GV: NGUYỄN QUỐC BẢO Zalo: 039.373.2038 Gmail:Tailieumontoan.com@Gmail.com Website: Tailieumontoan.com Facebook:www.facebook.com/baotoanthcs BÍ QUYẾT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC THCS Chuyên đê BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ LƯU HÀNH NỘI BỘ NGUYỄN QUỐC BẢO BÍ QUYẾT GIẢI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC & CỰC TRỊ ĐẠI SỐ ● Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, ● Giúp ôn thi vào lớp 10 chuyên toán ● Phân dạng phương pháp giải rõ ràng TỦ SÁCH CẤP 2| CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Lêi giíi thiƯu Các em học sinh thầy giáo, cô giáo thân mến ! Cuốn sách Cẩm nang chứng minh bất đẳng thức THCS tác giả biên soạn nhằm giúp em học sinh học tập tốt mơn Tốn THCS THPT sau Các tác giả cố gắng lựa chọn tập thuộc dạng điển hình, xếp thành hệ thống để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp THCS Sách viết theo chủ đề tương ứng với vấn đề quan trọng thường đề thi học sinh giỏi toán THCS, vào lớp 10 chun mơn tốn nước Mỗi chủ đề viết theo cấu trúc lý thuyết cần nhớ, dạng toán thường gặp, tập rèn luyện giúp em học sinh nắm vững kiến thức đồng thời rèn luyện kiến thức học Mỗi chủ đề có ba phần: A Kiến thức cần nhớ: Phần tóm tắt kiến thức bản, kiên thức bổ sung cần thiết để làm sở giải tập thuộc dạng chuyên đề B Một số ví dụ: Phần đưa ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng kĩ phương pháp luận mà chương trình địi hỏi Mỗi ví dụ thường có: Lời giải kèm theo nhận xét, lưu ý, bình luận phương pháp giải, sai lầm thường mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải toán, học toán C Bài tập vận dụng: Phần này, tác giả đưa hệ thống tập phân loại theo dạng tốn, tăng dần độ khó cho học sinh giỏi Có tập trích từ đề thi học sinh giỏi Toán đề vào lớp 10 chuyên Toán Các em cố gắng tự giải Các tác giả hi vong sách tài liệu có ích giúp em học sinh nâng cao trình độ lực giải tốn, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS Mặc dù có nhiều cố gắng biên soạn song sách khó tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! TỦ SÁCH CẤP 2| CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI CHỦ ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH NGHĨA A KiÕn thøc cÇn nhí ● Để chứng minh A ≥ B ta xét hiệu A – B chứng minh hiệu A – B số không âm cách dồn tổng bình phương B VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ Chứng minh với số thực x ta có: ( x − 1)( x − )( x − 3)( x − ) ≥ −1 Hướng dẫn giải Xét hiệu: A= ( x − 1)( x − )( x − 3)( x − ) − ( −1) = ( x − 1)( x − )  ( x − )( x − 3)  + = (x − 5x + )( x − 5x + ) + Đặt y = x − 5x + ta A = ( y − 1)( y + 1) + = y − + = y ≥ Vậy ( x − 1)( x − )( x − 3)( x − ) ≥ −1 Thí dụ Cho a, b số thực Chứng minh rằng: a + b + ≥ ab + a + b Hướng dẫn giải Xét hiệu: A =a + b + − ab − a − b = ( a − 2ab + b ) + ( a − 2a + 1) + ( b − 2b + 1)  = 1 2 ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1)  ≥  Vậy a + b + ≥ ab + a + b Đẳng thức xảy a = b = Thí dụ Chứng minh với số thực a, b, c ta có: a + ≥ a ( a + 1) Hướng dẫn giải Xét hiệu: A = a + − a ( a + 1) = a − a − a + | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ● Lưu ý : A2 ≥ với A ; dấu '' = '' xảy A = = a ( a − 1) − ( a − 1) = = (a − 1) (a (a − 1)( a − 1) + 1) ≥ Ta có A ≥ a + > ( a − 1) ≥ Vậy a + ≥ a ( a + 1) Dấu xảy a = a = -1 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Thí dụ Chứng minh với số thực a, b, c ta có: a + 9b + c + 19 > 2a + 12b + 4c Hướng dẫn giải Xét hiệu: 19   A =  a + 9b + c +  − ( 2a + 12b + 4c ) = 2  2 =( a − 1) + ( 3b − ) + ( c − ) + > (a − 2a + 1) + ( 9b − 12b + ) + ( c − 4c + ) + Ta có A > ( a − 1) ≥ 0, ( 3b − ) ≥ ( c − ) ≥ Vậy a + 9b + c2 + 2 19 > 2a + 12b + 4c Thí dụ Chứng minh bất đẳng thức sau với x, y không âm ( x + y ) ( x + y ) ≥ ( x + y ) Hướng dẫn giải Xét hiệu hai vế: ( x + y ) ( x + y ) − ( x + y ) = x + xy + x3 y + y − x − x y − y = xy ( y + x − xy = ) xy ( x − y ) ≥ Đẳng thức xảy x = 0, y = 0, x = y C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Chứng minh với x ta có: ( x + 1)( x + )( x + 3)( x + ) + ≥ 2) Chứng minh a, b, c ta có: a + 4b + 3c2 > 2a + 12b + 6c − 14 3) Chứng minh với x, y, z ta có: a) x + y + z ≥ xy + yz + zx 4) Chứng minh với x, y ta có: 4x + 4xy + 4y > 6y − b) x + y + z ≥ 2xy − 2xz + 2yz TỦ SÁCH CẤP 2| BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CHỦ ĐỀ A KiÕn thøc cÇn nhí Để chứng minh A ≤ B ta chứng minh A ≤ B ⇔ ⇔ C ≤ D với C ≤ D Một số bất đẳng thức cần nhớ : Với a, b, c ta có : ( ⇔ ( a − b) ≥0 ) + ) a + b + c ≥ ab + bc + ca 1 2 2   + ) ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) ≤ ( a + b + c )  ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥  2   B VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ Cho số thực a, b, c Chứng minh đẳng thức: a + b2 + c2  a + b + c  ≥  3   (1) Hướng dẫn giải a + b2 + c2  a + b + c  ≥ Ta có:  3   ⇔ ( a + b2 + c2 ) ≥ ( a + b + c ) (1) ⇔ ( a + b + c ) ≥ a + b + c + ( ab + bc + ca ) ⇔ ( a − 2ab + b ) + ( b − 2bc + c ) + ( c − 2ca + a ) ≥ ⇔ ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) ≥ 2 ( 2) Bất đẳng thức (2) Vậy bất đẳng thức (1) Đẳng thức xảy a = b = c Thí dụ Chứng minh đẳng thức ( a − b )( c − d ) ≤ ( ac − bd ) Hướng dẫn giải (1) ⇔ a 2c − a d − b2c + b2 d ≤ a 2c − 2abcd + b2 d ⇔ ≤ a d + b c − 2abcd ⇔ ≤ ( ad − bc ) Bất đẳng thức ( 3) Vậy bất đẳng thức (1) Đẳng thức xảy ad = bc | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ( 3) (1) CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC + ) 4ab ≤ ( a + b ) ≤ ( a + b ) Thí dụ Chứng minh rằng: a + b + c + d + e ≥ a (b + c + d + e) ∀a, b, c, d , e ∈ R Hướng dẫn giải Ta có: a + b + c + d + e ≥ a (b + c + d + e) ⇔ a2 a2 a2 a2 − ab + b + − ac + c + − ad + d + − ae + e ≥ 4 4 2 2 a  a  a  a  ⇔  −b +  − c +  − d  +  − e ≥ 2  2  2  2  CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Bất đẳng thức cuối phép biến đổi tương đương nên toán chứng minh a Dấu “=” xảy khi: b= c= d= Thí dụ Chứng minh với số thực a, b ta có: ( a + b ) ≥ ab3 + a b + 2a b Hướng dẫn giải Để ý với a = b có dấu đẳng thức nên ta tách số hạng để tạo nhân tử chung ( a − b ) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a − 2a b + b + a − a b + b + b − ab3 ≥ ⇔ ( a − b ) + ( a − b3 ) ( a − b ) ≥ 2 ⇔ ( a − b ) ( a + b ) + ( a + ab + b )  ≥   2 ⇔ ( a − b )  ( a + b ) + 2a + 2ab + 2b  ≥   2 2 ⇔ ( a − b ) 3 ( a + b ) + a + b  ≥   Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b Chú ý: Qua hai ví dụ ta nhận thấy biến đổi tương đương bất đẳng thức bậc ( hai thường xuất đại lượng a - b ) ; ( b - c) ; (c - a) 2 với điều kiện dấu đẳng thức xảy a = b = c Do trước biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xảy để từ có hướng hợp lí Thí dụ Cho số thực x, y dương Chứng minh rằng: a + b ≥ 12ab + ab Hướng dẫn giải Ta có: TỦ SÁCH CẤP 2| BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | 12ab + ab ⇔ ( a + b )( + ab ) ≥ 12ab ( + ab > ) a+b≥ ⇔ 9a + 9b + a b + ab ≥ 12ab ⇔ ( a b − 6ab + 9b ) + ( ab − 6ab + 9a ) ≥ ⇔ b ( a − 3) + a ( b − 3) ≥ ( ) 2 Vì a, b > nên b ( a − 3) ≥ a ( b − 3) ≥ (2) 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh, dấu “=” xảy a = b = Hướng dẫn giải a2b a + 2ab = = ; Nên ta biến đổi Để ý a = b có dấu đẳng thức, 2a + b3 2a + b sau : − ( a − b ) ( 2a + b ) − ( a − b ) a2b a + 2ab a2b a + 2ab ⇔ −1 ⇔ + ≥ − ≥ ≥ 3 3 2a + b 2a + b 2a + b 2a + b 2a + b ( 2a + b3 ) 2  2a + b  2 3 ( 2a + b3 ) − ( 2a + b ) ( 2a + b )   a b ⇔ ( a − b)  − ≥ ⇔ − ( ) 3   ( 2a + b )   2a + b ⇔ ( a − b )  2a + 2b3 − 2a b − 2ab  ≥ ⇔ ( a + b )( a − b ) ≥ Ta có bất đẳng thức chứng minh Thí dụ Cho số thực a , b không đồng thời Chứng minh rằng: 2ab a + 4b + b2 3a + 2b ≥ Hướng dẫn giải 2ab b2 = ; Nên ta ta biến đổi Dấu đẳng thức xảy với a = b , = 2 3a + 2b a + 4b 2ab b2 ≥ Tới ta quy đồng hai vế phân - + a + 4b 3a + 2b tích thành bình phương bất đẳng thức thành Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2ab a + 4b + b2 3a + 2b | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ≤ 2ab b2 ⇔ - + ≥0 5 a + 4b 3a + 2b CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC a2b a + 2ab + ≥ Thí dụ Cho số thực a, b dương Chứng minh rằng: 2a + b3 2a + b BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Hướng dẫn giải ( ) ( ) Ta có: ( ) ⇔ x + y z + y + x z + 3x y z = Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: A + A + 3A ≤ ⇔ A + A − ≤ ⇔ ( A − 1)( A + 3) ≤ ⇔ A ≤ ⇔ −1 ≤ A ≤ Vậy giá trị nhỏ A -1 số x, y, z (hoặc -1), số lại -1 Giá trị lớn A hai ba số x, y, z (hoặc -1), số ( ) ( Câu 81 Cho x, y số thực thoả mãn x x + 2y − + y − ) = Tìm giá trị lớn = x2 + y2 giá trị nhỏ biểu thức C (Trích đề thi Chun Ninh Bình năm 2013-2014) Hướng dẫn giải Ta có: ( )( x x + 2y − y − ( ) = ⇔ x + 2x y − 3x + y − 4y + = ) ⇔ x + 2x y + y − x + y + x + = ( ⇔ x2 + y2 ) ( ) − x + y + =−x ≤ ∀x Với x + y = C ta có C2 − 4C + ≤ ⇔ C2 − 4C + ≤ ⇔ ( C − ) ≤ ⇔ C − ≤ ⇔ −1 ≤ C − ≤ ⇔ ≤ C ≤ x = x = x =  x = C= 1⇔  ⇔ ; C = ⇔ ⇔    2  y = ±1  y = ± x + y = x + y = Vậy minC = x = y = ±1 ; maxC = x = y = ± Câu 82 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức 4a + (b − c)2 4b + (c − a)2 4c + (a − b)2 + + ≥ 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b (Trích đề thi Chuyên Nam Định năm 2015-2016) Hướng dẫn giải Ta có: 4a + (b − c)2 2(2a + b + c ) − (b + c)2 (b + c)2 = = − 2a + b + c 2a + b + c 2a + b + c Làm tương tự cộng lại ta bất đẳng thức tương đương với: (b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 + + ≤ 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b TỦ SÁCH CẤP 2| 312 CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI lại BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | x2 y2 ( x + y ) ≥ , ta có: Áp dụng BĐT AM-GM – Schwarz cho số dương + m n m+n (b + c)2 b2 c2 ≤ + 2a + b + c a + b a + c Ta có hai BĐT tương tự, cộng vế ta có: (b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 + + 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b  b2 c2   c2 a2   a2 b2  ≤ + + + + +     2 2 2 2 2  a + b a +c   b +c a + b  c +a c + b  =3 ⇒ BĐT cho chứng minh Dấu xảy a = b = c Câu 83 Cho a, b,c > 0; a + b + c ≥ , tìm GTNN của: A = a2 + b2 c 25 + +3 + + a b c (Trích đề thi Chun Hải Phịng năm 2016-2017) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM-Schwar ta được:  b2 c  b2 c 2 ( a + b + c ) +  (1 + + ) ≥ ( a + b + c ) ⇒ a + + ≥ a + 5  25 ( + + ) 81 25 27 + + ≥ = ⇒3 + + ≥ a b c a+b+c a+b+c a b c a+b+c Do đó: A = a2 + b2 c 25 ( a + b + c ) 27 + +3 + + ≥ + a b c a+b+c a+b+c a+b+c 27 27 a+b+c 27 27 + + + ≥ + 33 2 a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c 9 27 = + = + =15 2 Dấu “=” xảy a = 1, b = 3, c = = Vậy giá trị nhỏ A 15 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu 84 Cho a, b, c dương thỏa mãn xy + yz + zx = P= 1 + + 4x − yz + 4y − zx + 4z − xy + 2 (Trích đề thi Chuyên Nam Định năm 2016-2017) 313 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC  b2 a2   c2 b2   a c2  = + + + + + 2   2 2   2 2  a +b a +b   b +c c +b  a +c a +c  BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Hướng dẫn giải Ta có 1 = = = 2 4x − yz + 4x − yz + 2(xy + yz + zx) 4x + 2xy + yz + 2zx Tương tự, ta có S = + ( 2x + y )( 2x + z ) + ( 2x + y )( 2x + z ) ( 2y + z )( 2y + x ) ( 2z + x )( 2z + y ) yz xy xz + + ( 2xz + yz )( 2xy + yz ) ( 2xy + xz )( 2yz + xz ) ( 2yz + xy )( 2xz + xy ) Với a, b ta có ( a − b ) ≥ ⇒ ( a + b ) (a + b) ≥ 4ab ⇒ ab ≤ 2 Áp dụng bất đẳng thức ta được: S≥ yz ( 2xy + 2yz + 2zx ) + xz ( 2xy + 2yz + 2zx ) ⇒S≥ + xy ( 2xy + 2yz + 2zx ) 4 xy + yz + zx = = ( 2xy + 2yz + 2zx ) xy + yz + zx Đẳng thức xảy x= y= z= Vậy giá trị nhỏ S Câu 85 Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện ( x − y )( x − z ) = y ≠ z Chứng minh: (x − y) + ( y − z) + (z − x) ≥4 Hướng dẫn giải Ta có: (x − y) ( x − y ) += ( x − z ) ( y − z ) + ( x − y )( x − z ) (x − y) (x − z) (x − y) (x − z) ( y − z) + ( x − y )( x − z ) (x − y) (x − z) += (z − x) 2 2 2 = 2 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: ( y − z) + + ≥ (x − y) ( y − z) (z − x) (x − y) (x − z) 1 2 2 2 + + ( x − y )( x − z ) ( z − x ) TỦ SÁCH CẤP 2| 314 CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI = ⇔S 1 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | AM − GM ≥ ( x − y )( x − z ) = Câu 86 Cho x, y hai số dương Chứng minh rằng: x y+y x x+y − x+y ≤ (Trích đề thi Chuyên TP Hồ Chí Minh năm 2016-2017) Hướng dẫn giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: Cộng theo vế (1) (2): x + y + ( 1) ; (2) ; ( 3) ≥ x+ y (4) Nhân theo vế (3) (4): (x + y) + ( x + y ) ≥ xy ( x+ y ) ( 5) Chia vế (5) cho ( x + y ) được: x+ y x y +y x x+y x+y + ≥ ⇒ − ≤ (đpcm) x+y x+y Câu 87 Cho số x, y dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Dấu “=” xảy x= y= P= ( 2x + y ) +1 −1 + ( x + 2y ) +1 −1 + ( 2x + y )( x + 2y ) − 3(x + y) (Trích đề thi Chuyên Phú Thọ năm 2016-2017) Hướng dẫn giải Đặt 2x + y= a, x + 2y= b sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: = P = + a3 + − ( a + 1) ( a 2 b3 + − ) −a +1 −1 + + ab − a+b ( b + 1) ( b 2 ) −a +1 −1 + ab − a+b 2 ab 4 ab + + − = + + − 4 a +1+ a −a +1 b +1+ b −a +1 b ab a ab −1 −1 2 ab ≥ + − ab ab ≥ 315 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ≥ x y+ ≥ y x + y ≥ xy x+ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Đặt t = ab Ta chứng minh: ( t2 + − ≥ (*) t2 t ) Thật vậy: ( * ) ⇔ ( t − ) t + 4t + ≥ 2 Vậy P ≥ Dấu “=” xảy x= y= Vậy giá trị nhỏ P Câu 88 Cho số dương x, y, z Chứng minh rằng: (Trích đề thi Chuyên Bình Thuận năm 2016-2017) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM-Schwar ta có: ( ) ( xy y + yz + zx xy y + yz + zx xy ≤ ≤ x + yz + zx x + yz + zx y + yz + zx ( xy + yz + zx ) ( )( ( ) yz z + zx + xy yz Tương tự: ≤ ; y + zx + xy ( xy + yz + zx )2 ) ) ( zx x + xy + yz zx ≤ z + xy + yz ( xy + yz + zx )2 ( ) ) x + y + z ( xy + yz + zx ) x + y + z xy yz zx Suy + + ≤ = xy + yz + zx x + yz + zx y + zx + xy z + xy + yz ( xy + yz + zx ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z Câu 89 Cho hai số thực a, b lớn Chứng minh rằng: a b −1 + b a −1 + 3ab + ≥ 11 (Trích đề thi Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu năm 2016-2017) Hướng dẫn giải Ta có: a b − ≤ a b − + ab = 2 Tương tự: b a − ≤ b a − + ab 6 = ⇒ ≥ 2 a b − + b a − ab Dấu “=” xảy a= b= 6 18 Q= + 3ab + ≥ + 3ab + = + 3ab + ab 3ab a b −1 + b a −1 Đặt y = Q≥ 3ab + ⇒ 3ab = y − Khi đó: AM − GM 18 18 3 11 y (y 2) (y 2) +1 = + + − + + + ≥ 3 18 = (y + 2)(y − 2) 4 4 y −4 TỦ SÁCH CẤP 2| 316 CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI xy yz x2 + y2 + z2 zx + + ≤ x + yz + zx y + zx + xy z + xy + yz xy + yz + zx BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Dấu “=” xảy y = hay a= b= Câu 90 Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= a + 6a + b + 6b + c + 6c + + + a2 + a b2 + b c2 + c (Trích đề thi Chuyên Bắc Ninh năm 2016-2017) Hướng dẫn giải a + 6a + = a2 + a ( 3a ) + + 6a − 2a a2 + a AM − GM ≥ 6a + 6a − 2a 12a − 2a 14 = = −2 2 a +1 a +a a +a b + 6b + 14 c + 6c + 14 ≥ −2; ≥ −2 Tương tự: b+1 c+1 b2 + b c2 + c Cộng theo vế sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số ta được: a + 6a + b + 6b + c + 6c +  1  + + ≥ 14  + + −6 2 a +a b +b c +c  a +1 b+1 c +1 9 ≥ 14 − ≥ 14 −6 = 15 a+b+c+3 3+3 Dấu “=” xảy a = b = c = = M Câu 91 Cho x, y số thực dương nhỏ 1.Tìm giá trị lớn biểu thức: Q= xy ( − x − y ) ( x + y )(1 − x )(1 − y ) (Trích đề thi Chuyên Tây Ninh năm 2017-2018) Hướng dẫn giải Ta có: x+y x+y x+y ( x + y )( − x )( − y ) ( x + y )( − x − y + xy ) x + y = = = + = + Q xy − x − y xy − ( x + y ) xy ( − x − y ) xy ( − x − y ) Đặt t = x + y, ta được: (x + y) x+y x+y x+y x+y 4 t = + ≥ + = + = + Q xy − ( x + y ) ( x + y ) − (x + y) x + y − (x + y) t − t Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được: ( + 1) − = − = ⇒ Q ≤ 1 t 22 = + = + −1≥ Q t 1− t t 1− t t +1− t Dấu “=” xảy x= y= Vậy giá trị lớn Q Câu 92 Cho số dương a, b, c thỏa mãn: 317 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC 2017 2018 + + ≤1 + a 2017 + b 2018 + c CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC Ta có: BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = abc (Trích đề thi Chuyên Hà Tĩnh năm 2017-2018) Hướng dẫn giải Ta có: 2017 2018 2018 2017 + + ≤ 1⇒ 1− ≥ + + a 2017 + b 2018 + c 2018 + c + a 2017 + b AM − GM c 2017 2017 ⇔ ≥ + ≥ 2018 + c + a 2017 + b + a 2017 + b b 2018 a 2017 2018 ≥2 ; ≥2 2017 + b + a 2018 + c + a 2017 + b 2018 + c Nhân theo vế ta được: abc 2017.2018 ≥8 ⇔ abc ≥ 8.2017.2018 ( a + 1)( 2017 + b )( 2018 + c ) ( a + 1)( 2017 + b )( 2018 + c ) Dấu “=” xảy khi= a 1,= b 2017,c = 2018 Vậy giá trị lớn P 8.2017.2018 Câu 93 Cho số thực dương x, y thỏa mãn xy + x = x 4x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = + + 15xy y 3y (Trích đề thi Chuyên Bắc Giang năm 2017-2018) Hướng dẫn giải Tách áp dụng BĐT AM-GM ta được: P= y x x 4 + + + 3xy + 12xy + − x y 3y 3 ≥2 y x x 4 + .3xy + 12xy − x y 3y 3 ≥ + 2x + xy − 2 x = + xy = 2x + + xy ≥ 2x + xy = 4 3 3 Dấu “=” xảy x= y= 3 Câu 94 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh rằng: x + 2xy + 4xyz ≤ (Trích đề thi Chuyên Nam Định năm 2019-2020) Hướng dẫn giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: TỦ SÁCH CẤP 2| 318 CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Tương tự: BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP |  1 x + 2xy + 4xyz =+ x x.4y  z +  2   1 3 1 ≤ x + x  y + z +  = x + x  − x +  2 2  2 =+ x x ( − x ) =− x + x (2 − x) + 2 ( ) = ( x − ) + x − 2x + =( x − )( x − 1) + 2 Do x + y + z = ⇒ < x < ⇒ x − < Vì thế: x + 2xy + 4xyz ≤ ( x − )( x − 1) + ≤ (đpcm) = ,z Dấu “=” xảy khi= x 1,= y Câu 95 Cho số dương a, b, c Chứng minh: a b c a+b+c + + + ≥4 b c a a + b + c (Trích đề thi Chuyên Hà Nam năm 2019-2020) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được: ( a + b + c ) + ab + bc + ca a b2 c a+b+c VT = + + + ≥ ab bc ca a + b + c ab + bc + ca a + b2 + c 2 a + b2 + c ab + bc + ca = +2+ ab + bc + ca a + b2 + c  a + b2 + c ab + bc + ca ab + bc + ca  a + b2 + c =  + + + +2   ( ab + bc + ca ) a + b + c 2 a + b + c  ( ab + bc + ca )   Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số ta được: VT ≥ 3 = a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca + +2 ( ab + bc + ca ) a + b + c 2 a + b + c 2 + + = ( dpcm ) 2 Đẳng thức xảy a = b = c Câu 96 Cho số dương a, b, c thỏa mãn: abc ≥ Chứng minh rằng: a b + ac + b c + ab + c a + bc ≥ (Trích đề thi Chuyên Vĩnh Phúc năm 2019-2020) Hướng dẫn giải 319 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Ta có: a + c a + 2b + c a + 2b + c ⇒ b + ac ≤ b + ac ≤ b += 2 2 a a 2 2a 2a ⇒ ≥ ⇒ ≥ = ≥ a + 2b + c a + 2b + c ( a + 2b + c ) a + 2b + c + b + ac b + ac Mặt khác: 4 2a 12 2a a + b + c) ≥ ⇒ ≥ ( a + 2b + c + 7a + 10b + 7c a + b + c ≥ 3 abc ≥ ⇒   a b c + + VT ≥ 12    7a + 10b + 7c 7b + 10c + 7a 10a + 7b + 7c  (a + b + c ) + c ) + 17 ( ab + bc + ca ) ≥ 12 ( a + b2 Mặt khác: ( ) a + b + c ≥ ab + bc + ca ⇒ a + b + c + 17 ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) ⇒ ( 12 ( a + b + c ) ) a + b + c + 17 ( ab + bc + ca ) 2 ≥ 12 ( a + b + c ) (a + b + c ) 2 = ( dpcm ) 2 Dấu “=” xảy a = b = c = Câu 97 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: (1 + a ) P= + b2 + ab + a + (1 + b ) + + c2 + bc + b + (1 + c ) + + a2 + ca + c + (Trích đề thi Chuyên Quảng Nam năm 2019-2020) Hướng dẫn giải Ta có: (1 + a ) + b2 + ab + a + a + b + 2a + 2ab + 2a + ( ab + a + ) − 2 = ≥ = = 2− ab + a + ab + a + ab + a + ab + a + (1 + b ) Tương tự: + c2 + bc + b + ≥ 2− ; bc + b + (1 + c ) + a2 + ca + c + ≥ 2− ca + c +  1  + + Do đó: P ≥ −   = − 2Q  ab + a + bc + b + ca + c +  Với x, y dương ta có: (x − y) ≥ ⇔ ( x + y ) ≥ 4xy ⇔ x+y 1 11 1 ≤ ⇔ ≤  +  (*) x + y 4xy x+y 4x y TỦ SÁCH CẤP 2| 320 CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Do đó: BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Dấu “=” xảy x = y Áp dụng (*) ta được: Tương tự: = ab + a + ≤ bc + b + ≤ ( ab + a + 1) + 1 1 +    ab + a +  1 1 + ; ≤   bc + b +  ca + c + 1 1 +    ca + c +  Do đó:  1 c ac = + + + 1 6−   abc + ac + c bc.ac + abc + ca + c +   1 c ac = + + + 1 6−   ca + c + ca + c + ca + c +  = − 2 =5 Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P Tìm giá trị nhỏ Câu 98 Cho x; y; z ba số thực dương thỏa mãn x(x − z) + y(y − z) = biểu thức P = y3 x2 + y2 + x3 + + x+y x2 + z2 y2 + z2 (Trích đề thi Chun Hải Phịng năm 2019-2020) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi x3 xz xz z = − ≥ − = x− x x 2 2 2xz x +z x +z y3 x2 + y2 + z ≥ y − Suy P ≥ x + y − z + Tương tự x+y y + z2 Theo gt z = x2 + y2 ⇒P ≥ x+y+ ≥ x+y x+y Vậy Pmin = ⇔ x = y = z = Câu 99 Với x, y cá số thực thỏa mãn ( + x )( y − 1) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= x + 4x + 6x + 4x + + y − 8y + 24y − 32y + 17 (Trích đề thi Chuyên Hưng Yên năm 2019-2020) Hướng dẫn giải Ta có: 321 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC   1 1 1 1 + + +  ⇒ 2Q = + + + 1 Q≤    ab + a + bc + b + ca + c +   ab + a + bc + b + ca + c +   1 1 ⇒P ≥6−  + + + 1  ab + a + bc + b + ca + c +  BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | A= = x + 4x + 6x + 4x + + y − 8y + 24y − 32y + 17 + ( x + 1) + + ( y − ) 4 x 1, b =− y , ta A = + a + + b Đặt a =+ Từ giả thiết ta được: ( a + 1)( b + 1) = ⇔ a + b + ab = 4 Theo AM – GM ta có: a + b ≥ 2ab ⇒ a + b ≥ ab ( ) (2) a + b ≥ a + b + ab − = − = ⇒ a + b ≥ 2 4 Áp dụng bất đẳng thức Minicopski ta được: Cộng theo vế (1) (2) ta được: A= + a + + b4 ≥ ( ( + 1) + ( a ) + b2 ) = (a + b2 ) +4 1 17 ≥   +4 = 2 1 Dấu “=” xảy a = b= ⇔x= − ,y = 2 Vậy giá trị nhỏ A 17 Câu 100 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 2x + y + z 2y + z + x 2z + x + y Chứng minh + + ≥ 4xyz − yz − zx − xy (Trích đề thi HSG tỉnh Phú Thọ năm 2014-2015) Hướng dẫn giải 2 Chứng minh được: x + y + z ≥ x ( y + z ) 2 2 2 Tương tự ta có y + z + x ≥ y ( z + x ) , z + x + y ≥ z ( x + y ) Do ta chứng minh x ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y) + + ≥ xyz − yz − zx − xy Bất đẳng thức tương đương với y+z z+x x+y + + ≥ ( − yz ) yz ( − zx ) zx ( − xy ) xy TỦ SÁCH CẤP 2| 322 CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI  4a + ≥ 4a ⇒ a + b ≥ a + b − (1)  2 4b + ≥ 4b BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | yz y+z ≥ = , dễ có ( − yz ) yz − yz + yz yz − yz yz + yz Ta có ( ( 0< 2− Vậy nên )( ) ( yz ) yz =− ( xy − 1) + ≤ nên (2 − ) y+z , tương tự có ≥ ( − yz ) yz + yz yz ) ( ( yz + yz ) ) ≥ + yz z+x ≥ ( − zx ) zx + zx x+ y ≥ ( − xy ) xy + xy 1 y+z z+x x+y + + ≥ + + ( − yz ) yz ( − zx ) zx ( − xy ) xy + xy + yz + zx Với a, b, c>0 có ( a + b + c )  1 1 a b b c c a + +  = +  +  +  +  +  +  ≥ + + + = nên a b c b a c b a c 1 (*) + + ≥ a b c a+b+c Áp dụng (*) ta có (Vì Vậy + xy xy + yz + zx ≤ + + yz + + zx ≥ + xy + yz + zx x+ y y+z z+x + + = x + y + z = ) 2 y+z z+x x+y + + ≥ ( − yz ) yz ( − zx ) zx ( − xy ) xy Do ta có 2x2 + y + z 2 y + z + x2 2z + x2 + y + + ≥ xyz − yz − zx − xy Đẳng thức xảy x= y= z= 323 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC ≥ 1; CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC Do BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Mơc lơc Trang Lời nói đầu Chủ đề Phương pháp dùng định nghĩa chứng minh bất đẳng thức Chủ đề Phương pháp biến đổi tương đương chứng minh bất đẳng thức Chủ đề Phương pháp phản chứng chứng minh bất đẳng thức 13 Chủ đề Phương pháp tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức 23 Chủ đề Sử dụng tính chất tỷ số chứng minh bất đẳng thức 36 Chủ đề Phương pháp làm trội, làm giảm chứng minh bất đẳng thức 40 Chủ đề Phương pháp quy nạp toán học chứng minh bất đẳng thức 49 Chủ đề Chứng minh bất đẳng thức dãy số bất đẳng thức cổ điển 56 Chủ đề Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) 58 Chủ đề 10 Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky 117 Chủ đề 11 Bất đẳng thức có biến đoạn 135 Chủ đề 12 Kĩ thuật đồng bậc hóa chứng minh bất đẳng thức 142 Chủ đề 13 Kĩ thuật chuẩn hóa chứng minh bất đẳng thức 150 Chủ đề 14 Sử dụng đẳng thức chứng minh bất đẳng thức 158 Chủ đề 15 Sử dụng nguyên lý Dirichlet chứng minh bất đẳng thức 179 Chủ đề 16 Sắp xếp biến chứng minh bất đẳng thức 182 Chủ đề 17 Sử dụng hàm số bậc chứng minh bất đẳng thức 188 Chủ đề 18 Phương pháp dồn biến chứng minh bất đẳng thức 192 Chủ đề 19 Phương pháp hình học chứng minh bất đẳng thức 199 Chủ đề 20 Phương pháp đổi biến chứng minh bất đẳng thức 208 Chủ đề 21 Cực trị biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối 242 Chủ đề 22 Phương pháp hệ số bất định chứng minh bất đẳng thức 247 Phần II TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY THCS 264 Mục Lục 324 Tài liệu kham khảo 324 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC 325 CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC Phần I CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TÀI LIỆU KHAM KHẢO EE Vrosovo, NS Denisova, Thực hành giải tốn sơ cấp, người dịch Hồng Thị Thanh Liêm, Nguyễn Thị Ninh, Nguyễn Văn Quyết, NXBGD, 1986 Lê Duy Thiện , Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski để giải toán cực trị đại số, Sáng kiến kinh nghiệm 2009, Trường THPT Lang Chánh, Thanh Hóa Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ, Bất đẳng thức AM - GM, Trung tâm bồi dưỡng kiến thức Quang Minh, Thành phố Hồ Chí Minh CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Nguyễn Việt Hải, Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức AM-GM (AM - GM), Trường THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước Nguyễn Văn Mậu, Bài giảng Chuyên đề đẳng thức bất đẳng thức, Chương trình bồi dưỡng chun đề tốn, Hà Nội, 11/12/2009 Nguyễn Ngọc Sang, Phương pháp chứng minh bất đẳng thức AM - GM, Sáng kiến kinh nghiệm 2009, Trường THPT Nguyễn Huệ, Thanh Hóa Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất Tri thức Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn, Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, Nhà xuất Hà Nội, 2004 10 Nguyễn Văn Dũng, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Phương pháp giải toán bất đẳng thức, cực trị, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội 11 www.tailieumontoan.com TỦ SÁCH CẤP 2| 235 TỦ SÁCH TOÁN CẤP MỌI Ý KIẾN THẮC MẮC XIN VUI LÒNG GỬI VỀ ĐỊA CHỈ NGUYỄN QUỐC BẢO Zalo: 039.373.2038 Tailieumontoan.com@gmail.com Website: Tailieumontoan.com ... cx + 2ax += b 21 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC Từ bất đẳng thức (1) bất đẳng thức (2) ta có 4) Chứng minh ba bất đẳng thức sau đây, có bất đẳng thức đúng: a + b 2 (b + c ) >... NANG BẤT ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC Vậy điều giả sử xẩy ra, tức toán chứng minh Hai bất đẳng thức mâu thuẫn với Do xẩy a < c , tức ta có bất đẳng thức a ≥ c Hồn toàn tương tự ta chứng minh. .. =− x2 )(1 − y )(1 − z ) bất đẳng 2 thức cần chứng minh x + y + z ≥ Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh sai, tức ta có bất đẳng thức x + y + z < Khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta ( ) ( )(