TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 TÍCH PHÂN - PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Chuyên đề 26   TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI – XUẤT SẮC MỨC 8-9-10 ĐIỂM   Dạng Tích phân Hàm ẩn Dạng 1.1 Giải phương pháp đổi biến b Thơng thường nếu trong bài tốn xuất hiện   f u  x   dx thì ta sẽ đặt  u  x   t   a Câu (Chuyên  Biên  Hòa  -  Hà  Nam  -  2020)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên   và  thỏa  mãn   f  x  dx   Tích phân  0  f 1  x   9 dx bằng  5   A 15   B 27   C 75   Lời giải  Chọn D 2 D 21   Ta có    f 1  x    dx   f 1  x  dx   9dx   f 1  x  dx  18   0 0 Xét   f 1  x  dx , đặt  t   3x    dt  3dx  dx   dt   Đổi cận khi  x   t  ;  x   t  5  Suy ra   f 1  3x  dx   Khi đó    f 1  x    dx  Câu 5 1 f (t )dt   f (t )dt    31 5 1 f (t )dt  18   f ( x)dx  18  21    5 5 (Chuyên  Lam  Sơn  -  2020)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên  đoạn   0;10   thỏa  mãn  10  10 f  x  dx  7,  f  x  dx   Tính  P   f  x  dx   A P    B P  6   C P    Lời giải D P  12   Chọn C  10 10 Ta có:   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    0 1 Xét  P   f  x  dx  Đặt  t  x  dt  2dx  dx  dt   Đổi cận:    Lúc đó:  P   f  x  dx  1 f  t  dt   f  x  dx     20 20 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Câu (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho I   f  x  dx  26  Khi đó  J   x  f  x  1  1 dx  bằng    A 15   B 13   C 54   D 52   Lời giải Chọn A  2 + Ta có:  J   x  f  x  1  1 dx   xdx   xf  x  1 dx   0 + Xét A   xdx     2 A   xdx  x2    2 + Xét  B   xf  x  1 dx   Đặt  t  x   dt  xdx   Đổi cận:    x   0  Ta có:   t    1  B   xf  x  1 dx   2   5  1 f  t  dt   f  x  dx  26  13    21 21 Vậy  J  A  B  15   Câu (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số  y  f ( x)  liên tục trên    thỏa mãn   f  x  dx   và  x   f  sin x  cos xdx   Tích phân  I   f ( x)dx  bằng 0 A I  B I  C I  Lời giải D I  10   Chọn C Đặt  t  x  dt  Suy ra   f x  x dx  x dx  Khi đó  x   t  1; x   t    3  f (t )dt    f (t )dt    1     ;   dt  cos dx  Khi đó.  x   t  0; x   t     2 Đặt  t  sin x; x    3 Suy ra   f ( x)dx   f ( x) dx   f ( x)dx      0 Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho biết   1 A P  15   B P  37   f  x dx  15  Tính giá trị của  P    f   x    dx   C P  27   D P  19   Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Lời giải Đặt  t   x  dt  3dx  dx =  dt   Đổi cận:  x  thì  t  ;  x  thì  t  1   2 0 1 Ta có:  P    f   x    dx     f   3x  dx +  7dx   f t  dt  x   f  t  dt  14   1 3  15  14  19   Câu (THPT  Lương  Thế  Vinh  Hà  Nội  2019)  Cho   f  x  dx  2018   Tính  tích  phân  I    f  x   f   x   dx   A I    B I  2018   C I  4036   Lời giải D I  1009   Ta có  I   f  x  dx   f   x  dx  H  K 0 Tính  K   f  x  dx   Đặt  t  x  dt  2dx ; đổi cận:  x   t  2; x   t   Nên  K  f  t  dt  1009   0 Tính  H   f   x  dx ,  Đặt  t   x  dt  2dx ; đổi cận:  x   t  4; x   t   Nên  H  f  t  dt  1009   0 Suy ra  I  K  H  2018   Câu Cho  y  f  x    là  hàm  số  chẵn,  liên  tục  trên   6;6   Biết  rằng   f  x  dx  ;   f  2 x  dx    1 Giá trị của  I   f  x  dx  là  1 A I    B I    C I  14   Lời giải D I  11   3 Ta có  y  f  x   là hàm số chẵn, suy ra  f  2 x   f  x   Khi đó:   f  2 x  dx   f  x  dx    1 Xét tích phân:  I1   f  x  dx   Đặt  t  x  dt  2dx  dt  dx  Đổi cận:  x   t  ;  x   t    6 1  I1   f  t  dt   f  t  dt    f  t  dt    f  x  dx 6   22 2 Vậy  I   1 f  x  dx   1 f  x  dx   f  x  dx    14   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Câu (THPT  Đoàn  Thượng  -  Hải  Dương  -2019)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     và  2   f  x  dx  2018 , tính  I   xf  x  dx   0 A I  1008   B I  2019   C I  2017   Lời giải  D I  1009    Xét  I   xf  x  dx   Đặt  t  x  dt  xdx  xdx  dt   Đổi cận:  x   t  0; x    t     Khi đó  I  2  f  t  dt  2  f  x  dx  1009   Câu (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho   f  x dx   Khi đó   B Đặt  x  t  Suy ra   f f x x  C Lời giải  x D dx  2dt  Khi  x   thì  t  ;  x   thì  t    x dx  dt   x dx  Vậy    x dx  bằng 1 A f f  t  2dt   f  t dt  2.2    1  x dx  x Câu 10 (Sở Hà Nội 2019) Cho   f  x  1xdx   Khi đó  I   f  x  dx  bằng  A   B 1.  C   D 1   Lời giải  dt   Đổi cận  x   t  2; x   t    Đặt  x   t  xdx  dt  xdx  Suy ra:    f  x  1 dx  5 f  t  dt     f  t  dt   I   f  x  dx    2 2 Câu 11 Cho  f , g  là hai hàm số liên tục trên  1;3  thỏa mãn điều kiện    f  x   g  x  dx=10  đồng thời  3  2 f  x   g  x dx=6  Tính   f   x dx +2  g  x  1dx   A   B   C   Lời giải D   Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021  3 Ta có:    f  x   g  x  dx=10   f  x dx+3 g  x dx=10   1 3  2 f  x   g  x dx=6  2 f  x dx- g  x dx=6   1 3 Đặt  u   f  x dx; v =  g  x dx   1 3   f  x dx=4 u  3v  10 u  1 Ta được hệ phương trình:        3   2u  v  v   g x dx=2    1 + Tính   f   x dx   Đặt  t   x  dt  dx; x   t  3; x   t    3  f   x  dx   f  t  dt    f  t  dt   f  x  dx    1 + Tính   g  x  1dx   Đặt  z  x   dz  2dx; x   z  1; x   z     g  x  1 dx  3 1 g  z  dz   g  x  dx     21 21 Vậy   f   x dx +2  g  x  1dx = 6   1 Câu 12 Cho hàm số  f  x   liên tục trên    thỏa   f  x  dx   và   f  x  1 dx   Tính  I   f  x  dx   A I  16   B I  18   C I    Lời giải D I  20   A   f  x  dx  ,  B   f  x  1 dx   đặt  t  x   dt  3dx   0 Đổi cận :  x   t 1 x 2t 7   Ta có:  B  7 f  t  dt    f  t  dt  18   f  x  dx=18   1 1 Vậy  I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  20 Câu 13 (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho  f  x   liên tục trên    thỏa mãn  f  x   f 10  x  và   f  x  dx   Tính  I   xf  x  dx   A 80   B 60   C 40   Lời giải D 20   Đặt  t  10  x  Khi đó  dt  dx   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Đổi cận:  x   t    x   t    7 Khi đó  I    10  t  f 10  t  dt   10  t  f 10  t  dt   10  x  f 10  x  dx   7 7   10  x  f  x  dx  10  f  x  dx   xf  x  dx  10  f  x  dx  I   3 3 Suy ra  I  10  f  x  dx  10.4  40  Do đó  I  20   Câu 14 (THPT  Quang  Trung  Đống  Đa  Hà  Nội  2019)  Cho   f  x  dx    Tính   I   f  sin x  cos xdx   A I    B I    D I    C I    Lời giải Đặt  t  sin 3x  dt  3cos 3x.dx   x   t   Đổi cận:      x   t    I   f  sin x  cos xdx  1 f  t  dt      30 Câu 15 (Chuyên  Quốc  Học  Huế  -2019)  Cho  tích  phân  I   f  x  dx  32   Tính  tích  phân J   f  x  dx   A J  32   B J  64   Đặt  t  x  dt  2dx  C J    Lời giải D J  16   dt  dx   Đổi cận:  x   t  0; x   t    J  4 1 f  x  dx   f  t  dt   f  t  dt  I  16   20 Câu 16 (Việt Đức Hà Nội 2019) Biết  f  x   là hàm liên tục trên    và   f  x  dx   Khi đó giá trị của   f  3x  3 dx  là  A   B 24   C 27   Lời giải D   Xét  I   f  x  3 dx   Đặt  t  x   dt  3dx   Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  9 x   t  1 Đổi cận:    Vậy  I   f  t  dt   f  x  dx     30 x   t  0 Câu 17 (Đề  Thi  Công  Bằng  KHTN  2019)  Cho  hàm  số  f ( x)   thỏa  mãn   f (2 x)dx  Tích  phân   f ( x)dx  bằng  A 8.  B 1.  C 2.  Lời giải Đặt  t  x      dt  2dx      dx  D 4.  dt ,  x0t 0   x 1 t  2 Ta có    f (2 x)dx   0 2 f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt    20 2 Theo tính chất tích phân   f (x)dx   f (t)dt    0 Vậy  f ( x )dx    2017 Câu 18 Cho hàm  f  x   thỏa mãn   f  x  dx   Tính tích phân  I   f  2017 x  dx   A I    2017 B I    D I    C I  2017   Lời giải dt   2017 Đổi cận:  x   t  ; x   t  2017   Đặt  t  2017 x  dt  2017dx  dx  2017 Vậy  I   1 f t  dt  2017 2017 2017  f  t  dt  2017     Câu 19 Cho tích phân   f  x  dx  a  Hãy tính tích phân  I   xf x  dx  theo  a   B I  A I  4a   a   C I  a   D I  2a   Lời giải Đặt  t  x   dt  xdx   Đổi cận      I   xf x  dx   f  t  dt 1 a   f  t  dt   f  x  dx    21 21 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Câu 20 (Thpt  Hoàng  Hoa  Thám  Hưng  Yên  2019)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     và  thỏa  mãn   f  ln x  e2  tan x f  cos x  dx   và   x ln x e A   dx   Tính   B 1.   f  2x dx   x D   C   Lời giải   f  cos x  *  I1   tan x f  cos x  dx   sin2xdx   cos x Đặt  cos x  t  sin xdx  dt   Đổi cận   x  0  t  1       1 f t  f t  dt    dt     Khi đó  I1    t 21 t e *  I   e f  ln x  e f  ln x  ln x dx   dx   x ln x e ln x x 2 Đặt  ln x  t  ln x dx  dt   x Đổi cận   Khi đó  I  4 f t  d t    1 1 t * Tính  I   x  e  t  1  f t  dt    t e2   4  f  2x  dx  Đặt  2x  t  dx  dt   x Đổi cận   x  t  Khi đó  I   Câu 21     2  4  f t  f t  f t  dt   dt   dt      t t t 1  x  3x ; x  (THPT  Lương  Thế  Vinh  Hà  Nội  2019)  Cho  hàm  số  y  f  x      Tính  5  x ; x   I   f  sin x  cos xdx  3 f   x  dx   0 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  71 A I    B I  31   D I  C I  32   32   Lời giải  Xét tích phân  I1   f  sin x  cos xdx Đặt  t  sin x  dt  cos xdx   Đổi cận  x  0  t   1  0    Ta có  I1     1  x2  f  t  dt   f  x  dx     x  dx   x      0  0 Xét tích phân  I   f   x  dx Đặt  t   x  dt  2dx  dx  Đổi cận  x  t  Ta có  I2   0  3  dt   1   1  3 3  1 1  x3 1 10  22   f   x  dx   f  t  dt   f  x  dx    x  3 dx    3x   18    21 21 21 2 3 1   Vậy  I   f  sin x  cos xdx  3 f   x  dx   22  31   0 Câu 22 (THPT  Yên  Khánh  -  Ninh  Bình-  2019)  Cho  I   f  x  dx    Giá  trị  của    sin xf  3cos x  3cos x   dx  bằng  B  A Lời giải  D    C   x   u    Đặt  u  3cos x   u  3cos x    udu  sin xdx  Đổi cận    x   u   Do đó   sin xf  3cos x  3cos x   dx   2uf  u  3u du  2 f  u  du   f  x  dx     31 31 Câu 23 (Chuyên  Lê  Hồng  Phong  Nam  Định  2019)  Biết    f  x  dx  20   Tính  ln  f  x  3 dx   f  e  e 2x f  x  dx    và  2x dx   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  15   A I  C I    Lời giải  B I  15   D I  25   Chọn A  Đặt  t  x   dt  4dx  thì   f  x   dx  5  1 1 25   f t dt  f t dt  f  t  dt     20          41 41 4  Đặt  u  e x  du  2e x dx  thì  ln  f  e2 x  e x dx  Vậy  I  Câu 24 f  u  du     21 25 15     4 f ( x ) là  hàm  số  liên  tục  trên   thỏa  mãn  (Chuyên  Thái  Bình  2019)  Cho  2 f ( x )  f (2  x )  x.e x , x    Tính tích phân  I   f ( x )dx   A I  e 1   B I  2e    C I  e    D I  e4    Lời giải Đặt  x   t  dx   dt   2  I   f   t   dt    f   t  dt    f   x  dx   0 2 2 1  I    f  x   f   x   dx   xe dx   e x d  x   e x 20 0 x2 Vậy  I  Câu 25  e4    e4    (Chuyên Vĩnh Phúc Năm 2019) Cho hàm số  f  x   liên tục trên    thỏa mãn  f  x   f  x  ,  x    Biết rằng   f  x  dx   Tính tích phân  I   f  x  dx   A I    B I    C I    Lời giải.  1 Ta có:   3.1  3. f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  0 D I    1 f  x  d  x  , x     0 Đặt  x  t  d  x   dt , với  x   t  ;  x   t    3 2 1 f  x  d  x    f  t  dt   f  x  dx , x    (do hàm số  f  x   liên tục trên   ).   20 20 20     f  x  dx  6, x     f  x  dx   f  x  dx  6, x     0 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  x   t  0  Khi đó,  0 a f  x f  t  f t  d x   d t     a  ekx a  ek  t  0  e kt dt   a kx ekt f  t  e f  x d x  dx   kt  1 e  ekx 0 a  f  x a Do đó,    ekx a Câu ekx f  x  a dx    ekx f  x a dx   1 e (Việt  Đức  Hà  Nội  2019)  Cho  e a dx   kx  1 f  x  kx  e kx a dx   f  x  dx   f  x  , f   x    liên  tục  trên     và  thỏa  mãn  2 f  x   f  x     Biết  I   f  x  dx   Khi đó giá trị của  m  là  m x 4 2 A m    B m  20   C m    Lời giải D m  10   Hàm số  f  x  , f   x   liên tục trên    và thỏa mãn  f  x   f   x   2   f  x   f   x   dx   x 2 2  nên ta có:  x 4 dx   1   4 2 2   f  x   f   x   dx   f  x  dx   f   x  dx   Đặt  K  2 2 2 Đặt   x  t  dx   dt ; f   x   f  t  ,  x  2  t  2; x   t  2   2 Do đó   f   x  dx  2 f  t   dt    2 f  t  dt   2 2  f  x  dx   2 2  K   f  x  dx   f   x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx       2 2 Đặt  J  x 2 dx    ;  x  tan  ,     ;  ,  4  2 Ta có:  dx  d  tan      x  2      Do đó  J  2 2 Với 2    2d  1  tan   d   cos  ; Với  x     1  tan   tan     d       d   2 4    2 Mà theo giả thiết,  I      3   Từ  1 ,     và    , ta có  K  J   f  x  dx       f  x  dx  20   2   f  x  dx  m  nên  m  20  m  20   2 Chú ý: Có thể tính nhanh x 2 dx công thức: 4 x dx x  arctan  C a a a Trang 88 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Từ đó: dx x  x2   arctan  C 2 dx x 1         arctan   arctan1  arctan  1          x 4 2 2 2    2 Câu (THPT Hàm Rồng Thanh Hóa -2019) Cho hàm số  f  x  , f   x   liên tục trên    và thõa mãn  f  x  f x  A I   20  Tính  I   f  x  dx    4 x   B I   10      20 C I  D I     10 Lời giải Tính   f   x  dx   2 Đặt  t   x  dt  dx   Đổi cận  x  t  2 2   f   x  dx    2   2  2 2 2 2  2   f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx   2 1 dx      f  x   f   x   dx      x2 4 x 2 dx     f  x  dx   2 2  x 2     1 x        dx  arctan     f  x  dx      2 4 x   2 10  4  20 f  x  f x  Câu (Hà  Nội  -  2018)  Cho  hàm  số  y  f  x    là  hàm  lẻ  và  liên  tục  trên   4; 4   biết   f   x  dx   và   f  2 x  dx   Tính  I   f  x  dx   2 A I  10   B I  6   C I    Lời giải  D I  10   Xét tích phân   f   x  dx    2 Đặt   x  t  dx  dt   Đổi cận: khi  x  2  thì  t  ; khi  x   thì  t   do đó   2 f   x  dx    f  t  dt   f  t  dt   f  t  dt    f  x  dx    2 0 Do hàm số  y  f  x   là hàm số lẻ nên  f  2 x    f  x    2 Do đó   f  2 x  dx    f  x  dx   f  x  dx  4   1 Xét   f  x  dx   1 Đặt  2x  t  dx  dt   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 89 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Đổi cận: khi  x   thì  t  ; khi  x   thì  t   do đó   f  x  dx  f  t  dt  4   2   f  t  dt  8   f  x  dx  8   2 4 Do  I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    6   Câu (Hồng Quang - Hải Dương - 2018) Cho hàm số  f  x   liên tục trên đoạn    ln 2;ln   và thỏa  mãn  f  x   f   x   A P  ln  Biết   f  x  dx  a ln  b ln    a; b     Tính  P  a  b   ex   ln   B P  2   C P  1   D P    Lời giải  ln Gọi  I   f  x  dx    ln Đặt  t   x    dt  dx   Đổi cận: Với  x   ln      t  ln ; Với  x  ln    t   ln    ln Ta được  I    ln f  t  dt  ln  ln f  t  dt   ln ln Khi đó ta có:  2I    f   x  dx    ln ln f  x  dx   ln  ln f   x  dx    ln ln  f  x   f   x   dx   ln dx   e 1  ln  x ln dx  Đặt  u  e x    du  e x dx   e 1  ln Xét   x Đổi cận: Với  x   ln  u  ;  x  ln    u    ln ln ln ex du   Ta được   x dx   x x dx   e 1 u u  1  ln   ln e  e  1  ln ln 2  1    du   ln u  ln u    ln   u u 1   ln  1 Vậy ta có  a  ,  b   a  b    2  Câu  (Chuyên  ĐH  Vinh  -  2018)  Cho  y  f  x    là  hàm  số  chẵn  và  liên  tục  trên     Biết   f  x  dx  2 f x  Giá trị của  f x d x  dx  bằng      21 3x  2 C   Lời giải  B   A 1.  1 Do   f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx 1 21 0 2  f  x  dx  2   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    D       Trang 90 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  f  x f  x f  x Mặt khác  x dx     x dx   x dx  và  y  f  x   là hàm số chẵn, liên tục trên     1 1 1 2 2  f   x   f  x   x     Xét  I  f  x 3 x 2 1 dx  Đặt t   x  dx  dt   f  x f  t  I  x dx     t dt  = 1 1 2 f  x 2 3x  dx   f  x 3 x 1 2 dx    f  x x t x f t  f  x f  t  dt  =  x dx   dt  =  t 1 1 0  3t 1 dx   3x f  x  x 1 dx   f  x x 1 dx   3 x  1 f  x  3x  dx   f  x  dx    Câu (SGD&ĐT BRVT - 2018) Hàm số  f  x   là hàm số chẵn liên tục trên    và   f  x  dx  10  Tính  I f  x 2 x 2 1 dx   B I  A I  10   10   C I  20   D I    Lời giải  Đặt  t   x  dt  dx  Đổi cận:  x  2  t  ,  x   t  2   2 f t  2t 2x I   t dt   t f  t  dt   x f  x  dx   1 1 1 2 2 2  2I  f  x 2 2 x 1 2 2x f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  10   2x  2 2 2 2 dx   Mặt khác do  f  x   là hàm số chẵn nên  f   x   f  x    Xét  J   f  x  dx , đặt  t   x  dt  dx   2 2  J   f  t  dt   f   x  dx   f  x  dx  10  I  20  I  10 -  Câu 10 0 (Yên  Phong  1  -  2018)  Cho  hàm  số  y  f  x    là  hàm  số  chẵn,  liên  tục  trên  đoạn   1;1   và  1  f  x  dx   Kết quả của   1 1 A   f  x  2018 x B   dx  bằng  C   Lời giải D   f  x dx  Đặt  x  t ;  dx   dt ;  x  1  t  ;  x   t  1    2018 x 1 Xét tích phân   1 1 f t  2018t f  t  2018x f  x  f  x f  t  dt  dt = = =  dx  dt   2018t   2018x dx     2018x 1  2018t 1 1 1 1 1 2018t Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 91 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  1 2018x f  x  f  x +   =  dx dx  f  x  dx  =      2018x  2018 x 1 1 1 Vậy   f  x 1 dx  =      2018 1 Do đó   Câu 11 x (Tốn  Học  Và  Tuổi  Trẻ  2018)  Cho  f  x    là  hàm  liên  tục  trên  đoạn   0; a    thỏa  mãn  a  f  x  f  a  x   b dx ba  ,  trong đó  b ,  c  là hai số nguyên dương và   là phân số   và    c 1 f  x c  f  x   0, x   0; a  tối giản. Khi đó  b  c  có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?  A 11; 22    B  0;9    C  7; 21   D  2017; 2020    Lời giải Cách 1. Đặt  t  a  x  dt  dx   Đổi cận  x   t  a; x  a  t    a a a f  x  dx dx dt dx dx       1 f  x a 1 f a  t  1 f a  x 1 1 f  x 0 f  x a Lúc đó  I   a f  x  dx a dx   1dx  a    f  x   f  x  0 a Suy ra  I  I  I   Do đó  I  a  b  1; c   b  c    2 Câu 12 x 2020 2a d x   Tính tổng S  a  b ex  b 2 (Chuyên Sơn La - 2020) Tích phân   A S  B S  2021 C S  2020 Lời giải D S  4042   Chọn D Xét  I  x 2020  e x  dx   2 Đặt  x  t  dx  dt  Đổi cận  x  2  t  2; x   t  2   2 Ta được  I    t  2020 e t   dt   2 t 2020 t 2020 et x 2020 e x d t  d t  1 2 et  2 ex  dx   2   1 et 2 22021   2  x 2020 x 2020 e x x 2021 dx   x 2020 dx   Suy ra  I  I  I   x dx   x e 1 e 1 2021 2 2021 2 2 2 Do đó  I  Câu 13 2021  22022   2021 22021  Suy ra  a  b  2021  Vậy  S  a  b  4042   2021 (Đại  Học  Hà  Tĩnh  -  2020)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên  đoạn    ln 2;ln 2   và  thỏa  mãn  f  x  f x  A P  2 ln  Biết   f  x  dx  a ln  b ln 3,  a, b     Tính  P  a  b ex   ln B P  C P  1 D P  Lời giải  Trang 92 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Chọn B ln Từ giả thiết suy ra  ln  f  x   f   x   dx    ln ln Ta có  ln  f  x   f   x   dx    ln Mặt khác  x ln ln  f  x  dx   f   x  d   x    f  x  dx    ln ln  ln ln  ln ln 1  1 dx   x d  ex     x  x  d  ex    x e 1 e e  1  ln  ln  e  1 e  ln   x ln  dx   e 1  ln  ln ln 1 ln d ex    x d  e x  1  x  ln  ln  e x  1  ln  ln  ln  ln  ln   x   ln e e 1  ln  ln ln 1  f  x  dx  ln  a  , b   a  b  Suy ra   ln Câu 14 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Cho  f  x   là hàm số chẵn và   f  x  dx   Giá trị của  f  x dx  là   2019 x 1 tích phân   A   2019 B   C   D   Lời giải  Chọn B I f  x   2019 x dx   1 Đặt  t   x   dt  dx   Cận  x t -1 1 -1   1 1 f  t  f t  2019t f  t  dt  dt    2019t   2019t dt  2019 t 1 1 2019t 1 f  t  1  2019t  2019t f  t  f t   2I   dt   dt   dt    2019t  2019t  2019t 1 1 1 I    2I   f  t  dt   f  t  dt  2.2  I  1 Dạng 2.2 Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối b Tính tích phân:  I   f  x  dx ?  a Bước  1.  Xét  dấu  f  x    trên  đoạn   a; b    Giả  sử  trên  đoạn   a; b    thì  phương  trình  f  x     có  nghiệm  xo   a; b   và có bảng xét dấu sau:  x      a    xo    b     f  x                  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 93 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Bước 2. Dựa vào công thức phân đoạn và dấu của trên   a; xo  ,  xo ; b   ta được:  xo b I   f  x  dx  a b  f  x  dx     f  x   dx  A  B   a xo Sử dụng các phương pháp tính tích phân đã học tính  A, B  I   a Câu 15 Cho  a  là số thực dương, tính tích phân  I   x dx  theo  a   1 A I  a2 1   B I  a2    C I  2a    D I  3a    Lời giải Chọn A a Vì  a   nên  I    x dx   x dx  1 a2  a2     2 m Câu 16 (THPT Lương  Thế  Vinh  Hà Nội  2019)  Cho  số  thực  m    thỏa  mãn   2mx  dx    Khẳng  định nào sau đây đúng? A m   4;6    B m   2;    C m   3;5   D m  1;3   Lời giải   Do đó với  m  1, x  1; m  2mx     2m m m m Vậy   2mx  dx    2mx  1 dx   mx  x   m3  m  m   m3  2m    1 Do  m   2m   m  Từ đó theo bài ra ta có  m3  2m      Do  m   vậy  m    m   Câu 17 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Khẳng định nào sau đây là đúng?  A C  1  2 x dx   1 x3 dx   B 2018  1 x  x  dx   2018 1 x  x  1 dx    e x  x  1 dx   e x  x  1 dx   D 2     cos xdx   2 sin xdx    Lời giải  Chọn B  1 1  Ta có:  x  x   x  x     x     0, x     2 4  Do đó:   2018 1 x  x  dx   2018 1 x  x  1 dx Câu 18 (Chuyên  Bắc  Giang  2019)  Cho  tích  phân   nguyên. Tính P = abc.  A P  36   B P    x2 dx  a  b ln  c ln   với  a, b, c  là  các  số  x 1 C P  18   Lời giải D P  18   Chọn A Ta có  Trang 94 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   x2 x2 x2 dx    dx   dx x 1 x 1 x 1 2       1   dx      dx x 1 x 1 1 2    x  3ln x     x  3ln x       3ln 3   3ln   3ln   3ln     ln  3ln Vậy  a  2, b  6, c   P  abc  36   Câu 19 (Chuyên Hạ Long 2019) Có bao nhiêu số tự nhiên  m  để   x  2m2 dx  A Vô số.  B    x  2m  dx   D   C Duy nhất.  Lời giải x  2m2 dx  x  2m  dx   *    x  m Ta có:  x  2m       x  m TH1. Nếu  m   thì  *  ln đúng.   x  2m  1 TH2. Nếu  m   thi  *  đúng     với mọi  x   0;2    x  2m    )   m     m  m  1  đúng     (vô nghiệm).    m  m  m  m    m    m   m     đúng    )   m    m  m  1  đúng     (vô nghiệm).    m  m m  m    m     m    m     đúng      Suy ra  m   ;     ;    0  là giá trị cần tìm.  Câu 20 (Chu Văn An -Thái Nguyên - 2018) Tính tích phân  I  2 x   x dx   1 A   ln B ln   C 2ln   D   ln Lời giải  I 2 x   x dx  ta có  x  2 x     x    1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 95 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  I  x  2 x dx  1  x  2 x dx   x  2 x dx  1 0 x x    dx   2 1 x   x dx    x  2 x   x  2 x          ln  1  ln  ln Câu 21 (KTNL  Gia  Bình  2019)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     và  có   f  x  dx  ;   f  x  dx   Tính  I   f  x   dx   1 A I    B I    C I    D I    Lời giải Chọn D I  f  x   dx   f 1  x  dx   f  x  1 dx  I 1 Xét  I1  3 1 f 1  x  d 1  x    f  t  dt   f  x  dx     1 20 20  f 1  x  dx   1 1 1 f  x  1 dx   f  x  1 d  x  1   f  t  dt   f  x  dx    20 20 21 1 Xét  I   I   1  2 Vậy  I  I1  I    Câu 22 (Chuyên  KHTN  2019)  Cho  hàm  số  f ( x)   liên  tục  trên     và  có   f ( x)dx     f ( x)dx  Tính   f ( x  1)dx   1   A B 11   C   D   Lời giải Ta có   f ( x  1)dx  1   1  f ( x  1)dx   f ( x  1)dx   1 f (1  x) dx   f (4 x  1)dx  I  J   4 +) Xét  I   f (1  x)dx   1 Đặt  t   x  dt  4dx;   Trang 96 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ và  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Với  x  1  t  5; x   t    4 5 1 I   f (1  x)dx   f (t )( dt )   f (t )dt   f ( x)dx 1   40 40 1 +) Xét  J   f (4 x  1)dx   Đặt  t  x   dt  4dx;   Với  x   t  3; x  1  t    3 1 J   f (4 x  1)dx   f (t )( dt )   f (t ) dt   f ( x)dx    40 40 Vậy   f ( x  1) dx    1 Câu 23 Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     thỏa   f  x  dx    và   f  x  dx  14   Tính   f  x   dx   2 A 30   B 32   C 34   Lời giải D 36   + Xét   f  x  dx    Đặt  u  x  du  2dx ;  x   u  ;  x   u    2 Nên    f  x  dx   f  u  du   f  u  du    20 0 + Xét   f  x  dx  14   Đặt  v  x  dv  6dx ;  x   v  ;  x   v  12   12 Nên  14   f  x  dx  + Xét   f  x   dx  2 12 f  v  dv   f  v  dv  84   0 0  f  x   dx   f  x   dx   2 0  Tính  I1   f  x   dx   2 Đặt  t  x    Khi  2  x  ,  t  5 x   dt  5dx ;  x  2  t  12 ;  x   t    12  1 1 I1  f  t  dt    f  t  dt   f  t  dt    84    16    50 12   Tính  I1   f  x   dx   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 97 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Đặt  t  x    Khi   x  ,  t  x   dt  5dx ;  x   t  12 ;  x   t    12 12  1 I   f  t  dt    f  t  dt   f  t  dt    84    16   50 52  Vậy   f  x   dx  32   2 Câu 24 (Phong 1 - 2018) Cho  hàm số  f  x   liên tục trên   0;3  và   f  x  dx  2;  f  x  dx   Giá trị  0 của tích phân   f  x   dx  ?   1 A   Lời giải B   Ta có   f  x   dx  1 D   C    1 f 1  x  dx   f  x  1 dx  I  J   2 Tính  I   f 1  x  dx   1 Đặt  t   x  dt  2dx  Đổi cận  x  1  t  3; x  I   t  0  1 1 f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx      23 20 20 Tính  J   f  x  1 dx   Đặt  t  x   dt  2dx  Đổi cận  x  J  t  0; x   t    1 f  t  dt   f  x  dx      20 Vậy   f  x   dx  I  J      1 Câu 25 Cho hàm số  f ( x)  liên tục trên    và có   f ( x) dx   và   f ( x) dx   Tính   f ( x  1)dx A B 11 C 1 D Lời giải Chọn C Ta có:   f ( x  1)dx  1  1 f (4 x  1)dx   f (4 x  1)dx   Trang 98 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Tính:  A   f (4 x  1)dx  Đặt  t  4 x    dt  dx   1  A 1 f (t ) dt   f (t ) dt     45 40 Tính:  B   f (4 x  1)dx  Đặt  t  x   B dt  dx   13 f (t ) dt    0 Vậy   f ( x  1)dx  A  B    1 2x Câu 26 Cho  hàm  số  y  f  x    xác  định  trên     và  thỏa  mãn  f   x   f    x   x  x2    với  mọi  số  thực  x  Giả sử  f  2  m ,  f  3  n  Tính giá trị của biểu thức  T  f  2  f  3   A T  m  n   B T  n  m   C T  m  n   D T  m  n   Lời giải  Chọn B Với mọi số thực  x , thay  x  bởi   x  vào biểu thức  f   x   f    x   f x  f  x  x  x   x 1  hay  f   x   f    x   2x x  x2 1 2x x  x2   (1), ta được   (2).  x Nhân hai vế của (2) với 2 sau đó trừ theo vế cho (1), rút gọn suy ra  f   x    với mọi  x  x2  số thực  x   Xét  I   3 f   x  dx  3 x  x  x2  dx  Đặt  u   x , khi đó ta được  d u   d x   Đổi cận: Khi  x  3  u   và  x   u  2   Ta được  2 I  3 3 u u x 2  d u  d u  d x     u  u  2 x6  x2  2 f   x  dx    u 6   u 2  2 Mà  I   f   x  dx  f    f  3  (3) và  I  3  f   x  dx  f  3  f  2   (4).  2 Từ (3) và (4), ta được  f    f  3  f  3  f  2   suy ra  f  2   f  3  f  3  f    n  m   Dạng 2.3 Tích phân nhiều hàm 2 x Câu 27 Cho số thực  a  và hàm số  f  x    a x  x a 2a    A    B  x   x  C  Tính tích phân   f  x  dx  bằng:  a    1 D 2a    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 99 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Lời giải Chọn A 1 1 1 Ta thấy,   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   xdx   a  x  x  dx   1    x2 Câu 28  x x3  1 a  a     1  a       1 6  0 e x  m         khi x  (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hàm số  f  x     liên tục trên  2 x  x  khi  x     và   f  x dx =ae  b  c ,   a, b, c  Q   Tổng  a  b  3c  bằng  1 A 15   B 10   C 19   Lời giải D 17     Ta có  lim f  x   lim  e x  m   m  ,  lim f  x   lim x  x   và  f    m    x0 x0 x 0 x0 Vì hàm số đã cho liên tục trên    nên liên tục tại  x    Suy ra  lim f  x   lim f  x   f   hay  m    m  1.  x 0 x 0   1 Khi đó   f  x dx =  x  x dx    e x  1dx =   x d   x     e x  1dx   1 = 1 3  x2   x2 0 1  ex  x   e   1 22   22   Vậy tổng  a  b  3c  19   Suy ra  a  ,  b  ,  c   Câu 29 (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tính tích phân   max e x , e12 x dx   A e    B e  e     C e  e   D 1 1  e     2 e Lời giải Ta có:  e x  e12 x    e12 x  x      x  1 x  x   Suy ra:  max e x , e12 x      x  e  x      1 Do đó  I   max e x , e12 x dx   e12 x dx   e x dx   e12 x 0  ex 1   3   1   e  e  e  e  e  e   2   x  x  Câu 30 Cho hàm số  y  f  x    Tính  I   f sin x cos xdx  3 f 3  x dx 5  x x  0 Trang 100 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  71 A I  B I  31 C I  32 D I  32 Lời giải Chọn B  + Xét tích phân:  I1   f sin x  cos xdx   Đặt:  t  sin x  dt  cos xdx   Đổi cận: với  x   thì  t  , với  x    thì  t     1 0 0 I1   f sin x cos xdx   f t  dt   f  x  dx 2  5  x  dx  10 x  x     1 + Xét tích phân:  I  3 f 3  xdx   Đặt:  t   x  dt  2dx  dx   dt   Đổi cận: với  x   thì  t  , với  x   thì  t    1 I  3 f 3  x dx   3 f t dt    f  x dx  3       x  3dx   x  x  22   2 3    0 Vậy:  I   f sin x  cos xdx  3 f 3  xdx   22  31   BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TỐN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/   ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!               Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 101 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489                                          Trang 102 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... f  sin x  cos xdx  1 f  t  dt      30 Câu 15 (Chuyên? ? Quốc  Học  Huế  -2 019)  Cho  tích? ? phân? ? I   f  x  dx  32   Tính  tích? ? phân J   f  x  dx   A J  32   B J  64   Đặt  t... dt  7  x 21 t 21 t 21 t (Chuyên? ? Lê  Quý  Đôn  -? ? Đà  Nẵng  -? ? 2018)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     thỏa  e 2018 1 2018  f  x  dx   Khi đó? ?tích? ?phân? ? 0 A   B   e 2018 1... https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Câu 39 (Đô  Lương  4  -? ? Nghệ  An  -? ? 2020)  Cho  f  x  liên  tục  trên   và  thỏa  mãn  f    16,  f  x  dx  ? ?Tích? ?phân? ?  xf   x dx  bằng