Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1: Các toán thực phép tính: Các kiến thức vận dụng: - Tính chất phép cộng , phép nhân - Các phép toán lũy thừa: an = a.a a ; am.an = am+n ; am : an = am –n ( a  0, m  n) n a b (am)n = am.n ; ( a.b)n = an bn ; ( )n  an (b  0) bn Một số tốn : Bài 1: a) Tính tổng : 1+ + +… + n , 1+ + +… + (2n -1) b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1) 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) Với n số tự nhiên khác không HD : a) 1+2 + + + n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2 b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1) = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + … + n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n(n+1)(n+2)] : = n(n+ 1)(n+2) :3 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: = n(n+1)(n+2)(n+3) : Tổng quát: Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +… + an c c c với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = k    a1.a2 a2 a3 an1.an HD: a) S = 1+ a + a2 +… + an  aS = a + a2 +… + an + an+1 Ta có : aS – S = an+1 –  ( a – 1) S = an+1 – Nếu a =  S = n a n 1  Nếu a khác , suy S = a 1 c c 1 b) Áp dụng  (  ) với b – a = k a.b k a b c 1 c 1 c 1  ) Ta có : A = (  )  (  )   ( k a1 a2 k a2 a3 k an 1 an b) Tính tổng : A = c 1 1 1 (       ) k a1 a2 a2 a3 an1 an c 1 = (  ) k a1 an = Bài : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + … + n2 b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + … + n3 HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): b) 13 + 23 + 33 + … + n3 = ( n(n+1):2)2 Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Bài 3: Thực phép tính: a) A = ( b) B  HD : A = Bài 4: 1 1      49     ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 212.35  46.92  3   510.73  255.492 125.7   59.143 9 ;B= 28 1, Tính: 1   P = 2003 2004 2005 5   2003 2004 2005  2   2002 2003 2004 3   2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 3   0,375  0,3    1,5   0,75  11 12  : 1890  115 Bài 5: a) TÝnh A     2,5   1,25  0,625  0,5    2005   11 12   1 1 1 b) Cho B       2004  2005 3 3 3 Chøng minh r»ng B  5   46 13   10  230 27 6 25 Bài 6: a) Tính :  2  10   1   : 12  14  7  10   1 1     2012 b) TÝnh P  2011 2010 2009     2011 HD: Nhận thấy 2011 + = 2010+2 = … 2012 2010 1     2011 2011 1 1 2012 2012 )  2012     2011 = 2012(     2012 2011 1 1 1 (1     99  100 )    (63 1,2  21 3,6) 2 9 c) A       99  100  MS   Bài 7: a) Tính giá trị biểu thức: Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8,  11   2 1 31  15  19   14  31   1 A   1 1 93  50     12      1 1 b) Chứng tỏ rằng: B        2 3 2004 2004 Bài 8: a) Tính giá trị biểu thức:    81,624 :  4,505   125   A 2  11      13 : , 88  , 53  ( , 75 )     : 25       25  b) Chứng minh tổng: S 1 1 1     n   n   2002  2004  0,2 2 2 2 2 Chun đề 2: Bài tốn tính chất dãy tỉ số nhau: Kiến thức vận dụng : a c   a.d  b.c b d a c e abe a c e -Nếu      với gt tỉ số dều có nghĩa b d f bd  f b d f a c e - Có   = k Thì a = bk, c = d k, e = fk b d f - Bài tập vận dụng Dạng Vận dụng tính chất dãy tỉ số để chứng minh đẳng thức a2  c2 a a c  Chứng minh rằng: 2  b c b c b a c HD: Từ  suy c2  a.b c b a  c a  a.b 2  b c b  a.b a ( a  b) a  = b( a  b) b Bài 2: Cho a,b,c  R a,b,c  thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: (a  2012b) a = (b  2012c) c Bài 1: Cho HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac = a( a + 2.2012.b + 20122.c) (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2 = c( a + 2.2012.b + 20122.c) Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, (a  2012b) a Suy : = (b  2012c) c Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu 5a  3b 5c  3d a c th×   5a  3b 5c  3d b d a c   k  a = kb, c = kd b d 5c  3d d (5k  3) 5k  5a  3b b(5k  3) 5k      Suy : 5c  3d d (5k  3) 5k  5a  3b b(5k  3) 5k  5a  3b 5c  3d Vậy  5a  3b 5c  3d HD : Đặt a  b ab Bài 4: BiÕt 2  với a,b,c, d  Chứng minh : c d cd a c a d   b d b c 2 a b ab 2ab a  2ab  b (a  b)2 ab    ( ) (1) HD : Ta có 2 = 2 c d cd 2cd c  2cd  d (c  d ) cd a  b ab 2ab a  2ab  b (a  b)2 a b    ( ) (2) = 2 2 c d cd 2cd c  2cd  d (c  d ) cd a b a b c  d  c  d ab a b Từ (1) (2) suy : ( ) ( )  cd cd a b  ba  c  d d  c Xét TH đến đpcm a c Chøng minh r»ng:  b d ab a  b a  b2 ab  vµ    cd c  d c2  d cd  a c HD : Xuất phát từ  biến đổi theo b d ab a  b a c a  b ab     ( ) hướng làm xuất 2 cd c  d b d c d cd Bài : Cho tØ lÖ thøc Bài : Cho dãy tỉ số nhau: 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d ab bc cd d a Tính M     cd d a ab bc 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d HD : Từ    a b c d 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d Suy : 1  1  1  1 a b c d abcd abcd abcd abcd     a b c d Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Nếu a + b + c + d =  a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d)  M  ab bc cd d a = -4    cd d a ab bc Nếu a + b + c + d   a = b = c = d  M  ab bc cd d a =4    cd d a ab bc Bài : a) Chứng minh rằng: x y z   a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c a b c Thì   x  y  z 2x  y  z 4x  y  z Nếu a b c abc a Chứng minh:      b c d d bcd  b) Cho: a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c x y z      x y z a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c a  2b  c 2(2a  b  c) 4a  4b  c a     (1) x 2y z x  2y  z 2(a  2b  c) (2a  b  c) 4a  4b  c b    (2) 2x y z 2x  y  z 4(a  2b  c) 4(2a  b  c) 4a  4b  c c    (3) 4x 4y z 4x  y  z a b c Từ (1) ;(2) (3) suy :   x  y  z 2x  y  z 4x  y  z x y z t Bài 8: Cho    y z t z t  x t  x y x y z HD : a) Từ chứng minh biểu thức sau có giá trị nguyên x y y z z t t  x    z t t  x x y y z y z t z t  x t  x y x y z x y z t     HD Từ    x y z t y z t z t  x t  x y x y z y z t z t  x tx y x yz  1  1  1  1 x y z t x y  z t z t  x y t  x y  z x y  z t     x y z t P Nếu x + y + z + t = P = - Nếu x + y + z + t  x = y = z = t  P = Bài : Cho số x , y , z khác thỏa mãn điều kiện : yzx zx y x yz   x y z  x y z Hãy tính giá trị biểu thức : B = 1   1   1   y  z  x   Bài 10 : a) Cho số a,b,c,d khác Tính Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 x2010  y 2010  z 2010  t 2010 x2010 y 2010 z 2010 t 2010     Biết x,y,z,t thỏa mãn: a  b2  c  d a b c d b) Tìm số tự nhiên M nhỏ có chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c +d = e + f a 14 c 11 e 13 ;  ;   b 22 d 13 f 17 a b c c) Cho số a, b, c thỏa mãn :   2009 2010 2011 Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* Tính giá trị biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2 Một số tương tự Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2012a  b  c  d a  2012b  c  d a  b  2012c  d a  b  c  2012d    a b c d ab bc cd d a TÝnh M     cd d a ab bc Bài 12: Cho số x , y , z, t khác thỏa mãn điều kiện : y  z  t  nx z  t  x  ny t  x  y  nz x  y  z  nt    ( n số tự nhiên) x y z t x + y + z + t = 2012 Tính giá trị biểu thức P = x + 2y – 3z + t Dạng : Vận dụng tính chất dãy tỉ số để tìm x,y,z,… 1+3y 1+5y 1+7y   Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết : 12 5x 4x HD : Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 1+3y 1+5y 1+7y  7y   5y 2y  5y   3y 2y       12 5x 4x 4x  5x x 5x  12 5x  12 2y 2y => với y = thay vào không thỏa mãn  x x  12 Nếu y khác => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào ta được: 1 1 3y y    y =>1+ 3y = -12y => = -15y => y = 15 12 2 1 Vậy x = 2, y = thoả mãn đề 15 Bài : Cho a b c   a + b + c ≠ 0; a = 2012 b c a Tính b, c Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, HD : từ a b c abc      a = b = c = 2012 b c a a bc Bài : Tìm số x,y,z biết : y  x 1 x  z  x  y     x y z x yz HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số nhau: y  x  x  z  x  y  2( x  y  z )    2 (vì x+y+z  0) x y z ( x  y  z) x yz Suy : x + y + z = 0,5 từ tìm x, y, z 1 y 1 y 1 y   18 24 6x  y  y  y 2(1  y)  (1  y)  y   y  (1  y) HD : Từ     18 24 6x 2.18  24 18  24  x 1 Suy :   x  6x x y z Bài 6: T×m x, y, z biÕt: (x, y, z  )    x yz z  y 1 x  z 1 x  y  x y z x yz    x y z   HD : Từ z  y 1 x  z 1 x  y  2( x  y  z ) 1 1 Từ x + y + z =  x + y = - z , y +z = - x , z + x = - y thay vào đẳng thức ban 2 2 Bài : Tìm x, biết rằng: đầu để tìm x 3x y 3z vµ x  y  z    64 216 2x 1 y  2x  y  Bài : Tìm x , y biết :   7x Bài : T×m x, y, z biÕt Chun đề 3: Vận dụng tính chất phép tốn để tìm x, y Kiến thức vận dụng : - Tính chất phép tốn cộng, nhân số thực - Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế  A, A  - Tính chất giá trị tuyệt đối : A  với A ; A     A, A  - Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : A  B  A  B dấu ‘=’ xẩy AB  0; A  B  A  B dấu ‘= ‘ xẩy A,B >0 A  m A  m A m (m  0) ; A  m   (hay  m  A  m) với m >  A  m  A  m - Tính chất lũy thừa số thực : A2n  với A ; - A2n  với A Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Am = An  m = n; An = Bn  A = B (nếu n lẻ ) A =  B ( n chẵn) 0< A < B  An < Bn ; Bài tập vận dụng Dạng 1: Các toán Bài 1: Tìm x biết a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 b) x 1 x  x  x     2011 2010 2009 2008 HD : a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013  x(  x + + + ….+ 2011) = 2012.2013 2011.2012 2.2013  2012.2013  x  2011 b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4 Từ  x 1 x  x  x     2011 2010 2009 2008 ( x  2012)  2011 ( x  2012)  2010 ( x  2012)  2009 ( x  2012)  2008    2011 2010 2009 2008 x  2012 x  2012 x  2012 x  2012     2 2011 2010 2009 2008 1 1  ( x  2012)(    )  2 2011 2010 2009 2008 1 1  x  2 : (    )  2012 2011 2010 2009 2008  Bài Tìm x nguyên biết a) 1 1 49      1.3 3.5 5.7 (2 x  1)(2 x  1) 99 b) 1- + 32 – 33 + ….+ (-3)x = 91006  Dạng : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối  Dạng : x  a  x  b x  a  x  b  x  c Khi giải cần tìm giá trị x để GTTĐ khơng, so sánh giá trị để chia khoảng giá trị x ( so sánh –a –b) Bài : Tìm x biết : a) x  2011  x  2012 b) x  2010  x  2011  2012 Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, HD : a) x  2011  x  2012 (1) VT = x  2011  0, x nên VP = x – 2012   x  2012 (*)  x  2011  x  2012  2011  2012(vôly )  Từ (1)    x  2011  2012  x  x  (2011  2012) : Kết hợp (*)  x = 4023:2 b) x  2010  x  2011  2012 (1) Nếu x  2010 từ (1) suy : 2010 – x + 2011 – x = 2012  x = 2009 :2 (lấy) Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay = 2012 (loại) Nếu x  2011 từ (1) suy : x – 2010 + x – 2011 = 2012  x = 6033:2(lấy) Vậy giá trị x : 2009 :2 6033:2 Một số tương tự: Bài : a) T×m x biÕt x   x   b) T×m x biÕt: x  x   x  c) T×m x biÕt: 2x    x  Bài : a)Tìm giá trị x để: x  x   3x b) Tìm x biết: x   x   x Bài : tìm x biết : a) x 1  b) x  2011  2012 Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối Bài : a) Tìm x ngyên biết : x 1  x   x   x   b) Tìm x biết : x  2010  x  2012  x  2014  HD : a) ta có x 1  x   x   x   x 1   x  x    x  (1) Mà x 1  x   x   x   suy ( 1) xẩy dấu “=” 1  x    x  x nguyên nên x  {3;4;5} 3  x  Hay  b) ta có x  2010  x  2012  x  2014  x  2010  2014  x  x  2012  (*) Mà x  2010  x  2012  x  2014  nên (*) xẩy dấu “=”  x  2012   x  2012 2010  x  2014 Suy ra:  Các tương tự Bài : Tìm x nguyên biết : x 1  x    x 100  2500 Bài : Tìm x biết x   x    x  100  605x Bi : Tìm x, y thoả mÃn: x   x   y   x  = Bài : Tìm x, y biết : x  2006 y  x  2012  HD : ta có x  2006 y  với x,y x  2012  với x Suy : x  2006 y  x  2012  với x,y mà x  2006 y  x  2012  Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, x  y   x  2006 y  x  2012     x  2012, y   x  2012  Bài : Tìm số nguyên x thoả mÃn 2004 x   x 10  x  101  x  990  x  1000 Dạng chứa lũy thừa số hữu tỉ Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết : a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 HD : a) 5x + 5x+2 = 650  5x ( 1+ 52) = 650  5x = 25  x = b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162  3x -1(1 + 5) = 162  3x – = 27  x = Bài : Tìm số tự nhiên x, y , biết: a) 2x + 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y 22 x y   x 1  y  x x 1 3x Nhận thấy : ( 2, 3) =  x – = y-x =  x = y = b) 10x : 5y = 20y  10x = 102y  x = 2y HD : a) 2x + 3y = 12x  Bài : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256 HD: a) 2m + 2n = 2m +n  2m + n – 2m – 2n =  2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 2n    (2 -1)(2 – 1) =   m  m  n 1 2   b) 2m – 2n = 256  2n ( 2m – n - 1) = 28 Dễ thấy m  n, ta xét trường hợp : + Nếu m – n =  n = , m = + Nếu m – n  2m – n – số lẻ lớn 1, VT chứa TSNT khác 2, mà m n VT chứa TSNT suy TH không xẩy : n = , m = Bài : Tìm x , biết :  x   x 1   x  7 x 11 0 HD :  x  7 x 1   x  7   x  7 x 11 0 1   x  10     10  x 1    x  7 1 x  7         x7  x10      x70 x7   ( x7)10 1  xx  86 1( x7)10 0    x 1 Bài : Tìm x, y biết : x  2011y  ( y 1)2012  HD : ta có x  2011y  với x,y (y – 1)2012  với y Suy : x  2011y  ( y 1)2012  với x,y Mà x  2011y  ( y 1)2012   x  2011 y     x  2011, y   y 1  Các tập tương tự : 10 Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Bài : Với a, b, c số dương Chứng minh a a b 1 b c b) (a  b  c)(   )  (2) a) (a  b)(  )  (1) a b HD : a) Cách : Từ (a  b)(  )   (a  b)2  4ab  (a  b)2  (*) Do (*) suy (1) Cách 2: Ta có a  b  ab 1 1 2  (a  b)(  )  ab   4 a b a b ab ab Dấu “ =” xẩy a = b a b c b) Ta có : (a  b  c)(   )   Lại có bc a c a b a b b c a c    3 (  )  (  )  (  ) a b c b a c b c a a b b c a c   2;   2;   b a c b c a a b c Suy (a  b  c)(   )      Dấu “ = ” xẩy a = b = c Bài : a) Cho z, y, z số dương Chứng minh rằng: x y z    2x  y  z y  z  x 2z  x  y b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: ab  bc  ca  HD : b) Tính ( a + b + c)2 từ cm ab  bc  ca  Chuyên đề : Các toán đa thức ẩn Bài : Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0) Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = , P( 2) = 120 Tính P(3) HD : ta có P(1) = 100  a + b + c + d = 100 P(-1) = 50  - a + b – c + d = 50 P( 0) =  d = P(2) = 8a + 4b + c + d = 120 Từ tìm c, d, a XĐ P(x) Bài : Cho f ( x)  ax2  bx  c với a, b, c số hữu tỉ Chứng tỏ rằng: f (2) f (3)  Biết 13a  b  2c  HD : f( -2) = 4a – 2b + c f(3) = 9a + 3b + c  f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c) Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c =  ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c) Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2  Bài Cho đa thức f ( x)  ax2  bx  c với a, b, c số thực Biết f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên 18 Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên  c , a + b + c 4a + 2b + c nguên  a + b 4a + 2b = (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyên  2a , 2b nguyên Bài Chứng minh rằng: f(x)  ax3  bx2  cx  d có giá trị nguyên với x nguyên 6a, 2b, a + b + c d số nguyên HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d Nếu f(x) có giá trị nguyên với x  d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d số nguyên Do d nguyên  a + b + c nguyên (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyên  2b nguyên  6a nguyên Chiều ngược lại cm tương tự Bài : Tìm tổng hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = (3  x  x )2004 (3  x  x )2005 HD : Giả sử A( x) = ao + a1x + a2x2 + … + a4018x4018 Khi A(1) = ao + a1 +a2 + …….+ a4018 A(1) = nên ao + a1 +a2 + …….+ a4018 = Bài : Cho x = 2011 Tính giá trị biểu thức: x2011  2012x2010  2012x2009  2012x2008   2012x2  2012x 1 HD : Đặt A = x2011  2012x2010  2012x2009  2012x2008   2012x2  2012x 1 x 2010 ( x  2011)  x 2009 ( x  2011)  x 2008 ( x  2011)   x( x  2011)  x   x = 2012 A = 2011 Các toán thực tế Chuyên đề Kiến thức vận dụng - Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận : Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x : y = k.x  y y1 y2 y3     n  k ( k hệ số tỉ lệ ) x1 x2 x3 xn - Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch : Đại lượng y đại lượng x gọi hai đại lượng tỉ lệ nghịch : x.y = a  x1 y1  x2 y2  x3 y3   xn yn  a ( a hệ số tỉ lệ ) - Tính chất dãy tỉ số Bài tập vận dụng *Phương pháp giải : - Đọc kỹ đề , từ xác định đại lượng toán - Chỉ đại lượng biết , đại lượng cần tìm - Chỉ rõ mối quan hệ đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch) - Áp dụng tính chất đại lượng tỉ lệ tính chất dãy tỉ số để giải Bài : Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Bài : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng 19 Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Bài : Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian tơ từ A đến B Bài : Trên quãng đường AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3: Tính qng đường người tới lúc gặp ? Bài : Ba đội công nhân làm công việc có khối lượng Thời gian hồn thành cơng việc đội І, ІІ, ІІІ 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ người suất công nhân Hỏi đội có cơng nhân ? Bài : Ba ô tô khởi hành từ A phía B Vận tốc ô tô thứ ô tô thứ hai Km/h Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai thứ ba hết quãng đường AB : 40 phút, 5 , Tính vận tốc tơ ? PHẦN HÌNH HỌC Một số phương pháp chứng minh hình hoc 1.Chứng minh hai đoạn thẳng nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn thẳng - Chứng minh hai đoạn thẳng hai cạnh bên tam giác cân - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực đoạn thẳng - Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng 2.Chứng minh hai góc nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác chứa hai góc - Chứng minh hai góc hai góc đáy tam giác cân - Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc cặp góc so le ,đồng vị - Dựa vào tính chất đường phân giác tam giác Chứng minh ba điểm thẳng hàng: P2 : - Dựa vào số đo góc bẹt ( Hai tia đối nhau) - Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ điểm - Hai đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng thứ - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao Chứng minh hai đường thẳng vng góc P2 : - Tính chất tam giác vng, định lí Py – ta – go đảo - Qua hệ đường thẳng song song đường thẳng vng góc - Tính chất đường trung trực, ba đường cao Chứng minh đường thẳng đồng quy( qua điểm ) P2 : - Dựa vào tính chất đường tam giác So sánh hai đoạn thẳng, hai góc : P2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào tam giác từ vận định lí quan hệ cạnh góc đối diện tam giác , BĐT tam giác - Dựa vào định lí quan hệ đường xiên hình chiếu, đường xiên đường vng góc I 20 Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, II Bài tập vận dụng Bài : Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Chứng minh: DC = BE DC  BE HD: Phân tích tìm hướng giải *Để CM DC = BE cần CM ∆ABE = ∆ ADC ( c.g.c) Có : AB = AD, AC = AE (gt)  Cần CM : DAC  BAE Có : BAE  900  BAC  DAC * Gọi I giao điểm AB CD Để CM : DC  BE cần CM I  B1  900 Có I1  I ( Hai góc đối đỉnh) I1  D1  900  Cần CM B1  D1 ( ∆ABE = ∆ ADC) D E A K I B C Lời giải a) Ta có BAE  90  BAC  DAC  DAC  BAE , mặt khác AB = AD, AC = AE (gt) Suy ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c)  DC = BE b) Gọi I giao điểm AB CD Ta có I1  I ( Hai góc đối đỉnh) , I1  D1  900 ( ∆ ADI vuông A) B1  D1 ( ∆ABE = ∆ ADC)  I  B1  900  DC  BC *Khai thác 1: Từ ta thấy : DC = BE vµ DC  BE ∆ABD ∆ ACE vng cân, có ∆ABD ∆ ACE vuông cân , Từ B kẻ BK  CD D ba điểm E, K, B thẳng hàng Ta có tốn 1.2 Bài 1: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Từ B kẻ BK  CD K Chứng minh ba điểm E, K, B thẳng hàng HD : Từ chứng minh DC  BE mà BK  CD K suy ba điểm E, K, B thẳng hàng *Khai thác 1.1 Từ 1.1 gọi M trung điểm DE kẻ tia M A MA  BC từ ta có tốn 1.2 Bài 1.2: Cho tam gi¸c ABC có Â < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Gi M l trung điểm DE kẻ tia M A Chứng minh : MA  BC Phân tích tìm hướng giải HD: Gọi H giao điểm tia MA BC Để CM MA  BC  ta cần CM ∆AHC vuông H  Để CM ∆AHC vuông H ta cần tạo tam giác 21 Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, vuông ∆AHC Trên tia AM lấy điểm N cho AM = MN Kẻ DQ  AM Q  Cần CM ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)  CM: ND = AC , N1  ACB , BAC  ADN N D M E Q A  CM : ∆ABC = ∆DNA ( c.g.c)  Có AD = AB (gt) Cần CM : ND = AE ( = AC) BAC  ADN + Để CM ND = AE B  CM : ∆MDN = ∆MEA (c.g.c) + Để CM BAC  ADN H C  EAD  ADN  1800 EAD  BAC  1800  CM AE // DN (∆MDN = ∆MEA) Lời giải Gọi H giao điểm tia MA BC , Trên tia AM lấy điểm N cho AM = MN kẻ DQ  AM Q Ta có ∆MDN = ∆MEA ( c.g.c) : AM = MN ; MD = ME (gt) EMA  DMN ( hai góc đối đỉnh)  DN = AE ( = AC) AE // DN N1  MAE ( cặp góc so le )  EAD  ADN  1800 ( cặp góc phía) mà EAD  BAC  1800  BAC  ADN Xét ∆ABC ∆DNA có : AB = AD (gt) , AC = DN BAC  ADN ( chứng minh )  ∆ABC = ∆DNA (c.g.c)  N1  ACB Xét ∆AHC ∆DQN có : AC = DN , BAC  ADN N1  ACB  ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)  ∆AHC vuông H hay MA  BC * Khai thác toán 1.3 + Từ 1.2 ta thấy với M trung điểm DE tia MA  BC , ngược lại AH  BC H tia HA qua trung điểm M DE , ta có tốn 1.4 Bài 1.3 : Cho tam gi¸c ABC có Â < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Gi H l chân đường vng góc kẻ từ A đến BC Chứng minh tia HA qua trung điểm đoạn thẳng DE HD : Từ 1.2 ta có định hướng giải sau: 22 Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Kẻ DQ  AM Q, ER  AM R Ta có : + DAQ  HBH ( Cùng phụ BAH ) AD = AB (gt)  ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn)  DQ = AH (1) + ACH  EAR ( phụ CAH ) AC = AE (gt)  ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn)  ER = AH ( 1) Từ (1) (2)  ER = DQ Lại có M1  M ( hai góc đối đỉnh )  ∆QDM = ∆REM ( g.c.g)  MD = ME hay M trung điểm DE R E D M Q A B H C + Từ 1.3 ta thấy với M trung điểm DE tia MA  DE , ngược lại H trung điểm BC tia KA vng góc với DE, ta có tốn 1.4 Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC Gọi H trung điểm BC Chứng minh tia HA vng góc với DE HD : Từ 1.3 ta dễ dạng giải toán 1.4 Trên tia AH lấy điểm A’ cho AH = HA’ Dễ CM ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g) D  A’B = AC ( = AE) HAC  HA ' B M E  AC // A’B  BAC  ABA '  1800 ( cặp góc phía) A Mà DAE  BAC  1800  DAE  ABA ' Xét ∆DAE ∆ABA’ có : AE = A’B , AD = AB (gt) DAE  ABA '  ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c)  ADE  BAA ' mà B ADE  BAA '  900  ADE  MDA  900 Suy HA vng góc với DE H C Bài : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC M, N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN A' 23 Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, c) Đường thẳng vng góc với MN I ln qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC * Phân tích tìm lời giải a) Để cm DM = EN  A Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g)  Có BD = CE (gt) , D  E  900 ( MD, NE  BC) BCA  CBA ( ∆ABC cân A) b) Để Cm Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN  Cần cm IM = IN  Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g) c) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC , O giao điểm AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I  Cần cm O điểm cố định Để cm O điểm cố định M I B C E D H O N  Cần cm OC  AC  Cần cm OAC  OCN  900  Cần cm : OBA  OCA OBM  OCM  Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) *Khai thác Từ ta thấy BM = CN , ta phát biểu lại tốn sau: Bi 2.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M, tia AC lÊy ®iĨm N cho BM = CN Đường thẳng BC cắt MN I Chøng minh r»ng: a) I trung điểm MN 24 Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, b) Đ-ờng thẳng vuông góc với MN I ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh D thay đổi A lời giải: Từ lời giải để giải 2.1 ta cần kẻ MD  BC ( D  BC) D NE  BC ( E  BC) Bài : Cho ∆ABC vuông A, K trung điểm cạnh BC Qua K kẻ đường thẳng vng góc với AK , đường thẳng cắt đường thẳng AB AC D E Gọi I trung điểm DE a) Chứng minh : AI  BC b) Có thể nói DE nhỏ BC khơng ? sao? *Phân tích tìm lời giải a) Gọi H giao điểm BC AI Để cm AI  BC  Cần cm A1  ACK  900 Để cm A1  ACK  900 B H K C I E  Có AEK  EAK  900  cần cm A1  AEK ACK  CAK  Cần cm ∆AIE cân I ∆AKC cân K b) Để so sánh DE với BC  cần so sánh IE với CK ( 2.IE = DE, 2CK = BC)  So sánh AI với AK ( AI = IE, AK = CK) Có AI  AK Lời giải : a)Dễ dàng chứng ∆AIE cân I ∆AKC cân K  cần cm A1  AEK ACK  CAK mà AEK  EAK  900  A1  ACK  900  AI  BC b) ta có BC = CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE) Mà AI  AK  DE  BC , DE = BC K trùng với I ∆ABC vng cân A 25 Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Bài 4: Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M trung điểm BC Đường thẳng qua M vng góc với tia phân giác góc A H cắt hai tia AB, AC E F Chứng minh rằng: A EF  AH  AE a) b) 2BME  ACB  B c) BE = CF lơì giải Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giác vng AFH, ta có: HF2 + AH2 = AF2 Mà  AHE =  AHF (g-c-g) nên HF = EF; AF = AE Suy ra: E B M C H D F EF  AH  AE Tõ AEH  AFH Suy E1  F XÐt CMF cã ACB lµ gãc ngoµi suy CMF  ACB  F BME cã E1 lµ gãc ngoµi suy BME  E1  B vËy CMF  BME  ( ACB  F )  ( E1  B) hay 2BME  ACB  B (®pcm) Từ AHE  AHF Suy AE = AF E1  F Từ C vẽ CD // AB ( D  EF ) => BME  CMD( g  c  g )  BE  CD (1) Lại có: E1  CDF (cặp góc đồng vị) Do CDF  F  CDF cân  CF = CD ( 2) Từ (1) (2) suy BE = CF Bài : Cho tam giác ABC có góc B góc C hai góc nhọn Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB , tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC a) Chứng minh : BE = CD b) Gọi M trung điểm BE , N trung điểm CB Chứng minh M,A,N thẳng hàng c)Ax tia nằm hai tia AB AC Gọi H,K hình chiếu B C tia Ax Chứng minh BH + CK  BC 26 Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, d) Xác định vị trí tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn D *Phân tích tìm lời giải a) E Để cm BE = CD  Cần cm  ABE =  ADC (c.g.c) b) M k Để cm M, A, N thẳng hàng  Cần cm BAN  BAM  1800  Có BAN  NAD  180  Cần cm N A K I B C H MAB  NAD Để cm MAB  NAD  Cần cm  ABM =  ADN (c.g.c) c) Gọi giao điểm BC Ax  Để cm BH + CK  BC x  Cần cm BH  BI ; CK  CI Vì BI + IC = BC d) BH + CK có giá trị lớn = BC K,H trùng với I , Ax vng góc với BC Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M, N thuộc AH) a) Chứng minh: EM + HC = NH b) Chứng minh: EN // FM 27 Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, N a) *Phân tích tìm lời giải Để cm EM + HC = NH E F  M Cần cm EM = AH HC = AN + Để cm EM = AH  cần cm ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – góc nhon) + Để cm HC = AN  cần cm ∆AFN =∆CAH ( cạnh huyền – góc nhon) b) Để cm EN // FM B  AEF  EFN ( cặp góc so le trong) A H C Gọi I giao điểm AN EF  để cm AEF  EFN  Cần cm ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g) Bài : Cho tam ABC vuông A , đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC *Phân tích tìm lời giải Gọi F giao điểm BA IE  để Cm AE = BC cần cm : ∆AFE = ∆ CAB 28 Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Để cm : ∆AFE = ∆ CAB E  Cần cm AF = AC (2); AFC  BAC  900 (1); EAF  ACB (3) + Để cm (1) : AFC  BAC  900 F  Cm CI // AE có FI // AC BAC  900  Để Cm CI // AE  A Cm ∆AMB = ∆ DMC ( c.g.c) + Để cm (2) : AF = AC I  Cm ∆AFI = ∆ ACI ( Cạnh huyền – góc nhọn) EAF  ACB ( phụ + Cm (3) : HAC ) B M H C D *Khai thác toán : Từ ta thấy AH  AM  HE  AM + BC = 3AM ( AM = MB = MC) Vậy HE lớn = 3AM = BC H trùng M tam giác ABC vuông cân Bài Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng: a) AE = AF b) BE = CF c) AE  AB  AC * Phân tích tìm lời giải a) Để cm AE = AF 29 Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8,  A ∆ANE = ∆ ANF ( c g c) Hoặc ∆AEF cân A F ( Có AH vừa tia phân giác , vừa đương cao) B C M b) Để cm BE = CF  N I cần tạo tam giác chứa BE( có cạnh = BE) mà tam giác MCF E + Kẻ BI // AC  ∆MBI = ∆CMF( c g c) Để cm BE = CF  ∆ BEI cân B  E  BEI  Có BIE  ABF ( cặp góc  đồng vị ) mà E  AFE ∆AEF cân A c) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC AE = AF  AE = AB + AC hay AE  AB  AC Bài Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B C nhọn, đường cao AH Vẽ điểm D, E cho AB trung trực HD, AC trung trực HE Gọi I, K giao điểm DE với AB AC a) Chứng minh : Tam giác ADE cân A b) Tính số đo góc AIC AKB ? *Phân tich tìm hướng giải - Xét TH góc A < 900 A a) Để cm ∆ ADE cân A  cần cm : AD = AH = AE ( Áp dụng t/c đường trung trực) K E I D b) Dự đoán CI  IB , BK  KC Do IB, KC tia phân giác góc ngồi ∆ HIK nên HA tia phân giác Do AHC  90 nên HC B H C tia phân giác đỉnh H Các tia phân giác góc ngồi đỉnh H K ∆ HIK cắt C nên IC tia phân giác góc HIK , IB  IC , Chứng minh tượng tự 30 Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, ta có BK  KC - Xét TH góc A>900 *Khai thác tốn : Gọi M điểm thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ cho AB trung trực D’M, AC trung trực ME’ Khi ta có ∆ AD’E’ cân A góc DAC có Từ ta có tốn sau: Bài 9.1 Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M D A cạnh BC cho vẽ điểm D, E E AB đường trung trực MD, AC đường trung trực ME DE có độ dài nhỏ C B H M HD Tự nhận xét dễ dàng tìm vị trí điểm M cạnh BC Bài 10 Cho ∆ ABC với góc A khơng vng E góc B khác 135o Gọi M trung điểm BC Về phía ngồi ∆ ABC vẽ ∆ ABD vng cân đáy AB A D P Đường thẳng qua A vng góc với AB đường Q thẳng qua C song song với MD cắt E Đường thẳng AB cắt CE P DM Q Chứng minh Q trung điểm BP B HD Trên tia đối tia MQ lấy điểm H C M H cho MH = MQ - Cm ∆ BMQ = ∆ CMH ( c.g.c)  BQ = CH (1) MBQ  MCH  BQ//CH hay PQ // CH ( MBQ, MCH cặp góc so le trong) - Nối PH , cm ∆ PQH = ∆ HCP ( g.c.g)  PQ = CH (2) , Do Q nằm B P dù góc B nhỏ 1350 Từ (1) (2) Suy đpcm 31 Toancap2.net - Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A ( AB > AC) Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vng góc với BC Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Đường thẳng vng góc với AE E cắt tia DH K Chứng minh : a) BA = BH b) DBK  450 c) Cho AB = cm, tính chu vi tam giác DEK B I HD : a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – góc nhọn) K H b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với EK , cắt EK I A Ta có : ABI  90 , Cm ∆HBK = ∆IBK ( cạnh D C E huyền – cạnh góc vuông)  B3  B4 mà B1  B2  DBK  450 c)Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = … = 2.4 = cm * Từ ta thấy DBK  450 chu vi ∆DEK = AB có chu vi ∆DEK = ta cm DBK  450 32 ... thức Toán lớp 6, 7, 8, Bài 3: Thực phép tính: a) A = ( b) B  HD : A = Bài 4: 1 1      49     ) 4 .9 9.14 14. 19 44. 49 89 212.35  46 .92  3   510 .73  255. 492 125 .7   59. 143 ? ?9 ;B=... + Suy : A  10 199 8  = ( 9. k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho , không chia hết cho b) Ta có 3638 = (362) 19 = 1 296 19 = ( 7. 185 + 1) 19 = 7. k + ( k  N*) 4133 = ( 7. 6 – 1)33 = 7. q – ( q  N*)...  99  x )   ( x  50  56  x )  x 1  100  x  x   99  x   x  50  56  x = 99 + 97 + + = 2500 Suy C  2050 với x Vậy Min C = 2500 ( x  1)(100  x)  1  x  100 ( x  2) (99