TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT Chuyên đề 18   TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng Tính tốn liên quan đến logarit dùng đẳng thức  Định nghĩa logarit:  Cho hai số thực dương  a , b  với  a  1, α  log a b  a α  b :   Các tính chất logarit: Cho ba số thực dương  a, b, c  với   a, b, c    log a b  log c b log a b ; log a b  log a c  log a bc; log a b  log a c  ; log a a log a c   log a b.log b c  log a c 0  a  1; b  0    Phương trình mũ cơ bản nhất  a x  b  x  log a b  Cách giải phương trình mũ có dạng  α1a x  α2 ab  α3b x   trong đó  αi i  1, 2,3  là hệ số,  x cơ số   a , b    2x x a a B1: Biến đổi phương trình về dạng:  2α1    α2    α3  *    b   b  x a B2: Đặt ẩn phụ    t , t  , phương trình *  trở thành  α1t  α2t  α3     b  B3: Giải tìm t  thỏa mãn  t    x a B4: Giải phương trình mũ cơ bản     t  Tìm được  x    b  Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho  x ,  y   là  các  số  thực  dương  thỏa  mãn  log x  log y  log  x  y   Giá trị của  A   B   x  bằng  y 3 C log     2 Lời giải D log   Chọn B  x  9t  Đặt  t  log x  log y  log  x  y   Khi đó   y  6t    2.9t  6t  4t    x  y  4t   t    1 t t t 2 9 3 3                      t 4 2 2        t Do đó:  t x 9 3          y 6 2 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Câu (Chuyên Lào Cai - 2020) các  số  thực  a ,  b ,  c   thỏa  mãn  (a  2)2  (b  2)2  (c  2)2    và  a  3b   c  Khi đó  a  b  c  bằng A B D   C 2 Lời giải Chọn A Ta có  a  c log  và  b  c log3  Suy ra  1 1 1     Hay       a b c a b c Hay  ab  bc  ca  Suy  ra  a  b2  c2  (a  b  c)2   nên  (a  b  c)2  4(a  b  c)   Vậy  a  b  c    Câu (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho  x  4 x   Khi đó biểu thức  P  a  là phân số tối giản và  a, b    Tích  a.b  có giá trị bằng b A 10 B 8 C Lời giải Chọn A 2  x  2 x a   với  x x b  4.2  4.2 D 10   Ta có  x  4 x    x   2.2 x 2 x   2 x      x  2 x    x  2 x      x  2 x   x  2 x 53       Do đó  P  x x x x  4.2  4.2      4.3 20 10 Suy ra  a  1, b  10   Vậy  a.b  10   Câu (Sở Ninh Bình 2019) Cho  a ,  b ,  c  là các số thực khác   thỏa mãn  4a  9b  6c  Khi đó  A B 6 C c c    a b D Lời giải  Chọn D a  log4 t  Đặt  t     b  log9 t   c  log t  c c log6 t log6 t   log6 t.logt  log6 t.logt  log6 t  logt  logt 9   Khi đó    a b log t log9 t a b c  log6 t.logt 36  log6 36  log6 62  Câu Biết  a  log 30 10 ,  b  log 30 150  và  log 2000 15000  nguyên, tính  S  A S    x1a  y1b  z1  với  x1 ; y1 ; z1 ; x2 ; y ; z  là các số  x2 a  y2b  z2 x1   x2 B S    C S    D S    Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Chọn A Ta có  log 2000 15000  log 30 15000 log 30 150  log 30 10    1   log30 2000 log 30  3log 30 10 Ta có  a  log 30 10  log 30  log 30  log 30  a  log 30   2   b  log 30 150   log 30  log 30  b 1  thay vào  2  ta được  log 30  a  b    b  2a 2a  b    a  b   3a 4a  b  x Suy ra  S      x2 Ta có  log 2000 1500  log x y  log y x Cho các số thực dương  x, y  khác 1 và thỏa mãn     log x  x  y   log y  x  y   2 Giá trị của  x  xy  y bằng  Câu A 0.  B 3.  C 1.  Lời giải D 2.  Chọn D ĐK:  x  y       y      log x y  log y x x log x y  log y Ta có         x  x  y log x  x  y   log y  x  y         log x  x  y   log y  x  y     log x  x  y   log x1  x  y      y  xy  y  x   x      x  xy  y       2    x  y    log x  x  y   log x  x  y   log x  x  y   Câu Cho  các  số  thực  dương  a ,  b   thỏa  mãn  log a  log b  log a  log b  100   và  log a ,  log b ,  log a ,  log b  đều là các số nguyên dương. Tính  P  ab   A 10164   B 10100   C 10 200   Lời giải D 10144   Chọn A Ta có:  log a  log b  log a  log b  100    log a  log b  log a  log b  200   log a  1   log b 1  202  81  121   *   2 Mà  log a ,  log b ,  log a ,  log b  đều là các số nguyên dương nên        *           a  1064  log a  64     b  10100 log b   11  log b  100         100   log a   11 log a  100 a  10   64     log b  64 log b   b  10 log a   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Vậy:  P  ab  1064.10100  10164   Câu mb  nac Tính  A  m  2n  p  4q   pc  q C 23   D 29   Lời giải Cho  log  a; log  b; log  c Biết  log 24 175  A 27   B 25   Chọn B Ta có  log 24 175  log 24 7.52  log 24  log 24    log  log log5  log 23 1  log 7.log3 log     log 24 log 24 1  log3 log 2  log3 log  2b 2b c 2b 4ac 2b  4ac       c c c  c  c    2b 2b 2ac 2ac A  m  2n  p  q     12  25   Câu  log3 log 3.log3       2a c.2a Cho  x ,  y  là các số thực lớn hơn  1 thoả mãn  x  y  xy  Tính  M    A M  B M    C M       log12 x  log12 y   log12  x  y  D M    Lời giải Chọn B  Ta có  x  y  xy  x  xy  y  *   Do  x ,  y  là các số thực dương lớn hơn  1 nên ta chia cả 2 vế của  *  cho  y  ta   x    y  x  3  x  y n y x    6      x y x   y l       2  y Vậy  x  y  (1).  Mặt khác  M   log12 x  log12 y log12 12 xy  (2).   2 log12  x  y  log12  x  y  Thay (1) vào (2) ta có  M  log12 36 y 1 log12 36 y   Câu 10 Cho  f  x  a ln x  x   b sin x    với  a ,  b     Biết  f log log e    Tính  f log ln10   A   B 10   C   D   Lời giải  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Chọn B  Đặt  x0  log log e     Có:  f  x0   a ln x0  x02   b sin x0          f  log log e  f x0    Ta có  f log ln10  f log       log e  f  x0   a ln     x02   x0  b sin  x0    a ln x0  x02   b sin x0           a ln x0  x02 1  b sin x0  6  12   f  x0   12  10     Câu 11 Cho  x + 9-x = 14  và  A P  10   a 6+3(3x +3-x ) a =  với   là phân số tối giản. Tính  P  a.b x+1 1-x b 2-3 -3 b B P  45   C P  10   D P  45   Lời giải  Chọn B  Ta có  x  9 x  14  32 x  2.32 x.32 x  32 x  16  3x  3 x   16  3x  3 x     3(3x  3 x )  3(3x  3 x )  3(3x  3 x )    3x1  31x  3.3x  3.3 x  3.3x  3 x      3.4 18 a       ab  45  3.4 10 b a Câu 12 Cho hai số thực dương  a, b  thỏa  log a  log b  log9  a  b   Tính    b A   B 1   1    Lờigiải C D 1    Chọn D Đặt  t  log a  log6 b  log9  a  b       t 1  a  4t    2t t   3 2  2 t t t t  b           1      t  3  3     a  b  9t    ( L)    t a t   1        b 6t   Câu 13 Cho các số thực dương  x, y  thỏa mãn  log x  log y  log  x  y   Tính tỉ số  x ?  y Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  A x    y B x    y 1 C x  y   1 D x    y Lờigiải Chọn B  x  6t  Giả sử  log x  log y  log  x  y   t  Ta có:   y  9t  x  y  4t  (1) (2)   (3) t x 6t          y 9t   Lấy (1), (2) thay vào (3) ta có  Khi đó    t (thoûa)      2t t 1 3 2 2   t t t    2.6  2.9            t 3 3       (loaïi)   Câu 14 Cho  x ,  y  là các số thực dương thỏa mãn  log 25 b  là các số nguyên dương, tính  a  b   A a  b  14   B a  b    x x y x a  b  log15 y  log9  và   , với  a ,  y 2 C a  b  21   Lờigiải D a  b  34   Chọn D x log 25  y  15  x x y x Ta có  log 25  log15 y  log    log 25 log x  15  log x 25  2t Đặt  t  log 25 t x 5  x  2.25t , ta được  2.25t  15t  4.9t          3 3 t  t  log 1  33 x 2.25t   1  33         t y 15 3 Do đó  a  ,  b  33  nên  a  b  34   Câu 15 Cho dãy số   un   thỏa mãn  log3  2u5  63  2log  un  8n  8 ,  n   *  Đặt  S n  u1  u2   un  Tìm số nguyên dương lớn nhất  n  thỏa mãn  A 18   B 17   C 16   Lờigiải un S2 n 148    u2n Sn 75 D 19   Chọn A Ta có  n   * ,  log3  2u5  63  2log  un  8n  8  log  2u5  63  log  un  8n      2u  63  3t  2u5  63  3t Đặt  t  log  2u5  63     ( với  n  )    t t un  8n   u5  32    3t  2.2t  t   un  8n   Khi đó  u5  36   Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Với  un  8n   và  u5  36 , ta có:  log  2u5  63  log  un  8n    log  2.36  63  log  8n   8n    log  log 4    đúng  n   *   Ta có:  un 1  un   n  1    8n     Vậy   un   là cấp số cộng có số hạng đầu  u1  , cơng  sai  d     S n  u1  u2   u n   u1  un  n  4n   2 Do đó  un S n  8n   16n 148  n  19     u2 n S n 16n   4n 75 Dạng Bài tốn tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ mũ – loagrit (sử dụng phương pháp bất đẳng thức – biến đổi)  Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)        a, b  0,  thì  a  b  ab  Dấu  "  "  xảy ra khi:  a  b         a, b, c  0,  thì  a  b  c  3 abc  Dấu  "  "  xảy ra khi  a  b  c    ab  abc   Nhiều trường hợp đánh giá dạng:  a.b     và  a.b.c           Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki) a b       a, b, x, y,  thì:  (a.x  b y )  (a  b )( x  y )  Dấu  "  "  khi      x y       a, b, c, x, y, z  thì:  (a.x  b y  c.z )  (a  b  c )( x  y  z )    Dấu  "  "  xảy ra khi và chỉ khi:  a b c     x y z     Nhiều trường hợp đánh giá dạng:  a.x  b y  (a  b )(x  y )   Hệ quả.  Nếu  a, b, c  là các số thực và  x, y, z  là các số dương thì:    a b (a  b) a b2 c (a  b  c)  và  : bất đẳng thức cộng mẫu số.       x y x y x y z x y z   Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét  các  số  thực  dương  a, b, x, y   thoả  mãn a  1, b        a x  b y  ab  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  x  y  thuộc tập hợp nào dưới đây? A 1;2  5 B  2;   2 C 3;  5  D  ;3  2  Lời giải  Chọn D Đặt  t  log a b  Vì  a, b   nên  t    1 1  log a b   1  t    2 1  1 b y  ab  y  logb ab  1  log b a   1     2 t  1 t Vậy  P  x  y  1  t           t 2 t Ta có:  a x  ab  x  log a ab  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  t   b  a    2 t 5  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  x  y   thuộc nửa khoảng  ;3   2   2  Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Có bao nhiêu số nguyên  x  sao cho tồn tại số thực  y  thỏa mãn  log ( x  y )  log  x  y  ? A B C Lời giải D Vô số Chọn B Cách 1:  x  y  3t Đặt  t  log ( x  y )  log  x  y    1   t  x  y  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có  9t   x  y    x  y   4t  9t   t  log 4t   Như vậy,  x  y  t  x  4t  log  1,89  x  1; 0;1 t t   y   Trường hợp 1:  x       t y 1  y    t t   y    Trường hợp 2:  x       t  y    y  t t   y    Trường hợp 3:  x  1     x  y   mâu thuẫn với  t t y     y     x2  y  log  suy ra loại  x  1   Vậy có hai giá trị  x  0;1   Cách 2:  x  y  3t Đặt  t  log ( x  y )  log  x  y    1   t  x  y  Suy ra  x, y  là tọa độ của điểm  M  với  M  thuộc đường thẳng  d : x  y  3t  và đường tròn   C  : x2  y  4t   Để tồn tại  y  tức tồn tại  M  nên  d ,  C   có điểm chung, suy ra  d  O, d   R  trong đó  t O  0;0  , R   nên  3t  2t  t  log    0  x  y  Khi đó  1   log  x  y  32  log 2   Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021  Minh họa quỹ tích điểm  M  như hình vẽ sau    Ta thấy có 3 giá trị  x    có thể thỏa mãn là  x  1; x  0; x    Thử lại:   y  3t t   Trường hợp 1:  x       t  y  y 1 t t   y    Trường hợp 2:  x       t  y    y  t t   y    Trường hợp 3:  x  1     x  y   mâu thuẫn với  t t y    y      x2  y  Câu log 2  suy ra loại  x  1   (Mã 103 2018) Cho  a  0, b   thỏa mãn  log a 5b1 16a  b  1  log8ab 1  4a  5b  1   Giá  trị của  a  2b  bằng A B 27 20 Lời giải C D   Chọn B Từ giả thiết suy ra  log a 5b 1 16a  b  1   và  log 8ab 1  4a  5b  1    Áp dụng BĐT Cơsi ta có  log a 5b 1 16a  b  1  log8ab 1  4a  5b  1  log a 5b1 16a  b  1 log8ab1  4a  5b  1    2log 8ab1 16a  b2  1   Mặt khác  16a  b    4a  b   8ab   8ab  1 a, b   ,  suy ra  log ab1 16a  b  1    Khi đó  log a 5b 1 16a  b  1  log8ab 1  4a  5b  1    log 8ab  1  log8ab1  4a  5b  1   a 5b 1   b  4a  log 24 a 1  32a  1  32a  24a a       b  4a b  4a b  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Vậy  a  2b  Câu 27 6  4 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm  x  và  y  thỏa mãn  x  y.4 x  y 1   Giá trị  nhỏ nhất của biểu thức  P  x  y  x  y  bằng  A 33   B 65   49   Lời giải C D 57   Chọn B Cách 1: Nhận xét: Giá trị của  x, y  thỏa mãn phương trình  x  y  x  y 1  1  sẽ làm cho biểu thức  P   nhỏ nhất. Đặt  a  x  y , từ  1  ta được phương trình  4a 1  a      y y Nhận thấy  y  4a 1  a    là hàm số đồng biến theo biến  a , nên phương trình trên có  y y nghiệm duy nhất  a  3  x  y    2 65  65  Ta viết lại biểu thức  P   x  y    x  y    y      Vậy  Pmin    4 8  Cách 2: Với mọi  x, y  khơng âm ta có  x  y.4 x  y 1   x  y.4 x y    x y   3    x  y    y   1   (1)  2     x y   3    thì   x  y    y   1   y  40  1   (vơ lí)  2    Vậy  x  y    Áp dụng bất đẳng thức Bunhyakovski ta được  Nếu  x  y  2 P  x2  y  x  y   x  3   y    13   13 65    x  y    13      13    22   y   x  y    Đẳng thức xảy ra khi      x   y  x   65 Vậy  P    Câu Xét  các  số  thực  x, y   thỏa  mãn  x  y 1   x  y  x   x   Giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức  4y  gần nhất với số nào dưới đây?  2x  y 1 A 2   B 3   C 5   Lời giải P D 4   Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Câu 46  2 x  (ĐHQG Hà Nội - 2020) Cho các số thực x, y thỏa mãn  log    log y  x  y  xy     2 x  Hỏi giá trị nhỏ nhất của  P  x  y  xy  là bao nhiêu?  A 30  20   B 33  22   C 24  16   D 36  24   Lời giải  Chọn D 2  x x2 0 0  2  x    Điều kiện xác định:    x  x2   y0  y   y  Theo bài ra ta có:   2 x  log    log y  x  y  xy   2 x  log (2  x)  log ( x  2)  log y  2( x  2)  y ( x  2)   log (2  x)   (2 x  4)  log  ( x  2) y   y ( x  2)  log (4  x)  (4  x)  log  y ( x  2)  y ( x  2) Xét hàm số  f (t )  log t  t (t  0) :    0t    t.ln Suy ra:  f (t ) là hàm đồng biến trên khoàng  (0; )   f '(t )  Mà  f (4  x)  f  y ( x  2)  nên   x  y ( x  2)  y   2x   x2 Vì  P  x  y  xy  ( x  y )   Thay vào P ta có:  2 3  2x   x2   P  x       4 x2  4 x2  x2   trên khoảng  ( 2; 2) :  x2 x ( x  2)  ( x  4) x  x  y'  ( x  2) ( x  2) Xét hàm số  y   x  2  2 y '   x  4x      x  2  2(l ) (Vì  x  ( 2; 2) )    Lập bảng biến thiên:    Dựa vào bảng biến thiên, ta có  ymin  4    Vậy  Pmin  4  4    36  24   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Câu 47 (Sở Bình Phước - 2020) Cho  x, y   là  các  số  thực  dương  thỏa  mãn  log x  log y   log  x  y   Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  x  y  bằng  A 2    B    C    Lời giải  D 9.  Chọn A Với  x  0; y   Ta có:  log x  log y   log  x  y      1  xy  x  y         y  x  1  x  x 1    x2 0 2y  x  Đặt  m  x  y  ta có:     x  m  x   x2  x  m    m  x  1  x  x m x2  x x 1 Xét hàm số  g  x   2x2  x  với  x    x 1 Ta tìm thấy  g  x    2  khi  x  1;   2    2 x   Vậy  m   2 , dấu bằng xảy ra khi    (thỏa mãn điều kiện bài toán).   y   Vậy GTNN của  x  y  là   2   Câu 48 (Sở Yên Bái - 2020) Cho các số thực  x, y  thuộc đoạn   0;1 thỏa mãn  20201 x  y  x  2021   y  y  2022 Gọi  M , m  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  x3  y  x  xy  Tính  M m A  B 5 D 3   C Lời giải  Chọn D Ta có  20201 x  y  x  2021  20201 x  y y  y  2022  x2  2021 y  y  2022    20201 y 1  y   2021  2020 x  x  2021     Ta có  f  t   2020t  t  2021 với  t   0;1 có  f  t   2020t.ln 2020. t  2021  2.2020t.t      Do vậy  f  t   2020t t  2021 đồng biến trên khoảng  t   0;1   Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Suy ra  f 1  y   f  x   x   y  y   x   Do vậy  x3  y  3x  xy  x3  1  x   3x2  x 1  x   x3   18 x  18 x  x3  3x  x  x  4 x3  30 x  27 x    Xét  f  x   4 x  30 x  27 x   với  x   0;1    x  Mà  f  x   4 x  30 x  27 x  nên  f   x   12 x  60 x  27       x  (loai)  1 1 Mặt khác  f    6, f 1  5, f      Do vậy  M  và  m     2 2 Vậy nên  M m  3   Câu 49 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Xét  các  số  thực  dương  x y   thỏa  mãn  log x  log y  log  x  y   Tìm giá trị nhỏ nhất  Pmin  của biểu thức  P  x  y   A Pmin  2 17   B Pmin    C Pmin    D Pmin  25   Lời giải  Chọn C Ta có  log x  log y  log  x  y   log  xy   log  x  y   xy  x  y   2 2 2   y  1 x  y   Do  y   y    y  1 x  y   Mà  x   nên  y   , hay  y    Khi đó ta có  x  y2 y2  Suy ra  P  x  y   3y   y 1 y 1 Xét hàm số  f  y   Ta có  f   y   y2  y  trên  1;    y 1 y2  y  y  1 3  y2  8y   y  1   y   1;   ;  f   y        y   1;    Bảng biến thiên:    3 Từ bảng biến thiên suy ra  f  y   f     Vậy  P  f  y     2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489    y  Dấu  "  "  xảy ra khi và chỉ khi   x   Câu 50   y2  y 1 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho các số thực  x ,  y  thay đổi thỏa mãn  x  y  xy   và  hàm số  f  t   2t  3t   Gọi  M  và  m  tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của   5x  y   Q f    Tổng  M  m  bằng   x y4  A 4    B 4    C 4  2   D 4    Lời giải  Chọn D y  3y2     Ta có  x  y  xy    x    2  Đặt  t  5x  y   t  x  y    x  y    t  5 x   t  1 y  4t     x y4 y 3y    t  5  x    3t    4t   2  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có     4t    y    t    x    2      4t    t  5   2   3t   3y      t       2  y  y2  3t    x            3t    12t  24t     t      Xét hàm số  f  t   2t  3t   với    t    Ta có  f   t   6t  6t  6t  t  1   t  Khi đó  f   t       t      Ta có  f   5  ,  f    1 ,  f 1  , f   5      Do đó M  f    ,  m  f   5    Vậy  M  m  4    Câu 51 (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hai số thực  a,  b lớn hơn  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu   a  4b  thức  S  log a  A        log ab b 11 B .  C   D   Lời giải  Chọn C Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  2  a2  4b2  a  4b a   2b  4ab    ab  log Theo bất đẳng thức Cơsi ta có    loga ab   a 4   2 Do  a,  b 1loga b  loga    Ta có   a  4b S  log a     loga b   1   log b ab  log a ab  log b ab  1     logb a  1  loga b  4loga b    4t Xét hàm số  f  t   t    với  t    4t Đặt  t  loga b , ta có  S  t  4t 1    4t 4t 4t 1 1    4t 1   t   t    Khi đó  f  t    4t Ta có  f   t   1 Bảng biến thiên    Suy ra  f  t    khi  t    t 0;   Vậy giá trị nhỏ nhất của  S   khi  t  log a b   b  Câu 52 a   (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Với  các  số  thực  dương  x, y, z   thay  đổi  sao  cho   x  y  2z  log   x  x    y  y    z  z    , gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của  2  x y z  biểu thức  T  A  x  y  z  x  y  11z   thứ tự là  M  và  m  Khi đó  M  m  bằng: x  y  86 B C  D    2 Lời giải Chọn D  x  y  2z  +) Ta có  log   x  x    y  y    z  z  8    2  x y z   log  x  y  z   log  x  y  z   x  y  z  4( x  y  z )  log  x  y  z   4( x  y  z )  log  x  y  z   x  y  z  (1).  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 61 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  +) Xét hàm đặc trưng  f  t   log t  t , t   có  f   t    t  0, t    t ln +) Ta có  (1)  f   x  y  z    f  x  y  z   x  y  z  x  y  z   2   x     y     z    36   +) Thay vào biểu thức  , ta được  T   x  y  z   x  y  11z   x  y  86 y  3z    x  y  86  T  x  y  86   y  3z   6Tx   5T  1 y  3z   86T  6T  x     5T  1 y     z     86T  12T   5T  1  12  6T  x     5T  1 y     z    54T   +) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có  6T  x     5T  1 y     z     2  6T    5T  1  32 36      54T   36  6T    5T  1  32  720T  360T  360   1  T    Suy ra  M  m     Câu 53 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho các số thực  x, y  thỏa mãn  ln y  ln( x  2)  ln  Tìm  giá trị nhỏ nhất của biểu thức  H  e y  x A  x2 B  x2  y2  x ( y  1)  y C e D   e Lời giải Chọn A Do  ln y  ln  x    ln  x   y  y  x  x   y  x   H e yx   y  x Đặt  t  y  x  t  g  x    y  x  2   x3  x3  3x  x  g  x   với  x  2   3 3x  ,  g   x    x  1  g  x   g 1  , suy ra  t    Xét hàm số  f  t   et  t  t2  với  t    f   t   et   t   f   t   et    f   t    e    Ta có bảng biến thiên như sau  Trang 62 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021    Suy ra  H  f     Vậy  H    Câu 54 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho  x, y  là các số thực dương thỏa mãn  22 xy  x y   xy   x y Khi  P  xy  xy  đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức  3x  y  bằng  A   C   Lời giải  B   D   Chọn C Ta có  22 xy  x y   xy  xy  x  y  log   xy   log  x  y    x y  log 2 1  xy   1  xy   log  x  y    x  y    Xét hàm số  f  t   log t  t  là hàm số đồng biến trên   0;     Do đó từ  *  ta có  1  xy   x  y  x  2 y   2y 1 Suy ra  P  xy  xy   y  y  Pmin   khi  y   x    Do đó  3x  y    Câu 55 (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho  x, y   là  các  số  dương  thỏa  mãn  log  x  y   log  x   log  y   Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  A 31   29   Lời giải  B   C D x2 y2   là:  1 2y 1 x 32   Chọn D Ta có:  log  x  y   log  x   log  y   log  x  y   log  xy   x  y  xy   Mặt khác:  xy  x  y  2 xy   xy    xy    xy    2  x  y   xy  x2 y2    Áp dụng bất đẳng thức cauchy- Swat ta có:  P     y  x  x  y xy  Đặt  xy  t  suy ra  P  Xét hàm số  f  t    xy  xy   t2   t2 t2 , với  t  8;      t2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 63 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  f  t   t  4t t  2  0, t  , suy ra hàm số  f  t   đồng biến trên khoảng   8;     32 32    P  f t   5 x  y x  32  khi       MinP   xy  y   f  t   f 8  Câu 56 (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Cho  các  số  thực  x, y   thay  đổi,  thỏa  mãn  x  y    và  ln  x  y   ln  xy   ln  x  y   Giá trị nhỏ nhất của  M  x  y  là A 2 B C Lời giải D 16.  Chọn C Với  x  y  ,  ta  có  1 x y ln  x  y   ln  xy   ln  x  y   ln  xy   ln  x  y   ln  x  y   ln  xy   2ln 2 x y 2  x y  x y 2  ln  xy   ln    xy      x  y  xy   x  y   (*)   x y x y u  x  y  Đặt     v  xy  4v  f  v  ,  (v  1)   Ta có (*)   u  4v  v  u   v  1 u  4v  u  v 1 8v  v  1  4v 4v  v    f v   ,  f   v    v   do  v    2 v  v      2 2 Bảng biến thiên :    x  y   x     Vậy  min( x  y)  u    xy     y   x  y   Câu 57 (Sở Hà Nội - Lần - 2020) Xét  x, y, z  là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện  xyz   Giá  trị nhỏ nhất của biểu thức  S  log32 x  log 32 y  log32 z  bằng 1 A B 32 C 16 D   Lời giải  Chọn C Trang 64 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Ta có  log  xyz    log x  log y  log z   Đặt  a  log x, b  log y, c  log z  Khi đó ta  có  a, b, c   và  a  b  c    1 S  log32 x  log 32 y  log 32 z  a3  b3  c3   a  b   3ab(a  b)  c   4  a  b 3 1 (a  b)  c3   3c  3c  1  với   c    4 Đặt  f (c)  3c  3c  ,  f (c)   6c    c    Ta có bảng biến thiên    a  b   a  b  c   ab   1    Từ đây ta suy ra  S  , dấu bằng xảy ra khi  c    16  c   a  b  Khi đó  x  y  2, z    Câu 58 Có bao nhiêu số nguyên  x  sao cho tồn tại số thực  y thỏa mãn  log3 ( x  y)  log  x2  y  ? A B C Phân tích Lời giải D Vơ số  Chọn C Điều kiện:  x  y    Đặt  log3 ( x  y )  log  x  y 2   x  3t  y  x  y  3t  t , suy ra    t 2 t t  x  y    y   y  1   Phương trình  1  y  2.3t y  9t  4t   Phương trình phải có nghiệm nên:  2t 3   9t   9t  4t        t    2 2 0  x  y  Do đó:    x     x  0; 1  ( vì  x   )   x  y  Thử lại:  t  log t  y   Với  x       t log 2 y   y   1  y  3t t  Với  x        t 1  y  y  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 65 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   y  3t  Với  x  1    2.9t  4.3t   4t  t 2 y    2   Khi  t   9t  4t  nên    vô nghiệm, khi  t   4t    4t   nên    cũng vơ nghiệm.  Vậy  x  0;1   Câu 59 Có  bao  nhiêu  cặp  số  nguyên  dương   x; y    thỏa  mãn  đồng  thời  hai  điều  kiện:   x  10   và  log 10 x  20 x  20   10 y  y  x  x  ? A C Lời giải B D   Chọn D  Điều kiện: 10 x2  20x  20  , đúng  x     Ta  y2 có  log 10 x  20 x  20   10  y  x  x    x  x  1  log 10  x  x     10  y 2 2 y2 2   x  x  1  log10  log  x  x    10 y  y     x  x    log  x  x    10 y  y    10  log x  x    log x  x   10 y  y  (*).    Xét hàm  f  t   10t  t trên     Ta có  f   t   10t.ln10   ,   t    Do đó  f  t   đồng biến trên     Khi  đó  (*)  f  log  x  x     f  y   log  x  x    y  x  x   10 2 y2   x  1   10 y   2 Vì   x  10  nên    x  1   10 y  10  1    y  log 106  1  1     Vì  y     nên  y 1;2;3    x  2 (ktm) 2 + Với  y   x  2x   10  x  2x        x  4 (tm) + Với  y   x2  2x   104  x2  2x  9998   (khơng có giá trị  x  ngun nào thỏa mãn).  + Với  y   x  2x   10  x  2x  999999998   (khơng có giá trị  x  ngun nào thỏa  mãn).  Vậy có một cặp ngun dương   x; y    4;1  thỏa mãn u cầu bài tốn.  Câu 60 Có  bao  nhiêu  số  nguyên  y  x 2 A 10 y   5x  x 1 y  10   sao  cho  tồn  tại  số  nguyên  x   thỏa  mãn    x  1 ? B C Phân tích D Vơ số  Phương trình dạng  f  u   f  v    Phương pháp: Chứng minh  y  f  t   đơn điệu trên   a; b   Từ phương trình suy ra  u  v  Từ đó  tìm sự liên hệ giữa 2 biến  x, y  và chọn  x, y  thích hợp.  Trang 66 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Lời giải Chọn C y Ta có:   x 2 y   5x 2  x 1   x  1  y  x 2 y   x   5x  x 1  x2  x   Xét:  f  t   5t 1  t  đồng biến trên    Do đó từ phương trình trên suy ra:  y y y y  x   x  x   x  1   2  x   2   y Do  x  nguyên nên ta có  2    và  y  10  nên  y  0; 2; 4; 6;8   Câu 61 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương   x ; y   thoả mãn   x  2020  và  y  y  x  log  x  y 1  A 2021 B 10 C 2020 Lời giải D 11   Chọn D Theo đề bài,  y  y  x  log  x  y 1     2y  y  log  y   x  log  x        2x  2y  y  y  log  y   x  y  log    2x  y   y   log  y            2x  y   log   1   2    Xét hàm số  f  t   2t  log t ,  t    Vì  f   t     t   f  t   đồng biến trên   0;      t ln  2x  2y nên 1  f  y   f    2x  2y y    2.2 y  x  y  x  y  x  y 1     Do   x  2020  nên   y   log 2020   y  11,98   Do  y *  nên  y   1; 2;3; ;11 , với mỗi giá trị  y  cho ta 1 giá trị  x  thoả đề.  Vậy có  11 cặp số nguyên   x ; y   thoả mãn đề bài.  Câu 62 Có  bao  nhiêu  số    log  x  y   log   log A x  nguyên  x sao  cho  tồn  tại  số  thực  y thỏa  mãn   y  1 B C Lời giải D   Chọn C   Đặt:  t  log  x  y   log   log x   y  1    t   x  y 2  2t  log2 1    x  y    Suy ra:      t t  x  y    x  y   Ta có:  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 67 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   x  y   x2  y2     1      2t   t  t  1   t t t     1            t t 1  3 Xét  f  t         nghịch biến trên    nên      t t     1  f  t   f 1  t              t  log 1   0  x  y   log  Do đó    x  0; 1  ( vì  x   )  t  2 x  y  1  1 Thử lại:  Với  x  :     y   2t     y2  3t       t  2t  1           t    2t   2t       t  Ta có:  g  x    2t   2t   1 liên tục trên   0;1  thỏa mãn  g   g 1   nên  phương trình có nghiệm  t   0;1     Do đó với  x   thì tồn tại số thực  y thỏa mãn  log  x  y   log   log Với  x  1 :   y   2t     y2  3t       t  2t  1           t    2t   2t       t  Ta có:   2t   2t    0, t  nên phương trình vơ nghiệm.  Do đó với  x  1  thì khơng tồn tại số thực  y  thỏa mãn    log  x  y   log   log x  y  1   Với  x  :  Trang 68 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ x  y  1   TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021     y   2t   t  y   t      1      Ta có:  h  x   1      2t   t t t   liên tục trên   1;0  thỏa mãn  h  1 h     nên phương trình  t có nghiệm  t   1;0      Do đó với  x   thì tồn tại số thực  y  thỏa mãn  log  x  y   log   log x  y  1   Vậy  x 0;1    2x 1  x Câu 63 Có bao nhiêu cặp số nguyên   x; y   thỏa mãn   y  2020  và  log    y 1 ?   y   A 2019   B 11   C 2020   D   Lời giải Chọn B y   x  1   2x   x    Từ giả thiết ta có:   y   y  Ta có: PT   log  x  1  x   log y  y (*)   Xét hàm số  f  t   log t  t  trên   0;     Khi đó  f   t     do đó hàm số  f  t   log t  t  đồng biến trên   0;     t ln (*) có dạng  f  x  1  f  y   y  x    Vì   y  2020   x   2020   x  2021   x  log  2021   0  x  log  2021  x  0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10  Vậy có  11  cặp   x; y   thỏa mãn.    x   Câu 64 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Xét  các  số  thực  a, b, x   thoả  mãn  a  1, b  1,  x  và  a logb x  b loga ( x )   Tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  D  3 2 12 thức  P  ln a  ln b  ln(ab) A 1 3 B e Lời giải  C Chọn D    Ta có  a logb x  bloga ( x )  ln a logb x  ln bloga ( x  log b a.ln a  ln b  )   log b x.ln a  2.log a x.ln b   ln a ln a  ln b  ln a  ln b  ln a  ln b (vì  a  1, b  ).  ln b Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 69 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Thay  ln a  ln b  vào biểu thức  P  ta được  P  ln a  ln b  ln(ab)  3ln b  Đặt  f (t )  3t      ln b  3t    t  Ta có  f '(t )  6t       t (với  t  ln b  ).  1   t  1  (0;  )   BBT:    Dựa vào BBT, suy ra  f (t )   3 2   12 Vậy giá trị nhỏ nhất của  P  bằng   3 2 12  0;     BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/   ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!                                       Trang 70 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021                  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 71 ...  có duy nhất nghiệm trên   a; b    xa x b Tính chất logarit: 1.1 So sánh hai logarit số: Cho? ?số? ?dương  a   và các? ?số? ?dương  b, c   1.2 Hệ quả: Cho? ?số? ?dương  a   và các? ?số? ?dương  b, c     Khi  a   thì  log... Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  a  b  c   Dạng Sử dụng phương pháp hàm số (hàm đặc trưng) giải toán logarit Định lý: Nếu? ?hàm? ?số? ? y  f  x   đồng biến (hoặc ln nghịch biến) và liên tục trên ...   f  x0   12  10     Câu 11 Cho  x + 9-x = 14  và  A P  10   a 6+3(3x +3-x ) a =  với   là phân? ?số? ?tối giản. Tính  P  a.b x+1 1-x b 2-3 -3 b B P  45   C P  10   D P  45   Lời giải