TUYỂN CHỌN BÀI TẬP ĐIỂM 10 TOÁN PHẦN 1- ĐỀ BÀI Bài 1:(HK1-THCS trưng nhị -hà nội 2017-2018) x2 + y + y ( y − z) + ( z − x) + ( x − y) Rút gọn biểu thức: 2 biết x+ y+ z = Bài 2(HK1 huyện quốc oai hà nội 2019-2020) cho 3 x − y = Tính giá trị biểu thức A = ( x − y ) − ( x + y ) Bài 3(HK1 THCS Nguyễn Trường tộ Hà nội 2018-2019)  a + b + c + d =  2016 2017 2018 2019 =1 Cho số hữu tỉ a, b, c, d thảo mãn điều kiện  a + b + c + d Tính giá trị biểu thức M = a3 − a + 3b4 − 3b + 5c5 − 5c + 7d − 7d Bài 4(HK1 THCS Dịch vọng hà nội 2018-2019) cho số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: x + xy + x2 + x − y + = Tính giá trị biểu thức P = ( x + y )8 + ( x + 1) + ( y − 1) 11 2018 Bài 5:(HK1 THCS văn yên hà nội 2018-2019) cho số x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz=1 Tính giá trị biểu thức Bài (HK1 Lương vinh hà nội 2018-2019) cho x, y thỏa mãn điều kiện x + 10 y − xy − x − y + 10 = ( x + y − 4) 2018 − y 2018 A= tính giá trị biểu thức: x Bài 7:(HK1Vinschool-Hà Nội 2018-2019) tính giá trị biểu thức (1 −      ) − − −  ÷ ÷  ÷ 22  32   42   2017  Bài 8: (HK1-THCS Đại Mỗ - Hà Nội 2018-2019): Cho số thực a, b, c đôi khác thỏa mãn: a.b.c ≠ a + b3 + c = 3abc M= 1 + + + x + xy + y + yz + z + zx ab bc ca P= 2 + 2 + 2 Tính giá trị biểu thức a +b −c b +c −a c +a −b Bài 9: (HK1- THCS Archimedes Academy - Hà Nội 2018-2019): Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn: 3x − y + z = − 3x − y − 3z = Tính giá trị biểu thức : S = 9x2 − ( y + z ) Bài 10: (Giữa HK1 - Chuyên Amsterdam - Hà Nội 2018-2019): a, b, c ≠ cho Cho số 1 1 + = + 2019 2019 a b c a+ b = c+ 1   P = (a 2019 + b2019 − c 2019 )  2019 + 2019 − 2019 ÷ Tính giá trị biểu thức : b c  a Bài 11: (HK1- Huyện Kinh Môn - Hà Nội 2018-2019): Cho số thực x, y, z thỏa mãn : x + y + 3z = xy + yz + 3zx = ( x − 1) − ( − y ) + ( 3z − 1) S= 2018 2016 ( x + 1) + ( y − z ) + y 2014 + Tính giá trị biểu thức 2019 2017 2015 Bài 12:(Huyện Đan Phượng Nà Nội 2017-2018) Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z − xy − xz + yz − y − 10 z + 34 = tìm giá trị biểu thức S = ( x − 4) 2020 + ( y − ) 2020 + ( z − 4) 2020 Bài 13:(Quận Hồ Tây- Hà Nội 2017-2018) Cho số thực x, y, z thỏa mãn đẳng thức : x + y + xy + 3x − y + = Tính giá trị biểu thức Q = ( x + y + 1)2017 + ( x + ) 2018 Bài 14:(THCS Nguyễn Trường Tộ- Hà Nội 2016-2017) Cho xyz = 2016 Tính giá trị biểu thức Q= 2016 x y z + + xy + 2016 x + 2016 yz + y + 2016 xz + z + Bài 15:(HKI- THCS Cầu Giấy - Hà Nội 2016-2017) Cho ax + by + cz = a + b + c = 2016 bc ( y − z ) + ac ( z − x ) + ab ( x − y ) A= Tính giá trị biểu thức ax + by + cz 2 Bài 16:(HKI- THCS NGuyễn Trường Tộ-2015-2016) 1 + + =0 Cho a, b, c đôi khác a b c Tính giá trị biểu thức P= 1 + + a + 2bc b2 + 2ac c + 2ab Bài 17 :(HKI- THCS nguyễn du - Hà Nội 2017-2018) 1 yz xz xy + + =0 A= + + Cho x y z tính giá trị biểu thức x y z Bài 18 :(HKI- THCS Cầu giấy - Hà Nội 2013-2014) 1 x+ = a x5 + Cho tính theo a giá trị biểu thức sau x x Bài 19:(HKI- Lương Thế Vinh- Hà Nội ) x > x + y = xy tính giá trị biểu thức Cho y > 2 M= xy 4x2 − y2 xy 4x2 − y2 M= Tính giá trị biểu thức Bài 20:(HKII-THCS Yên nghĩa- Hà Nội 2017-2018) Biết x > y > x + y = xy 2 tính giá trị biểu thức M= xy 4x − y2 Bài 22:(TLTV) Cho a, b đôi khác a + b = tính giá trị biểu thức M = a3 + b3 + 3ab ( a + b ) + 6a 2b2 ( a + b ) Bài 23:(HKI- Hồ Tây - Hà Nội2019-2020 ) Biết x + y = xy < x < y 2 tính giá trị biểu thức P= x− y x+ y Bài 24 :(HKI- THCS Nguyễn Du - Hà Nội 2019-2020) Cho x = by + cz, y = ax + cz , z =ax + by x + y + z ≠ tính giá trị biểu thức P= 1 + + 1+ a 1+ b 1+ c Bài 25 :(HKI- Huyện Đan phượng - Hà Nội 2019-2020 1 + + =3 −9= Cho x, y , z Khác thỏa mãn Đồng thời x y z xy z Tính giá trị biểu thức P = ( x + y + z)2019 Bài 26 :(HKI- THCS Lê Hồng Phong- Hà Nội 2019-2020) Cho 2 a, b, c ba số đôi Khác thỏa mãn ( a + b + c ) = a + b + c a2 b2 c2 P= + + Tính giá trị biểu thức a + 2bc b2 + 2ac c + 2ab Bài 27 :(HKI- THCS Kim Chung - Hà Nội 2019-2020) Cho số x, y thỏa mãn Đẳng thức: 3x + y + xy + x − y + = Tính giá trị biểu thức P = ( x + y) 2019 + ( x + 2) 2020 + ( y + 2) 2021 Bài 28 (HKI- THCS Kim Chung - Hà Nội 2019-2020) Cho x + x − = Tính giá trị biểu thức M = x4 + 12 x + 2019 Bài 29 (HKI- THCS Kim Chung - Hà Nội 2019-2020) Cho a + b + c = ( a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ ) Tính giá trị biểu thức A= a2 b2 c2 + + a − b − c b2 − c − a c − a − b2 Bài 30(TLTV) Cho a, b, c thỏa mãn đồng thời điều kiện : a + b + c = 0, ab + bc + cd = − 6, abc = Tính giá trị biểu thức E = a + b5 + c Bài 31(TLTV) 1 1 + + = Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = 2009 a + b b + c a + c Tính giá trị biểu thức P= a b c + + b+ c a+ c a+ b Bài 32(TLTV) 1 1 + + = Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = 14 a + b b + c a + c Tính giá trị biểu thức P= c b a ++ + a+ b a+ c b+ c Bài 33(TLTV) 1 + + =1 Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = a b a Tính giá trị biểu thức S = a 2021 + b 2021 + c 2021 Bài 34 (HKI- Chuyên AMS- Hà Nội 2019-2020) 1 + + =1 Cho số a, b, c khác thỏa mãn: a + b + c = a b c 1   P = ( a 2019 + b 2019 − c 2019 )  2019 + 2019 − 2019 ÷ Tính giá trị biểu thức b c  a Bài 35 (HKI- Quận Nam Từ Liêm - Hà Nội 2019-2020) Cho số x, y , z số thực khác thỏa mãn đồng thời x + y + z = x + y + z = 2019  yz zx xy  P= + + 2÷ Tính giá trị biểu thức x y z  Bài 36(TLTV) 35 x − 29 A B = + Cho x − x + x − x − đảng thức Tính giá trị A.B Bài 37(TLTV): Cho 4a + b = 5ab 2a > b > Tính 2 p= ab 4a − b 2 Bài 38(TLTV) a) Cho a + b = a + b2 = 20 Tính giá trị biểu thức M = a3 + b3 b) Cho a + b + c = a + b2 + c = 14 Tính giá trị biểu thức N = a + b + c Bài 39(TLTV): Cho a, b dương a 2000 + b2000 = a 2001 + b2001 = a 2002 + b2002 A = a 2011 + b2011 Tính giá trị biểu thức      1 1 + ÷ + ÷ + ÷  29 + ÷   4 4  A=  1       + ÷ + ÷ + ÷  304 + ÷  Bài 40 (TLTV) Tính giá trị biểu thức:   4 4   Bài 41: (TLTV) Cho số a, b thỏa mãn hệ thức sau: a − 3a + 5a − 2011 = 0, b3 − 3b3 + 5b + 2005 = Hãy tính a+ b Bài 42: (TLTV) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn (a − b) + ( b − c ) + ( c − a ) = 210 Tính giá trị biểu thức: Bài 43: (TLTV)Cho Bài 44: (TLTV) B = a− b + b− c + c− a a + b + c = a + b3 + c = Tính S = a + b2012 + c 2013 A = x + y + + x − y − − ( x + y − 1) + xy Cho biểu thức : Tính giá trị biểu thức A với x = 22011 , y = 16503 Bài 45: (TLTV) Cho số a; b; c thỏa mãn 12a − b Tính giá trị biểu thức P= = 12b − c = 12c − a = 2015 670a + b + c 670b + c + a 670c + a + b + + a b c Bài 46(HK2 Quận Ba Đình –Hà Nội 2017-2018) Cho a, b số thực thỏa mãn a 2017 + b2017 = 2a 2018 b2018 Chứng minh giá trị biểu thức P = 2018 − 2018ab ln âm Bài 47(HK1-Huyện trì –Hà Nội 2018-2019):****** Tìm 2 x, y, y, z thỏa mãn bất đẳng thức sau: ( x − z ) + ( y − z ) + y + z = xy − yz + z − 2 Bài 48 (HK1-THCS Nguyễn Trường Tộ -Hà Nội 2016-2017): Tìm x, y thỏa mãn đảng thức: x + y + xy + x + 32 y + 46 = Bài 49 (Giữa HK1-THCS Đơng Hịa –Hà Nội 2019-2020): Tìm số nguyên x, y, z biết: x3 + y + z = x + y + z + 2020 Bài 50 (Giữa HK1-Huyện Gia Lộc –Hải Dương 2019-2020): Tìm số a , b, c ∈ Q Biết a + b + c = ab + ac + bc a + b + c = 2019 Bài 51 (TLTV): Cho ba số Tìm a , b, c thỏa mãn: a + b + c = ab + ac + bc a 2019 + b 2019 + c 2019 = 32019 a, b, c Bài 52 (Giữa HK1-THCS Lương Thế Vinh –Hà Nội 2019-2020): Tìm x, y , z thỏa mãn: x + y + z + 25 − y − xy − x + z ( y − x) = Bài 53 (Giữa HK1-THCS Thị Trấn Gôi 2019-2020): Cho ba số x, y , z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = x + y + z = 12 Tìm giá trị x, y , z Bài 54 ( HK1-Chuyên AMSTERDAM Hà Nội 2019-2020): Tìm tất ba số nguyên dương ( a; b; c ) Thỏa mãn Bài 55 (TLTV): Tìm x, y , z Thỏa mãn phương trình sau: x + y + z − 18 + z − y + 20 = Bài 56 (TLTV): Tìm tất ba số nguyên dương x, y, z Thỏa mãn đồng thời điều kiện: x + y + z > 11 x + y + 10 z = 100 Bài 57 (TLTV): Tìm x, y , z biết : x + y + z = xy + yz + zx x 2015 y 2015 + z 2015 = 320167 Bài 58 (HK1-THCS Minh Khai 2019-2020 Quận Nam Từ Liên 2016-2017) a b c + + =0 Cho a, b,c ba số đôi khác thỏa mãn: b − c c − a a − b a Chứng minh ( b − c ) + b ( c − a) + c ( a − b) =0 Bài 59 ( HK1-THCS Cổ Nhuế II -Hà Nội 2017-2018): Cho a, b, c ≠ a+ b+ c ≠ Chứng minh a 2017 + b 2017 + 1 1 + + = thỏa mãn a b c a + b + c c 2017 = a 2017 +b 2017 + c 2017 Bài 60 (Giữa HK1 Quận Tây Hồ -Hà Nội 2018-2019): Cho số a, b dương thỏa mãn a + b3 = 3ab − Chứng minh a 2018 + b2019 = Bài 61 (Giữa HK1-THCS Cầu Giấy – Hà Nội 2012-2013): Cho x = by + cz (1); y = ax+cz(2);z=ax+by(3) x + y + z ≠ 0; xyz ≠ 1 + + = Chứng minh đẳng thức + a + a + a Bài 62: (Giữa HK1-THCS Archimedes Academy-Hà Nội 2019-2020 Cho số thỏa mãn: Chứng minh rằng: a+ b+ c = a ( 2a + b ) + c ( 2c + b ) + b ( b − 4ca ) = Bài 63 (Giữa HK1-THCS Nguyễn Tất Thành – Hà Nội 2019-2020) (HK1-THCS Quận Nam Từ Liêm-Hà Nội 2019-2020): 1 + + = Cho a, b, c ba số khác thảo mãn: ( a + b + c ) = a + b + c Chứng minh: a b3 c3 abc 2 2 1 1 + + = Bài 64: (TLTV): Cho ba số a, b, c thỏa mãn a b c a + b + c Chứng minh a 2019 + b Bài 65: (TLTV): Cho 2019 + c 2019 = a 2019 +b + c 2019 2019 x + y = 1, x3 + y = a, x5 + y = b Chứng minh 5a ( a + 1) = 9b + Bài 66: (HK1-Huyện Thanh Trì – Hà Nội 2016-2020) x y z x2 y2 z2 + + =1 + + = Cho y + z z + x x + y Chứng minh y + z z + x x + y Bài 67: (HK1-Chuyên AMSTERDAM – Hà Nội 2019-2020) a b c + + = Cho số thực a, b, c thỏa mãn b − c c − a a − b a Chứng minh ( b − c ) + b ( c − a) + c ( a − b) = 2 a b c x y z x y z + + =0 + + =1 + + = Bài 68: (TLTV)Cho a b c x y z Chứng minh rằng: a b2 c Bài 69: (TLTV) Cho ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 2 Chứng minh = ( a + b2 + c − ab − bc − ca ) a = b = c Bài 70: (TLTV): Cho x, y, z số khác không 1 x6 + y + z x+ y+ z = + + =0 = xyz Chứng minh rằng: Nếu x3 + y + z x y z 1 + + =2 Bài 71: (TLTV) Chứng minh rằng: Nếu a b c Bài 72: (TLTV) Chứng minh rằng: Nếu a + b + c = abc 1 + + = a b c a + b = c a + b + c = 2a 2b2 + 2b2c + 2c 2a Bài 73: (TLTV) a) Chứng minh rằng: Nếu x + y + z = xy + yz + zx x = y = z a b2 c2 a c b + + = + + b) Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn: b c a c b a Chứng minh a = b = c Bài 74: (TLTV) Cho a, b, c đôi khác khác Chứng minh rằng: Nếu a + b + c = thì: a b   a− b b− c c− a  c + + + +  ÷ ÷ = a b  a− b b− c c− a  c Bài 75: (TLTV) Chứng minh rằng: a ( b − c) ( b + c − a) + c ( a − b) ( a + b − c) = b ( a − c) ( a + c − b) 2 Bài 76: (TLTV) a b c + + = Cho số thực a, b, c đôi khác thỏa mãn: b − c c − a a − b a Chứng minh rằng: ( b − c ) + b ( c − a) + c ( a − b) = Bài 77: (TLVL): Cho a, b, c, d thỏa mãn đúng: a + b = 2cd Chứng minh có hai bất đẳng thức sau c ≥ a; d ≥ b a, b, c độ dài cạnh tam giác Bài 78: (TLVL):Giả sử Chứng minh: a + b + c < ( ab + bc + ca ) Bài 79: (TLVL): Chứng minh với 2 a, b ta có: a + 5b − ( 3a + b ) ≥ 3ab − Bài 80: (TLVL): Cho a, b số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: a + b3 = a + b a + b ≤ + ab Bài 81: (TLVL): a) Chứng minh: a + b + c ≥ ab + bc + ca với số a, b, c bc ac ab + + ≥ a+ b+ c b) Chứng minh: a b với số dương a, b, c c Bài 82: (TLVL): Cho hai số Bài 83: (TLVL): Cho hai số a, b thỏa mãn a − b = 1 a + b2 ≥ Chứng minh a, b thỏa mãn a + b = 1 a + b3 + ab ≥ Chứng minh Bài 84: (KHI- THCS Cầu Giấy 2013-2014): Cho x, y , z số thực thỏa mãn x + y + z + xy + xz + yz = Chứng minh x3 + y + z ≥ Bài 85: (KHI- THCS Đại Tự): Cho biểu thức Chứng minh a, b, c A = 2a 2b2 + 2b 2c + 2a 2c − a − b4 − c cạnh tam giác A> Bài 86: (KHI- Huyện Quốc Oai -HN 2019-2020): Chứng minh x + y − xy + x − 10 y + 14 > ∀ x,y Bài 87: (TLVL): Cho hai số dương a, b thỏa mãn a + b ≥ Chứng minh a3 + b3 ≤ a + b4 Bài 88: (KHI- THCS Phan Chu Trinh -HN năm học 2019-2020): Cho A= x4 ( y − z ) + y ( z − x ) + z ( x − y ) ( x + y) + ( y + z ) + ( z + x) 2 số nguyên dương Bài 89: (TLVL): Cho A= x, y, z số nguyên x > y > z Chứng minh A a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh a b c + + ≥3 b+ c− a a+ c− b a+ b− c x x2 y + + ≥  + x2 Bài 90: (TLVL): Cho x, y > Chứng minh y y y ÷ x Bài 91: (HKII- THCS Hoàng Liệt -HN 2017-2018): Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh 1 + + ≥9 a b c Bài 92: (TLTV): Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh a b c + + ≤ 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 1 + ≥ Bài 93: (TLVL): Cho số x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ Chứng minh rằng: x + y + 1 + xy Bài 94: (TLVL): 1 1 + 3 + 3 ≤ Cho a, b, c > Chứng minh: a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc  1 x+ ÷ x Bài 95: (TLVL):Cho x, y > thỏa mãn x + y = Chứng minh rằng:  x y + ≥2 Bài 96: (TLVL): Chứng minh bất đẳng thức sau: y x (Với x, y dấu) Bài 97: (TLVL): Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc = 1 1 + + ≥ Chứng minh rằng: a ( b + c ) b ( c + a ) c ( a + b )  1 +  y + ÷ ≥ y  Bài giải: Ta có x + 3x = x y + y + ⇔ x3 + x − = y ( x + ) x + 3x + x−5 ⇔ y= = x+ 2 x +2 x +2 x−5 Với x nguyên, để y nguyên x + nguyên x− ⇒ ( x − 25 ) M( x + ) x +2 2 ⇒ x + − 27 Mx + ⇔ 27 Mx + ⇒ ( x − 5) M( x + ) ⇒ ( x − ) ( x + ) ( )( ) ( ) ( x + 2) ≥ 2∀ x nên ước lớn 27 ⇒ ( x + ) ∈ { 3;9;27} Mà −1   y = ( loai )   y = − ( tm ) x = x + 2= 3⇔  ⇔  x = −1 Xét Xét x + = ⇒ x = (loại)  y = ( tm )  x = −5  x + = 27 ⇒ x = 25 ⇒  ⇔  y = − 145 ( loai ) x =   Xét 27 Vậy ( x; y ) ∈ { ( − 1; − 3) , ( 5;5) } Bài 224: (TLTV): Cho ba số a, b, c thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh ba số 1 1 + + = 2018 a b c 2018 a, b, c có số 2018 Bài giải: Ta có 1 1 ab + ac + bc + + = ⇔ = ⇔ 2018 ( ab + ac + bc ) = abc a b c 2018 abc 2018 Cũng có a + b + c = 2018 nên ( a + b + c ) ( ab + ac + bc ) = abc ⇔ ( a + b + c ) ( ab + ac ) + ( b + c ) bc + abc − abc = ⇔ ( a + b + c ) ( ab + ac ) + ( b + c ) bc = ⇔ ( b + c ) a ( b + c ) + ( b + c ) bc = ⇔ ( b + c) ( a + b) ( a + c) = ⇔ b = − c a = − b a = − c Mà a + b + c = 2018 nên a = 2018 b = 2018 c = 2018 Vậy ba số a,b,c có số 2018 (đpcm) Chú ý: Việc khai triển dẫn tới đẳng thức (*) khơng cịn phụ thuộc vào số 2018, tức ta thay số 2018 số ta nhận kết (*) Do tổng quát ta có ba số a,b,c ln có số k a + b + c = k 1 + + =k a b c Bài 225: (HK1 – THCS Ngôi Sao – Hà Nội 2019-2020): n2 + n A= Cho phân số n + Hỏi có số tự nhiên n thỏa mãn: ≤ chưa tối giản n ≤ 2019 cho phân số A Bài giải: Phân số n2 + n A= n+ chưa tối giản tử số mẫu số phân số a có ước chung số nguyên tố n + n + ⇒ n2 + 4Md n + 5Md Xét n + 5M d ⇒ ( n + 5) ( n − 5) = n − 25Md Kết hợp với n + 4M d ta có 2 ( n + 4) − ( n − 25) Md ⇔ 29Md (tính chất chia hết hiệu) Mà d số ngyên tố nên d = 29 , ( n + ) M29 ⇔ n = 29 k − ( k ∈ N *) Gọi d ước chung Mà ≤ n ≤ 2019 ⇒ ≤ 29k − ≤ Có 69 số tự nhiên k thỏa mãn ⇒ ⇒ Có 69 số tự nhiên n thỏa mãn 2019 ⇒ ≤ k ≤ 69 n2 + n A= n+ không tối giản Bài 226: (HK1 – Quận – HCM 2018-2019): Giữa điểm A, B hồ nước Biết A, B trung điểm MC, MD (xem hình vẽ) Bạn Mai từ C đến D với vận tốc 160m/phút hết phút giây Hỏi hai điểm A B cách mét? ( m / s ) ; phút giây = 63 Đổi 160km/phút CD = 63 = 168m Quãng đường bạn Mai là: = MC , MD nên AB Ta có A, B trung điểm đường trung bình tam giác CMD ⇒ AB = giây CD 168 = = 84 (mét) 2 Bài 227: (Giữa HK2 – THCS Minh Khai – Hà Nội 2017-2018): Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp cho tổng lập phương số đầu lập phương số thứ tư Bài Giải Gọi số tự nhiên liên tiếp Có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ n; n + 1, n + 2, n + n + ( n + 1) + ( n + ) = ( n + 3) (1)  n3 + ( n + )  + ( n + 1) = ( n + 3)   3 2 ( n + 1)  n − n ( n + ) + ( n + )  + ( n + 1) = ( n + 3)   3 2 ( n + 1)  n + 2n +  + ( n + 1) = ( n + 3) ( n + 1)  ( n2 + 2n + ) + ( n + 1)  = ( n + 3) 3 3 n ∈ N ⇒ n + 1; n + 3;2 ( n + 2n + ) + ( n + 1) ∈ N ⇒ ( n + 3) M( n + 1) (2) Do ( n + 3) = ( n + 1) + ( n + 1) − 12 ( n + 1) + (3) Từ (2) (3) ⇒ ( n + 1) Ư(8) ⇒ n + ∈ { 1;2;4;8} (do n ∈ N ) ⇒ n ∈ { 0;1;3;7} 3 Ta lại có Thay giá trị n vào (1) Vậy số tự nhiên cần tìm 3;4;5;6 ⇒ n = (thỏa mãn) Bài 228: (HK2 – THCS Cầu Diễn – Hà Nội 2011-2012): Cho tam giác ABC vng A có diện tích 100cm M điểm thuộc cạnh huyền BC Khoảng cách từ M đến hai cạnh góc vng 4cm 8cm Tính độ dài cạnh góc vng Bài Giải Xét ∆ ABC vng A hình vẽ, có MH , MK MH = 3cm, MK = 8cm khoản cách từ M đến AB, AC giả sử ta có diện tích tam giác ABC: S∆ ABC = AB AC = 100 ( cm ) ⇒ AB AC = 200 (1) 1 S∆ ABC = S∆ ABM + S∆ ACM = MH AB + MK AC = 100 ( cm ) 2 ⇒ AB + AC = 100 ⇒ AB = AC = 50cm (2) Từ (1) (2) tính được: AB = 10cm; AC = 20cm Bài 229: (TLTV): Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số ngun dương số đo diện tích số đo chu vi Bài Giải Gọi cạnh tam giác vuông Ta có xy = ( x + y + z ) Từ (2) Suy ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + x, y, z cạnh huyền z ( x, y, z ∈ Z ) x + y = z (2) z = ( x + y ) − 2xy , thay (1) vào ta có (1) z2 = ( x + y ) − ( x + y + z ) z2 + 4z = ( x + y ) − ( x + y ) z2 + 4z + = ( x + y ) − ( x + y ) + 2 ( z + 2) = ( x + y − 2) ⇔ z+ 2= x+ y− ⇔ z = x+ y− Thay z = x + y − vào 91) ta xy = ( x + y + x + y − ) ⇔ xy − x − y = − ⇔ ( x − ) ( y − ) = = 1.8 = 2.4 Từ ta tìm giá trị x, y, z ( x, y, z ) = { ( 5;12;3) , ( 12;5;13) , ( 6;8;10 ) , ( 8;6;10 ) } Bài 230: (TLTV): Cho trọng tâm ∆ ABC Gọi M , N điểm nằm cạnh AB, BC cho BM = BN Gọi G ∆ BMN I trung điểm AN Tính góc tam giác ICG Bài Giải Ta có Ta có Lại có BMN tam giác đều, nên G trọng tâm tam giác GP = GN (trọng tâm tam giác đều) PI PI GP PI = = = = MA NC , suy GN NC · = GPM · · = 90° + 60° = 150° GPI + MPI · = GNP · + PNC · = 30° + 120° − 150° GNC · = GNC · (2) Do GPI Từ (1) (2) suy ∆ GPI ∽∆ GNC ( c.g.c ) BMN Gọi P trung điểm MN (1) Mà GI = GC · = NGC · Từ ta có PGI · = 60° IGC · = PGN · IGC = 60° Mà ( ) GI = GK = GC Gọi K trung điểm GC IK = GC ⇒ ∆ GIK nên Điều chứng tỏ tam giác GIC vuông I Vậy · = 90° ; IGC · = 60° ; GCI · = 30° GIC Bài 231: (TLTV):Cho ∆ ABC ( AB < AC ) có AD phân giác Đường thẳng qua trung điểm BC song song với AD cắt AC E cắt AB F Chứng minh BF = CE M cạnh Bài Giải BF BM = Trong ∆ BMF có AD / / MF nên BA BD CE CM = Trong ∆ CAD có AD / / ME nên CA CD BF CA BM CD = Chia vế theo vế được: BA CE BD CM BF CA CD ⇒ = BA CE BD (do BM = CM ) CD AC = Vì AD phân giác nên BD AB BF CA AC BF = ⇒ = ⇒ BF = CE Thay vào được: BA CE AB CE Bài 232: (TLTV): Cho tư giác lồi ABCD Tìm tập hợp điểm O nằm tứ giác cho hai tứ giác OBCD OBAD có diện tích (Lưu ý: phản biện lời giải hình vẽ khơng tương đồng) Bài Giải SOBCD = SOBAD Từ O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB D1 cắt AC B1 Nối OC, OB, AC, BD kẻ đường cao , hb , hc hình vẽ Khi đó: Giả sử O điểm nằm tứ giác thỏa mãn: SOBCD = S BCD + S BOD = BD ( hc + ho ) S BODA = S AB1D1 + S B1OD = B1D1 ( + ho ) BD h + h ( c o) =1 S ⇒ OBCD = S BODA B1D1 ( + ho ) (1) BD + ho = (2) Vì B1 D1 / / BD nên B1 D1 h +h ⇒ c o = ⇔ hc + ho = ha Từ (1) (2) Từ HS lập luận suy B1D1 / / BD qua trung điểm AC Bài 233: (HK1 – Huyện Bình Giang – Hải Dương 2013-2014): x, y thỏa mãn: x + y + = x + xy Cho Tính giá trị biểu thức A = x 2013 y 2014 − x 2014 y 2013 + 25 xy Bài Giải x + y + = x + xy 2 ⇒ ( x − y ) + ( x − 2) = 2 2 Vì ( x − y ) ≥ 0, ( x − ) ≥ 0∀ x, y ⇒ ( x − y ) + ( x − ) ≥ Vậy dấu “=” xảy 2 x= y= A = x 2013 y 2014 − x 2014 y 2013 + 25 xy = ( xy ) 2013 ( y − x ) + 25 xy ⇒ A = 25.2.2 = 100 Bài 234: (HK1 – THCS Lương Thế Vinh – Hà Nội 2015-2016): Cho số dương x, y , z thỏa mãn x3 + y + z = 3xyz x10 + y10 + z10 T= ( x + y + z) Tính giá trị biểu thức 10 Bài Giải x + y + z = 3xyz ⇔ x3 + 3x y + 3xy + y + z = 3xyz + 3x y + 3xy 3 ⇔ ( x + y ) + z = 3xy ( z + x + y ) ⇔ ( x + y + z )  ( x + y ) − ( x + y ) z + z  = 3xy ( z + x + y )   x, y, z số dương nên x + y + z ≠ Do đó: Mà ( x + y ) − ( x + y ) z + z = 3xy ⇔ x + y + z − xy − xz − yz = ⇔ x + y + z − xy − xz − yz = ⇔ ( x + y) + ( x + z) + ( y − z) = ⇔ ( x + y + z )  ( x + y ) − ( x + y ) z + z  = 3xy ( z + x + y )   2 ⇔ x= y= z T= Vậy x10 + y10 + z10 ( x + y + z) 10 x10 = ( 3x ) 10 = 39 Bài 235: (HK1 – Huyện Vĩnh Bảo – Hải Phòng 2016-2017): Cho 2 a, b, c ba số đôi khác thỏa mãn: ( a + b + c ) = a + b + c Tính giá trị biểu thức: a2 b2 c2 P= + + a + 2bc b2 + 2ca c + 2ab Bài Giải ( a + b + c) 2 = a + b + c ⇔ ab + ac + bc = 2 a a2 a2 = = a + 2bc a − ab − ac + bc ( a − b ) ( a − c ) b2 b2 b2 = = b + 2ac b2 − ab − bc + ac ( b − a ) ( b − c ) ( 1) ( 2) c2 c2 c2 = = c + 2ab c − bc − ac + ab ( c − b ) ( c − a ) ( 3) Cộng (1), (2) (3) vế theo vế được: a2 b2 c2 P= + + a + 2bc b + 2ca c + 2bc ( a − b) ( a − c ) ( b − c) = a2 b2 c2 = + + = ( a − b) ( a − c ) ( b − a ) ( b − c) ( c − b) ( c − a ) ( a − b) ( a − c ) ( b − c ) Bài 236: (TLTV): x − 17 Tìm số nguyên x cho x − bình phương số hữu tỉ Bài Giải Giả sử x − 17  a  a = ÷ = x −  b  b2 (với a ∈ N,b ∈ N * ) a = x = 17 2 Xét a ≠ , khơng tính tổng qt, giả sử ƯCLN ( a, b ) = ⇒ ƯCLN ( a , b ) = Xét x − 17 = a k ( 1) ( x − ) = b k ( ) (k số nguyên) 2 Từ (1) (2) ⇒ b k − a k = ⇔ ( b − a ) ( b + a ) k = (3) mà = 8.1 = 4.2 − ; Vì a + b − ( b − a ) = 2a; b + a > b − a Ta có Kết hợp giả thiết ta có bảng sau: b+ a S b− a -2 -2 k -1 -2 -1 -1 b 0, a x = b2 k + 18 loại -1, loại + Khi x = 17 A = = A= x = 18 + Khi x = A = + Khi Vậy x ∈ { 17;18;8} Bài 237: (TLTV): Tìm số có chữ số: ( ) a1a2 a8 thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: ( ) a1a2 a3 = a7 a8 a4 a5a6 a7 a8 = a7 a8 Bài Giải ( ) Ta có: a1a2 a3 = a7 a8 Từ (1) (2) ( ) (2) (1) a4 a5 a6 a7 a8 = a7 a8 ⇒ 22 ≤ a7 a8 ≤ 31 ( ) ( ) Từ (2) ⇒ a7 a8 = a4 a5 a6 00 + a7 a8 ⇒ a7 a8 − a7 a8 = a4 a5 a6 00 ( ) ( ) ⇒ a7 a8 − a7 a8 a7 a8 + = 4.25.a4a5a6 Mà ( a a − 1) ; a a ; ( a a + 1) số tự nhiên liên tiếp, có số chia hết cho 25, nhỏ 50 (tích 8 số 48.49.50 = 117600 > a4a5a6 00 ) Suy có số 25 Nên có khả năng: + a7 a8 + = + a7 a8 25 ⇒ a7 a8 = 24 ⇒ a1a2 a7 a8 số 56713824 = 25 ⇒ a1a2 a7 a8 số 62515625 + a7 a8 − = 25 ⇒ a7 a8 = 26 ⇒ Khơng thỏa mãn Bài 238: (TLTV): Cho hình chữ nhật ABCD, vẽ BH vng góc với AC (H thuộc AC) Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng AH CD Chứng minh BM vuông goc với MN Bài Giải Câu 238 (TLTV) E trung điểm BH Dễ thấy tứ giác MECN hình bình hành ⇒ MN / / EC (1) Gọi Mà AB ⊥ BC; ME / / AB ⇒ ME ⊥ BC ⇒ E trực tâm ∆ MBC ⇒ CE ⊥ MB (2) Từ (1) (2) có: BM ⊥ MN Bài 239: (TLTV): Cho P điểm nằm bên hình chữ nhật ABCD cho PA=3cm, PD=4cm, PC=5cm Tính độ dài đoạn thẳng PB Bài Giải Kẻ đường thẳng HK qua P , vng góc với AD , BC ( H ∈ AD, K ∈ BC ) Ta có: PA2 − PD = ( PH + HA2 ) − ( PH + HD ) = HA2 − HD Tương tự: Vì PB − PC = KB − KC HA = KB HD = KC nên PA2 − PD = PB − PC ⇒ 32 − 42 = PB − 52 ⇒ PB = 18 ⇒ PB = Bài 240: (TLTV): Cho hình vng ABCD, cạnh AD lấy điểm F Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N Chứng minh rằng: 1 = + 2 AD AM AN Bài Giải Do AC / /CN (gt) Áp dụng hệ định lí Ta-let: ⇒ AD AM AD CN = ⇒ = CN MN AM MN Có: MC / / AB (gt) Áp dụng hệ định lí Ta-lét: MN MC AB MC = ⇒ = AN AB AN MN ⇒ (1) hay AD MC = AN MM (2) 2  AD   AD   CN   CM  CN + CM  ÷ + ÷ = ÷ + ÷ = Từ (1) (2) có:  AM   AN  MN  MN   MN  Mà CN + CM = MN (Định lí Pytago tam giác vuông MCN ) 2 2  AD   AD  MN     = ⇒ + =  ÷ + ÷ =  ÷  ÷ 2  AM   AN  MN  AM   AN  AD (đpcm) Bài 241: (TLTV): Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE=AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N Biết diện tích tam giác BCH gấp lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC=2EF Bài Giải Ta có ∆ ABH ∽   ∆ FAH (g.g) ⇒ AB BH = AF AH hay BC BH = ( AB = BC; AE = AF ) AE AH Lại có · = HBC · (cùng phụ ·ABH ) ⇒ ∆ CBH ∽   ∆ EAH (c.g.c) HAB S  BC  ⇒ ∆ CBH =  ÷ S∆ EAH  AE  , mà S∆ CBH =4 S∆ EAH (gt)  BC  ⇒ ÷ = nên BC = ( AE ) AE ⇒   BC = AE ⇒ E trung điểm AB , F trung điểm AD Do đó: DB = EF hay AC = 2EF (đpcm) Bài 242: (TLTV): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’ H trục tâm HA ' HB ' HC ' + + Tính tổng AA BB ' CC ' Bài Giải Ta có S ∆HBC S ∆ABC HA′ ×BC HA′ = = S∆ HAB HC ′ = AA ×BC AA S CC ′ ; tương tự ∆ ABC S∆ HAC HB′ = S∆ ABC BB′ HA′ HB′ HC ′ S∆ HBC S∆ HAB S∆ HAC + + = + + =1 Suy AA′ BB′ CC ′ S ∆ ABC S ∆ ABC S ∆ ABC Bài 243: (TLTV): Tính diện tích hình thang ABCD (AB//CD), biết AB=42cm, thang 18cm µA = 45° , Bµ = 60° , chiều cao hình Bài Giải A B kẻ AA ' BB ' vng góc với CD Tứ giác ABB ' A ' hình chữ nhật Qua · = 45° ⇒ A· ' AD = 45° A ' A = BB ' = 18cm; DAB A ' AD Có vng cân ⇒ A ' D = A ' A = 18cm · = 60° ⇒ B· ' BC = 60° B· ' BA = 90° ; CBA B 'C = tam giác tam giác vuông BC Theo định lý Pytago, ta có B ' C = BC − B ' B ⇒ B ' C = 4B ' C − B ' B ⇒ 3B ' C = B ' B ⇒ B 'C = Suy Vậy B ' B 18 = ( cm ) 3 CD = A ' B '− A ' D − B ' C = 42 − 18 − S ABCD = 18 18 = 24 − ( cm ) 3 1 18  ( AB + CD ) A ' A =  42 + 24 − ÷18 ≈ 498,6 ( cm2 ) 2 3 B ' BC ta có Bài 244: (TLTV): Cho tam giác vuông cân ABC (AB=AC) M trung điểm AC, BM lấy điểm N cho NC NB = + NM=MA; CN cắt AB E Chứng minh: AN AB Bài Giải Trên tia đối tia MN lấy điểm F cho FM = MN Tứ giác cắt trung điểm đường) ANCF hình chữ nhật (vì có đường chéo · (đồng vị), mà có ∆ BAN ; ∆ BFA có ·ABN ⇒ CE //AF ⇒ ·AFB = ENB FA chung FB ⇒ ∆ BAN : ∆ BFA ( g − g ) ⇒ AN = BA , mà FA = NC; FB = FN + NB ⇒ (gt) ⇒ NC FN + NB = AN AB , mà FN = AC (đường chéo hình chữ nhật), AC = AB NC AB + NB NC NB = ⇒ = +1 AN AB AN AB (đpcm) Bài 245: (TLTV): Cho ∆ ABC , phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn thẳng DB, DC lấy điểm E BE BF AB · = FAD · Chứng minh: CE CF = AC F cho EAD Bài Giải Câu 242: Kẻ EH ⊥ AB H , FK ⊥ AC K · = CAF · ; BAF · = CAE · ⇒ BAE ⇒ ∆ HAE : ∆ KAF ( g − g ) ⇒ AE EH = AF FK S AFE BE EH AB AE AB BE AE AB = = = ⇒ = CF AF AC ta có S ACF CF FK AC AF AC BF AF AB BE.BF AB = ⇒ = tương tự CE AE AC CE.CF AC (đpcm) Bài 246: (TLTV): Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB BC lấy hai điểm M N cho AN=CM Gọi K giao AN CM Chứng minh: KD tia phân giác góc AKC Bài Giải Kẻ DI ⊥ AK ; DJ ⊥ CK Có hạ từ S AND = AD , đường cao N) 1 SCDM = CM DJ = S ABCD 2 ∆ DIK (2) (chung đáy CD , đường cao hạ từ M ) AN DI = CM DJ ⇒ DI = DJ (do AN = CM ) Từ (1) (2) suy ra: Xét 1 AN DI = S ABCD (1) (chung đáy 2 ∆ DJK có: DI = DJ (cmt) chung cạnh huyền DK Suy ∆ DIK = ∆ DJK (cạnh huyền – cạnh góc vng) Suy · = JKD · Suy KD tia phân giác góc AKC IKD Bài 247: (TLTV): Cho hình chữ nhật ABCD, AB=2AD Trên cạnh BC lấy điểm P, đường thẳng AP cắt DC điểm F 1 = + Chứng minh AB AP AF Bài Giải Vẽ tia Ax vuông góc AF, gọi giao điểm Xét tam giác vng Ax với CD G ABP tam giác vng ADG có: · = BAP · (cùng phụ PAD · ) ⇒ ∆ ADG : ∆ ABP (g.g) GAD ⇒ AP AB = =2 (Vì AG AD Ta có ∆AGF AB = AD ) vng A có AG AF = AD.GF AD ⊥ GF (cùng Chia hai vế (1) cho ⇒ 1 = + AD AG AF ⇒ 4 = + 2 AB AP AF ⇒ AG = AP nên: 2S AGF ) suy AG AF = AD GF AD AG AF , mà AG + AF = GF ⇒ 1   AB ÷ 2  = 1   AP ÷ 2  + AF (1) (Định lí Pitago) ⇒ 1 = + AB AP AF Bài 248: (TLTV): Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD N điểm đường chéo AC cho · BNM = 90° Gọi F điểm đối xứng A qua N Chứng minh: FB ⊥ AC Bài Giải Câu 248 (TLTV) Gọi E Ta có I trung điểm F đối xứng với Mà I BF , đường thẳng NI A qua N (gt) suy N cắt BC trung điểm AF Suy Suy trung điểm NI NI = AB AB / / CD, AB = CD ( ABCD hình chữ nhật M trung điểm CD ) AB ⊥ BC , CM = Suy tứ giác Mà CD ⇒ NI ⊥ BC ; NI //CM ; NI = CM CINM ( hình bình hành nên · MN ⊥ BN BNM = 90° Do I ABF đường trung bình tam giác NI / / AB Mặt khác BF CI / / MN ) ⇒ CK ⊥ BN trực tâm tam giác K BCN Suy BF ⊥ AC Bài 249: (TLTV): Cho tam giác ABC vuông A Xác định điểm M tam giác cho tổng bình phương khoảng cách từ M đến cạnh tam giác đạt giác trị nhỏ Bài Giải Kẻ đường cao Từ M hạ AH , giả sử tìm vị trí điểm M ME, MF , MG, MI vng góc với hình vẽ AB, BC , AH Ta có ME + MF + MG = AM + MG = AI + MI + MG ≥ AI + IH Dấu xảy Lại do: M ∈ AH (1) AI + HI = ( AH − IH ) + IH = AH − AH IH + IH 2 = AH − ( HA.IH − IH ) = AH − IH ( HA − IH ) AH − AI IH = Do Mà AH không đổi nên AI + IH = AH Từ (1) (2) suy M ME + MF + MG không đổi nên AI IH trung điểm nhỏ lớn AI IH lớn AI = IH = AH (2) AH Bài 250: (TLTV): Cho điểm D thay đổi cạnh BC tam giác nhọn ABC (D khác B C) Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC điểm N Cũng từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB điểm M Tìm vị trí D để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ Bài Giải Dựng hình bình hành Từ Từ Từ Do giao điểm DN DM / / AC ⇒ BM BD = AB BC DN / / AB ⇒ BD AN = BC AC NF / / EC ⇒ AN FN BM FN = = AC EC Từ suy ra: AB EC AE Theo định lý Ta lét ta có: (1) AB = CE nên từ (1) ta có BM = FN Theo giả thiết Vậy ABEC , gọi F MN BM / / FN nhỏ BF nên BMNF nhỏ hình bình hành, MN = BF Do xuống B AE cố định nên BF nhỏ F chân đường vng góc hạ từ B AE Từ với điểm cố định, D xác định sau: Từ B hạ BF ⊥ AE , dựng đường thẳng qua F AB cắt BC D **************************Hết************************ song song ... 20 18 b 20 18 ⇔ Áp dụng bất đẳng thức ( x + y) ⇒ a.b < ⇒ P = 20 18 − 2018ab > a 2017 + b 2017 = 2a 20 18. b 20 18 > nên a, b 1 + 20 18 = 20 18 a.b b.a ≥ xy Dấu xảy ⇔ x = y   1 + ≥ + 20 18 =  20 18 20 18. .. ngun Bài 182 : (TLTV): Chứng minh a − a M30 với số nguyên a Bài 183 : (TLTV): Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho thương x + dư 10, f(x) chia cho x − dư 24, f(x) chia cho x − − 5x dư Bài 184 :... 1) Bài 56 (TLTV): Ta có: x + y + z < x + y + 10 z = 100 ⇒ x + y + z < 100 < 13 với giả thi? ??t có 11 < x + y + z < 13 x + y + z = 12 (1) ta có: x + y + z < Z ⇒ x + y + z = 12 x + y + 10 z = 100