TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 KHỐI NĨN Chun đề 21 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM MỘT SỐ BÀI TOÁN VD – VDC LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI NĨN (CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ - CỰC TRỊ) Lý thuyết – phương pháp chung MẶT NĨN Các yếu tố mặt nón: Một số cơng thức: Đường cao: h = SO ( SO S l h l A r O gọi trục hình nón) Bán kính đáy: l r = OA = OB = OM B Diện tích đáy: Sđ =  r 1 Thể tích: V = h.Sđ = h. r 3 (liên tưởng đến thể tích khối chóp) Đường sinh: Diện tích xung quanh: S xq =  rl l = SA = SB = SM M Hình thành: Quay  vng Góc đỉnh: ASB Thiết diện qua trục: SAB cân SOM quanh trục SO , ta S mặt nón hình bên Góc đường sinh mặt h = SO với:  đáy: SAO = SBO = SMO r = OM Câu Chu vi đáy: p = 2 r Diện tích tồn phần: Stp = S xq + Sđ =  rl +  r (Sở Ninh Bình 2020) Cho hai khối nón có chung trục SS  = 3r Khối nón thứ có đỉnh S, đáy hình trịn tâm S  bán kính 2r Khối nón thứ hai có đỉnh S  , đáy hình trịn tâm S bán kính r Thể tích phần chung hai khối nón cho A 4 r 27 B 4 r Lời giải  r3 C D 4 r Chọn C Gọi ( P ) mặt phẳng qua trục hai khối nón cắt hai đường trịn ( S , r ) ( S , 2r ) theo đường kính AB, CD Gọi M = SC  S B, N = SD  S A Phần chung khối nón cho gồm khối nón chung đáy hình trịn đường kính MN đỉnh S , S  MN SN SN SA r 1 4r = = = = =  MN = CD = CD SD SN + ND SA + S D 3r 3 Gọi I giao điểm MN SS  Ta có SI = SS  = r , S I = SS  = 2r 3 Do thể tích phần chung Ta có 4r 4r 4 r  MN    MN  V =  SI  +  2r =  +  S I   =  r 9     2 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Tính thể tích vật thể trịn xoay quay mơ hình (như hình vẽ bên) quanh trục DB A 9 a 3 B 3 a 3 2 a 3 Lời giải C D  a3 12 Chọn B Thể tích vật thể trịn xoay gồm hai phần bao gồm thể tích V1 hình nón tạo tam giác vuông ABC quay quanh cạnh AB thể tích V2 hình nón tạo tam giác vuông ADE quay quanh cạnh AD *Xét tam giác vng ABC vng B ta có: r1 = BC = AC.sin 30o = a ; h1 = AB = AC.sin 60o = a 1  3a Vậy ta có V1 =  r12 h1 =  a a = 3 *Xét tam giác vng ADE vng D ta có: r2 = DE = AE.sin 30o = a a ; h2 = AD = AE.sin 60o = 2 1  a  a  3a Vậy ta có V2 =  r22 h2 =    = 3 2 24 Vậy thể tích vật thể trịn xoay V = V1 + V2 = Câu  3a 3 +  3a 24 = 3 3a (Đô Lương - Nghệ An - 2020) Cho tam giác ABC vuông A , BC = a , AC = b , AB = c , b  c Khi quay tam giác vng ABC vịng quanh cạnh BC , quay cạnh AC , quanh cạnh AB , ta thu hình có diện tích tồn phần theo thứ tự Sa , Sb , Sc Khẳng định sau đúng? A Sb  Sc  Sa B Sb  Sa  Sc C Sc  Sa  Sb D Sa  Sc  Sb Lời giải Chọn A Gọi H hình chiếu A lên cạnh BC , AH = h Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Khi quay tam giác vuông ABC vịng quanh cạnh BC ta thu hình hợp hai hình nón trịn xoay có chung đáy bán kính h , đường sinh b, c Do Sa =  bh +  ch Khi quay tam giác vng ABC vịng quanh cạnh AC ta thu hình nón trịn xoay có bán kính đáy c , đường sinh a , Sb =  ac +  c2 =  c ( a + c ) Khi quay tam giác vng ABC vịng quanh cạnh AB ta thu hình nón trịn xoay có bán kính đáy b , đường sinh a , Sc =  ab +  b2 =  b ( a + b ) ab  ac Do b  c nên   Sc  Sb b  c bc c b  Sa =  b2 +  c Ta có h = a a a c2 b c c    b   b ;    c   ab a a a a  Sa   b2 +  ab =  b ( a + b ) = Sc Do Sa  Sc Tam giác ABC vuông nên Vậy Sb  Sc  Sa Câu Cho tam giác ABC cân A , góc BAC = 120 AB = 4cm Tính thể tích khối trịn xoay lớn ta quay tam giác ABC quanh đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC 16 16 A 16 3 ( cm ) B 16 ( cm ) C D cm ) cm ) ( ( 3 Lời giải Chọn B Trường hợp 1: Khối tròn xoay quay ABC quanh đường thẳng chứa AB (hoặc AC ) tích hiệu thể tích hai khối nón ( N1 ) ( N )  AK = AC.cos CAK = 4.cos 60 = 2cm  Dựng CK ⊥ BA K   BK = BA + AK = + = 6cm  CK = AC.sin CAK = 4.sin 60 = 3cm + ( N1 ) có h1 = BK = 6cm , r1 = CK = 3cm + ( N ) có h2 = AK = 2cm , r2 = CK = 3cm ( ) 1 Do V =  CK ( BK − AK ) =  ( − ) = 16 ( cm ) 3 Trường hợp 2: Khối tròn xoay quay ABC quanh đường thẳng chứa BC tích tổng thể tích hai khối nón ( N3 ) ( N )  AH = AB.cos BAH = 4.cos 60 = 2cm Kẻ đường cao AH ( H  BC )    BH = CH = AB.sin BAH = 4.sin 60 = 3cm ( N3 ) ( N4 ) có h3 = h4 = BH = CH = 3cm , r3 = r4 = HA = 2cm Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 16 Do V =  AH BH =  22.2 = cm ) ( 3 Vậy Vmax = 16 ( cm ) Câu (Cụm liên trường Hải Phịng- 2019) Huyền có bìa hình trịn hình vẽ, Huyền muốn biến hình trịn thành phễu hình nón Khi Huyền phải cắt bỏ hình quạt trịn AOB dán hai bán kính OA OB lại với Gọi x góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phễu lớn nhất? A  B   Lời giải C D  Chọn A Góc x chắn cung AB có độ dài l = R.x Từ giả thiết suy bán kính phễu r= Rx 2 chiều cao phu l h= ổRx R R - ỗỗ ữ = ữ ỗố ữ ứ 2 - x Khi thể tích phễu V = R2 x2 R  r h =  3 4 2 4 - x = R3 x 4 - x 24 Xét hàm số f (x)= x 4 - x , x ẻ (0;2 ) f Â(x) = x 4 - x x3 4 - x = x (4 - x )- x3 4 - x = x (8 - 3x ) 4 - x  Lập bảng biến thiên, ta có: Cho f Â(x ) = ị x = Vy thể tích phễu lớn x =  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu Một khối nón tích 9a  Tính bán kính R đáy khối nón diện tích xung quanh nhỏ 3a 3a A R = 3a B R = C R = 9a D R = 2 Lời giải Chọn A Gọi h , l chiều cao độ dài đường sinh khối nón 27a3 729a 2 V =  R h = 9a3  h =  l = R + h = R + R4 R2 S xq =  R.l =  R + 729a 729a +  R2 R2 R4  S xq = 9 a2 Nên Sxq = 9 a2 R = Câu 729a 729a R2 R 729a  R = 3a R2 (HSG Sở Nam Định 2019) Cho hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) song song với cắt khối cầu tâm O , bán kính R thành hai hình trịn bán kính Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm hai hình trịn có đáy hình trịn cịn lại Tính khoảng cách h hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) để diện tích xung quanh hình nón lớn A h = R B h = R C h = 2R D R Lời giải Chọn C Cắt khối cầu tâm O , bán kính R mặt phẳng ( ) qua tâm O vng góc với hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) ta hình vẽ bên Trong đó, AB = ( )  ( P ) , CD = ( )  ( Q ) với AB = CD , h = SH = AC = BD , R = OB Đường sinh l = SC = SD Bán kính hình trịn giao tuyến r = AB Ta có: l = SC = AC + AS = h + r r = SB = OB − SO = R − h2 3h Mà diện tích xung quanh khối nón xét là: S xq =  rl Suy l = R + Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có S xq đạt giá trị lớn  rl đạt giá trị lớn Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số r l ta có ( ) 3 2R2 2 rl = r l  (3r + l ) = 4R = rl lớn Câu 2R2 2R 3r = l  h = R  h = 3 (Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho tam giác OAB vng cân O , có OA = Lấy điểm M thuộc cạnh AB ( M không trùng với A , B ) gọi H hình chiếu M OA Tìm giá trị lớn thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh OA 128 256 81 64 A B C D 256 81 81 81 Lời giải Chọn C Đặt h = OH , < h < Khi quay tam giác OMH quanh OA , ta hình nón đỉnh O chiều cao h bán kính đáy r = HM AH HM 4- h r Þ = = Þ r = 4- h Ta có HM // OB nên AO OB ö 1 256 1 æ4 - h + - h + 2h ÷ V =  r h =  (4 - h) h = (4 - h)(4 - h).2h Ê ỗỗ = ữ ữ ứ 3 81 ỗố 3 Vậy Vmax = Câu 256 256 =  27 81 (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Lượng nguyên liệu cần dùng để làm nón ước lượng qua phép tính diện tích xung quanh mặt nón Cứ 1kg dùng để làm nón làm số nón có tổng diện tích xung quanh 6,13m Hỏi muốn làm 1000 nón giống có đường trình vành nón 50 cm , chiều cao 30 cm cần khối lượng gần với số đây? (coi nón có hình dạng hình nón) A 50 kg B 76 kg C 48 kg D 38 kg Lời giải Chọn A Theo giả thiết nón hình nón có bán kính đáy R = 50 = 25 ( cm ) = 0, 25 ( m ) đường cao h = 30 ( cm) = 0,3 ( m) Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi l chiều cao hình nón  l = R + h = 61 ( m) 20 Diện tích xung quanh nón S xq =  Rl =  0, 25 Tổng diện tích xung quanh 1000 nón S = 1000 Do khối lượng cần dùng 61  61 = ( m2 ) 20 80  61 80 = 25 61 m2 ) ( S  50, 03 ( kg ) 6,13 Câu 10 Hai ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, có phần chứa chất lỏng khối nón có chiều cao dm ( mơ tả hình vẽ ) Ban đầu ly thứ chứa đầy chất lỏng, ly thứ hai để rỗng Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ sang ly thứ hai cho độ cao cột chất lỏng ly thứ 1dm Tính chiều cao h cột chất lỏng ly thứ hai sau chuyển (độ cao cột chất lỏng tính từ đỉnh khối nón đến mặt phẳng chất lỏng – lượng chất lỏng coi khơng hao hụt chuyển Tính gần h với sai số không 0, 01dm ) A h  1, 41 dm B h  1,89 dm C h  1,91 dm D h  1, 73 dm Lời giải Chọn C Gọi bán kính đáy, thể tích (phần chứa chất lỏng khối nón có chiều cao dm ) khối nón r ; V Gọi bán kính đáy, thể tích (tính từ đỉnh khối nón đến mặt phẳng chất lỏng ly thứ sau rót sang ly thứ hai ) khối nón r1 ; V1 Gọi bán kính đáy, chiều cao, thể tích (tính từ đỉnh khối nón đến mặt phẳng chất lỏng ly thứ hai ) khối nón r2 ; h; V2 Ta có: Thể tích chất lỏng ban đầu là: V =  r Thể tích chất lỏng cịn lại sau rót sang ly thứ hai là: V1 =  r12 r r mà =  r1 =  V1 =  r r 2 12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 7 Thể tích chất lỏng ly thứ hai là: V2 =  r2 h = V − V1   r2 h =  r  r2 h = r 3 12 r h hr mà =  r2 =  h3 =  h  1,91 dm r 2 Kết luận: h  1,91 dm Câu 11 Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50 cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy là: A 10 ( cm ) B 50 ( cm ) D 25 ( cm ) C 20 ( cm ) Lời giải Ta có diện tích miếng tôn S =  2500 ( cm ) Diện tích tồn phần hình nón là: Stp =  R2 +  R.l Thỏa mãn u cầu tốn ta có:  R +  R.l = 2500  R + R.l = 2500 = A  l = A −R R Thể tích khối nón là: 1 A  V =  R h  V =  R l − R  V =  R  − R  − R 3 R  1 A3 A A2  − A  R2 −   V =  R − A  V =  A2 R − A.R  V =  4 3 R  A  V   Câu 12 A Dấu xảy R = 2 A = 25 , V đạt GTLN R = 25 (Phan Dăng Lưu - Huế - 2018) Cho hình nón ( N ) có đường cao SO = h bán kính đáy R , gọi M điểm đoạn SO , đặt OM = x ,  x  h ( C ) thiết diện mặt phẳng ( P ) vng góc với trục SO M , với hình nón ( N ) Tìm x để thể tích khối nón đỉnh O đáy ( C ) lớn A h B h C h D h Lời giải Ta có BM bán kính đường trịn ( C ) Do tam giác SBM ∽ SAO nên R (h − x) BM SM AO.SM =  BM =  BM = AO SO SO h Thể tích khối nón đỉnh O đáy ( C ) là: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1  R (h − x)  R2 V =  BM OM =   x =  (h − x) x  3  h h  R2 Xét hàm số f ( x ) =  ( h − x ) x , (  x  h ) ta có h R2 R2 h Ta có f  ( x ) =  ( h − x )( h − 3x ) ; f  ( x ) =   ( h − x )( h − 3x )  x = h h Lập bảng biến thiên ta có Từ bảng biến ta tích khối nón đỉnh O đáy ( C ) lớn x = Câu 13 h (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Cho hình tứ diện ABCD có AD ⊥ ( ABC ) , ABC tam giác vuông B Biết BC = a , AB = a , AD = 3a Quay tam giác ABC ABD (Bao gồm điểm bên tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta khối trịn xoay Thể tích phần chung khối trịn xoay A 3 a 16 B 3 a 3 a 16 Lời giải C D 3 a 16 Khi quay tam giác ABD quanh AB ta khối nón đỉnh B có đường cao BA , đáy đường trịn bán kính AE = cm Gọi I = AC  BE , IH ⊥ AB H Phần chung khối nón quay tam giác ABC tam giác ABD quanh AB khối nón đỉnh A đỉnh B có đáy đường trịn bán kính IH IC BC = =  IA = 3IC Ta có IBC đồng dạng với IEA  IA AE AH IH AI 3 3a = = =  IH = BC = Mặt khác IH //BC  AB BC AC 4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi V1 , V2 thể tích khối nón đỉnh A B có đáy hình trịn tâm H V1 =  IH AH V2 =  IH BH   9a 3a 3 a  V =  V = V1 + V2  V = IH AB  V = 16 3 16 Câu 14 (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018) Cho tam giác nhọn ABC , biết quay tam giác 3136 quanh cạnh AB , BC , CA ta hình trịn xoay tích 672 , , 9408 Tính diện tích tam giác ABC 13 A S = 1979 B S = 364 C S = 84 D S = 96 Lời giải Vì tam giác ABC nhọn nên chân đường cao nằm tam giác Gọi , hb , hc đường cao từ đỉnh A , B , C tam giác ABC , a , b , c độ dài cạnh BC , CA , AB Khi  hc c = 672 3136 + Thể tích khối tròn xoay quay tam giác quanh BC  a = 9408 + Thể tích khối trịn xoay quay tam giác quanh CA  hb b = 13 Do + Thể tích khối trịn xoay quay tam giác quanh AB 4 S2  4S 1 c = = 672 c h = 672 3 c  3 c 3.672    20S 3136 4 S   3136 a h =  =  a =    a 5 3.3136 3 3 a   9408 4 S  9408 52S b h = = b = b  3  13  13 3.9408 3 b   ( a + b + c )( a + b − c )( b + c − a )( c + a − b ) = S 1 1 1  16 S = S 9408 28812 9408 28812  S = 16.81.9408.28812  S = 84 Câu 15 (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Một ly dạng hình nón ( hình vẽ với chiều cao ly h ) Người ta đổ lượng nước vào ly cho chiều cao lượng nước ly chiều cao ly Hỏi bịt kín miệng ly úp ngược ly lại tỷ lệ chiều cao mực nước chiều cao ly nước bao nhiêu? Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A − 63 B 63 C − 63 D Lời giải Giả sử ly có chiều cao h đáy đường trịn có bán kính r , nên tích V =  hr Khối nước ly có chiều cao chiều cao ly nên khối nước tạo thành khối nón có h r h r 1  chiều cao bán kính đáy thể tích nước    =   hr  = V 4 4 64   64 63 Do thể tích khoảng khơng V − V = V 64 64 x h' r.h ' Nên úp ngược ly lại ta có tỉ lệ: =  x = r h h 3 1  r.h '   h'  h' Suy ra: thể tích khoảng khơng bằng: h '. x = h '.   =  hr   =   V 3  h  h h 3 63 h ' 63 63 63  h'  h '  63  V =  V   =  = =  h' = h 64 h 64 4 h  h  64 Nên chiều cao mực nước bằng: h − h ' = h − 63 − 63 h= h 4 Vậy tỷ lệ chiều cao mực nước chiều cao ly nước Câu 16 − 63 (Nam Định - 2018) Cho tam giác ABC có A = 120, AB = AC = a Quay tam giác ABC (bao gồm điểm tam giác) quanh đường thẳng AB ta khối trịn xoay Thể tích khối trịn xoay bằng: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A  a3 B  a3 C  a3 D  a3 Lời giải Theo định lý cosin ta có: BC = AB2 + AC − AB AC.cos A = a Quay tam giác ABC (bao gồm điểm tam giác) quanh đường thẳng AB ta khối trịn xoay tích V = V1 − V2 với V1 ,V2 thể tích khối trịn xoay quay tam giác vng BCH tam giác ACH quay xung quanh với HB ( H hình chiếu vng góc C lên AB ) Ta tính CH = a a ; AH = Khi đó, ta có: 2 1 1 a 3  a3 V =  CH BH −  CH AH =  CH AB =    a = 3 3   Câu 17 (Chuyên Bắc Giang 2019) Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao 40cm Người ta cắt vật N1 mặt cắt song song với mặt đáy để hình nón nhỏ N tích thể tích N1 Tính chiều cao h hình nón N ? A 10cm B 20cm C 40cm Lời giải D 5cm Chọn B Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi r1 = BE , h1 = AB bán kính đáy chiều cao hình nón N1 Gọi r2 = CD , h = AC bán kính đáy chiều cao hình nón N Khi thể tích hai khối nón V1 = r12 h1 V2 = r22 h Theo đề ta có r h  2 V2 r h = =   = (1) V1 r h  r1  h1 1 Xét hai tam giác đồng dạng ACD, ABE có: r AC CD h =  = AB BE r1 h1 ( 2) h h 1 Từ (1) ( 2) suy   =  =  h = h1 = 20 h1 2  h1  Câu 18 (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Cho bìa hình dạng tam giác vuông, biết b c độ dài cạnh tam giác vng khối trịn xoay Hỏi thể tích V khối trịn xoay sinh bìa bao nhiêu? A V = b2c b2 + c2 B V =  b2c b2 + c2 C V = 2 b c b2 + c2 D V =  b2c 2(b + c ) Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi tam giác vuông ABC , kẻ AH ^ BC , H chân đường cao 1 bc = + Þ AH = Khi 2 AH AB AC b2 + c Thể tích khối trịn xoay cần tính tổng thể tích khối nón tạo hai tam giác vuông ACH ABH quay quanh trục BC Khối nón tạo tam giác vng ACH quay quanh trục BC tích V1 =  CH AH Khối nón tạo tam giác vuông ABH quay quanh trục BC tích V2 =  BH AH Thể tích khối trịn xoay cần tính là: 1 V = V1 + V2 =  CH AH +  BH AH 3 1 bc  b 2c 2 2 =  BC AH =  b + c ( ) = 3 b2 + c2 b2 + c2 Câu 19 Một thùng chứa đầy nước có hình khối lập phương Đặt vào thùng khối nón cho đỉnh khối nón trùng với tâm mặt khối lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với cạnh mặt đối diện Tính tỉ số thể tích lượng nước trào ngồi lượng nước cịn lại thùng A  12 −  B 11  12 Lời giải C D 11 12 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn A Coi khối lập phương có cạnh Thể tích khối lập phường V = Từ giả thiết ta suy khối nón có chiều cao h = , bán kính đáy r = Thể tích lượng nước trào ngồi thể tích V1 khối nón 1  Ta có: V1 =  r h =  = 3 12 Thể tích lượng nước cịn lại thùng là: V2 = V − V1 = − Do đó: Câu 20  12 = 12 −  12 V1  = V2 12 −  (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Một phễu có dạng hình nón Người ta đổ lượng chiều cao phễu Hỏi bịt kín miệng phễu lộn ngược phễu lên chiều cao mực nước xấp xỉ bao nhiêu? Biết chiều cao phễu 15cm nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu A 0,501( cm) B 0,302( cm) D 0,188( cm) C 0,216( cm) Lời giải h r 1 Gọi h1 chiều cao nước ta có h1 = h Từ hình vẽ ta có: =  r1 = r ; h r 3 h2 r2 r h h =  =  h2 = r2 h h r r2 r Ta tích nước trước sau lơn ngược nhau: h1. r12 = h. r − h2  r2 h1 r h r h r − h1 r hr − h r hr h  h2 = −  h2 =  h2 =  h2 = − 2 r h2 r2 r  r2 r2 h2 2 h 1 .15 h1 153 h3  h2 = −  h2 = −  h23 = 153 − .152  h23 = 3250  h2 = 3250 Vậ h2 h2 h2 h 2 h 2 2 1 2 1 2 y bịt kín miệng phễu lộn ngược phễu lên chiều cao mực nước xấp xỉ bằng: 0,188( cm) Câu 21 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Hai hình nón có chiều cao dm đặt hình vẽ bên (mỗi hình đặt thẳng đứng với đỉnh nằm phía dưới) Lúc đầu, hình nón chứa đầy nước hình nón khơng chứa nước Sau đó, nước chảy xuống hình nón Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 thông qua lỗ trống đỉnh hình nón Hãy tính chiều cao nước hình nón thời điểm mà chiều cao nước hình nón dm 1 A B C D Lời giải Gọi a bán kính đáy hình nón; V1 ,V2 thể tích hình nón lúc chứa đầy nước chiều cao nước dm; h, V3 chiều cao nước, thể tích hình nón chiều cao nước hình nón dm; R, r bán kính hình nón nước, bán kính hình nón nước chiều cao nước hình nón dm R a Ta có: =  R = a 2 Thể tích nước hình nón chiều cao V2 = 13 1. ( 12 a ) = Mặt khác: 12 r h ah = r= a 2 Do thể tích nước hình nón V3 = 13 h. ( h2 a ) =  a h3 12 Thể tích nước hình nón đầy nước V1 = 13 2. a Lại có: V3 = V1 − V2  Câu 22  a2  a h3 12 = 13 2. a −  a2  + h3 =  h = 12 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tại trung tâm thành phố người ta tạo điểm nhấn cột trang trí hình nón có kích thước sau: chiều dài đường sinh l = 10 m , bán kính đáy R = m Biết tam giác SAB thiết diện qua trục hình nón C trung điểm SB Trang trí hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C mặt nón Xác định giá trị ngắn chiều dài dây đèn điện tử A 15 m B 10 m C m D 5 m Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Lời giải • Cắt hình nón theo hai đường sinh SA, SB trải ta hình (H2) sau: S 5m C 10m A B H2 Khi đó, chiều dài dây đèn ngắn độ dài đoạn thẳng AC hình H2 • Chu vi cung tròn AB : C = 2 = 5  SAC vuông S  AC = SA2 + SC = 102 + 55 = 5m Câu 23 Một phểu có dạng hình nón, chiều cao phểu 20cm Người ta đổ lượng nước vào phểu cho chiều cao cột nước phểu 10cm Nếu bịt kím miêng phểu lật ngược lên chiều cao cột nước phểu gần với giá trị sau A 1, 07cm B 0,97cm D 0,87cm C 0, 67cm Lời giải Chọn D Gọi R bán kính đáy phểu ta có R bán kính đáy chứa cột nước 2 1 R 35 Ta tích phần nón khơng chứa nước V =  ( R ) 20 −    10 =  R 3 2 Khi lật ngược phểu Gọi h chiều cao cột nước phểu.phần thể tích phần nón khơng chứa  R ( 20 − h )  1  ( 20 − h ) R nước V =  ( 20 − h )   = 20   1200 35 3  ( 20 − h ) R =  R  ( 20 − h ) = 7000  h  0,87 1200 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 ( ) Câu 24 Giả sử đồ thị hàm số y = m2 + x − 2mx + m2 + có điểm cực trị A, B, C mà xA  xB  xC Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta khối trịn xoay Giá trị m để thể tích khối trịn xoay lớn thuộc khoảng khoảng đây: C ( −2;0 ) B ( 2; ) A ( 4;6 ) D ( 0; ) Lời giải Chọn B y = 4(m + 1) x3 − 4mx = x (m + 1) x - m  x = + y =  x (m + 1) x - m  =   m x =  (m  0)  m +1 + Với m  đồ thị hàm số có điểm cực trị (với xA  xB  xC ) là: 2 m m2 m m2 2 ;- + m2 + 1) A(− ;- + m + 1) ; B(0; m + 1) ; C ( 2 m +1 m +1 m +1 m +1 + Quay ABC quanh AC khối trịn xoay tích là: B r A I C h 2  m2  m V = . r h =  BI IC =   =   3  m +1 m +1 + Xét hàm số f ( x) = Có: f '( x) = Ta có BBT: x f ( x) (m (m ) +1 (m ) +1 m9 m8 (9 - m ) m9 – ) +1 ; f ( x) =  m = (m  0) + + max f ( x) 0 Vậy thể tích cần tìm lớn m = Câu 25 Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm đường kính đáy 24 cm mặt phẳng song song với đường sinh hình nón ta thu thiết diện có diện tích lớn gần với giá trị sau đây? A 170 B 260 C 294 D 208 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Cắt hình nón mặt phẳng song song với đường sinh hình nón ta thu thiết diện parabol Xét dây cung chứa đoạn KH hình vẽ, suy tồn đường kính AB ⊥ KH , tam giác SAB , KE / / SA, E  SB , Suy Parabol nhận KE làm trục hình vẽ thiết diện thỏa u cầu tốn (Thiết diện song song với đường sinh SA ) Đặt BK = x (với  x  24 ) Trong tam giác ABH có: HK = BK AK = x ( 24 − x ) Trong tam giác SAB có: KE BK BK 5x =  KE = SA  KE = SA BA BA Thiết diện thu parabol có diện tích: S = Ta có: S = KH KE 16 16 25 x 100 10 KH KE = x ( 24 − x ) = ( 24 x3 − x )  S = 24 x3 − x 9 36 81 Đặt f ( x ) = 24 x3 − x4 , với  x  24 x = Ta có: f ' ( x ) = 72 x2 − x3 Suy f ' ( x ) =  72 x − x3 =    x = 18 Bảng biến thiên: Vậy thiết diện có diện tích lớn là: 10 34992  207,8 cm Câu 26 Một hình nón trịn xoay có đường sinh 2a Thể tích lớn khối nón 16 a 3 16 a 8 a 4 a D 3 3 Lời giải Fb: Bi Trần Gọi hình nón trịn xoay có đường sinh l = 2a có bán kính đáy R đường cao h A B C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Thể tích khối nón: V =  R h Ta có: R + h = 4a Áp dụng bất đẳng thức Cô si: 4a = R + h = R2 R2 R h2 + + h2  3 2 R h 64 16 3   a   R2h  a 27 27   R2 h= a  =h   Đẳng thức xảy    h + R = 4a R = a   Khi Vmax = Câu 27 16 3 a 27 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Huyền có bìa hình vẽ, Huyền muốn biến đường trịn thành phễu hình nón Khi Huyền phải cắt bỏ hình quạt trịn AOB dán OA , OB lại với Gọi x góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phểu lớn nhất? A  B  C  D Lời giải  Chọn A O O R R B h A B;A Ta có diện tích hình phểu S xq = R2 x xR 2 r r= bán kính đáy phểu;  x = R 2 1 V =  r h =  r R − r =  r R − r thể tích phểu 3 Xét hàm số phụ y = r R − r  y = 4r R − 6r y =  2.R − 3r =  r = R Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy y max V V max r = Câu 28 R 2 r 2 R 2 x= x= x= R 3R (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Tại trung tâm thành phố người ta tạo điểm nhấn cột trang trí hình nón có kích thước sau: đường sinh l = 10m, bán kính đáy R = 5m Biết tam giác SAB thiết diện qua trục hình nón C trung điểm SB Trang trí hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C mặt nón Định giá trị ngắn chiều dài dây đèn điện tử A 15 m B 10 m C m D 5 m Lời giải Ta có: SAB cân SB = AB  SAB Diện tích xung quanh hình nón S xq = Rl = 50 ( m ) Vẽ ( P ) qua C vng góc với AB Mặt phẳng ( P ) cắt hình nón theo thiết diện Elip Khi đó, chiều dài dây đèn điện tử ngắn chiều dài dây cung AC Elip * Ta dùng phương pháp trải hình thấy sau Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Hình trải dài hình quạt với AB độ dài nửa đường tròn AB = R. = 5 ( m ) S ABS = ASB.R12 360.25 S = 25  = 25  ASB = = 900 2 360 .10 Vậy SAC vuông S AC = SA2 + SC = 5 BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... nón đỉnh O chiều cao h bán kính đáy r = HM AH HM 4- h r Þ = = Þ r = 4- h Ta có HM // OB nên AO OB ö 1 256 1 æ4 - h + - h + 2h ÷ V =  r h =  (4 - h) h =  (4 - h)(4 - h).2h Ê ỗỗ = ữ ữ ứ... 1, 73 dm Lời giải Chọn C Gọi bán kính đáy, thể tích (phần chứa chất lỏng khối nón có chiều cao dm ) khối nón r ; V Gọi bán kính đáy, thể tích (tính từ đỉnh khối nón đến mặt phẳng chất lỏng ly... b2 + c2 Câu 19 Một thùng chứa đầy nước có hình khối lập phương Đặt vào thùng khối nón cho đỉnh khối nón trùng với tâm mặt khối lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với cạnh mặt đối diện Tính tỉ số