TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Chuyên đề 19   TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ + GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM DẠNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT  Dạng 1.1 Phương pháp đưa số + Nếu  a  0,  a  1:    log a x  b  x  a b   1   + Nếu  a  0,  a  1:    log a f  x   log a g  x   f  x   g  x        g x + Nếu  a  0,  a  1:    log a f  x   g  x   f  x   a   (mũ hóa)   3    Các bước giải phương trình & bất phương trình mũ – logarit   Bước 1. Đặt điều kiện (điều kiện đại số    điều kiện loga), ta cần chú ý:  ĐK log  f  x           f  x  0  a   a  mũ lẻ   log a b    và     ĐK b  f x  log a  f  x             mũ chẵn  ĐK Câu  Bước 2. Dùng các cơng thức và biến đổi đưa về các cơ bản trên, rồi giải.   Bước 3. So với điều kiện và kết luận nghiệm.  (Mã 110 2017) Tìm tập nghiệm  S  của phương trình  log  x  1  log  x  1   A S  3  B S   5;  C S      13  D S       Lời giải Chọn C  x 1  Điều kiện    x  1   (*)   x 1  Phương trình   2log2  x 1  log2  x  1     2log2  x 1  log2  x  1  log2 2  log  x  1  log   x  1     x2  2x   x       x   L    x2  4x 1     Vậy tập nghiệm phương trình  S    x    Câu (THPT  Hàm  Rồng  Thanh  Hóa  2019)  Số  nghiệm  của   phương  trình  log3  x  x   log  x  3   là A   B   C   Lời giải D 1.  Viết lại phương trình ta được  Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   x  2 x       log3  x  x   log3  x  3      x    x 1  x  4x  2x     x  3 Câu (Đề  Tham  Khảo  2018)  Tổng  giá  trị  tất  cả  các  nghiệm  của  phương  trình  log x.log x.log 27 x.log 81 x   bằng 80 82 A B C D .  9 Lời giải Chọn D Điều kiện  x    Phương trình đã cho tương đương với  x   log x  1   log log x log x log x   (log x)  16    x   log x  2  Câu Nghiệm của phương trình  log x  log x  log  là  A x  B x  3 C x  D x  Lời giải Điều kiện:  x    1 Ta có:  log x  log x  log  log x  log x   log   2  2log x  log x  log   3log x  log     log x3  log   log  3x3    3x3   x  So với điều kiện, nghiệm phương trình là  x  Câu   3   3 (THPT  Lê  Quý  Dôn  Dà  Nẵng  2019)  Gọi  S  là  tập  nghiệm  của  phương  trình log  x  1  log  x     Số phần tử của tập S là  A 2  B 3  C 1  Lời giải D 0  ĐK:  x  1 log  x  1  log  x2      x  1   x  0(TM ) x2    x  4( L) Vậy tập nghiệm có một phần tử  Câu (Chuyên  Lam  Sơn  Thanh  Hóa  2019)  Số  nghiệm  thục  của  phương  trình  3log  x  1  log  x     là  A   B   C   D   Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Lời giải Chọn B Điều kiện:  x    3log  x  1  log  x     3log3  x  1  3log3  x  5  3  log3  x  1  log  x  5   log3  x  1 x  5     x  1 x       x2  6x    x     Câu Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có  nghiệm  x       (Chuyên  Lê  Hồng  Phong  Nam  Định  2019)  Tổng  các  nghiệm  của  phương  trình  log  x    log3  x      là  S  a  b   (với  a , b   là  các  số  nguyên).  Giá  trị  của  biểu  thức  Q  a.b  bằng  A 0.  B 3.  C 9.  Lời giải  D 6.  Chọn D  Điều kiện:   x    Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương  log  x    2log x    log3  x   x     x   x      x   x     x2  x   x         x   x    1  x  x   x  So lại điều kiện, ta nhận hai nghiệm  x1   2; x2    Ta được:  S  x1  x2    a  6; b   Vậy  Q  a.b    Câu (Chuyên  Nguyễn  Du-ĐăkLăk  2019)  Tổng  tất  cả  các  nghiệm  của  phương  trình  log  x  1  log x   là  A   B 1   C   Lời giải  D 2   Chọn A Điều kiện:  x     x  1(N) Phương trình tương đương  log  x  1 x     x  1 x   x  x        x  2(L) Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng    Câu Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình  log  x  x  1  log x  log x  bằng A B C D Lời giải  Chọn C Phương trình  log  x  x  1  log x  log x  điều kiện  x      8x   log  x  x  1  log      4x   log  x  x  1  log  2    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   x2  4x 1     x  1    x  Nghiệm  x  1  loại,  x   thỏa mãn.  Suy ra tổng các nghiệm là  Câu 10 Gọi  S  là tập nghiệm của phương trình  log  x    log  x     trên    Tổng các phần  tử của  S  bằng  A    C   B    D    Lời giải  Chọn D x  Điều kiện:     x  2 2 log  x    log  x     log  x    log  x      2  log  x   x  3     x  x    22    x  x   1 2 x2  8x       x  x    x  x          x   +)  1      x   (l ) +)     x       S  2;    Vậy tổng các nghiệm của  S  là:        Câu 11 (SGD  Nam  Định 2019)  log x  x   log x2  A 10   Tổng  tất  cả  các  nghiệm  của  phương  trình  log  x  3  bằng  81 B 10   C 0.  Lời giải  D 3.  Chọn A Điều kiện:  x    log x  x   log x2   log  x  3 81   1 log3  x  x    log  x     log3  x  3   2  log3  x  x    log3  x    log3  x  3   log3  x         x    x  10  (do điều kiện) Câu 12 (SGD  Gia  Lai  2019)  Cho  hai  số  thực  dương  x ,  y   thỏa  mãn  log  x  y    log xy   Mệnh đề nào dưới đây đúng?  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  A x  y B x  y   C x  y   D x  y   Lời giải Chọn A Với  x ,  y   ta có: log  x  y    log xy  log  x  y   log 2 xy  x  y  xy  x y Câu 13 Biết phương trình  log  x  x  1  log  có hai nghiệm thực  x1 ,  x2  Tích  x1.x2  bằng:  A 8   B 2   C 1.  Lời giải  D   Chọn B Ta có:  log  x  x  1  log    log  x  x  1  log    x  x     x       x  x    *   Phương trình  *  có  a.c  2   nên ln có 2 nghiệm phân biệt.  Vậy  x1.x2  2   Câu 14 (Chuyên Long An-2019) Tìm nghiệm phương trình  2log x  log  x  3    A x  B x  C x  Lời giải  D x  16   Chọn A Điều kiện:  x    log x  log  x  3   log x  log  x  3   log x  x  3     x  3x    x4   x  1 Kết hợp điều kiện, nghiệm của phương trình là:  x    Câu 15 (Chuyên  -  KHTN  -  log3  x  1  log A Hà  Nội  -  2019)  Số  nghiệm  của  phương  trình   x  1   là B C Lời giải D Chọn B Ta có  log3  x  1  log  x  1  , điều kiện  x  ,  x    2  log  x  1  log  x  1  log   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   log  x  1 x  1   log     x  3x  1     x  x   3    2 x  x     x   2   x   Thử lại ta có một nghiệm  x   thỏa mãn Câu 16 (Sở Quảng Trị 2019) Số nghiệm của phương trình  log  x  x   log  x  3   là  B   A   C   D   Lời giải  Chọn D   x  4  x  x    x    x0 Điều kiện:     2 x     x   Ta có  log  x  x   log  x  3   log  x  x   log3  x  3  x   log  x  x   log  x  3  x  x      x    x   3( l )  Câu 17 Biết nghiệm lớn nhất của phương trình  log x  log  x  1   là  x  a  b  ( a, b  là hai số  nguyên ). Giá trị của  a  2b  bằng A   B   C   D   Lời giải  Chọn A Điều kiện  x  log   x  log  x  1   2log x  log  x  1   log 2 x2   x  x     2x 1 Nghiệm lớn nhất của phương trình là  x    a  2, b   a  2b    Câu 18 Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình  log A    B    x    log3  x  4 C    Lời giải  D   Chọn A Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/    TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  x  Điều kiện:     x  Ta có:  log  x    log3  x   2    x   x        x    nhan    x   x     x  6x       x    loai      x   x    1  x  x    x   nhan  Vậy tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình  log  x    log3  x     bằng     Câu 19 Gọi  S  là tổng tất cả các nghiệm của phương trình  log x  log  x  10    log  Tính  S ? A S  10   C S  10    B S  15   D S   Lời giải Chọn C x  Điều kiện phương trình:      x  10 Phương trình:  log x  log  x  10    log  log x  log  x  10   log     log  x  x  10     x  x  10   100  x  x  10   25      + Khi  10  x  :  Phương trình      x  x  10   25  x  10 x  25   x  5   t/m    + Khi  x  :   x  5     t/m  Phương trình     x  x  10   25  x  10 x  25       x  5     l    Vậy  S  5  5   10    Câu 20 Cho phương trình  log  x  1   log  x  log8   x   Tổng các nghiệm của phương  trình trên là B 4 A  C  Lời giải  D    Chọn C  x  12    x  1 Điều kiện:  4  x        x   4  x   log  x  1   log  x  log8   x     log x   log  log   x   log   x    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   log x   log 16  x   x   16  x     x  1  16  x  x  x  12       2   x  1   16  x   x  x  20  x   x  6     x  22   x   So  với  điều  kiện  phương  trình  trình  có  2  nghiệp  x  2; x     Vậy  tổng  các  nghiệm  là   2   Câu 21 Cho  log x  log y   và  log8 y  log x   Tìm giá trị của biểu thức  P  x  y   A P  56   B P  16   C P    Lời giải  D P  64   Chọn A Ta có:  1 log8 x  log y   log x  log y     log x  log y   3 x y  25  x y   25   215 1   Tương tự:  log y  log x   y x  21     Lấy  1  nhân     được  x4 y  236  x2 y  218  3   Lấy  1  chia   2  được  y2   x  26 y     x Thay   4  vào   3  được  26 y  218  y  212   23   y  23    Thay  y   vào     được  x  26.64   26   x  26  64  Do đó  P  x  y  56   Câu 22 Cho  a , b, x  0;  a  b  và b, x   thỏa mãn  log x Khi đó biểu thức  P  A P  a  2b    log x a  log b x 2a  3ab  b  có giá trị bằng: (a  2b) B P  C P  16 15 D P  Lời giải  Chọn A log x a  2b a  2b  log x a   log x  log x a  log x b   log b x Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   a  2b  ab  a  5ab  4b   a  ba  4b   a  4b  (do  a  b ).  P 2a  3ab  b 32b  12b  b2   (a  2b)2 36b   Câu 23 Cho  x   0;  , biết rằng  log2  sin x   log2  cos x   2  và  log  sin x  cos x    log n  1    2 Giá trị của  n  bằng A B C D 2 Lời giải  Chọn D   Ta có  sin x  ;  cos x  ,  x   0;     2 Theo bài ra  log2  sin x   log2  cos x   2  log  sin x.cos x   2  sin x.cos x  Do đó  log  sin x  cos x      log n  1   2  log  sin x  cos x   log n     log n   log  sin x  sin x.cos x  cos x     log n   log  log n  log n Câu 24       (Kim  Liên  -  Hà  Nội  -  2018)  Biết  rằng  phương  trình  ln  x    ln  ln x  ln   có  hai  nghiệm phân biệt  x1 ,  x2    x1  x2   Tính  P  A   B 64   x1   x2 C   64 D   Lời giải x   Điều kiện    x    *   x  2 Phương trình   ln  x    ln  ln x  ln 34  ln   x     ln  x.34        x  16  x.34  x  x1      thỏa mãn  *     P  x  x2 64 4  x    81x    x2  16 Câu 25 (THPT  Lê  Xoay  -  2018)  Phương  trình  log 49 x  log  x  1  log7 log 3  có  bao  nhiêu  nghiệm? A   B   C   D Lời giải   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  x  Điều kiện     x  1 log 49 x  log  x  1  log log 3  log x  log x   log 2  x  x  1   x2  x   x   log x  x  1  log        x  x  1  2  x  1 x  x    Câu 26 (THPT  Lương  Văn  log  x  1   log  Tụy  -  Ninh  Bình  -  2018)  Phương  trình  A Vô nghiệm.   x  log   x   có bao nhiêu nghiệm?  B Một nghiệm.  C Hai nghiệm.  Lời giải D Ba nghiệm.  Điều kiện:  4  x   và  x  1   Ta có  log  x  1   log  x  log   x   log  x    log   x   x     x   x  6   x  1  16  x  x  x  12      x   16  x     x   x  x  20    x  1  x  16    x   Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm  x   và  x     Câu 27 (SGD&ĐT  BRVT  -  2018)  Tổng  giá  trị  tất  cả  các  nghiệm  của  phương  trình  log  x    log  x    log   bằng  A   B   C   D 12   Lời giải  x  2 Điều kiện     *   x  Ta có  log  x    log x   log   log  x   x    log     x   x   x   x      x  2 x       thỏa mãn  *    x   17   x       x    x     17  17     2 Định  -  2018)  Cho  Vậy tổng các nghiệm của phương trình là   Câu 28 (Xuân   Trường   -   Nam  phương  trình   log x  x  log3 x  x   log x  x    Biết phương  trình  có  một nghiệm  là    logb c a  a  logb c  (với  a ,  c  là các số nguyên tố và  a  c ).  2 Khi đó giá trị của  a  2b  3c  bằng: A   B   C   D   và một nghiệm cịn lại có dạng  x    Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489     Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm được   nghiệm  x  xo  của phương trình, rồi chỉ rõ  hàm  đơn  điệu  một  chiều  trên  D  (luôn  đồng  biến  hoặc  luôn  nghịch  biến  trên  D)  và  kết  luận  x  xo  là nghiệm duy nhất.    Hàm  số  f  t    đơn  điệu  một  chiều  trên  khoảng   a; b    và  tồn  tại  u;  v   a; b    thì  f  u   f  v   u  v ".     Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng  f  t    Câu 51 (SGD  Nam  Định 2019)  Tổng  tất  cả  các  nghiệm  thực  của  phương  trình  15 x.5 x  5x 1  27 x  23  bằng.  A 1 B C D Lời giải Chọn D x Ta có  15 x.5  5x 1  27 x  23  x 1  x  1  27 x  23  (1)  Dễ thấy  x   khơng thỏa mãn phương trình trên nên ta có  27 x  23  (2)  x 1  3x  1  27 x  23  x 1  3x  Hàm số  y  f  x   x 1  5.5 x  đồng biến trên     Hàm số  y  g  x   27 x  23 96  , nên nghịch biến trên mỗi  , có đạo hàm  g   x    3x   3x  1 1  1  khoảng   ;   và   ;     3     1  1  Do đó trên mỗi khoảng   ;   và   ;   , phương trình (2) có nhiều nhất một nghiệm.  3  3  1  1  Ta thấy  x  1  và  x   là các nghiệm lần lượt thuộc các khoảng   ;   và   ;     3  3  Do đó (2) và (1) có hai nghiệm  x  1  và  x    Tổng hai nghiệm này bằng    Câu 52 Cho  số  thực     sao  cho  phương  trình  x  2 x  2cos  x   có  đúng  2019   nghiệm  thực.  Số  nghiệm của phương trình  x  2 x   2cos  x  là A 2019 B 2018 C 4037 Lời giải D 4038 Chọn D x  x      cos  x  2  2   2.2 cos     x Ta có:   x x     x  x     2  2  cos  x  (1)      x   x  2  2  2 cos  x  (2)     Ta thấy,  nếu  phương  trình  x  2 x  2cos  x có  2019  nghiệm thực  thì  phương  trình  (1)  cũng có 2019 nghiệm thực.  Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Nhận xét:  +  x0  là nghiệm của phương trình (1)   x0  là nghiệm của phương trình (2).  +  x0   khơng là nghiệm của hai phương trình 1 ,  2   Do đó, tổng số nghiệm của cả hai phương trình  1 ,  2  là 4038   Vậy phương trình  x  2 x   2cos  x  có  4038  nghiệm thực  x  x 1  x 1  x   và  Câu 53 Biết  x1 , x2   là  hai  nghiệm  của  phương  trình  log     2x    a  b  với  a , b  là hai số nguyên dương. Tính  a  b A a  b  13 B a  b  11 C a  b  16 D a  b  14 Lời giải  Chọn C Điều kiện:  x  0, x     x  x  1  x   x  log 4 x  x  1  x  x   log 2 x  x   Ta có:  log     2x  x1  x2  Xét  hàm  số  f t   log t  t   có  f  t     t    nên  là  hàm  số  đồng  biến  trên  t ln 0;   Do đó ta có  x  x   x  x  x    x  3   Khi đó  x1  x2  Vậy  x1  3 3 3 3 2    hoặc  x1  x2  2     4 4 4     3 3  Do đó  a  9; b   và  a  b    14 ; x2  4 Câu 54 Phương trình  x  x 1    x 1  x  có tổng các nghiệm bằng  B 3  A 7  Chọn C 5  Lời giải: D 6  A x 2 x 1    x 1  x  x.2 x 1  4.2 x 1  x  x  Ta có   x1 ( x  4)  x( x  4)   ( x  4)(2 x1  x)    x   x     x  () Giải phương trình (*):  Xét hàm số  f ( x)  x  x  có  f '( x)  x ln  2;  f ''( x)  x ln 2   Suy ra phương trình  f '( x)   có duy nhất một nghiệm, suy ra phương trình  f ( x )   có nhiều nhất là hai nghiệm.  Mà ta thấy  f (1)  f (2)   nên phương trình (*) có 2 nghiệm  x  1; x    Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 7.  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Câu 55 (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Tìm số nghiệm của phương trình   x  1 e A C B x 1  log    D   Lời giải  Chọn A Tập xác định:  D     x  t 1 Đặt  t  x   1  Với  t  1  x  t       x  t  Khi đó phương trình trở thành  t 2et  log  1   Số nghiệm của phương trình  1  là số điểm chung của đồ thị hàm số  y  f  t   t et  log và  đường thẳng  y    t  (TM ) Ta có:  f   t   et t  2t  f   t       t  2 ( L)   Bảng biến thiên    Ta  có   log    log , dựa vào  bảng  biên thiên  ta  được phương  trình  1   có  2  nghiệm phân  biệt  e t1 , t2 thỏa mãn  1  t1  t2  hay phương trình đã cho có 4 nghiệm x  phân biệt  11  ; 2019    Câu 56 Tính số nghiệm của phương trình  cot x  x  trong khoảng    12  A 2019   B 2018   C   D 2020   Lời giải  Chọn B Xét phương trình  cot x  x 1   Điều kiện:  sin x   x  k , k      11  ; 2019  \ k  , với  k     Xét hàm số  f  x   2x  cot x, x    12   11   f   x   x.ln   cot x  x   ; 2019  \ k  , với  k      12  Suy  ra  hàm  số  f  x   liên  tục  và  đồng  biến  trên   11  ;   ;  ;2  ; ;  2018 ;2019      12  Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ mỗi  khoảng  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   11  ;    ta có bảng biến thiên  +) Trên khoảng    12     11  Ta có  f  2  12  11 12  11   cot    11, 0925   Do đó phương trình  f  x    vơ nghiệm trên   12   11  ;     khoảng    12  +) Trên mỗi khoảng   k ;  k  1   , k  1; 2; ; 2018 ta có bảng biến thiên    Dựa  vào  đồ  thị  hàm  số  ta  thấy  mỗi  khoảng   k ;  k  1   , k  1; 2; ;2018 phương  trình  f  x    có đúng   nghiệm. Mà có  2018  khoảng nên phương trình f  x    có đúng 2018  nghiệm.  Vậy phương trình f  x    có 2018  nghiệm.  Câu 57 Hỏi phương trình  3.2 x  4.3x  5.4 x  6.5 x  có tất cả bao nhiêu nghiệm thực ? A   B 1.  C   D   Lời giải  Chọn B x x x 2 3 4 Ta có :  3.2  4.3  5.4  6.5              5 5 5 x x x x x x x 2 3 4 Xét hàm số  f  x            ,  x     5 5 5 x x x 2 3 4 Có  f   x     ln    ln    ln  ,  x     nên  hàm  số  f  x    nghịch  biến  5 5 5 5 trên    suy ra phương trình  f  x   có nhiều nhất một nghiệm  1   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   22  176 Mặt  khác  f 1 f            nên  phương  trình  có  ít  nhất  một  nghiệm  thuộc   25  125 khoảng  1;   2   Từ  1 và     suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.  Câu 58 (SP Đồng Nai - 2019) Phương trình  2019sin x  sin x   cos2 x  có bao nhiêu nghiệm thực  trên   5 ; 2019  ?   A 2025   B 2017   C 2022   D Vô nghiệm.  Lời giải  Chọn A Xét:  2019sin x  sin x   cos2 x  2019sin x  sin x   sin x 1   Đặt:  t  sin x, t   1;1     Khi đó  1  trở thành  2019t  t   t  2019t t   t  1  2   Xét hàm số:  t  f  t   2019 t   t  , t 1;1  f  t     2019t t   t (  t ln 2019  1)   1 t2 t   t  Cho  f   t      vô nghiệm  f   t   0, t   1;1     t ln 2019       có nghiệm duy nhất  t   s inx   x  k , k  Z   mà  x   5 ; 2019   5  k  2019  5  k  2019  k   5; 2019   Kết luận: Có 2025 nghiệm thực trên   5 ; 2019    Câu 59 log7  x   (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Số nghiệm của phương trình  A 1.  B   C    x  là  D   Lời giải  Chọn A Điều kiện của phương trình:  x  4   Với  x   phương trình đã cho tương đương với phương trình  log  x    log3 x   Đặt  log  x    log x  t   t t t 3 1  x   t t t t Ta có    suy ra               1   t 7 7  x  t t 3 1 Xét hàm số  f  t         1, t     7 7 t t 3 3 1 1 Ta có  f '  t     ln      ln    0,  t     7 7 7 7 Nên  f  t   nghịch biến trên tập     Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Mà  f 1   nên phương trình có nghiệm duy nhất  t   x    Câu 60 Cho  các  số  thực  x ,  y   với  x    thỏa  mãn  e x 3 y  e xy 1  x  y  1   e xy 1  x 3 y e m  là giá trị nhỏ nhất của biểu thức  T  x  y   Mệnh đề nào sau đây là đúng?  A m   2;3   B m   1;    C m   0;1    y   Gọi  D m  1;    Lời giải  Chọn C Từ giả thiết  e  e x 3 y  x 3 y e x 3 y  e xy 1  x  y  1   e xy 1    x  y   e xy 1  Xét hàm số  f  t  = et  e  xy 1 e x 3 y  3y      xy  1  (1).  1  t  với  t    ta có  f '  t  = et  t   0, t    f  t  là hàm số  t e e đồng biến trên     Phương trình (1) có dạng  f  x  y   f   xy  1  x  y   xy   y  Khi đó  T  x  y   x   Tmin   Câu 61 (Chuyên  2x  x2  x  1  T '  1   0, x    2 x3  x  3  x  3 2.0     m   03 Vĩnh  Phúc  -  x  x    x  x  3 A    x 1 ( x  0)   x3 x 5 Số  2018)    x   x 8 x  nghiệm  của  phương  trình   là  C   Lời giải Đặt  u  x  x  ,  v  x  , phương trình đã cho viết lại là  B   D   u  v  u.8v  v.8u  u 1  8v   v  8u  1 *   Ta thấy  u   hoặc  v   thỏa mãn phương trình  *    8v 8u   Với  u   và  v   ta có  *  v u Ta thấy:  **   8u  8u    và nếu  u   thì    Do đó  VP **  0, u     Nếu  u   thì  u u  8v  8v   và nếu  v   thì    Do đó  VT  **  0, v    v v Từ đó suy ra  **  vơ nghiệm.   Nếu  v   thì  Như vậy, phương trình đã cho tương đương với  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489    x   13  x2  8x    u    x   13   v     3 x    x   Vậy, phương trình đã cho có   nghiệm.  Câu 62 (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Tích tất cả các giá trị của  x  thỏa mãn phương trình  3 x 2  3   x     3x  x    bằng  B 1.  A 2.  C 4.  Lời giải D 3.  Phương trình    3x  x   3x  x  1   3x  x      2.4 x    3x  x   2.4 x      x x 3    Xét phương trình  1 :  1  x   x    1    2 Xét phương trình    : Xét hàm  f  x   3x  x   trên     Hàm  f  x   liên tục và  f   x   3x.ln  x.ln  x    nên  f  x   là hàm đồng biến trên     Khi đó,     f  x   f 1  x   Vậy tích các nghiệm của phương trình bằng   Câu 63 (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Phương trình  e x  e trong khoảng nào?   5 3   3 A  2;  B  ;  C 1;   2 2   2 Lời giải x 1   x  2 x   có nghiệm  1  D  ;1 2  Chọn A ĐK:  x     ex  e x 1  ex  e   x2  2 x    x 1    x  1   e x   x  1  e x 1     2x 1 1    2x 1 1 *   Xét hàm số  f  t   et   t  1  với  t     f '  t   et   t  1   với mọi  t       Suy ra hàm số đồng biến trên    ;       Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   *  f  x   f   2x 1  x  2x 1   x   x  x      x      x  1 x  2x 1 x  2x 1     x   DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP CỦA MŨ VÀ LOGARIT Câu (Tham khảo 2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình  log   3x    x  bằng A C Lời giải  B D Chọn A Điều kiện xác định của phương trình là   3x   3x   x  log3   log   3x    x   3x  32 x   3x    3x Đặt  t  x , với   t  , suy ra  x  log t   Ta có phương trình  t  7t    có hai nghiệm  t1   13  13  và  t2    2 Vậy có hai nghiệm  x1 , x2  tương ứng.  Ta có  x1  x2  log t1  log t2  log t1 t2   Theo định lý Vi-ét ta có  t t2  , nên  x1  x2  log    Câu   Tích các nghiệm của phương trình  log x1  36 x  2 bằng    A   B log   C   D 1.  Lời giải  Chọn A       Ta có:  log x 1  36 x  2  2log5 x 1  36 x  2  log5 x 1  36 x    6 x  x     x 1  36 x   62 x  6.6 x     x   x  log 6  Vậy tích các nghiệm của phương trình bằng:  0.log    Câu Tổng các nghiệm của phương trình  log  – x    x  bằng  A   B 1.  C   Lời giải  D   Chọn C Điều kiện:   x    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 53 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  log   x    x   x  22  x   x   22 x  5.2 x   2x 2x  x   x   tmdk  x  2    Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là bằng    Câu   (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Số nghiệm của phương trình  log (4 x  4)  x  log (2 x 1  3) B A D C Lời giải  Chọn B   Ta có:  log (4 x  4)  x  log (2 x 1  3)  log (4 x  4)  log 2 x  log (2 x 1  3)   Điều kiện:  x 1    x  x x  log (4  4)  log 2 (2  x   x (2 x1  3)  (2 x )2  3.2 x   x1  3)      x  1(k  t/m))  x  x      4(t/m) Đối chiếu điều kiện ta thấy  x   thõa mãn. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm Câu   Gọi  S  là tập hợp tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình  log  102 x  x  Số tập  con của  S  bằng  A B C Lời giải  D   Chọn C   Xét phương trình  log  102 x  x , điều kiện   102 x   x  log  x  log   10 x  2  x  log1    Ta có  log  102 x  x   102 x  10 x  102 x  10 x     x 10     (Vì  10 x  2   vơ nghiệm)  Vậy phương trình có một nghiệm  x   thỏa mãn điều kiện. loại   Số tập con của  S  là  21    Câu Tổng tất cả các nghiệm của phương trình  log   x    x  bằng A B C Lời giải  D Chọn A Điều kiện xác định   x   x   x  log   Ta có:  Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  log   x    x   x  21 x   x  c   x1  x2    a Hơn nữa  x1  x2  x1.2 x2  Câu  22 x  6.2 x     2x (Chuyên  Thái  Bình  -  2018)  Tính  tích  tất  cả  các  nghiệm  thực  của  phương  trình     x    x  x  log     2  2x  B   A   C   D   Lời giải Điều kiện:  x     x 1   x   x    PT:   log  2  2x  Đặt  t  1   5 x2  1  x  x  2  2x 2x 2x PT trở thành  log t  2t  5              (2)     Xét hàm  f  t   log t  2t t   là hàm đồng biến nên:     f  t   f  2  t  (t/m).  Với  t   thì  Câu 2x2  1   x  x    (t/m). Vậy  x1 x2   (theo Viet ).  2x (Thi thử hội 8 trường chuyên 2019) Phương trình  log  5.2 x    x  có bao nhiêu nghiệm  nguyên dương?  A   B   C   Lời giải  D 1.  Chọn D 2 x  x   Phương trình  log 5.2 x   x  22 x  5.2 x     x   x 1 2  Vậy phương trình có một nghiệm ngun dương.   Câu  (SP  Đồng  Nai  -  2019)  Phương  trình  log   x    x   có  hai  nghiệm  thực  x1 , x2   Tính  P  x1  x2  x1 x2   A   B   C   D 11   Lời giải  Chọn A Điều kiện:   x    x   x  log    x   x  ( n) Phương trình  log   x    x   x  22  x  22 x  5.2 x     x      x  ( n) Khi đó  P  x1  x2  x1 x2    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Câu 10 Phương trình   x    log x     có hai nghiệm  x1 ,  x2  (với  x1  x2 ). Tính giá trị của biểu  thức  K  x1  x2 A K  32  log B K  18  log C K  24  log D K  32  log Lời giải  Chọn C Điều kiện:  x    2x   2x    log x   x 3  Vậy  K  x1  x2  log  3.8  24  log 2 x  5log x  3   log  x  log  x1  log    x   x2   Câu 11 Cho  biết  phương  trình  log (3x 1 1)  x  log   có  hai  nghiệm  x1 , x2   Hãy  tính  tổng  S  27  27 A S  252 x1 x2 B S  45 C S  Lời giải  D S  180 Chọn D Ta có  log (3 x1 1)  x  log  log 2(3x 1 1)  x  2.3 x1   32 x     6.3     2x x Đặt  3x  t ,   t  0 , phương trình trở thành  t  6.t    Phương trình ln có hai nghiệm  dương phân biệt.  Đặt  x1  t1 ,  3 x2  t2 ,  t1  t2  6,  t1.t2    Ta có  S  (t13  t23 )  (t1  t )3  3t1.t (t1  t )  216  3.2.6  180 Câu 12 (THPT  Yên  Dũng  2-Bắc  Giang 2019)  Tính  tích  tất  cả  các  nghiệm  thực  của  phương  trình   x   x  21x log     2  2x  A   B     Lời giải  C D 1.  Chọn C 2 x    x    Điều kiện:   x  0   2x x  x   x  21x  x  21x    2x    log x     log x    Khi đó,  log     2 2   2x  2x     2x  Đặt  t  x  1  x  , phương trình trở thành:  log t   2t ,  t    2x 2x Xét  f  t   log t ,  t   Ta có:  f   t    ,  t   nên  f  t   đồng biến trên  t.ln   2;     Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Xét  g  t    2t ,  t   Ta có:  g   t   2t.ln  ,  t   nên  g  t   nghịch biến trên    2;     Từ đó phương trình  f  t   g  t   có nhiều nhất một nghiệm  t   Ta nhận thấy  t   là   nghiệm, và đây là nghiệm duy nhất của phương trình  log t   2t  trên   2;     2 x   Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện  Suy ra  x    x2  x     2x  2 x   x  , nên đều là nghiệm của phương trình đã cho.  Tích hai nghiệm là:  2 2    2 Câu 13 Số nghiệm của phương trình  log A   B   2x   x 3  x  12 C   Lời giải  D   Chọn B Phương trình  log  2 x  2x  2x  2x x x 3 x  x         12    x  12 x  12 23 2x   4.   32    x     8 x + Với  x   x    + Với  x  8  phương trình vơ nghiệm.  Vậy phương trình đã cho có   nghiệm.     x    x  x     Câu 14 Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình  log  2  2x  A   B   C 1.  D .  Lời giải  Chọn D    x    x  x  2x2  log      x     Điều kiện   2x  2x  x  2 x     Ta có  2x 2x Xét hàm số  f  t   log t  2t  f '  t    2t ln  0, t    t ln Phương trình  f  t   log t  2t   f  t   f    t    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489     x    x  x  2x2  Vậy  log       2x2  4x      x x   Ta có phương trình  x  x    có hai nghiệm dương phân biệt có tích bằng     Câu 15 Tổng tất cả các nghiệm của phương trình  log 10 A log 2019 16   B 2log 2019 16    2019  x   2019 x   bằng  C log2019 10   D 2log2019 10   Lời giải  Chọn B  Ta có  log 10  2019  x   2019 x     10  2019  x  2019 x  16  (1)  x t  Đặt  t  2019  t    ta có PT (1) trở thành  10t  t  16    t  10t  16        t  x Với  t   ta có  2019   x  log 2019  x  log 2019   x x  log 2019  x  log 2019  Do đó tổng tất cả các nghiệm bằng  2 log 2019 2 log 2019   log 2019  log 2019      log 2019 2.8   log 2019 16   Với  t   ta có  2019   Câu 16 (THPT  Hòa  Vang  -  Đà  Nẵng  -  2018)  Biết  rằng  x x  log 14   y   y     với  x    Tính giá trị của biểu thức  P  x  y  xy    B 1.  A   C   D   Lời giải  Do  x   nên  x  x 1  x   x  22  , dấu bằng xảy ra khi  x    x x  y2  Xét hàm  f  y     y   y  1, y  1 , ta có  f   y     y     y     2y   y       y   Lập bảng biến thiên, suy ra  max f  y   16  khi  y     y   1;    Suy ra  log 14   y   y    log 16    Do đó  Câu 17 x x x   log 14   y   y      Vậy  P  x  y  xy     y  (Tốn Học Tuổi Trẻ - 2018) Phương trình   x  A 2;8   1  B  ;8   2  log8 x x log8  x  1 1 C  ;    2 8 Lời giải    có tập nghiệm là   1 D 2;     8 Điều kiện:  x    Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   4x log8 x x   4x log8 x   4x  log8 x log8  x  4    4x log8 x  4   2   log x log8  x   log   2   log8 x   log8 x     3  Đặt  t  log x    t 2  Phương trình trở thành:  t   t    t  t        3 3   t  1 1 t   log8 x   x   (nhận).  3 t  1  log x  1  x   (nhận).   1 Vậy tập nghiệm là  2;     8 Câu 18 (THPT  Yên  Lạc-  2018)  Tính  tổng  S   tất  cả  các  nghiệm  của  phương  trình:   x  3x  x 1 x ln     5.3  30 x  10     6x   A S    B S    C S  1   Lời giải D S    Điều kiện  x     Phương trình tương đương  ln  5x  3x   ln  x     5x  3x    x       ln  5x  3x    5x  3x   ln  x     x   (1).  Xét hàm sô  f  t   ln t  5t , t   Có  f '  t     ,   t  nên  f  t   đồng biến. Từ  1   t suy ra  f  5x  3x   f  x    5x  3x  x   5x  3x  x   x x x   x Xét  g  x     x  ,  g '  x   ln  ln    2 g ''  x   5x  ln   3x  ln 3  x     Nên  g '  x    có khơng q   nghiệm suy ra  g  x    có khơng q   nghiệm trên      ;       Mà  g    g 1   Vậy phương trình có nghiệm  0,1  Do đó  S    BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA17QpKlG?usp=sharing Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương   https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/  ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!   Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... lực  -? ? ĐH  -? ? Quốc  Tế  -? ? 2019)  Xét  phương? ? trình? ?  log x  1 log3 x      Mệnh? ?đề? ?nào sau đây đúng? A Phương? ?trình? ?trên vơ nghiệm.  B Phương? ?trình? ?trên có nghiệm bé hơn  1.  C Phương? ?trình? ?trên có nghiệm lớn hơn ... (Bỉm Sơn? ?-? ?Thanh Hóa? ?-? ?2019) Số nghiệm của? ?phương? ?trình? ? A 1.  B   C    x  là  D   Lời? ?giải? ? Chọn A Điều kiện của? ?phương? ?trình:   x  4   Với  x  ? ?phương? ?trình? ?đã cho tương đương với? ?phương? ?trình? ?...  Ta được? ?đáp? ?án? ?A là đúng.  Câu 63 (Chuyên? ?Thái Bình? ?-? ?2018) Số nghiệm của? ?phương? ?trình? ? log5  x 3  x  là:  A   B   C   D   Lời? ?giải? ? Đk:  x  3   Đặt  t  log  x  3  x  5t  ,? ?phương? ?trình? ?đã cho trở thành