maxwell thứ 18 1.3.4 Phương trình Maxwell thứ hai 20 1.3.5 Nguyên lý đối ngẫu hệ phương trình Maxwell 21 1.3.6 Hệ phương trình Maxwell trường điều hòa 22 1.4 ĐIỀU KIỆN BIÊN 23 1.5 NĂNG LƯỢNG CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ĐỊNH LÝ POYNTING 25 1.6 ĐỊNH LÝ NGHIỆM DUY NHẤT 29 TÓM TẮT 30 CÂU HỎI ÔN TẬP 31 BÀI 2: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH 33 2.1 KHÁI NIỆM 33 2.2 TÍNH CHẤT THẾ CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH 34 2.2.1 Công trường điện tĩnh 34 2.2.2 Điện 34 2.3 PHƯƠNG TRÌNH POISSON - LAPLACE 35 2.4 VẬT DẪN TRONG TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH 36 2.4.1 Các tính chất 36 2.4.2 Phân bố điện điện tích hệ thống vật dẫn 37 2.5 ĐIỆN MÔI TRONG TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH 40 2.6 NĂNG LƯỢNG TRƯỜNG ĐIỆN 41 2.7 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH 42 2.7.1 Dùng nguyên lý chồng trường 42 II MỤC LỤC 2.7.2 Dùng định luật Gauss 46 2.7.3 Dùng phương pháp ảnh điện 53 2.7.4 Dùng phương trình Poisson - Laplace 62 TÓM TẮT 67 CÂU HỎI ÔN TẬP 68 BÀI 3: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ DỪNG 72 3.1 KHÁI NIỆM 72 3.2 TRƯỜNG ĐIỆN DỪNG TRONG MÔI TRƯỜNG DẪN 73 3.3 TRƯỜNG ĐIỆN DỪNG TRONG ĐIỆN MÔI LÝ TƯỞNG BAO QUANH VẬT DẪN CĨ DỊNG KHƠNG ĐỔI 80 3.4 TRƯỜNG TỪ DỪNG 83 3.4.1 Khảo sát trường từ dừng miền khơng có dịng dẫn từ vô hướng 84 3.4.2 Khảo sát trường từ dừng dùng vector 85 3.4.3 Năng lượng trường từ dừng 90 3.4.4 Hệ số hỗ cảm, hệ số tự cảm 91 3.4.5 Lực từ 93 TÓM TẮT 95 CÂU HỎI ÔN TẬP 96 BÀI 4: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIẾN THIÊN 97 4.1 KHÁI NIỆM 97 4.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH SĨNG 98 4.3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HỊA DẠNG PHỨC 100 4.4 SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG ĐƠN SẮC 103 4.4.1 Sóng điện từ phẳng đơn sắc điện môi lý tưởng 108 4.4.2 Sóng điện từ phẳng đơn sắc mơi trường dẫn tốt 109 4.4.3 Phản xạ khúc xạ sóng phẳng đơn sắc 110 TÓM TẮT 114 CÂU HỎI ÔN TẬP 115 BÀI 5: BỨC XẠ ĐIỆN TỪ 116 5.1 KHÁI NIỆM 116 5.2 BỨC XẠ ĐIỆN TỪ CỦA NGUYÊN TỐ BỨC XẠ THẲNG (LƯỠNG CỰC ĐIỆN) 118 5.3 BỨC XẠ ĐIỆN TỪ CỦA NGUYÊN TỐ ANTEN VỊNG 122 5.4 TÍNH CHẤT ĐỊNH HƯỚNG CỦA BỨC XẠ ĐIỆN TỪ 125 5.4.1 Hàm phương hướng 125 5.4.2 Cường độ xạ, hệ số định hướng 126 TÓM TẮT 128 CÂU HỎI ÔN TẬP 129 BÀI 6: SÓNG ĐIỆN TỪ TRONG CÁC HỆ ĐỊNH HƯỚNG 130 6.1 KHÁI NIỆM 130 6.2 TÌM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TRONG HỆ ĐỊNH HƯỚNG TỔNG QT 131 6.2.1 Phương pháp tìm nghiệm 132 MỤC LỤC III 6.2.2 Các dạng trường truyền lan chỗ 135 6.2.3 Các dạng trường TM(E), TE(H), TEM 137 6.3 ỐNG DẪN SÓNG CHỮ NHẬT 139 6.3.1 Trường từ ngang TM(E) 140 6.3.2 Trường điện ngang TE(H) 141 6.4 ỐNG DẪN SĨNG HÌNH TRỤ TRỊN 142 6.4.1 Trường từ ngang TM(E) 142 6.4.2 Trường điện ngang TE(H) 143 6.5 CÁP ĐỒNG TRỤC 144 6.5.1 Trường TEM 144 6.5.2 Trường bậc cao TM, TE 146 TÓM TẮT 147 CÂU HỎI ÔN TẬP 148 BÀI 7: HỘP CỘNG HƯỞNG 149 7.1 HỆ SỐ PHẨM CHẤT CỦA HỘP CỘNG HƯỞNG 151 7.2 CÁC HỘP CỘNG HƯỞNG ĐƠN GIẢN 157 7.2.1 Hộp cộng hưởng chữ nhật 157 7.2.2 Hộp cộng hưởng trụ tròn 163 7.2.3 Hộp cộng hưởng đồng trục xuyên tâm 166 7.3 CÁC HỘP CỘNG HƯỞNG PHỨC TẠP 166 7.3.1 Hộp cộng hưởng đồng trục có khe 166 7.3.2 Hộp cộng hưởng hình xuyến 168 7.4 ĐIỀU CHỈNH TẦN SỐ CỘNG HƯỞNG 170 TÓM TẮT 173 CÂU HỎI ÔN TẬP 174 TÀI LIỆU THAM KHẢO 175 IV HƯỚNG DẪN HƯỚNG DẪN MÔ TẢ MÔN HỌC Trường điện từ môn học sở cho chuyên ngành Kỹ thuật Điện tử Truyền thông Kỹ thuật Điện – Điện tử Môn học giới thiệu định luật ngun lý bản, tính tốn thông số cho trường điện từ (tĩnh, dừng, biến thiên), giới thiệu xạ điện từ, sóng điện từ hệ định hướng hộp cộng hưởng Phần đầu giới thiệu định luật bản, từ xây dựng hệ phương trình Maxwell Phần giải hệ phương trình Maxwell ứng với điều kiện (tĩnh, dừng, biến thiên) để xác định thông số trường điện từ Phần cuối đề cập đến trình xạ điện từ trình truyền sóng điện từ ống dẫn sóng, hộp cộng hưởng NỘI DUNG MÔN HỌC - Bài Các định luật nguyên lý trường điện từ - Bài Trường điện tĩnh - Bài Trường điện từ dừng - Bài Trường điện từ biến thiên - Bài Bức xạ điện từ - Bài Sóng điện từ hệ định hướng - Bài Hộp cộng hưởng KIẾN THỨC TIỀN ĐỀ Môn học Trường điện từ địi hỏi sinh viên có tảng tốn giải tích vector, hàm phức, phương trình vi phân YÊU CẦU MÔN HỌC Người học phải dự học đầy đủ buổi lên lớp làm tập đầy đủ nhà CÁCH TIẾP NHẬN NỘI DUNG MÔN HỌC HƯỚNG DẪN V Để học tốt môn này, người học cần ôn tập học, trả lời câu hỏi làm đầy đủ tập; đọc trước tìm thêm thơng tin liên quan đến học Đối với học, người học đọc trước mục tiêu tóm tắt học, sau đọc nội dung học Kết thúc ý học, người đọc trả lời câu hỏi ôn tập kết thúc toàn học, người đọc làm tập PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ MÔN HỌC Môn học đánh giá gồm: - Điểm trình: 30% Hình thức nội dung giảng viên định, phù hợp với quy chế đào tạo tình hình thực tế nơi tổ chức học tập - Điểm thi: 70% Hình thức thi tự luận 60 phút Nội dung gồm tập thuộc thứ đến thứ BÀI 1: CÁC ĐỊNH LUẬT VÀ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN BÀI 1: CÁC ĐỊNH LUẬT VÀ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN Sau học xong này, người học có thể: - Biết khái niệm giải tích vector, toán tử gradient, divergence,rot, Laplace hai định lý giải tích vector: định lý divergence định lý Stokes - Biết vector đặc trưng trường điện trường từ - Hiểu định luật trường điện từ 1.1 GIẢI TÍCH VECTOR 1.1.1 Các hệ tọa độ 1.1.1.1 Hệ tọa độ Descartes z z 𝑖𝑧 𝑖𝑦 O O 𝑖𝑥 x x Hình 1.1 – Hệ tọa độ Descartes x = const: mặt phẳng song song với mặt yOz y y BÀI 1: CÁC ĐỊNH LUẬT VÀ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN y = const: mặt phẳng song song với mặt xOz z = const: mặt phẳng song song với mặt xOy Các vector đơn vị: 𝑖𝑥 , 𝑖𝑦 , 𝑖𝑧 𝑖𝑥 = 𝑖𝑦 × 𝑖𝑧 𝑖𝑦 = 𝑖𝑧 × 𝑖𝑥 (1.1) 𝑖𝑧 = 𝑖𝑥 × 𝑖𝑦 Vector vị trí điểm P(x,y,z) vector vẽ từ gốc tọa độ đến P (1.2) 𝑅 = 𝑥𝑖𝑥 + 𝑦𝑖𝑦 + 𝑧𝑖𝑧 1.1.1.2 Hệ tọa độ trụ R,,z r 𝑖𝜑 𝑖𝑟  Hình 1.2 – Hệ tọa độ trụ r = const: mặt trụ bán kính r có trục trùng với Oz  = const: nửa mặt phẳng chứa trục Oz z = const: mặt phẳng song song với mặt xOy Các vector đơn vị: 𝑖𝑟 , 𝑖𝜑 , 𝑖𝑧 𝑖𝑟 = 𝑖𝜑 × 𝑖𝑧 𝑖𝜑 = 𝑖𝑧 × 𝑖𝑟 𝑖𝑧 = 𝑖𝑟 × 𝑖𝜑 (1.3) Vector vị trí điểm P(r,,z) vector vẽ từ gốc tọa độ đến P 𝑅 = 𝑟𝑖𝑟 + 𝑧𝑖𝑧 (1.4) BÀI 7: HỘP CỘNG HƯỞNG 𝐸𝑦 = − 𝐻𝑥 = 𝐸𝑚 𝑝𝜋 𝑛𝜋 𝜒2 𝐿 𝑏 𝐸𝑚 𝑗𝜔𝜀 𝑛𝜋 𝐻𝑦 = − 𝜒2 𝑏 sin ( 𝐸𝑚 𝑗𝜔𝜀 𝑚𝜋 𝜒2 sin ( 𝑎 𝑚𝜋 𝑎 𝑚𝜋 𝑎 𝑏 𝑛𝜋 𝑥) cos ( 𝑚𝜋 cos ( 𝑛𝜋 𝑥) cos ( 𝑎 𝑏 𝑥) cos ( 𝑝𝜋 𝑦) sin ( 𝑛𝜋 𝑏 𝑧) (7.64) 𝑧) (7.65) 𝐿 𝑝𝜋 𝑦) cos ( 𝐿 𝑦) cos ( 161 𝑝𝜋 𝐿 𝑧) (7.66) Em = 2A số tùy ý, xác định từ kết việc kích thích trường  tính từ (6.55) (6.61) Bước sóng cộng hưởng riêng hộp cộng hưởng chữ nhật tính từ biểu thức sau: 𝜒2 = 𝑘2 + 𝛾 𝑘= 2𝜋 (7.68) 𝜆0 𝛾 = 𝑗𝛽 = 𝑗 𝑝𝜋 𝐿 𝑚𝜋 𝜒2 = ( 𝑎 (7.67) 𝑛𝜋 ) +( ) 𝑏 (7.69) (7.70) Từ đó: 𝜆= 2 2 √(𝑚) +(𝑛) +(𝑝) 𝑎 𝑏 𝐿 (7.71) Từ biểu thức thành phần trường, ta thấy thành phần ngang trường điện trường từ lệch pha 900 Do vector mật độ cơng suất trung bình theo phương trục z Ngoài ra, thành phần dọc Ez đồng pha với thành phần ngang Ex, Ey, điểm cực đại chúng lại lệch theo trục z khoảng λt/4 Trong ống dẫn sóng chữ nhật, ta biết hệ số pha  biểu thị qua bước sóng ống dẫn sóng t có dạng: 𝛽 = 2𝜋/𝜆𝑡 (7.72) 𝐿 = 𝑝𝜆𝑡 /2 (7.73) Mà  = p/L nên: 162 BÀI 7: HỘP CỘNG HƯỞNG (7.73) gọi điều kiện cộng hưởng hộp cộng hưởng chữ nhật Điều kiện (7.73) mô tả tượng từ tiết diện z bất kỳ, sóng truyền dọc theo trục z và sóng phản xạ liên tiếp hai lần hai đáy z = 0, z = L có pha cách 2p tức chúng đồng pha Dạng dao động đơn vị thỏa mãn điều kiện cộng hưởng có biên độ lớn hộp, cịn dạng dao động khác bị tiêu hao nên tắt nhanh Trường TE(H) Nếu ta áp dụng kết cho hai hàm phân bố theo tọa độ ngang trường TE ống dẫn sóng chữ nhật dạng (6.68) dạng hàm F(z) từ (7.61) (7.50), (7.51), (7.52), (7.53) nhận thành phần trường TE hộp cộng hưởng chữ nhật sau: 𝑚𝜋 𝐻𝑧 = 𝐻𝑚 cos ( 𝐻𝑥 = − 𝐻𝑚 𝑝𝜋 𝑚𝜋 𝐻𝑦 = − 𝐻𝑚 𝑝𝜋 𝑛𝜋 𝐸𝑥 = 𝜒2 𝐿 𝑎 𝜒2 𝐿 𝑏 𝐻𝑚 𝑗𝜔𝜇 𝑛𝜋 𝐻𝑦 = − 𝜒2 𝑏 sin ( 𝑎 𝑎 𝑚𝜋 𝑎 𝑎 𝑏 𝑝𝜋 𝑦) sin ( 𝑛𝜋 𝑥) sin ( 𝑥) sin ( 𝑚𝜋 sin ( 𝑛𝜋 𝑥) cos ( 𝑚𝜋 cos ( 𝑎 𝑚𝜋 cos ( 𝐻𝑚 𝑗𝜔𝜇 𝑚𝜋 𝜒2 𝑥) cos ( 𝑎 𝑏 𝑛𝜋 𝑏 𝑛𝜋 𝑏 𝑝𝜋 𝑦) cos ( 𝑦) cos ( 𝑏 𝐿 𝑝𝜋 𝐿 𝑝𝜋 𝑦) sin ( 𝑛𝜋 𝑥) cos ( (7.74) 𝑧) 𝐿 𝐿 (7.75) 𝑧) (7.76) 𝑧) 𝑝𝜋 𝑦) sin ( 𝑧) 𝐿 𝑧) (7.77) (7.78) Ở Hm = -2jA,  có dạng ống dẫn sóng chữ nhật theo (6.55) (6.61) Bước sóng cộng hưởng riêng dạng trường TEmnp hộp biểu thị (7.71) Điều kiện cộng hưởng cho dạng trường TE hộp cộng hưởng chữ nhật tuân theo (7.73) Từ biểu thức (7.66) đến (7.71) (7.74) đến (7.78), ta thấy ứng với cặp ba số nguyên (m, n, p) hộp cộng hưởng chữ nhật tồn dạng trường đơn vị dạng TMmnp(Emnp) TEmnp(Hmnp) Chúng gọi dạng dao động riêng hộp cộng hưởng Mỗi dạng dao động riêng có bước sóng cộng hưởng riêng theo (7.73) Khi cho kích thước hộp, dao động riêng có bước sóng cộng hưởng lớn gọi dạng dao động bản, dạng dao động khác gọi dạng dao động bậc cao Chẳng hạn ta có kích thước hộp: L > a > b > thì: BÀI 7: HỘP CỘNG HƯỞNG 2𝑎𝐿 𝜆0 (𝐻101 ) = √𝑎2 +𝐿2 𝑚𝑎𝑥 163 (7.79) Nên dạng dao động H101 hộp cộng hưởng chữ nhật Các dạng dao động riêng hộp cộng hưởng chữ nhật có cấu trúc trường khác nhau, có tần số hay bước sóng cộng hưởng riêng gọi dạng dao động suy biến Chẳng hạn dạng dao động TMmnp TEmnp có số dạng suy biến Dạng dao động hộp cộng hưởng khơng đóng vai trị quan trọng trường ống dẫn sóng 7.2.2 Hộp cộng hưởng trụ tròn Trường TM(E) TE(H) Hộp cộng hưởng trụ trịn hình thành từ đoạn ống dẫn sóng trịn đựơc bịt kín hai đầu thành kim loại làm ống dẫn sóng Để tìm trường điện từ hộp cộng hưởng trọ tròn, ta dùng hệ tọa độ có trục Oz trùng với trục hộp, tâm O đặt tậm hai đáy Như hộp có bán kính R0 chiều dài L mặt xung quanh hai đáy có phương trình là: r = R0, z = 0, z = L Để đơn giản ta xét với hộp cộng hưởng dạng lý tưởng tức thành hộp làm kim loại dẫn điện lý tuởng, bên chứa không khí chân khơng có độ dẫn điện khơng Các biểu thức trường điện từ hộp cộng hưởng trụ trịn tìm cách tính nghiệm phương trình sóng với điều kiện biên (7.39) Cũng tương tự trường hợp với hộp cộng hưởng chữ nhật, phân tích điều kiện biên ta tách thành hai trường hợp cho mặt xung quanh cho hai đáy tương tự (7.54) (7.55): 𝐸𝜏 |𝑟=𝑅0 = (7.80) 𝐸𝜏 |𝑧=0,𝑧=𝐿 = (7.81) Điều kiện biên (7.80) hoàn toàn tương tự điều kiện biên ống dẫn sóng trịn có tiết diện Do ta áp dụng kết hàm phân bố 164 BÀI 7: HỘP CỘNG HƯỞNG trường theo tọa độ ngang r, ϕ ống dẫn sóng trịn cho hàm phân bố trường theo tọa độ r, ϕ hộp cộng hưởng trụ trịn mà khơng cần phải tìm nghiệm phương trình sóng Điều kiện biên (7.81) hồn toàn tương tự điều kiện biên (7.55) hộp cộng hưởng chữ nhật có chiều dài L Do ta lấy hàm phân bố trường dọc theo tọa độ z hộp cộng hưởng chữ nhật làm hàm phân bố theo tọa độ hộp cộng hưởng trụ trịn mà khơng cần giải phương trình cho hàm F Tương tự hộp cộng hưởng chữ nhật, hộp cộng hưởng trụ tròn tồn trường loại TM(E) TE(H) Trường TM(E) Thành phần dọc điện trường Ez áp dụng kết từ hàm phân bố theo tọa độ ngang ống dẫn sóng trịn trường TM(E) hàm phân bố theo tọa độ z hộp cộng hưởng chữ nhật cho trường này: 𝑝𝜋 𝐸𝑧 (𝑟, 𝜑, 𝑧) = 𝐸𝑚 𝐽𝑚 (𝜒𝑟) cos(𝑚𝜑 − 𝜑0 ) cos ( 𝐿 (7.82) 𝑧) Các thành phần ngang trường đựơc tìm từ (7.50), (7.51), (7.52), (7.53) qua thành phần dọc Ez vừa tìm Trong hệ tọa độ trụ: q1 = r, q2 = ϕ, h1 = 1, h2 = r Ta có kết cho thành phần ngang trường TM(E) sau: 𝛿 𝛿𝐸𝑧 𝐸𝑅 = 𝜒2 𝐸𝜑 = 𝜒2 𝑟 𝛿𝑧 𝛿𝑧 ( 1 𝛿 𝐻𝑅 = 𝛿𝑟 𝜒2 𝑟 𝐻𝜑 = − 𝛿𝐸𝑧 ( 𝑗𝜔𝜀 𝛿𝐸𝑧 𝛿𝜑 )=− 𝛿𝜑 )= =− 𝑗𝜔𝜀 𝛿𝐸𝑧 𝜒2 𝛿𝑟 𝐸𝑚 𝑝𝜋 𝑑𝐽𝑚 (𝜒𝑟) 𝜒𝐿 𝐸𝑚 𝑚𝑝𝜋 𝜒2 𝑟𝐿 𝑗𝐸𝑚 𝜔𝜀𝑚 =− 𝑑(𝜒𝑟) 𝜒2 𝑟 𝑧) 𝑝𝜋 𝐽𝑚 (𝜒𝑟) sin(𝑚𝜑 − 𝜑0 ) cos ( 𝑑(𝜒𝑟) 𝐿 𝑝𝜋 cos(𝑚𝜑 − 𝜑0 ) cos (  biểu thức ống dẫn sóng trịn, Em số Trường TE(H) 𝐿 𝐽𝑚 (𝜒𝑟) sin(𝑚𝜑 − 𝜑0 ) sin ( 𝑗𝐸𝑚 𝜔𝜀 𝑑𝐽𝑚 (𝜒𝑟) 𝜒 𝑝𝜋 cos(𝑚𝜑 − 𝜑0 ) sin ( 𝐿 𝑝𝜋 𝐿 𝑧) (7.83) (7.84) 𝑧) (7.85) 𝑧) (7.86) BÀI 7: HỘP CỘNG HƯỞNG 165 Thành phần từ trường dọc Hz trường TE hộp cộng hưởng trụ trịn tìm sử dụng kết nhận hàm phân bố theo tọa độ ngang r, ϕ ống dẫn sóng trịn hàm phân bố theo tọa độ z hộp cộng hưởng chữ nhật trường TE Kết ta nhận biểu thức cho Hz: 𝑝𝜋 𝐻𝑧 (𝑟, 𝜑, 𝑧) = 𝐻𝑚 𝐽𝑚 (𝜒𝑟) cos(𝑚𝜑 − 𝜑0 ) sin ( 𝐿 (7.87) 𝑧) Từ (7.50), (7.51), (7.52), (7.53) (7.87), ta có biểu thức cho thành phần ngang trường hộp cộng hưởng trụ tròn: 𝐻𝑟 = 𝐻𝜑 = 𝛿 𝜒2 𝛿𝑧 1 𝛿 𝜒2 𝛿𝐻𝑧 ( 𝑟 𝛿𝑧 𝛿𝑟 ( 𝛿𝐻𝑧 𝛿𝜑 𝐸𝑟 = − 𝑗𝜔𝜇 𝛿𝐻𝑧 𝐻𝜑 = 𝑗𝜔𝜇 𝛿𝐻𝑧 𝜒2 𝑟 𝛿𝜑 𝜒2 )=− 𝛿𝑟 )= =− =− 𝐻𝑚 𝑝𝜋 𝑑𝐽𝑚 (𝜒𝑟) 𝜒𝐿 𝑑(𝜒𝑟) 𝐻𝑚 𝑚𝑝𝜋 𝑗𝐻𝑚 𝜔𝜇𝑚 𝐽𝑚 (𝜒𝑟) sin(𝑚𝜑 − 𝜑0 ) sin ( 𝑗𝐻𝑚 𝜔𝜇 𝑑𝐽𝑚 (𝜒𝑟) 𝜒 𝐿 𝐽𝑚 (𝜒𝑟) sin(𝑚𝜑 − 𝜑0 ) cos ( 𝜒2 𝑟𝐿 𝜒2 𝑟 𝑝𝜋 cos(𝑚𝜑 − 𝜑0 ) cos ( 𝑑(𝜒𝑟) 𝑝𝜋 𝐿 𝐿 𝑝𝜋 𝑝𝜋 cos(𝑚𝜑 − 𝜑0 ) sin ( 𝑧) 𝐿 (7.88) 𝑧) (7.89) 𝑧) (7.90) 𝑧) (7.91)  biểu thức ống dẫn sóng trịn, Hm số Điều kiện cộng hưởng Điều kiện cộng hưởng hộp cộng hưởng trụ tròn tìm tương tự hộp cộng hưởng chữ nhật Nghĩa là: 𝛽 = 2𝜋/𝜆𝑡 (7.92) 𝐿 = 𝑝𝜆𝑡 /2 (7.93) Mà  = p/L nên: Bước sóng cộng hưởng hay tần số cộng hưởng dạng dao động riêng hộp cộng hưởng trụ trịn tìm từ biểu thức sau: 𝑝𝜋 2𝜋 𝜒2 = 𝑘2 + 𝛾 = − ( ) + ( ) 𝐿 𝜆0 (7.94) Ở  tính theo (6.85) trường TM(E) (6.92) trường TE(H) Từ ta có bước sóng cộng hưởng dạng dao động riêng: 166 BÀI 7: HỘP CỘNG HƯỞNG 𝜆0 = (7.95) 2 √(𝜀𝑚𝑛 ;𝜇𝑚𝑛 ) +(𝑃) 𝜋𝑅0 𝐿 7.2.3 Hộp cộng hưởng đồng trục xuyên tâm Hộp cộng hưởng đồng trục tạo từ đoạn ống dẫn sóng đồng trục bịt kín hai đầu thành kim loại làm ống dẫn sóng Dạng dao động hộp cộng hưởng đồng trục L > R2 – R1 dạng dao động TEM1 Nó có bước sóng cộng hưởng: 𝜆0 (𝑇𝐸𝑀1 ) = 2𝐿 (7.96) Đối với dạng dao động TEMp, p = 1, 2, 3,… bước sóng cộng hưởng riêng tính từ điều kiện cộng hưởng: 𝜆0𝑝 = 2𝐿/𝑝 (7.97) Khi R2 – R1 > L, bước sóng cộng hưởng dạng dao động riêng E010 hộp cộng hưởng đồng trục lại 2(R2 – R1) rõ ràng lớn bước sóng cộng hưởng dạng TEM1 nên trường hợp dạng dao động riêng E010 dạng dao động Trường dạng dao động có số đặc điểm sau: - Do m = nên trường không phụ thuộc ϕ - Do p = nên điện trường có thành phần dọc hướng theo trục z - Từ trường có thành phần ngang Hϕ dạng vòng tròn đồng tâm - Do n = nên dọc theo bán kính r có chu kỳ biến thiên điện từ trường Từ đặc điểm trường dạng E010 ta thấy có đặc tính ngang theo phương bán kính hộp cộng hưởng Hộp cộng hưởng đồng trục trường hợp đựơc gọi hộp cộng hưởng xuyên tâm 7.3 CÁC HỘP CỘNG HƯỞNG PHỨC TẠP 7.3.1 Hộp cộng hưởng đồng trục có khe Hộp cộng hưởng đồng trục có khe hình thành từ đoạn ống dẫn sóng đồng trục, đầu ngắn mạch, đầu để hở lõi vách kim loại bên BÀI 7: HỘP CỘNG HƯỞNG 167 tạo thành khe Hộp cộng hưởng đồng trục có khe thuộc loại hộp có hình dáng phức tạp Vùng khe hẹp hộp cộng hưởng hình thành điện dung, vùng tập trung điện trường, vùng lại trường có dạng TEMp Chiều dài lõi hộp đồng trục L, bán kính lõi R1, lõi R2, độ rộng khe d Để tìm tần số bước sóng cộng hưởng dạng dao động TEMp hộp cộng hưởng ta sử dụng sơ đồ tương đương sau: Hình 7.3 –Sơ đồ tương đương hộp cộng hưởng đồng trục có khe Phần khe hộp xem có điện dung tụ điện phẳng: 𝐶𝑡𝑑 = 𝜀𝑆 𝑑 = 𝜀𝜋𝑅12 (7.98) 𝑑 Phần đồng trục ngắn mạch đầu coi đoạn đường truyền có trở sóng đặc tính ZCT, dài L, ngắn mạch đầu cuối Đầu hở mạch đường truyền gắn với điện dung Ctd Điều kiện cộng hưởng cho biểu thức tổng điện nạp hay kháng điểm mắc điện dung không 𝜔0 𝐶𝑡𝑑 − 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 ( 𝜔0 𝐿 𝑐 𝑍𝐶𝑇 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝜔0 𝐿 𝑐 =0 + 𝑝𝜋) = 𝜔0 𝐶𝑡𝑑 𝑍𝐶𝑇 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝑥 + 𝑝𝜋) = 𝑘′𝑥 Trong 𝑥 = 𝜔0 𝐿 ′ ,𝑘 𝑐 = 𝐶𝑡𝑑 𝑍𝐶𝑇 𝑐, 𝐿 c vận tốc ánh sáng chân khơng Giải phương trình (7.101) ta đựơc nghiệm x01, x02 … < x01 < /2;  < x02 < 3/2; … ; (p-1) < x0p < (2p-1)/2 Từ 0 = c/f0 = 2c/0: (7.99) (7.100) (7.101) 168 BÀI 7: HỘP CỘNG HƯỞNG (𝑝 − 1)𝜆0𝑝 /2 < 𝐿0𝑝 < (2𝑝 − 1)𝜆0𝑝 /4 (7.102) Trong thực tế, người ta hay dùng dạng dao động với số p = để rút gọn kích thước hộp cộng hưởng dải sóng met decimet Từ (7.102): < 𝐿01 < 𝜆0𝑝 /4 (7.103) So sánh (7.103) (7.97), ta thấy đưa khe vào làm cho chiều dài hộp giảm nửa Tất nhiên tồn khe hẹp nên dòng mặt có biên độ lớn gây tổn hao làm cho phẩm chất hộp giảm Hộp cộng hượng đồng trục có khe cịn đựơc gọi hộp cộng hưởng đồng trục mắc tải điện dung Nó sử dụng làm mạch cộng hưởng tần kế hay mạch dao động dao động dải sóng dm cuối sóng met Việc điều chỉnh cộng hưởng hộp thực cách thay đổi chiều dài L nhờ pittơng 7.3.2 Hộp cộng hưởng hình xuyến Hình 7.4 –Hộp cộng hưởng hình xuyến Các điều kiện: 𝜆 𝜆 4 𝑅2 ≪ ; 𝐿 ≪ ; 𝑑 ≪ 𝐿 (7.104) Sự biến thiên điện trường từ trường dạng dao động hộp theo tọa độ R, ϕ z không đáng kể Trong điều kiện vậy, hộp cộng hưởng hình xuyến có dạng chuẩn dừng, tức tách rõ rệt vùng điện vùng từ Vùng BÀI 7: HỘP CỘNG HƯỞNG 169 khe hẹp xuyến với độ rộng khe d, tập trung chủ yếu đường sức điện trường tương đương với điện dung Ctd Vùng khơng gian xuyến hai bên tập trung đường sức từ trường tương đương điện cảm Ltd Hộp cộng hưởng hình xuyến coi mạch dao động tập trung với Ltd Ctd Do tần số cộng hưởng mạch tính theo cơng thức: 𝜔0 = (7.105) √𝐿𝑡𝑑 𝐶𝑡𝑑 Nếu bỏ qua hiệu ứng mép điện dung Ctd tính điện dung tụ điện phẳng: 𝐶𝑡𝑑 = 𝜀𝑆 𝑑 = 𝜀𝜋𝑅12 (7.106) 𝑑 Điện cảm xuyến tính theo cơng thức: 𝐿𝑡𝑑 = ∅ (7.107) 𝐼  từ thơng qua xuyến, I dịng điện chảy thành bên hộp vùng xuyến Theo định luật dịng điện tồn phần: (7.108) 𝐼 = 2𝜋𝑟𝐻 H cường độ từ trường xuyến điểm cách tâm hộp với bán kính r Từ thơng qua yếu tố tiết diện xuyến có độ rộng dr, dài L tính: 𝑑∅ = 𝐵𝑑𝑠 = 𝜇 𝐼𝐿 𝑑𝑟 2𝜋 𝑟 (7.109) Từ thông qua tiết diện xuyến: 𝑅 𝐼𝐿 2𝜋 ∅ = ∫𝑅 𝑑∅ = 𝜇 𝑙𝑛 𝑅2 𝑅1 (7.110) Tần số cộng hưởng hộp: 𝜔0 = 2𝑑 𝑅1 √𝜀𝜇𝐿𝑙𝑛𝑅2 (7.111) 𝑅1 Bước sóng cộng hưởng hộp: 2𝐿 𝑅2 𝑑 𝑅1 𝜆0 = 𝜋𝑅1 √ 𝑙𝑛 (7.112) 170 BÀI 7: HỘP CỘNG HƯỞNG Như phần tính Ctd ta giả thiết bỏ qua hiệu ứng biên, muốn có giá trị xác ω0 0 ta phải bổ sung phần điện dung phụ bên xuyến Lúc ta phải thay vào Ctd C’td theo công thức sau: ′ 𝐶𝑡𝑑 = 𝐶𝑡𝑑 {1 + 4𝑑 𝜋𝑅1 𝑙𝑛 𝑚𝑖𝑛(𝐿1 ,𝑅2 −𝑅1 ) 𝑑 } (7.113) Việc điều chỉnh tần số hay bước sóng cộng hưởng hộp cộng hưởng hình xuyến thực hai phương pháp điện dung điện cảm Phương pháp điều chỉnh cộng hưởng điện cảm tiến hành vít kim loại đưa ngang qua mặt trụ ngồi hộp với chiều dài vít thay đổi Khi vít kim loại sâu vào vùng xuyến hộp làm cho bước sóng cộng hưởng 0 nhỏ hay tần số cộng hưởng ω0 tăng Phương pháp điều chỉnh cộng hưởng điện dung làm thay đổi độ rộng d khe hộp Người ta có hai cách làm thay đổi độ rộng d chế tạo thành đáy hộp dạng màng kim loại mỏng làm biến dạng độ rộng d làm dịch chuyển hình trụ tạo thành lõi cửa xuyến làm cho mặt khe nâng hạ xuống Khi độ rộng d khe nhỏ làm cho điện dung Ctd tăng bước sóng cộng hưởng tăng Hộp cộng hưởng hình xuyến sử dụng làm mạch dao động cộng hưởng cho đèn Klystron mạch khuếch đại hay tạo dao động siêu cao tần 7.4 ĐIỀU CHỈNH TẦN SỐ CỘNG HƯỞNG Từ mục trước, biết tần số cộng hưởng có liên quan đến kích thước hộp cộng huởng qua biểu thức điều kiện cộng hưởng Do vậy, thay đổi kích thước hộp ta nhận giá trị khác tần số cộng hưởng hay bước sóng cộng hưởng Điều thường hay thực pittông dịch chuyển Tuy nhiên số trường hợp cần điều chỉnh tần số cộng hưởng dạng dao động cho hộp phạm vi nhỏ, mà cấu trúc hộp đỡ phức tạp giảm tiêu hao có dịng mặt chỗ tiếp xúc pittông với thành hộp, người ta không dùng pittông mà dùng phương pháp nhiễu loạn nhỏ Việc điều chỉnh tần số cộng hưởng hộp theo phương pháp thực cách đưa vào bên hộp vật thể có kích thước nhỏ nhiều so với kích thước hộp Vật thể đưa BÀI 7: HỘP CỘNG HƯỞNG 171 vào hộp điện mơi, ferit hay kim loại dẫn điện lý tưởng Phương pháp điều chỉnh cộng hưởng cho phép ta khắc phục nhược điểm chế tạo hộp khơng xác bù số sai sót bất đồng gây làm ảnh hưởng đến điều kiện cộng hưởng cách thực đơn giản Vì thể tích vật thể đưa vào nhỏ so với thể tích hộp nên khơng gây méo đáng kể đến cấu trúc trường dạng dao động hộp, từ ta coi vật thể đưa vào nhiễu loạn nhỏ Giả sử ta có hộp cộng hưởng dạng tùy ý tích V, bên chứa khơng khí với số ε0, μ0 làm việc với dạng dao động tần số ω Bây ta đưa vào hộp vật thể nhỏ tích V0 với số ε, ,  Thay đổi tần số tương đối hộp xác định biểu thức sau: ∆𝜔 𝜔0 = ∆𝑊𝐻 −∆𝑊𝐸 2𝑊(𝑉) 1 2 𝑊 (𝑉 ) = 𝜀0 ∫𝑉 𝐸 𝑑𝑉 = 𝜇0 ∫𝑉 𝐻2 𝑑𝑉 (7.114) (7.115) lượng tích lũy cực đại điện trường từ trường hộp cộng hưởng không nhiễu (chưa đưa vật thể vào) Trường hợp vật thể đưa vào kim loại: ∆𝑊𝐸 = 𝑊𝐸 (𝑉0 ) ∆𝑊𝐻 = 𝑊𝐻 (𝑉0 ) (7.116) WE(V0), WH(V0) điện từ cực đại thể tích V0 có trước hộp chưa đưa vật thể vào Nếu vật đưa vào điện môi hay ferit: ∆𝑊𝐸 = ∆𝑊𝐻 = 𝜀−𝜀0 𝜀0 𝜇−𝜇0 𝜇0 𝑊𝐸 (𝑉0 ) 𝑊𝐻 (𝑉0 ) (7.117) Xét ví dụ sau: Giả sử có hộp cộng hưởng hình trụ tròn làm việc với dạng dao động Hmnp Ta đưa vào hộp đĩa điện mơi mỏng có độ dày d