PHẦN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN PHẦN I.I. PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG HOẶC MỘT SỐ CUỐI CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN. Phương pháp 1: Dùng cấu tạo số: I. Cơ sở lí thuyết: Để tìm chữ số tận cùng của 1 số nào đó. người ta thường tìm số dư của phép chia số đó cho 10 Nhận xét 1: Nếu số nguyên a có tận cùng là các chữ số: 0; 1; 5; 6. thì a n cũng có tận cùng là 0; 1; 5; 6 Nhận xét 2: ta có: 2 4k = 16 k ≡ 6 ( mod 10) 3 4k = 81 k ≡ 1 ( mod 10) 7 4k = 49 2k ≡ 1 (mod 10) Nhận xét 3: Các số tự nhiên bất kì, nếu nâng lên luỹ thừa 4n + 1 thì chữ số tận cùng của nó không thay đổi Các nhận xét 1 và 2 là hiển nhiên. Nhận xét 3 dễ dàng chứng minh. Xem số tự nhiên : A=n k với n, k N ∈ . 1.Muốn tìm chữ số tận cùng của A chỉ cần biểu diễn A dưới dạng: A = 10a + b = ab ⇒ b là chữ số cuối cùng của A. Ta viết: A = n k = (10q + r) k = 10 t + r k với r ∈ N; 0 ≤ r ≤ 9 Chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số r k - Nếu A = 100a + bc = bca thì bc là hai chữ số cuối cùng của A. - Nếu A = 1000a + bcd = dbca thì dbc là ba chữ số cuối cùng của A. - Nếu A=10 m .a m + 0 .1 aa m − = 01 . aaa m thì 0 .1 aa m − là m chữ số cuối cùng của A. 2.Vận dụng nhị thức Newtơn: (a+b) n = nn n nn n n nn bcbacbacac . 1.1110 +++ −−− II. Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm chữ số cuối cùng của số: A= 9 9 9 Giải: Xem số M = 9 k ; k ∈ N - Nếu k chẵn mk 2 =⇔ ta có: M =9 2m = 81 m = (80+1) m =(10q +1) m = 10 t + 1 ( với m, q, t ∈ N) Vậy: M có chữ số cuối cùng là 1 nếu k chẵn. - Nếu k lẽ ⇔ k=2m+1 ta có: M =9 2m+1 = 9 2m .9 = (10t + 1).9 =10q + 9 ( với m, t, q ∈ N) Vậy: M có chữ số cuối cùng là 9 nếu k lẻ, ta có 9 9 là một số lẻ. Do đó: A = 9 9 9 có chữ số cuối cùng là 9. Bài 2: tìm chữ số cuối cùng của số: B = 4 3 2 Giải: B = 4 3 2 = 2 81 = (2 5 ) 16 .2 = 32 16 .2 = (30+2) 16 .2 = 10q +2 17 = 10q + (2 5 ) 3 .2 2 = 10q + (10q + 2) 3 . 2 2 = 10t + 2 5 = 10t + 2 Vậy B có chữ số cuối cùng là 2. Phương pháp 2: Nhận xét về lũy thừa. I. Cơ sở lý thuyết: nhận xét về lũy thừa - a n là một lũy thừa. Các trường hợp đặt biệt: 1.các số có dạng: + ( 0a ) n tận cùng bằng 0. + ( `1a ) n ; ( 5a ) n ; ( 6a ) n tận cùng lần lược là 1; 5; 6 + ( 3a ) 4 ; ( 7b ) n ; ( 9b ) n tận cùng lần lược là 1 + ( 2a ) 4 ; ( 4a ) 4 ; ( 8a ) 4 tận cùng lần lược là 6 2. Các số 3 20 , 81 5 , 7 4 , 51 2 , 99 2 tận cùng là 01 26 4 , 6 5 , 18 4 , 24 2 , 68 4 , 74 2 có hai chữ số tận cùng là 76. 125 n , 25 n , 5 2 tận cùng là 25. 3. Các số có dạng: ( `01a ) n ; ( 25a ) n ; ( 76a ) n có hai chữ số tận cùng lần lượt là: 01, 25, 76. Bài 1: tìm chữ số cuối cùng của số A = 9 9 9 Giải: Ta có: 9 2m tận cùng là 1 9 2m+1 tận cùng là 9 Suy ra: 9 9 tận cùng là 9, (9 là số lẻ.) Vậy A= 9 9 9 tận cùng là 9. Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của: C = 6 2002 , D = 2 2001 . Giải: Ta có: 6 1 tận cùng là 6 6 2 tận cùng là 6 6 3 tận cùng là 6 Vậy 6 n tận cùng là 6 suy ra 6 2002 tận cùng là 6 Ta có: 2 4 = 16 tận cùng là 6 Suy ra 2 2002 = (2 4 ) 500 .2 2 = 44).6( ka = với a, k ∈ N ⇒ 2 2002 tận cùng là 4 Bài 3: Tìm chữ số cuối cùng của số: M = 7 1999 , G = 18 177 Giải: *Ta có 7 4 = 2401 tận cùng là 1 M = 7 1999 = (7 4 ) = ( 1n ).343 = ⇒ 3c tận cùng là 3 Vậy M = 7 1999 tận cùng là 3 *Ta có 18 4 = 6n tận cùng là 6 Suy ra: G = 18 177 = (18 4 ) 44 .18 1 = 6t .18 = 8k Vậy G = 18 177 tận cùng là 8. Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a/ 9 9 7 b/ 14 14 14 c/ 7 6 5 3 Giải: a/ có: 9 9 = (8+1) 9 = 4k + 1. nên 9 9 7 = 7 4k+1 = 7.7 4k = 7. 49 2k có chữ số tận cùng là 7.1 = 7 b/ ta có 14 14 = 196 7 = (49.4) 7 = 4k nên: 14 14 14 = 2 4k .7 4k = 16 k .2401 k nên tận cùng của nó là 6 c/ có 7 6 5 = (4+1) 7 6 = 4k+1 . nên 7 6 5 3 = 3 4k+1 = 3.3 4k = 3.81 k có tận cùng là 3.1 = 3. Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của tổng sau: T = 2 1 + 3 5 + 4 9 + .+ 2004 8009 Giải: Chú ý rằng tất cả các số mũ đều có dạng 4(n-2) +1 với n ≥ 2. nên tất cả các số hạng của tổng đều có tận cùng là tận cùng của chính số đó khi không lấy luỹ thừa. Mặt khác ta có: T = 2 1 + 3 5 + 4 9 + .+ 2004 8009 = 2 1 + 3 5 + 4 9 + 5 13 +6 17 + 7 21 + 8 25 + 9 29 +    sè1990 79923733 2000 .1110 +++ + + 2004 8009 vậy nên T có chữ số tận cùng là chữ số của tổng sau T’ = ( 2+3+ +9) +199(0+1+2+ +9) + (1+2+3+4) = 9009 Vậy chữ số tận cùng của T là 9. Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của tổng: T = 2 3 + 3 7 + 4 11 + .+ 2004 8011 Giải: Nhận xét rằng các số mũ của các số hạng trong tổng trên đều có dạng 4(n-2) +3 với n ≥ 2 Vậy nên ta đi tìm quy luật của chữ số tận cùng của số a 4k+3 với a = {0, 9} Ta có : các số có tận cùng là : 0; 1; 5; 6. thì a k cũng có tận cùng là 0; 1; 5; 6 xét 2 4k+3 = 8.2 4k = 8.16 k có tận cùng là 8 3 4k+3 = 27.81 k có tận cùng là 7 4 4k+3 = 64.2 8k =64.16 2k có tận cùng là 4 7 4k+3 = 343.2401 k có tận cùng là 3 8 4k+3 = 512.16 2k có tận cùng là 2. Vậy chữ số tận cùng của T cũng là chữ số tận cùng của T’ = (8+7+4+5+6+3+2+9)+199(1+8+7+4+5+6+3+2+9) +1+8+7+4 = 9019 Vậy chữ số tận cùng của T là 9. Bài 7: Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho số n 2 + n + 1 chia hết cho 2005 2005 Giải: Số 2005 2005 có tận cùng là 5. nên nó chia hết cho 5 ta có n 2 + n + 1 = n(n+1) +1 chỉ có thể có các chữ số tận cùng là 1, 3, 7. nên nó không chia hết cho 5 Vậy không tồn tại n. Bài 8: chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương a/ M = 19 k + 5 k + 1995 k +1996 k ( với k tự nhiên chẵn) b/ N = 2004 2004k - 2003 Giải: a/ vì k chẵn nên k = 2n 19 k = 19 2n =361 n có tận cùng là 1 5 k + 1995 k có tận cùng là 0 1996 k có tận cùng là 6 vậy tổng M có tận cùng là 7 nên nó không là số chính phương. vì các số chính phương chỉ có thể có tận cùng là 0; 1;4;9;6;5. b/ ta có: 2004 2004k = (2000 + 4) 2004k = 10n + 4 2004k = 10n + 16 1002k có tận cùng là 6 Nên N có tận cùng là 3. nên N không thể là số chính phương. Bài 9: cho P là số nguyên tố lớn hơn 5. chứng minh rằng ( P 8n + 3p 4n - 4 )⋮5. Giải: Vì P là số nguyên tố lớn hơn 5 nên tận cùng của p chỉ có thể là các chữ số: 1; 3; 7; 9 Nếu P có tận cùng là 1 thì P 8n + 3p 4n – 4 có tận cùng là 0 nên nó chia hết cho 5 Nếu P có tận cùng là 3 thì p 4n = 10k+ 3 4n = 10k + 81 n có tận cùng là 1. p 8n có tận cùng là 1. nên: P 8n + 3p 4n – 4 có tận cùng là 0. nên nó chia hết cho 5 Nếu p có tận cùng là 7 thì tương tự. tận cùng của p 4n và p 8n cũng có tận cùng là 1. nên tổng chia hết cho 5 Nếu p có tận cùng là 9 thì:p 4n = 10k + 9 4n = 10k + 81 2n có tận cùng là 1 và p 8n = 24 )( n p có tận cùng là 1 Nên tổng trên cũng chia hết cho 5. Tóm lại với p nguyên tố lớn hơn 5 thì tổng luôn chia hết cho 5 Nhận xét chung về phương pháp: 1. Tách a n dưới dạng (10k + a 1 ) n với a 1 = {0, 1, .9} 2. Viết n dưới dạng n = 4q + r ( r = 0, 1, 2, 3) 3. Sử dụng nhận xét 1, 2, 3 đã chứng minh ở trên. Phương pháp 3: Dùng đồng dư I.Cơ sở lý thuyết: 1. Định nghĩa: Cho số nguyên M>0, hai số nguyên a và chia cho m có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo mô đun m và viết a ≡ b(mod m). 2. Định lý: Ba mệnh đề sau tương đương với nhau: a.a đồng dư với b theo mô đun m b.a-b chia hết cho m c.có một số nguyên t sao cho a = b + m.t 3.Tính chất: 1. a ≡ a(mod m) 2. a ≡ b(mod m); b ≡ c (mod m) Suy ra: a ≡ c (mod m) 3.    ≡ ≡ )(mod )(mod mdc mba suy ra: )(mod )(mod mbdac mdba ≡ ±≡± Hệ quả: a+c ≡ b (mod m) ⇒ a ≡ b - c (mod m) a ≡ b (mod m) ⇒ a m ≡ b n (mod m) 4. Nếu a ≡ b (mod m); k ∈ ƯC(a,b), (k,m) = 1 thì )(mod m k b k a = . 5.    >Ζ∈ ≡ 0, )(mod kk mba suy ra ka ≡ kb (mod m). 6. d ∈ ƯC(a,b,m) thì : a ≡ b (mod m) suy ra )(mod d m d b d a = 7. Nếu a ≡ b (mod m 1 ) và a ≡ b (mod m 2 ) suy ra a ≡ b (mod m) M = BCNN(m 1 ,m 2 ) Hệ quả: (m 1, m 2, …, m n ) = 1 và nguyên tố từng đôi Suy ra: a ≡ b (mod m 1 ), a ≡ b (mod m 2 ),……a ≡ b (mod m n ) a ≡ b (mod m 1 , m 2 , ….M n ). II. Bài tập Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của 6 195 và 2 1000 Giải: Tìm chữ số tận cùng của một số N có nghĩa là phải tìm số dư trong phép chia số N cho 10, Tức là tìm số tư nhiên nhỏ hơn 10 dồng dư với N theo mod 10 * Ta có: 6 2 = 36 ≡ 6 mod 10 suy ra 6 n = 6 mod 10 * Với N là số tự nhiên khác 0 * Suy ra: 6 195 ≡ 6 (mod 10) vây cữ số tận cùng của 6 195 là 6. *Tacó: 2 1000 = 2 4 . 250 = (2 n ) 250 Vì 2 n ≡ 16 ≡ 6 (mod 10) Suy ra: (2 n ) 250 ≡ 16 250 ≡ 6 (mod 10) Do đó: 2 1000 ≡ 6 250 ≡ 6(mod 10) Nghĩa là hữ số tận cùng của 2 1000 là 6. Vậy ta tận dụng đồng dư vào tìm chữ số tận cùng có nghĩa là tìm chữ số tận cùng của số N với: Một chữ số tận cùng là N ≡ a (mod 10) suy ra: tận cùng là a: a<10 Hai chữ số tận cùng là N ≡ b (mod 100) suy ra tận cùng là b: b<100 Ba chữ số tận cùng là N ≡ c (mod 1000) suy ra tận cùng là c: c<1000 …………………. m chữ số tận cùng là N ≡ K (mod 10…0) suy ra tận cùng là k: K<10…0 Phương pháp 3: Dùng các tính chất I.Cơ sở lý thuyết: 1.Tính chất 1 -Các số có tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 -Các số có tận cùng bằng 2; 4; 8 nâng lên lũy thừa 4 thì được số có tận cùng bằng 6 -Các số có tận cùng bằng 3; 7; 9 nâng lên lũy thưa 4 thì được số có tận cùng bằng 1 (Riêng đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, nâng lên lũy thừa lẻ đều có chữ số tận cùng bằng chính nó; nâng lên lũy thừa chẳn có chữ số tận cùng lần lượt là 6 và 1) Việc chứng minh tính chất trên là không khó, xin dành cho các bạn. Như vậy muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x=a m trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a. - Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 - Nếu chữ số tận cùng của a là 3, 7, 9 vì a m =a 4n+r =a 4n a r với r=0, 1, 2, 3 nên từ tính chất 1c suy ra chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của a r . -Nếu chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8 cũng như trường hợp trên từ tính chất suy ra chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6.a r Bài 1: Chữ số tận cùng của 187 324 Giải: Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên lũy thừa bậc 4 thì có tận cùng bằng 1. Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 1. do đó 187 324 =(187 4 ) 81 =(…1) 81 =(…1) Vậy chữ số tận cùng của 187 324 là 1 Bài 2: Chứng minh rằng 8 102 -2 102 chia hết cho 10 Giải : Ta thấy các số có tận cùng bằng 2 hoặc 8 nâng lũy thừa 4 thì đựơc số có tận cùng là 6. Một số có tận cùng bằng 6 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 6. Do đó ta biến đổi như sau: 8 102 =(8 4 ) 25 .8 2 =(…6) 25 .64=(.6).64=…4 2 102 =(2 4 ) 25 .2 2 =16 25 .4=( .6).4=…4 Vậy 8 102 -2 102 tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10 2.Tính chất 2 Một số tự nhiên bất kì khi nâng lên lũy thừa bậc 4n+1(n ∈ N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của các lũy thừa trong tổng. Bài toán 1 Tìm chữ số tận cùng của tổng s=2 1 +3 5 +4 9 +…+2004 800 Lời giải Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mủ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n 4(n-2)+1 , n ∈ }2,3 .,2004}. Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng của tổng : (2+3+ .+9)+199.(1+2+…+9)+1+2+3+4=200.(1+2+…+9)+9=9009. Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9 Từ tính chất 1 tiếp tục suy ra tính chất 3. 3.Tính chất 3: a) Số chữ số tận cùng là 3 khi nâng lũy thừa 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 7; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 3. b) Số chữ số tận cùng là 2 khi nâng lũy thừa 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 8; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n+3 sẽ có chữ số tận cùng là 2. c) Các chữ số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n+3 sẽ không thay đổi chữ số tận. Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của tổng T=2 3 +3 7 +4 11 + .+2004 8011 Lời giải: Nhận xét:mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n 4(n-2)+3 n ∈ }2, 3,…,2004}) Theo tính chất 3 thì 2 3 có chữ số tận cùng là 8; 3 7 có chữ số tận cùng là 7; 4 11 có chữ số tận cùng là 4… Như vậy, Tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng =(8+7+4+5+6+3+2+9)+199.(1+8+7+4+5+6+3+2+9)+1+8+7+4=9019 Vây chữ số tận cùng của tổng T là 9. Trong một bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc đáo. Bài toán 2: Tồn tại hay không một số tự nhiên sao cho n 2 +n+1 chia hết cho 1995 2000 . Lời giải: 1995 2000 tận cùng bằng chữ số 5 chia hết cho 5 vì vậy ta đặt vấn đề là liệu n 2 +n+1 có thể chia hết cho 5 hay không? Ta có: n 2 +n=n(n+1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của n 2 +n chỉ có thể là 0; 2; 6 ⇒ n 2 +n+1 chỉ có thể tận cùng là 1; 3; 7 ⇒ n 2 +n+1 không chia hết cho 5. Vậy không tồn tại số tự nhiên sao cho n 2 + n+1 chia hết cho 1995 2000 Sử dụng tính chất “Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9; ta có thể giải được bài toán sau: Bài toán 3: Chứng minh rằng các tổng sau không thể là các số chính phương: a) M=19 k +5 k +1995 k +1996 k (với k chẳn) b) N=2004 2004k +2003 Sử dụng tính chất một số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bằng các chữ số 1; 3; 7; 9; ta tiếp tục giải được bài toán: Bài toán 4: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5, Chứng minh rằng: p 8n 3.p 4n -4  5 PHẦN I.II: PHƯƠNG PHÁP TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG HOẶC HAI SỐ CUỐI CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN Phương pháp 1: Nếu x∈N và x=100+y; trong đó k; y ∈ N thì hai chữ số tận cùng của x cũng chính là hai chữ số tận cùng của y. Hiển nhiên là y ≤ x, như vậy để đơn giản hơn việc tìm hai chữ số tận cùng của hai số tự nhiên x thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của hai số tự nhiên y (nhỏ hơn). Rõ ràng số y càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn. Từ nhận xét trên ta có thể đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của hai số tự nhiên x=a m như sau: Trường hợp 1: Nếu a chẳn thì x=a m  2 m Gọi n là số tự nhiên sao cho a n -1  25 Viết m=pn (p; q∈N) trong đó q là số nhỏ nhất để a q  4 ta có: X=a m =a q (a pn -1) +a v Vì a n -1  25 Mặt khác do (4,25)=1 nên a q (a pn-1 )  100 Vậy hai chữ số tận cùng của A m cũmg chính là hai chữ số tận cùng của a q Tiếp theo ta tìm chữ số tận cùng của a q Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiên sao cho a n-1  100 Viết m=un+v (u,v ∈ N, 0 ≤ v < n ) ta có X=a m =a v (a un -1)+a v Vì a n-1  100. Vậy hai chữ số tận cùng của a m cũng chính là hai chữ số tận cùng của a v . Tiếp theo ta tìm hai chữ số tận cùng của a v . Khoảng trong hai trường hợp trên chìa khóa để giải được bài toán này là chúng ta phải tìm đựoc số tự nhiên n. Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏ nên sẽ dể dàng tìm ra hai chữ số tận cùng của a q và a v . Phương pháp 2: Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, cần chú ý đến những số dặc biệt: -Các số có tận cùng bằng 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng bằng 01, 25, 76 -Các số 3 20 (hoặc 81 5 ), 7 4 , 51 2 , 99 2 có tận cùng bằng 01 -Các số 20 20 , 6 5 , 18 4 , 24 2 , 68 4 , 74 2 có tận cùng bằng 76 -Số 36 n (n>1) có tận cùng bằng 76 Bài 1: Tìm hai chữ số tận cùng của 7 1991 Giải: Ta thấy: 7 4 =2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01. Do đó: 7 1991 =7 1988 .7 3 =(7 4 ) 497 .343=(…01) 497 .343 =(…01).343=….43 Vậy 7 1991 có hai chữ số tận cùng bằng 43 Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của 2 100 Giải: Chú ý rằng: 2 10 =1024, bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76, số có tận cùng bằng 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng là 76. Do đó: (2) 100 =(2 10 ) 10 =(1024) 10 =(1024 2 ) 5 =(….76) 5 =….76 Vậy hai chữ số tận cùng của 2 100 là 76. Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của số: C=2 999 , D=3 999 Giải: *Ta có: 2 20 có 2 chữ số tận cùng là 76. Suy ra: C=2 999 =(2 20 ) 49 .2 19 =( 76y ). 88n (với y, n, q ∈ N) Vậy C=2 999 có 2 chữ số tận cùng là 88 *Ta có: 3D = 3 1000 =(3 20 ) 50 =( 01k ) 50 = 01z Nên 3D tận cùng là 01, mà 3.3 999  3 ⇒ chữ số hàng trăm của 3 1000 là 2 ⇒ 3 1000 tận cùng là 201 Vậy 3 999 có hai chữ số tận cùng là 67 Bài 4: Tìm hai chữ số tận cùng của số a) M=7 8966 b) N=24 7561 c) Θ=81 6251 Giải: a)Ta có 7 4 có hai chữ số tận cùng là 01 Suy ra M=7 8966 =(7 4 ) 2241 .7 2 =( 01a ) 2241 .49= 01c .49= 49n (với a,c,n ∈N) Suy ra M=7 8966 có hai chữ số tận cùng là 49 b)Ta có 24 2 tận cùng là 76 Suy ra N=24 7561 =(24 2 ) 3765 .24=( 76m ) 3765 .24= 76k .24= 24n (với m, k, n ∈ N) Vậy N=24 7561 có hai chữ số tận cùng là 24 c) Ta có 81 5 có hai chữ số tận cùng là 01 Nên Q=81 6251 =(81 5 ) 1250 .81=( 01k ) 1250 .81= 81m (Với k, t, m ∈ N) Vậy Q=81 6251 có hai chữ số tận cùng là 81. Bài 5: Tìm hai chữ số tận cùng của số. a) Z=26 854 b) c=68 194 Giải: [...]... 8: Tìm chữ số tận cùng của số 199 1 199 7; 199 7 199 6 Giải: Ta có: 199 1 ≡ 1 (mod 10) suy ra 199 1 199 7 ≡ 1 (mod 10) Vậy 199 1 199 7 có chữ số tận cùng là 1 Ta có: 199 7 ≡ 7 (mod 10) suy ra 199 72 ≡ 49 ≡ 9 (mod 10) Suy ra 199 74 ≡ 1 (mod 10) suy ra ( 199 74)4 09 ≡ 1 (mod 10) Suy ra 199 7 199 6 ≡ 1 (mod 10) Vậy 199 7 199 6 có chữ số tận cùng là 1 Bài 9: Tìm hai chữ số cuối cùng của số: C = 299 9 Giải: Ta có: 210 + 1 =1024 +... tận cùng của số: D= 9 9 Giải: Ta có: 92 =81 ≡ 1 (mod 10) suy ra 98 ≡ (92 )n ≡ 1 (mod 10) Suy ra 99 ≡ 1 .9 ≡ 9 (mod 10) suy ra 99 ≡ 10k +9 (k ∈ N) 94 =6561 ≡ 61 (mod 100) 98 ≡ 612 ≡ 21 (mod 100) 91 00 ≡ 2k81 ≡ 01 (mod 100) 91 0k ≡ 1 (mod 100) Suy ra: 9 9 = 91 0k +9 = (91 0)k .99 ≡ 1 .99 (mod 100) Ta lại có: 93 = 7 29 ≡ 29 (mod 100) 99 = 293 ≡ 89 (mod 100) Vậy 9 9 có hai chữ số cuối cùng là 89 9 9 9 Bài 8: Tìm chữ số... ⇒ 299 9 tận cùng là 38 hoặc 88 vì 299 9 ⇒ 299 9 tận cùng là 88 Vậy C= 299 9 có hai chữ số tận cùng là 88 4 Bài 10: Tìm hai chữ số tận cùng của số: D= 399 9 Giải: Ta có: 92 m tận cùng là 1 ; 92 m+1 tận cùng là 9 Ta hãy tìm số dư của phép chia 95 +1 cho 100 Ta có: 95 + 1 =10 (94 – 93 + 92 – 9 + 1) Số: 94 + 92 +1 tận cùng là 3 93 + 9 tận cùng là 8 Suy ra (94 – 93 + 92 – 9 + 1) tận cùng là 5 ⇒ 94 – 93 – 92 – 9 +... -1 Số n = 99 tận cùng là 9 n n 9 Suy ra 10n tận cùng là 90 ⇒ a =10n -1 tận cùng là 89 Vậy số A = 9 9 có hai chữ số cuối cùng là 89 9 Bài 12: Tìm hai chữ số tận cùng của số: B Giải: 99 99 99 B= 99 = (10-1) với m =99 9 1 = c 0 10m - c 1 10m-1+…+ c m − 10-c m m m m m ⇒ B có hai chữ số cuối cùng với số: 1 B= c m − 10-c n = 10m-1 m m Số m =99 9 tận cùng là 9 Suy ra: số b tận cùng là 89 Vậy: Số B= 99 có hai... n: 5 dư 3 suy ra n2 +1 =(5k+3)2+1 = (5k)2+30k +9+ 1  ⇒ A  5 5 n: 5 dư 4 suy ra n+1 5 ⇒ A  5 Vậy A  và A  ⇔ A 10 2 5 5 Vậy n và n có cùng chữ số tận cùng Bài 5: Chứng minh rằng 199 1 199 7- 199 7 199 6  10 Giải Là chứng minh 2 số có cùng chữ số tận cùng: Theo bài 4 phương pháp 3 Ta có 199 1 199 7 và 199 7 199 6 có cùng chữ số tận cùng là 1 Suy ra 199 1 199 7- 199 7 199 6  10 Bài 6: Tích 1125! tận cùng là bao nhiêu... 5 ⇒ 95 + 1 = 100q + 50 ⇒ 91 0 – 1 = (95 + 1) (95 – 1) = 100t Ta lại có: 31000 - 1 = 95 00 – 1 = (91 0)50 – 1 suy ra 31000 – 1 100 ⇒ 31000 tận cùng là 01 Mặt khác 31000 3 Suy ra chữ số hàng trăm của 31000 phải là 2 (để 201 chia hết cho 3) ⇒ 31000 chữ số tận cùng là 201 Do đó 399 9 tận cùng là 67 Bài 11: Tìm hai chữ số tận cùng của số A= 9 9 Giải : 9 9 A = 9 9 = (10 -1 )9 có dạng: (10 – 1)n với n =99 ta... Tìm bốn chữ số tận cùng của 5 199 2 Giải 5 199 2 =(54) 498 =625 498 =0625 498 =(…0625) Vậy bốn chữ số tận cùng của 5 199 2 là 0625 Bài 2: Tìm ba chữ số tận cùng của số T = 594 6 Giải Ta có 53 có ba chữ số tận cùng là 125 Suy ra T = 594 6 = (53)315.5=( n125 )315.5= m125 5= t 625 (Với n, m, t ∈ N) Vậy T = 594 6 có ba chữ số tận cùng là 125 Bài 3: Tìm 4 chữ số tận cùng của số: P=5 199 4 Giải Ta có: 54=0625 tận cùng... n, k, t ∈ N) Vậy Z= 26854 có hai chữ số tận cùng là 76 b) Ta có 684 có hai chữ số tận cùng là 76 Suy ra C= 68 194 = (684)48.682= ( n76 )48.4624 = k 76 4624 = t 24 (với n, k, t ∈ N) Vậy C=68 194 có hai chữ số tận cùng là 24 Bài 6: Tìm hai chữ số tận cùng của a.D= 299 9 b.G= 399 9 Giải: A.Ta có: 299 9=21000 : 2 Ta có: 220 = 1048576 ≡ 1 (mod 25) Suy ra: (220)50 ≡ 150 (mod 25) 21000 ≡ 1 (mod 25) 21000 chia cho... a/ 132001-82001 b/7552-218 c/12 591 +12 692 d/116+126+136+146+156+166 Bài 7: Chứng tỏ rằng với mọi n ∈N* (n>1) thì (22)n +1 có chữ số tận cùng là 7 Bài 8: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên đầu tiên n: a/74n-1 chia hết cho 5 b/34n+1+2 chia hết cho 5 c/24n+1+3 chia hết cho 5 d/24n+2+1 chia hết cho 5 e /92 n+1+1 chia hết cho 10 Bài 9: Tìm hai chữ số tận cùng của a/5151 b (99 99) 99 c/6666 d/14101 16101 ... số tận cùng của nó là 88 b Ta có: 34 ≡ 19 (mod 100) suy ra 38 ≡ 192 ≡ 6 (mod 100) 310 ≡ 61 .9 ≡ 49 (mod 100) suy ra 3100 ≡ 492 ≡ 1 (mod 100) Suy ra: 31000 ≡ 01 (mod 100) Nghĩa là hai chữ số tận cùng của 31000 là 01 Số 31000  nên chữ số hàng trăm của nó khi chia cho 3 phải dư 2 (chia tiếp thì số 201: 3 3 nếu số dư là 0,1 thì 001; 101 không chia hết cho 3) Vậy 399 9=31000  có hai chữ số tận cùng là 76 . (mod 100) Suy ra: 9 9 9 = 9 10k +9 = (9 10 ) k .9 9 ≡ 1 .9 9 (mod 100) Ta lại có: 9 3 = 7 29 ≡ 29 (mod 100) 9 9 = 29 3 ≡ 89 (mod 100) Vậy 9 9 9 có hai chữ số. cuối cùng là 89 Bài 8: Tìm chữ số tận cùng của số 199 1 199 7 ; 199 7 199 6 Giải: Ta có: 199 1 ≡ 1 (mod 10) suy ra 199 1 199 7 ≡ 1 (mod 10) Vậy 199 1 199 7 có chữ