ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ XUÂN THẾ VỊ LOGARIT CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ XUÂN THẾ VỊ LOGARIT CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Thái Nguyên - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, kết nghiên cứu trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Thái Ngun, ngày 29 tháng năm 2020 Tác giả luận văn Hoàng Thị Xuân ii LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Em vô biết ơn giúp đỡ tận tình, quý báu mà Thầy dành cho em suốt q trình thực khóa luận Nhờ ý tưởng mà Thầy gợi ý, tài liệu bổ ích mà Thầy cung cấp với hướng dẫn, bảo nhiệt tình Thầy cơng việc nghiên cứu, em hồn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn Thầy Cơ khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, thời gian qua tạo cho chúng em môi trường học tập thuận lợi thường xuyên có lời động viên, nhắc nhở giúp chúng em thực tốt cơng việc làm khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người thực Hoàng Thị Xuân iii Mục lục Trang bìa phụ Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv MỞ ĐẦU I Một số kiến thức sở 1.1.Hàm điều hòa C 1.2.Năng lượng logarit lượng có trọng I Thế vị logarit có trọng 2.1.Thế vị có trọng C 9 2.2.Bất dẳng thức Bernstein-Walsh tính chất Bernstein-Markov 21 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 iv MỞ ĐẦU Thế vị logarit độ đo µ xác định tập K ⊂ C định nghĩa Pµ (y) := log K dµ(x) |x − y| Thế vị dùng để xác định lượng logarit µ từ giúp ta định nghĩa dung lượng logarit K Đây khái niệm cổ điển người ta tìm hiểu từ lâu Trong cơng trình gần Thomas Bloom, Norman Levenberg, Vilmos Totik and Franck Wielonsky, người ta nghiên cứu khái niệm vị logarit suy rộng, lượng logarit suy rộng ứng dụng Sự "suy rộng" thể xuất hàm trọng ω công thức Pµ,ω (y) := log K dµ(x), |x − y|ω(x) với ω > hàm trọng liên tục xác định K Mục đích đề tài trình bày lại cách hệ thống tính chất vị logarit có trọng, đặc biệt ứng dụng vào nghiên cứu bất đẳng thức Bernstein - Walsh Bernstein - Markov vào đánh giá chuẩn đa thức biến thơng qua hàm cực trị có trọng Đề tài trình bày lại số kết báo [2] Thomas Bloom, Norman Levenberg, Vilmos Totik and Franck Wielonsky Nội dung tính chất vị logarit có trọng với ứng dụng vào vấn đề xấp xỉ đa thức đánh giá độ tăng đa thức Chúng dự kiến đạt số kết điều kiện đủ để độ đo thỏa mãn tính chất Bernstein - Markov điều kiện tập compact K với trọng ω để vị logarit có trọng Pµ,ω < ∞ với độ đo xác xuất µ K Các kết dùng để đặc trưng tập cực C Chương Một số kiến thức sở Ta trình bày tóm tắt số kiến thức chuẩn bị dùng sau Những kiến thức lấy tài liệu [1] 1.1 Hàm điều hòa C Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X không gian tôpô Hàm u : X → [−∞, +∞) gọi nửa liên tục trên X với α ∈ R tập Xα = {x ∈ X : u(x) < α} mở X Hàm v : X → [−∞, +∞) gọi nửa liên tục X −v nửa liên tục trên X Chúng ta dễ thấy định nghĩa tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau Giả sử u : X → (−∞, +∞] Ta nói hàm u nửa liên tục x0 ∈ X ∀ε > tồn lân cận Ux0 x0 X cho ∀x ∈ Ux0 ta có: u(x) < u(x0 ) + ε u(x0 ) = −∞ u(x) < − u(x0 ) = −∞ ε Hàm u gọi nửa liên tục X u nửa liên tục x0 ∈ X Mặt khác ta cho định nghĩa sau Giả sử E ⊂ X u : E → [−∞, +∞) hàm E Giả sử x0 ∈ E Ta định nghĩa lim sup u(x) = inf{sup{u(y) : y ∈ V }} x→x0 , x∈E inf lấy V chạy qua lân cận x0 Khi thấy hàm u : E → [−∞, +∞) nửa liên tục x0 ∈ X lim sup u(x) ≤ u(x0 ) x→x0 Ta có kết sau Định lý 1.1.2 Giả sử u hàm nửa liên tục trên không gian tôpô X K X tập compact Khi u đạt cực đại K Chứng minh Các tập {x ∈ X : u(x) < n} với n ≥ tạo nên phủ mở K Do có phủ hữu hạn phủ K Vậy u bị chặn trên K Giả sử M = sup{u(x) : x ∈ K} Khi tập mở {x ∈ X : u(x) < M − n1 } phủ K Vậy có x0 ∈ K cho u(x0 ) ≥ M − n với n Vậy u(x0 ) = M , định lý chứng minh Tiếp theo ta cần định lý xấp xỉ sau hàm nửa liên tục Định lý 1.1.3 Giả sử u hàm nửa liên tục bị chặn trên khơng gian metric (X, d) Khi tồn dãy giảm hàm liên tục Φn : X → R với lim Φn (x) = u(x), ∀x ∈ X n→∞ Định nghĩa 1.1.4 Giả sử Ω tập mở C Hàm u : Ω → [−∞, +∞) gọi điều hịa Ω nửa liên tục trên Ω, u ≡ −∞ bất thành phần liên thông Ω thỏa mãn bất đẳng thức trung bình Ω, nghĩa với w ∈ Ω tồn ta có u(w) ≤ 2π > cho o ≤ r < 2π u(w + reit )dt Ta kí hiệu tập hàm điều hòa Ω SH(Ω) Sau ví dụ đáng ý hàm điều hòa (1.1) Mệnh đề 1.1.5 Nếu f : Ω → C hàm chỉnh hình Ω log |f | hàm điều hịa Mệnh đề 1.1.6 Giả sử u, v hàm điều hòa tập mở Ω C Khi đó: (i) max(u, v) hàm điều hịa Ω (ii) Tập hàm điều hòa Ω nón, nghĩa u, v ∈ SH(Ω) α, β > αu + βv thuộc SH(Ω) Bây ta đến nguyên lí cực đại hàm điều hịa nói giá trị cực đại hàm đa điều hòa tập mở đạt biên tập mở Định lý 1.1.7 Giả sử u hàm điều hòa miền bị chặn Ω C Khi đó: (i) Nếu u đạt cực đại toàn thể điểm Ω u số Ω (ii) Nếu lim supz→ζ u(z) ≤ ζ ∈ ∂Ω u ≤ Ω Kết sau cho điều kiện hàm lớp C điều hòa Định lý 1.1.8 Giả sử u ∈ C (Ω) Khi u điều hòa Ω u ≥ Ω, ∂ 2u ∂ 2u u= 2+ ∂x ∂y Laplace u Kết sau có lợi cần dán hai hàm điều hòa ta hàm điều hòa Bổ đề 2.2.2 Cho DA τ > Cho K tập compact DA với cap(K) > τ Giả sử K = ∪si=1 Bi , Bi tập Borel Khi có số σ = σ(DA , τ, s) > cho có tập tập Bi có dung lượng khơng nhỏ σ Chứng minh Bổ đề chứng minh theo tài liệu [2] Hằng số σ phụ thuộc vào đường kính đường biên tập DA Bổ đề 2.2.3 Cho f chỉnh hình khác ánh xạ lân cận DA Cho τ > 0, cho K tập DA cho cap(K) > τ Khi tồn số β = β(DA , τ, f ) > cho cap(f (K)) ≥ β Chứng minh Với điểm z0 ∈ DA , có lân cận V z0 cho hạn chế f V, f |V = hm , h song chỉnh hình m ∈ Z+ Cụ thể f (z0 ) = f |V song chỉnh hình m = 1, mặt khác m số nguyên bé cho f (j) (z0 ) = Chúng ta phủ DA hợp hữu hạn tập hợp, nói Vi với i = 1, 2, , s với tương ứng số nguyên dương mi Khi ta co lại tập Vi để thu tập Wi mà phủ DA cho Wi có compact đóng Vi Với J tập compact W i ta có cap(f |Wi (J)) ≥ C(cap(J))mi , với mi = 1, ta sử dụng [2] với (f |Wi )−1 mi ≥ 2, lượng em : z → z m ta có −1 [cap(em (J))]1/m = cap(em (em (J))) ≥ cap(J) 24 Bây K = ∪si=1 (K ∩ W i ) theo Bổ đề 2.2.2 cho tập hợp hợp, nói K ∩ W i0 ta có cap(K ∩ W i0 ) ≥ σ(DA , τ, s) nên cap(f (K)) ≥ cap(f (W i0 ∩ K) ≥ Ccap(W i0 ∩ K)mi0 ≥ Cσ(DA , τ, s)mi0 Hằng số C xuất phụ thuộc vào f tập Vi , Wi không K Vậy bổ đề chứng minh Bổ đề 2.2.4 Cho f, g chỉnh hình khác hàm lân cận DA cho τ > cho trước Cho K tập compact DA cho f (K), g(K) ⊂ DA cap(K) > τ Khi có số M = M (DA , τ ) > cho với k = 1, 2, với hk ∈ Fk chuẩn hóa trên, ||pk ||DA ≤ eM k ||qk ||DA ≤ eM k Chứng minh Ta cho đối số qk ; pk tương tự Ta có cap(f (K)) ≥ β(DA , τ, f ) > theo Bổ đề 2.2.3 Cho τ = σ(DA , β(DA , τ, f ), 2) từ Bổ đề 2.2.2 cho Fk := {t ∈ f (K) : qk (t) ≤ eM1 k } M1 chọn Nếu cap(Fk ) ≥ τ (2.21) theo Bổ đề 2.2.1 ta có yêu cầu đánh giá qk : ||pk ||DA ≤ ||qk ||Fk ekL(DA ,τ ) ≤ ek(M1 +L(DA ,τ )) Chú ý ta sử dụng giả thiết f (K) ⊂ DA để đảm bảo Fk ⊂ DA Ta chứng tỏ mâu thuẫn, M1 đủ lớn (2.21) phải Nếu (2.21) khơng theo Bổ đề 2.2.2 cap(Gk ) ≥ τ 25 Gk := {t ∈ f (K) : qk (t) ≥ eM1 k } Bây |pk (g(z))| ≤ e−M1 k f −1 (Gk ) ∩ K = {z ∈ K : f (z) ∈ Gk } ||hk ||K = theo [2] ta có cap(f −1 (Gk )capK) = cap({z ∈ K : f (z) ∈ Gk }) ≥ cap(Gk ) ≥ τ /C C C = sup ||f ||DA Chú ý |pk (w)| ≤ e−M1 k với w ∈ g(f −1 (Gk ) ∩ K) theo Bổ đề 2.2.3 ta có cap(g(f −1 (Gk ) ∩ K)) ≥ β(DA , τ /C, g) > Do đó, theo Bổ đề 2.2.1, ||pk ||DA ≤ ekL(DA ,β(DA ,τ /C,g)) ||pk ||g(f −1 (Gk )∩K) ≤ ekL(DA ,β(DA ,τ /C,g)) e−M1 k Ở ta sử dụng g(K) ⊂ DA để đảm bảo g(f −1 (Gk ) ∩ K) ⊂ DA Với M1 đủ lớn điều mâu thuẫn với |pk (g(z0 ))| = Ta kết hợp đánh giá với đánh giá Bernstein-Walsh (2.16) cho đa thức tập DA : với f, g chỉnh hình U ⊃ DA pk , qk Bổ đề 2.2.4, với hk ∈ Fk chuẩn hóa ||hk ||K = 1, log |pk (g(z))| ≤ VDA (g(z)) + M k log |qk (f (z))| ≤ VDA (f (z)) + M k với điều kiện z ∈ U Chú ý ta yêu cầu K ⊂ DA với f (K), g(K) ⊂ DA DA ⊂ U (2.22) Nếu g(z) = z, giảm tới K ⊂ DA với f (K) ⊂ DA DA ⊂ U 26 (2.23) Ta thu đánh giá log |hk (z)| ≤ 2M + VDA (g(z)) + VDA (f (z)), z ∈ U k với số M , hk ∈ Fk chuẩn hóa Vì ||hk ||K = Do dãy hàm điều hịa { log |hk (z)| : hk ∈ Fk ||hk ||K ≤ 1} k bị chặn địa phương U Suy WK∗ điều hòa U ta có WK∗ (z) ≤ 2M + VDA (g(z)) + VDA (f (z)), z ∈ U (2.24) Điều cho ta đánh giá Bernstein-Walsh cho hàm hk ∈ Fk , ∗ |hk (z)| ≤ ||hk ||K ekWK (z) , z ∈ U (2.25) với biên (2.24) WK∗ (z) Do |hk (z)| ≤ 2M + VDA (g(z)) + VDA (f (z)), z ∈ U log k ||hk ||K (2.26) với hk ∈ F Chú ý vế bên phải đánh giá (2.24) (2.26) phụ thuộc vào DA đánh giá có hiệu lực tất z ∈ U (tại điểm mà f (z) chỉnh hình) Ta xét phiên có trọng (2.19) (2.25) Cho Q ∈ A(K) Với z ∈ U ta cho WK,Q (z) := sup{ log |hk (z)| : hk ∈ Fk ||hk e−kQ ||K ≤ 1} k (2.27) Khi WK,Q ≤ Q(z) với z ∈ K Vì {z ∈ K : Q(z) < ∞} không cực, với C đủ lớn tập compact F : {z ∈ K : Q(z) ≤ Q} khơng cực Khi với hk ∈ F, với ||hk e−kQ ||K ≤ ta có ||hk e−kQ ||F ≤ ||hk ||F ≤ ekC Từ định nghĩa (2.19) (2.27), WK,Q (z) ≤ WF∗ (z) + C với z ∈ F Áp dụng (2.24) (2.26) với thay K F (và M = M (F )), dãy hàm 27 điều hòa xác định WK∗ WK,Q bị chặn địa phương U ∗ ∗ WK,Q (z) điều hòa U với WK,Q ≤ Q(z) hầu khắp nơi K Ta có đánh giá Berstein-Walsh có trọng cho hàm hk ∈ Fk Cụ thể là, từ (2.27), ∗ |hk (z)| ≤ ||hk e−kQ ||K ekWK,Q (z) , z ∈ U (2.28) Tiếp theo ta chứng minh loại quy WK∗ trường hợp K quy Ta bắt đầu với bổ đề Ta có tập compact S khơng mỏng điểm ζ ∈ S lim supz∈S\{ζ} u(z) = u(ζ) với hàm u điều hòa lân cận ζ; Cách khác ta nói S mỏng ζ Bổ đề 2.2.5 Cho K ⊂ C tập compact, quy cho u hàm điều hòa lân cận K Giả sử u ≤ hầu khắp nơi K Khi u ≤ K Chứng minh Vì u nửa liên tục nên tập F = {z ∈ K : u(z) > 0} tập Fσ Vì F tập cực nên mỏng điểm C Nhưng K khơng mỏng điểm biên ngồi nên K\F khơng mỏng điểm biên K Điều suy với điểm biên ξ, u(ξ) = lim supz∈K\F ,z→ξ u(z) ≤ Khi u ≤ biên ngồi nguyên lý cực đại u ≤ K Hệ 2.2.6 Cho K ⊂ C tập compact, quy thỏa mãn (2.22) Khi WK∗ = K Chứng minh Ta có WK∗ điều hịa lân cận U K, WK ≤ K Vì WK∗ = WK q.e., ta có điều cần chứng minh Ta định nghĩa phiên có trọng bất đẳng thức Bernstein-Markov cho hàm Fk 28 Định nghĩa 2.2.7 Cho Q ∈ A(K), đo đo Borel µ K gọi thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov có trọng với Fk , cho > 0, có số C cho với k = 1, 2, với hk ∈ Fk ta có ||hk e−kQ ||K ≤ Ce k |hk (z)|e−kQ(z) dµ(z) (2.29) K Nếu µ thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov với Q liên tục K, ta nói µ thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov mạnh với Fk K Ta xét điều kiện với độ đo Borel dương µ K: tồn số T, r0 > cho với z ∈ K, µ(D(z, r)) ≥ rT với < r ≤ r0 (2.30) Do D(z, r) := {w ∈ C : |w − z| < r} Ta nghiên cứu lớp tập compact Định nghĩa 2.2.8 Ta gọi tập compact K quy mạnh với thành phần liên thông C\K quy tốn Dirichlet Một đặc tính đan dấu quy mạnh cho Bổ đề 2.2.9 bên trên, K không mỏng điểm Chú ý tập compact quy mạnh quy; với K hồn tồn quy thành phần không bị chặn C\K quy theo tốn Dirichlet Do tập compactc quy K với phần bù liên thơng, K = K quy mạnh Đặc biệt, tập compact quy dịng thực quy mạnh, bao đóng miền xác định bị chặn biên C Hợp đường trịn đơn vị với tập compact khơng quy đường trịn nhỏ quy khơng quy mạnh Lý ta xét lớp tập hợp Định nghĩa 2.2.8 quy tập compact tính chất đường biên ngồi nó, ta xét 29 trường hợp có trọng, điểm khác K bị ảnh hưởng Ta có tập compact K ⊂ C điểm z ∈ K, ta nói tiêu chuẩn Wiener z n n = ∞, log 1/cap(K ∩ Sn ) (2.31) Sn = D(z, 2−n )\D(z, 2−n−1 ) Định lý Wiener phát biểu K không mỏng z cách xác (2.31) Đặc biệt z điểm biên thành phần liên thông G C\K, z điểm biên quy G theo toán Dirichlet tiêu chuẩn Wiener điểm biên G Chú ý cuối cho ta chiều ngược lại kết Bổ đề 2.2.9 Nếu K tập compact C cho với thành phần liên thơng C\K quy theo tốn Dirichlet Khi tiêu chuẩn Wiener điểm K Chứng minh Cố định z ∈ K; khơng tính tổng qt, ta giả sử z = Vì dung lượng hình vành khăn Sn = D(0, 2−n )\D(0, 2−n−1 ) 2−n , tiêu chuẩn Wiener chắn điểm Thật vậy, theo giả thiết định lý Wiener, tiêu chuẩn với điều kiện điểm biên thành phần liên thơng C\K Do trái với tiêu chuẩn Wiener điểm biên K, khơng thuộc biên thành phần liên thơng C\K Có hai trường hợp: Có nhiều vơ hạn n cho với r ∈ [2−n−1 , 2n ) đường tròn C(0, r) = {w : |w| = r} giao với K Ta xét với n cho wr ∈ C(0, r) ∩ K Ánh xạ w → |w| ánh xạ co từ K ∩(D(0, 2−n )\D(0, 2−n−1 )) đến nửa đoạn [2−n−1 , 2−n ), mà theo giả thiết, ánh xạ [2−n−1 , 2−n ) Vì dung lượng logarit không tăng ánh xạ co, dung lượng [2−n−1 , 2−n ) 30 2−n−1 /4 = 2−n−3 , ta thu trường hợp cap(K ∩ Sn ≥ 2−n−3 , với n ta có n n ≥ ≥ log 1/cap(K ∩ Sn ) (n + 3) log Vì điều với nhiều vơ hạn n nên (2.31) Với n đủ lớn, có rn ∈ [2−n−1 , 2−n ) cho C(0, rn ) tách từ K, nằm thành phần Grn C\K Grn giống với nhiều vơ hạn n, điểm biên thành phần Do đó, có nhiều hữu hạn n cho Grn khác Grn+1 Nhưng đoạn thẳng {reit : rn+1 ≤ r ≤ rn } phải cắt K Do ánh xạ {reit → 2−n−2 eit } ánh xạ co từ K ∩ (Sn ∪ Sn+1 ) C(0, 2−n−2 ) Vì cap(K ∩ (Sn ∪ Sn+1 )) ≥ cap(C(0, 2−n−2 )) = 2−n−2 , theo [2] ta có n n ≥ ≥ log 1/cap(K ∩ Sn ) 2(n + 2) log n+1 n+1 ≥ ≥ log 1/cap(K ∩ Sn+1 ) 2(n + 2) log Do chuỗi (2.31) chứa nhiều vô hạn số hạng với nhỏ 1/6 Do (2.31) Kết thú vị theo nghĩa nó, cần để chứng minh tập compact quy mạnh, điều kiện (2.30) µ suy tính chất Bernstein-Markov Bổ đề 2.2.10 Cho K tập compact quy mạnh C với z ∈ K r > 0, có tập compact L ⊂ K ∩ D(z, r) chứa K ∩ D(z, r/2) Chứng minh Để đơn giản ta cho z = r ≤ 1/2 Theo [2] tập Kn := K ∩ (D(0, r/2 + 2−n )\D(0, r/2)), không cực, chứa tập compact 31 Fn cho cap K ∩ (D(0, r/2 + 2−n )\D(0, r/2)) \Fn < e−n Tập Fn = ∅ Kn cực, ta định nghĩa L := K ∩ (D(0, r/2) (∪n Fn ) Ta yêu cầu L quy Ta cần chứng minh điểm biên ngồi z0 L điểm quy Từ tiêu chuẩn Wiener (2.31), ta chứng tỏ n −n n = ∞, log(1/cap(L ∩ Sn )) (2.32) Sn = D(z0 , )\D(z0 , 2−n−1 ) Với z0 ∈ L bên đĩa D(0, r/2), L hợp hữu hạn địa phương, (2.32) tính quy tập Fn Cũng có, theo tính quy mạnh K - ý L ⊂ K suy cap(L ∩ E) ≤ cap(K ∩ E) với tập E − (2.32) với z0 ∈ L ∩ D(0, r/2) (mệnh đề không cần khơng có giả thiết tính quy mạnh) Việc cịn lại chứng minh (2.32) với |z0 | = r/2 Theo tính quy mạnh K ta có n n = ∞ log(1/cap(K ∩ Sn )) Vì r ≤ r/2 nên suy n n log(1/cap(K ∩ D(0, r/2) ∩ Sn )) = ∞, (2.33) n n = ∞, log(1/cap(K ∩ (D(0, r)\D(0, r/2)) ∩ Sn )) (2.34) (hoặc hai) Nếu (2.33) (2.32) L chứa K ∩ D(0, r/2), giả thiết (2.34) Nếu N tập n với n > 2, log(1/cap(K ∩ (D(0, r)\D(0, r/2)) ∩ Sn )) n 32 ta có n∈N n = ∞ log(1/cap(K ∩ (D(0, r)\D(0, r/2)) ∩ Sn )) (2.35) Nhưng theo [2] ta có log(1/cap(K ∩ (D(0, r)\D(0, r/2)) ∩ Sn )) không vượt tổng log(1/cap(L ∩ (D(0, r)\D(0, r/2)) ∩ Sn )) log(1/cap((K\L) ∩ (D(0, r)\D(0, r/2)) ∩ Sn )) Đại lượng thứ hai không vượt log 1/cap K ∩ (D(0, r/2 + 2−n )\D(0, r/2)) \Fn )) Do với n ∈ N , ta cần phải có n log(1/cap((L ∩ (D(0, r)\D(0, r/2)) ∩ Sn )) > n/2 log(1/cap((K ∩ (D(0, r)\D(0, r/2)) ∩ Sn )) Do đó, trường hợp này, (2.32) hệ (2.35) Định lý 2.2.11 Giả sử K ⊂ C tập compact, quy mạnh thỏa mãn (2.22) µ độ đo Borel K thỏa mãn điều kiện (2.30) Khi µ độ đo Bernstein-Markov mạnh với Fk K Chứng minh Cố định Q ∈ C(K) Cho > chọn δ > cho |Q(z1 ) − Q(z2 )| ≤ với z1 , z2 ∈ K với |z1 −z2 | ≤ δ {z ∈ C : d(z, K) ≤ δ} U (d khoảng cách Euclid) Lấy hữu hạn đĩa {D(zj , δ/4)}j=1,2, ,m với tâm zj ∈ K cho phủ K Vì K quy mạnh nên theo 33 Bổ đề 2.2.10, với j ta cần tìm tập quy compact Lj ⊂ K ∩ D(zj , δ/2) với K ∩ D(zj , δ/4) ⊂ Lj Theo Hệ 2.2.6, WL∗j liên tục Lj WL∗j = Lj Do ta cần tìm σ = σ( ) > với WL∗j ≤ với ζ với d(ζ, Lj ) ≤ σ với j = 1, 2, , m Bây ta cố định hk ∈ Fk cho w ∈ K điểm mà hàm |hk (z)|e−kQ(z) có giá trị tối đại K Khi w ∈ Lj với j ∈ {1, 2, , m} Cho ζ ∈ D(w, σ), |hk (ζ)| ≤ ||hk ||Lj ek (2.36) theo đánh giá Bernstein-Walsh (2.25) cho Lj Mặt khác, với lựa chọn w, với z ∈ Lj , |hk (z)|e−kQ(z) ≤ |hk (w)|e−kQ(w) (Vì Lj ⊂ K) |z − w| ≤ δ (với z, w ∈ D(zj , δ/2)) ta có |Q(z) − Q(w)| ≤ nên |hk (z)| ≤ |hk (w)|ek với z ∈ Lj , |hk |Lj ≤ |hk (w)|ek (2.37) Kết hợp với (2.36) (2.37) ta có |hk (ζ)| ≤ |hk (w)|e2k với ζ ∈ D(w, σ) Xét hàm U (t) := hk w + t z−w |z − w| (2.38) Khi t → U (t) chỉnh hình U (0) = hk (w) U (|z − w|) = hk (z) Như ||U |||t|≤σ ≤ |hk (w)|e2k 34 |z−w| hk (z) − hk (w) = U (|z − w|) − U (0) = U (t)dt Với z ∈ D(w, σ2 ) ta có |hk (z) − hk (w)| ≤ |z − w|||U |||t|≤ σ2 Sử dụng đánh giá Cauchy U (2.38) ta có σ |hk (z) − hk (w)| ≤ |z − w| |hk (w)|e2k Bậy cho rk := e−3k , nên rk ≤ σ4 e−2k với k lớn Với z ∈ D(w, rk ), ta có |hk (z) − hk (w)| ≤ σ −2k e |hk (w)|e2k = |hk (w)| σ Nên |hk (z)| ≥ |hk (w)| với z ∈ D(w, rk ) ||hk e−kQ ||L1 (µ) ≥ |hk |e−kQ dµ K∩D(w,rk ) |hk (w)|e−kQ(w) e−k µ(D(w, rk )) ≥ Ce−k ||hk e−kQ ||K ≥ = (1 + 3T ), với k đủ lớn, µ(D(w, rk )) ≥ rkT ≥ e−3k T Mệnh đề 2.2.12 Cho K ⊂ C đóng cho f chỉnh hình lân cận U K Giả sử Q f − có trọng chấp nhận K Cho ∗ S = {z ∈ K : WK,Q (z) ≥ Q(z)} (2.39) Với hk ∈ Fk , ta có ∗ |hk (z)e−kQ(z) | ≤ ||hk e−kQ ||S ek[WK,Q (z)−Q(z)] với z ∈ K Chứng minh Vì theo định nghĩa ∗ |hk (z)| ≤ ekWK,Q (z) , z ∈ U 35 (2.40) với hk ∈ Fk , với ||hk (z)e−kQ ||K = 1, với hk , ∗ |hk (z)e−kQ(z) | ≤ ek[WK,Q (z)−Q(z)] , z ∈ K (2.41) Cho z ∈ K\S, từ (2.41) ta có |hk (z)e−kQ(z) | < với hk Do ||hk (z)e−kQ ||K = ||hk (z)e−kQ ||S = Dựa vào vế phải (2.41) ta có (2.40) với hk ∈ Fk chuẩn hóa nên ||hk (z)e−kQ ||K = Khi (2.40) suy với hk ∈ Fk điều kiện chuẩn hóa hk 36 KẾT LUẬN Các kết luận văn là: 1) Định lý 2.1.7 cho điều kiện đủ để dãy hàm Vandermonde có trọng hội tụ vị logarit có trọng thích hợp 2) Định lý 2.2.11 cho điều kiện đủ để độ đo Borel µ tập compact K C có tính chất Bernstein-Markov mạnh 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Nguyễn Quang Diệu, Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết đa vị, NXB Đại học Sư Phạm Tiếng Anh Thomas Bloom, Norman Levenberg, Vilmos Totik and Franck Wielonsky (2017), Modified logarithmic potential theory and applications, International mathematics research notices, Volume 2017, Issue 4, February 2017, pages 1116-1154 T Ransford (1995), Potential Theory In The Comflex Plane, Cambridge Univesity Pness 38 ... ta có µ(E) = Chương Thế vị logarit có trọng Những kiến thức chương lấy tài liệu [2] [3] 2.1 Thế vị có trọng C Trong phần này, phát biểu chứng minh kết quả, kể tồn tính nghiệm độ đo lượng có trọng. .. 1.2.Năng lượng logarit lượng có trọng I Thế vị logarit có trọng 2.1 .Thế vị có trọng C ... thống tính chất vị logarit có trọng, đặc biệt ứng dụng vào nghiên cứu bất đẳng thức Bernstein - Walsh Bernstein - Markov vào đánh giá chuẩn đa thức biến thơng qua hàm cực trị có trọng Đề tài trình