ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - ĐÀO QUỲNH ANH ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN G −METRIC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - ĐÀO QUỲNH ANH ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO CYCLIC TRONG KHƠNG GIAN G −METRIC VÀ ỨNG DỤNG Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN - 2020 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa cơng bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Đào Quỳnh Anh ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2020 Tác giả Đào Quỳnh Anh iii MỤC LỤC TRANG BÌA PHỤ i LỜI CAM ĐOAN ii LỜI CẢM ƠN iii MỤC LỤC iv MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian G - metric 1.2 Điểm bất động ánh xạ cyclic co Banach f - co yếu cyclic không gian G - metric 1.3 w - khoảng cách không gian G - metric Chương ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO CYCLIC TRÊN KHÔNG GIAN G - METRIC 2.1 Điểm bất động ánh xạ f - co cyclic không gian G - metric 2.2 Điểm bất động ánh xạ ( y , f ) - co cyclic không gian G - metric 13 2.3 Ứng dụng tồn tính nghiệm cho lớp phương trình tích phân phi tuyến 22 2.4 Điểm bất động chung ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện w - khoảng cách 24 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 iv MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động đóng vai trị quan trọng hữu ích tốn học Nó áp dụng lĩnh vực khác lí thuyết bất đẳng thức biến phân, lí thuyết tối ưu hóa lý thuyết xấp xỉ Khả ứng dụng rộng rãi lý thuyết điểm bất động lĩnh vực khác dẫn đến số suy rộng khơng gian metric Trong số đó, đề cập đến không gian quasimetric, không gian metric riêng, không gian D-metric không gian Gmetric Một số suy rộng thú vị không gian G-metric giới thiệu Mustafa and Sims [12] vào năm 2006, thu hút ý nhà tốn học Từ đó, số định lý điểm bất động không gian metric suy rộng nhiều tác giả giới thiệu như: H Aydi [2], V Berinde [4], D Boyd, J Wong [6], E Karapınar [7-10], W Shatanawi [14],… Một chủ đề hấp dẫn khác lý thuyết điểm bất động khái niệm ánh xạ cyclic giới thiệu Krik [11] cộng vào năm 2003 Từ đó, điểm bất động ánh xạ thỏa mãn điều kiện co cyclic thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả nước Năm 2005, Petrusel chứng minh số kết điểm tuần hoàn ánh xạ co cyclic Kết tổng quát hóa kết Kirk Năm 2010, Pacurar Rus [13] chứng minh số kết điểm bất động ánh xạ f - co cyclic không gian metric Năm 2011, Karapınar [7] đạt kết điểm bất động ánh xạ f - co yếu cyclic Năm 2014, N Bilgili, I M Erhan, E Karapınar D Turkoglu [5] đã đạt kết điểm bất động ánh xạ co cyclic không gian G - metric Theo hướng nghiên cứu chọn đề tài “ Định lí điểm bất động ánh xạ co cyclic không gian G-metric ứng dụng ” Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Nội dung đề tài viết chủ yếu dựa tài liệu [3] [14] gồm 37 trang, gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số khái niệm tính chất khơng gian G-metric số kết điểm bất động ánh xạ Cyclic co Banach ánh xạ f - co yếu Cyclic mở rộng không gian G - metric Chương 2: Là nội dung đề tài, trình bày số kết điểm bất động ánh xạ f - co cyclic ánh xạ ( y , f ) - co cyclic điểm bất động chung ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện w - khoảng cách không gian G - metric Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian G-metric Định nghĩa 1.1.1 Cho E tập khác rỗng, hàm G : E ® ¡ + gọi G - metric E với " a, b, c, r Ỵ E điều kiện sau thỏa mãn: (G 1) G (a, b, c) = a = b = c , (G 2) < G (a, a, b) với a, b Î E với a ¹ b , (G 3) G (a, a, b) £ G (a, b, c) với a, b, c ẻ E vi b c , (G 4) G (a, b, c) = G (a, c, b) = G (b, c, a ) = ( đối xứng ba biến), (G 5) G (a, b, c) £ G (a, r , r ) + G (r , b, c) (bất đẳng thức hình chữ nhật) Khi cặp (E ,G ) gọi không gian G - metric Chú ý G - metric E xác định metric r G E r G (a, b) = G (a, b, b) + G (b, a, a ) với mọia, b Ỵ E (1.1) Ví dụ 1.1.2 Cho (E , r ) không gian metric Hàm G : E ® ¡ + xác định G (a, b, c) = m ax{r (a, b), r (b, c), r (c, a )} , (1.2) với a, b, c Ỵ E , G - metric E Ví dụ 1.1.3 Cho E = [0, + Ơ ) Hm G : E đ ¡ + , xác định G (a, b, c) = | a - b | + | b - c | + | c - a | , (1.3) với " a, b, c Ỵ E , G - metric E Định nghĩa 1.1.4 Cho (E ,G ) không gian G - metric Dãy {an } Ì E gọi G - hội t n a ẻ E nu limn ,m đ + ¥ G (a, an , am ) = , (1.4) tức là, với e > tùy ý, tn ti N ẻ Ơ cho G (a, an , a m ) < e với n , m ³ N Ta gọi a giới hạn dãy viết a n ® a hay lim an = a Mệnh đề 1.1.5 Cho (E ,G ) khơng gian G - metric Khi mệnh đề sau tương đương: (1) {an } G - hội tụ đến a (2) G (an , an , a ) ® n ® + ¥ , (3) G (a n , a, a ) đ n đ + Ơ , (4) G (an , am , a ) ® n, m đ + Ơ nh ngha 1.1.6 Cho (E ,G ) không gian G - metric Dãy {an } gọi dãy G - Cauchy với e > tùy ý, tồn N Ỵ ¥ : G (an , am , al ) < e với " m , n , l ³ N , tức G (an , am , al ) ® m , n , l ® + ¥ Mệnh đề 1.1.7 Cho (X ,G ) khơng gian G - metric Khi mệnh đề sau tương đương: (1) {an } dãy G - Cauchy (2) Với e > , $N ẻ Ơ cho G (an , am , am ) < e , với " m , n ³ N Định nghĩa 1.1.8 Không gian G - metric (E ,G ) gọi đầy đủ dãy G - Cauchy hội tụ (E ,G ) Định nghĩa 1.1.9 Cho (E ,G ) không gian G - metric Ánh xạ T : E ® E gọi liên tục với ba dãy G - hội tụ {a n } , {bn } {cn } hội tụ đến a, b, c , {T (a n , bn , cn )} G - hội tụ đến T (a, b, c ) Định nghĩa 1.1.10 Một G - metric G gọi đối xứng G (a, a, b) = G (a, b, b) , " p, q Ỵ E Mỗi G - metric G E sinh tôpô t G E có sở họ G hình cầu mở {B G (a, e), a Ỵ E , e > 0}, { } BG (a, e) = b Ỵ E , G (a, b, b) < e với a Ỵ E e > Tp A ặ (E ,G ) l G - đóng A = A , a ẻ A BG (a, e) ầ A , với e > Mệnh đề 1.1.11 Cho (E ,G ) không gian G - metric A tập khác rỗng E A đóng với dãy {a n } hội tụ đến a , a Ỵ A Năm 2012, Karapınar, Yıldız-Ulus Erhan [5] đạt số kết điểm bất động ánh xạ cyclic co Banach f - co yếu cyclic mở rộng không gian G - metric Cụ thể sau; 1.2 Điểm bất động ánh xạ cyclic co Banach f - co yếu cyclic không gian G - metric Định nghĩa 1.2.1 Cho A B hai tập khác rỗng không gian E Một ánh xạ T : A È B ® A È B gọi cyclic T (A ) Í B T (B ) Í A Định nghĩa 1.2.2 Cho Fi , i = 1, 2, , m tập khác rỗng, F = ánh xạ f : F ® F m U i= m U i= Fi , Fi gọi biểu diễn cyclic F f f (F1 ) Ì F2 ,…, f (Fm - ) Ì Fm , f (Fm ) Ì F1 Định lý 1.2.3 [10] Cho (E ,G ) không gian G - metric đầy đủ {Fj }mj = Ì E , F j úng, Fj ặ t F = Èmj= 1Fj Cho S : F ® F thỏa mãn S (Fj ) Í Fj + , j = 1, , m , Fm + = F1 Nếu $ l Ỵ (0,1) : G (Sa, Sb, Sc) £ l G (a, b, c) xảy với " a Ỵ Fj b, c Ỵ Fj + , j = 1, , m S có điểm bất động Çmj= 1Fj x , y Ỵ ¡ , x £ y Þ k (t , s, x ) ³ k (t , s, y ) (2.22) Cuối lấy t , s Ỵ [0,1], x, y Ỵ ¡ cho (x £ b y ³ a ) ( x ³ a y £ b ) (x ³ a y ³ a ) k (t , s, x ) - k (t , s, y ) £ f x- y , f Ỵ F ( ) (2.23) Đặt W = {u Ỵ X , a £ u £ b } Định lý 2.3.1 Với giả thiết (2.19) – (2.23), Bài tốn (2.18) có nghiệm u Ỵ W Chứng minh Đặt F1 = {u Ỵ E , u £ b } F2 = {u Ỵ E , u ³ a } Ta có F1 F2 đóng Trước tiên, ta kiểm tra S (F1 ) Ì F2 S (F2 ) Ì F1 Với u Ỵ F1 , ta có u(s ) £ b (s ) Theo giả thiết (2.22), ta có k (t , s, u(s )) ³ k (t , s, b (s )) với t Ỵ [0,1] Do đó, từ (2.20) ta có Su (t ) = ò k (ts, u(s ))ds ³ ò k (t , s, b (s )) ³ a (t ), suy Su Ỵ F2 Tương tự, lấy u Ỵ A2 , ta có u(s ) ³ a (s ) Theo giả thiết (2.22), ta có k (t , s, u(s )) £ k (t , s, a (s )) với t Î [0,1] Do đó, từ (2.20) ta có Su (t ) = ò k (t , s, u(s ))ds £ ò k (t , s, a (s ))ds £ 0 suy Su Ỵ F1 23 b (t ) , Lấy (u, v, w) Ỵ F1 ´ F2 ´ F2 , cho với t Î [0,1] ta có u (t ) £ b (t ) , v(t ) ³ a (t ) w(t ) ³ a (t ) Từ điều kiện (2.19) suy với t Ỵ [0,1], ta có u (t ) £ b , v (t ) ³ a w(t ) ³ a Theo (2.23) bất đẳng thức trên, ta có Su (t ) - Sv(t ) £ ò k (t , s, u(s )) - k (t , s, v(s ))ds 1 £ ò f (| u (s ) - v(s ) | ds £ 1 f (max | u ( t ) v ( t ) |) £ f (G ¥ (u, v, w )) t Ỵ éëê0,1ùûú Do dó max | Su (t ) - Sv(t ) | £ é ù f (G ¥ (u, v, w )) max | Sv(t ) - Sw(t ) | £ é ù f (G ¥ (u, v, w )) max | Sw(t ) - Su (t ) | £ é ù f (G ¥ (u, v, w )) t Î ëê0,1û ú Tương tự, ta có t Î êë0,1ú û Và t Ỵ ëê0,1û ú Cộng ba bất đẳng thức trên, ta G ¥ (Su , Sv, Sw ) £ f (G ¥ (u, v, w )) Các giả thiết Định lý 2.1.3 thỏa mãn S có điểm bất động u Î F1 Ç F2 = W , tức u nghiệm thỏa mãn (2.18) 2.4 Điểm bất động chung ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện w khoảng cách Định lí 2.4.1 Cho (E ,G ) không gian G - metric đầy đủ w w - khoảng cách E cho E w - bị chặn Cho A B hai tập đóng khơng 24 rỗng E tôpô cảm sinh G với E = A U B , A I B ặ Giả sử f , g : A U B ® A U B hai ánh xạ cho f (A ) Í B g(B ) Í A giả sử tồn k Ỵ [0,1 / 2) cho điều kiện sau xảy ra: i ) w( fa, gfa, gb) £ k[w(a, fa, fa ) + w(b, gb, gb)] với " a Ỵ A, " b Ỵ B (2.24) ii ) w(ga, fga, fb) £ k [w(a, ga, ga ) + w(b, fb, fb)] với " b Î A, " a Î B (2.25) iii ) w( fa, gfa, fb) £ k[w(a, fa, fa ) + w(b, fb, fb)] với " a, b Ỵ A (2.26) iv ) w(ga, fga, gb) £ k[w(a, ga, ga ) + w(b, fb, fb)] với " a, b Ỵ B (2.27) Nếu f g liên tục f g có điểm bất động chung A I B Chứng minh Lấy a Ỵ A Vì f (A ) Í B nên f (a ) = a1 Ỵ B Vì g(B ) Í A nên ga1 = a Ỵ A Tiếp tục lập luận ta dãy {an } Ì E cho fa2n = a2n + , a 2n Ỵ A ga2n + = a2n + , a2n + Ỵ B , n ẻ Ơ ẩ {0} Vỡ E l w - bị chặn nên $ M ³ cho w(a, b, c) £ M với a, b, c Î E Ta chứng minh w(an , an + 1, an + s ) £ qn - 1M vi mi n , s ẻ Ơ v q = k 1- k Cho n , s ẻ Ơ , xét bốn trường hợp sau đây: Trường hợp n chẵn s chẵn Khi n = 2t , t ẻ Ơ Theo (2.27), ta cú w(an , an + 1, an + s ) = w(a2t , a2t + 1, a2t + s ) = w(ga2t - 1, fga2t - 1, ga2t + s - 1) £ k[w(a2t - 1, a2t , a2t ) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t + s )] Theo (2.24), ta có w(a2t - 1, a2t , a2t ) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t + s ) 25 (2.28) = w( fa2t - 2, gfa2t - 2, ga2t - 1) + w( fa2t + s - 2, gfa2t + s - 2, ga2t + s - 1) £ k [w(a 2t - 2, a 2t - 1, a 2t - ) + w(a 2t - 1, a 2t , a 2t )]+ k[w(a2t + s - 2, a2t + s - 1, a2t + s - 1) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t + s )] Do w(a2t - 1, a2t , a2t ) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t + s ) £ k [w(a2t - 2, a2t - 1, a2t - ) + w(a2t + s - 2, a 2t + s - 1, a2t + s - )] 1- k £ q[w(a2t - 2, a2t - 1, a2t - 1) + w(a2t + s - 2, a2t + s - 1, a2t + s - 1)] …… £ qn - 1[w(a0, a1, a1) + w(as , as + 1, as + 1)] Vì E w - bị chặn nên w(a2t - 1, a2t , a2t ) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t + s ) £ 2qn - 1M Từ từ (2.28)) suy w(an , an + 1, an + s ) £ k.2qn - 1M £ qn - 1M k < / Như w(an , an + 1, an + s ) £ qn - 1M (2.29) Trường hợp n lẻ, s chẵn n = 2t + vi t ẻ Ơ ẩ {0} Theo (2.26), ta có w(a, b, c) £ M w(an , an + 1, an + s ) = w(a2t , a2t + 1, a2t + s ) = w( fa2t , gfa2t , fa2t + s ) £ k[w(a2t , a2t + 1, a2t + 1) + w(a2t + s , a2t + s + 1, a2t + s + 1)] Theo (2.25), ta w(a2t , a2t + 1, a2t + 1) + w(a2t + s , a2t + s + 1, a2t + s + 1) 26 (2.30) = w(ga2t - 1, fga2t - 1, fa2t ) + w(ga2t + s - 1, fga2t + s - 1, fa2t + s ) £ k[w(a2t - 1, a2t , a2t ) + w(a2t , a2t + 1, a2t + 1)] + k[w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t + s ) + w(a2t + s , a2t + s + 1, a2t + s + 1)] Do w(a2t , a2t + 1, a2t + 1) + w(a2t + s , a2t + s + 1, a2t + s + 1) £ k [w(a2t - 1, a2t , a2t ) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t + s )] 1- k £ q[w(a2t - 1, a2t , a2t ) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t + s )] … £ qn - 1[w(a0, a1, a1) + w(as , as + 1, as + 1)] Vì E w - bị chặn nên w(a2t , a2t + 1, a2t + 1) + w(a2t + s , a2t + s + 1, a2t + s + 1) £ 2qn - 1M Nhưng k < / nên (2.30) trở thành w(an , an + 1, an + s ) £ qn - 1M Trường hợp n chẵn, s lẻ Khi n = 2t , t ẻ Ơ Theo (2.25), ta cú w(an , an + 1, an + s ) = w(a2t , a2t + 1, a2t + s ) = w(ga2t - 1, fga2t - 1, fa2t + s - 1) £ k[w(a2t - 1, a2t , a2t ) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t + s )] Do (2.24) (2.25), ta có w(a2t - 1, a2t , a2t ) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t + s ) = w( fa2t - 2, gfa2t - 2, ga2t - 1) + w(ga2t + s - 2, fga2t + s - 2, fa2t + s - 1) £ k [w(a 2t - 2, a 2t - 1, a 2t - ) + w(a 2t - 1, a 2t , a 2t )] + k[w(a2t + s - 2, a2t + s - 1, a2t + s - 1) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t + s )] Do 27 (2.31) w(a2t - 1, a2t , a2t ) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t + s ) £ k [w(a2t - 2, a2t - 1, a2t - ) + w(a2t + s - 2, a 2t + s - 1, a2t + s - )] 1- k £ q[w(a2t - 2, a2t - 1, a2t - 1) + w(a2t + s - 2, a2t + s - 1, a2t + s - 1)] … £ qn - 1[w(a0, a1, a1) + w(as , as + 1, as + 1)] Vì E w - bị chặn nên w(a2t - 1, a2t , a2t ) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t + s ) £ 2qn - 1M Nhưng k < / nên (2.31) trở thành w(an , an + 1, an + s ) £ qn - 1M Trường hợp n lẻ, s lẻ n = 2t + vi t ẻ Ơ ẩ {0} Theo (2.24), ta có w(an , an + 1, an + s ) = w(a2t + 1, a2t + 2, a2t + s + 1) = w( fa2t , gfa2t , ga2t + s ) £ k[w(a2t , a2t + 1, a2t + 1) + w(a2t + s , a2t + s + 1, a2t + s + 1)] Do (2.24) (2.25), ta có w(a2t , a2t + 1, a2t + 1) + w(a2t + s , a2t + s + 1, a2t + s + 1) = w(ga2t - 1, fga2t - 1, fa2t ) + w( fa2t + s - 1, gfa2t + s - 1, ga2t + s ) £ k[w(a2t - 1, a2t , a2t ) + w(a2t , a2t + 1, a2t + 1)] + k[w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t + s ) + w(a2t + s , a2t + s + 1, a2t + s + 1)] Do w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t + s ) + w(a2t + s , a2t + s + 1, a2t + s + 1) £ k [w(a2t - 1, a2t , a2t ) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t + s ) 1- k £ q[w(a2t - 1, a2t , a2t ) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t + s )] 28 (2.32) …… £ qn - 1[w(a0, a1, a1) + w(as , as + 1, as + 1)] Vì E w - bị chặn nên w(a2t , a2t + 1, a2t + 1) + w(a2t + s , a2t + s + 1, a2t + s + 1) £ 2qn - 1M Nhưng k < / nên bất đẳng thức (2.32) trở thành w(an , an + 1, an + s ) £ qn - 1M Như trường hợp ta có w(an , an + 1, an + s ) £ qn - 1M với n , s ẻ Ơ Bõy gi, vi mi l ³ m ³ n , ta có w(an , am , al ) £ w(an , an + 1, an + 1) + w(an + 1, an + 2, an + ) + + w(am - 1, a m , al ) £ q M + q M + + q n- n qn M M £ 1- q m- Theo Bổ đề 1.3.3, {an } dãy G - Cauchy, nên $u Ỵ E cho {an } G hội tụ đến u Do dãy {a2n + 1} = {fa2n } , {a2n + } = {ga2n + 1} {an } G - hội tụ đến u Nếu f liên tục lim fa2n = fu lim a2n + = u Do tớnh nht ca gii nđ Ơ nđ Ơ hạn, ta có fu = u Nếu g liên tục lim ga2n + = gu lim a2n + = u Suy gu = u nđ Ơ nđ Ơ Vỡ {a 2n } Ì A , mà A đóng nên u Ỵ A Mặt khác, {a2n + 1} Ì B , B đóng nên u Ỵ B Do u = fu = gu điểm bất động chung f g A Ç B Theo (2.24), ta có w(u, u, u ) = w( fu, gfu, gu ) £ k[w(u, u, u ) + w(u, u, u )] £ 2kw(u, u, u ) Vì k < / nên suy w(u, u, u ) = 29 Bây giả sử v điểm bất động khác f g Khi theo (2.24), ta có w(v, u, u ) = w( fv, gfv, gu ) £ k[w(v, v, v ) + w(u, u, u )] Vì v = fv = gv nên w(v, v, v ) = theo w(u, u, u ) = , nên w(v, u, u ) = Theo định nghĩa w - khoảng cách, G (v, v, u ) = Do v = u Vậy u điểm bất động chung f g Định lí 2.4.2 Cho (E ,G ) khơng gian G - metric đầy đủ w w - khoảng cách E cho E w - bị chặn Cho A B hai tập đóng khơng rỗng E với E = A U B Giả sử f , g : A U B ® A U B hai ánh xạ cho f (A ) Í B g(B ) Í A giả sử tồn k Ỵ [0,1 / 2) cho điều kiện sau xảy ra: i ) w( fa, gfa, gb) £ k[w(a, fa, b) + w(b, gb, a )] với " a Ỵ A, " b Ỵ B (2.33) ii ) w(ga, gfa, fb) £ k[w(a, fa, b) + w(b, fb, a )] với " a, b Ỵ A (2.34) iii ) w(ga, fga, fb) £ k[w(a, ga, b) + w(b, fb, a )] với " b Ỵ A, " a Ỵ B (2.35) iv ) w(ga, fga, gb) £ k[w(a, ga, b) + w(b, gb, a )] với " a, b Ỵ B (2.36) Nếu f g liên tục f g có điểm bất động chung A I B Chứng minh Lấy a Ỵ A Vì f (A ) Í B nên f (a ) = a1 Ỵ B Vì g(B ) Í A nên ga1 = a Ỵ A Tiếp tục trình ta dãy {an } Ì E cho fa2n = a2n + , a 2n Ỵ A ga2n + = a2n + , a2n + Ỵ B , n ẻ Ơ ẩ {0} Vỡ E l w - bị chặn nên $ M ³ cho w(a, b, c) £ M với $ a, b, c Î E Ta chứng minh w(an , an + 1, an + s ) £ (2k )n M vi " n , s ẻ Ơ 30 Vi n , s ẻ Ơ , xột bn trng hp sau đây: Trường hợp n chẵn s chẵn Khi ú n = 2t , t ẻ Ơ Theo (2.36), ta có w(an , an + 1, an + s ) = w(a2t , a2t + 1, a2t + s ) = w(ga2t - 1, fga2t - 1, ga2t + s - 1) £ k[w(a2t - 1, a2t , a2t + s - 1) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t - 1)] (2.37) Theo (2.34), ta có w(a2t - 1, a2t , a2t + s - 1) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t - 1) = w( fa2t - 2, gfa2t - 2, fa2t + s - ) + w( fa2t + s - 2, gfa2t + s - 2, fa2t - ) £ k[w(a2t - 2, a2t - 1, a2t + s - ) + w(a2t + s - 2, a2t + s - 1, a2t - )]+ k[w(a2t + s - 2, a2t + s - 1, a2t - ) + w(a2t - 2, a2t - 1, a2t + s - )] £ 2k[w(a2t - 2, a2t - 1, a2t + s - ) + w(a2t + s - 2, a2t + s - 1, a2t - )] …… £ (2k )n - 1[w(a0, a1, as ) + w(as , as + 1, a )] Vì E w - bị chặn nên w(a2t - 1, a2t , a2t + s - 1) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t - 1) £ (2k )n - 1.2M Như (2.37) trở thành w(an , an + 1, an + s ) £ (2k )n M Trường hợp n lẻ, s chẵn n = 2t + vi t ẻ Ơ ẩ {0} Theo (2.34), ta có w(a, b, c) £ M w(an , an + 1, an + s ) = w(a2t + 1, a2t + 2, a2t + s + 1) = w( fa2t , gfa2t , fa2t + s ) £ k[w(a2t , a2t + 1, a2t + s ) + w(a2t + s , a2t + s + 1, a2t )] Theo (2.36), ta có 31 (2.38) w(a2t , a2t + 1, a2t + s ) + w(a2t + s , a2t + s + 1, a2t ) = w(ga2t - 1, fga2t - 1, ga2t + s - 1) + w(ga2t + s - 1, fga2t + s - 1, ga2t - 1) £ k[w(a2t - 1, a2t , a2t + s - 1) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t - 1)] + k[w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t - 1) + w(a2t - 1, a2t , a2t + s - 1)] £ 2k[w(a2t - 1, a2t , a2t + s - 1) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t - 1)] … £ (2k )n - 1[w(a0, a1, as ) + w(as , as + 1, a )] Vì E w - bị chặn nên w(a2t , a2t + 1, a2t + s ) + w(a2t + s , a2t + s + 1, a2t ) £ (2k )n - 12M Như bất đẳng thức (2.38) trở thành w(an , an + 1, an + s ) £ (2k )n M Trường hợp n chẵn, s lẻ Khi n = 2t , t Ỵ ¥ Theo (2.35), ta có w(an , an + 1, an + s ) = w(a2t , a2t + 1, a2t + s ) = w(ga2t - 1, fga2t - 1, fa2t + s - 1) £ k[w(a2t - 1, a2t , a2t + s - 1) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t - 1)] Do (2.33) (2.35), ta có w(a2t - 1, a2t , a2t + s - 1) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t - 1) = w( fa2t - 2, gfa2t - 2, ga2t + s - ) + w(ga2t + s - 2, fga2t + s - 2, fa2t - ) £ k[w(a2t - 2, a2t - 1, a2t + s - ) + w(a2t + s - 2, a2t + s - 1, a2t - )] + k[w(a2t + s - 2, a2t + s - 1, a2t - ) + w(a2t - 2, a2t - 1, a2t + s - )] £ 2k[w(a2t - 2, a2t - 1, a2t + s - ) + w(a2t + s - 2, a2t + s - 1, a2t - )] … £ (2k )n - 1[w(a0, a1, as ) + w(as , as + 1, a )] 32 (2.39) Vì E w - bị chặn nên w(a2t - 1, a2t , a2t + s - 1) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t - 1) £ (2k )n - 12M Như bất đẳng thức (2.39) trở thành w(an , an + 1, an + s ) £ (2k )n - 1M Trường hợp n lẻ, s lẻ n = 2t + vi t ẻ Ơ ẩ {0} Theo (2.33), ta có w(an , an + 1, an + s ) = w(a2t + 1, a2t + 2, a2t + s + 1) = w( fa2t , gfa2t , ga2t + s ) £ k[w(a2t , a2t + 1, a2t + s ) + w(a2t + s , a2t + s + 1, a2t )] (2.40) Do (2.33) (2.35), ta có w(a2t , a2t + 1, a2t + s ) + w(a2t + s , a2t + s + 1, a2t ) = w(ga2t - 1, fga2t - 1, fa2t + s - 1) + w( fa2t + s - 1, gfa2t + s - 1, ga2t - 1) £ k[w(a2t - 1, a2t , a2t + s - 1) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t - 1)] + k[w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t - 1) + w(a2t - 1, a2t , a2t + s - 1)] £ 2k[w(a2t - 1, a2t , a2t + s - 1) + w(a2t + s - 1, a2t + s , a2t - 1)] …… £ (2k )n - 1[w(a0, a1, as ) + w(as , as + 1, a )] Vì E w - bị chặn nên w(a2t , a2t + 1, a2t + s ) + w(a2t + s , a2t + s + 1, a2t ) £ (2k )n - 12M Bất đẳng thức (2.40) trở thành w(an , an + 1, an + s ) £ (2k )n - 1M Như trường hợp ta có w(an , an + 1, an + s ) £ (2k )n - 1M vi mi n , s ẻ Ơ Bây giờ, với l ³ m ³ n , ta có w(an , am , al ) £ w(an , an + 1, an + 1) + w(an + 1, an + 2, an + ) + + w(am - 1, am , al ) 33 £ (2k )n - M + (2k )n M + + (2k )m - M £ (2k )n M - (2k ) Theo Bổ đề 1.3.3, {an } dãy G - Cauchy, nên tồn u Ỵ E cho {an } G - hội tụ đến u Do dãy {a2n + 1} = {fa2n } , {a2n + } = {ga2n + 1} {an } G - hội tụ đến u Nếu f liên tục lim fa2n = fu lim a2n + = u Do tính giới n® ¥ n® ¥ hạn, ta có fu = u Nếu g liên tục lim ga2n + = gu lim a2n + = u Suy gu = u nđ Ơ nđ Ơ Vỡ {a 2n } Ì A {a2n + 1} Ì B mà A B đóng nên u Ỵ A Ç B Do u = fu = gu điểm bất động chung f g A Ç B Giả sử v điểm bất động khác f g Khi theo (2.33), ta có w(v, v, v ) = w( fv, gfv, gv ) £ k[w(v, v, v ) + w(v, v, v )] hay w(v, v, v ) £ 2kw(v, v, v ) Vì k < / nên điều xảy w(v, v, v ) = Lại theo (2.33), ta có w(v, v, u ) = w( fv, gfv, gu ) £ k[w(v, v, u ) + w(u, u, v )], suy w(v, v, u ) £ k w(u, u, v ) 1- k w(u, u, v ) £ k w(v, v, u ) 1- k Tương tự Vì k < / nên suy w(u, u, v ) = w(v, v, u ) = Theo định nghĩa w - khoảng cách, ta có G (v, v, u ) = Do v = u Vậy u điểm bất động chung f g 34 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: Tổng quan hệ thống số khái niệm, tính chất sở khơng gian G - metric Một số kết điểm bất động ánh xạ Cyclic co Banach ánh xạ f - co yếu Cyclic không gian G - metric (Định lí 1.2.3 Định lí 1.2.6) Một số kết điểm bất động ánh xạ f - co Cyclic ánh xạ ( y , f ) - co cyclic không gian G - metric (Định lí 2.2.2 Định lí 2.2.4) Ứng dụng kết đạt vào việc chứng minh tồn nghiệm cho lớp phương trình tích phân phi tuyến (Định lí 2.3.1) Cuối số kết điểm bất động chung ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện w - khoảng cách (Định lí 2.4.1 Định lí 2.4.2) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] Alber Y.I, Guerre-Delabriere S (1997), “Principle of weakly contractive maps in Hilbert spaces,” vol 98 of Operator Theory: Advances and Applications, pp 7–22 Aydi H (2012), “A common fixed point of integral type contraction in generalized metric spaces”, J Advanced Math Studies (1), 111–117 35 [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] Aydi H., Felhi A., Sahmim S., (2017), “Related fixed point results for cyclic contractions on G-metric spaces and application”, Filomat 31:3 (2017), 853–869 DOI 10.2298/FIL1703853A Berinde V (1997), Contracii Generalizatii Aplicaii, vol 22, Editura Cub Press, Baia Mare Bilgili N., Erhan I.M., Karapınar E., D Turkoglu D., (2014), “ Cyclic Contractions and Related Fixed Point Theorems on G-Metric Spaces”, Appl Math Inf Sci 8, No 4, 1541–1551 Boyd D.W., Wong J.S.W (1969), “On nonlinear contractions,” Proceedings of the American Mathematical Society, vol 20, pp 458–464 Karapınar E (2011), “Fixed point theory for cyclic φ-weak contraction,” Applied Mathematics Letters, vol 24, no 6, pp 822–825, 2011 Karapınar E., (2011), “Fixed point theory for cyclic weak contraction”, Appl Math Lett 24, 822–825 Karapinar E., Erhan I.M (2012), “Cyclic contractions and fixed point theorems”, Filomat, vol 26, pp 777–782 Karapınar E., Yıldız-Ulus A., Erhan I.M (2012), “Cyclic contractions on G-Metric Spaces”, Hindawi Publishing Corporation Abstract and Applied Analysis Article ID 182947, 15 pages doi:10.1155/2012/182947 Kirk W.A., Srinivasan P.S., Veeramani P., (2003), “Fixed points for mappings satisfying cyclical contractive conditions”, Fixed Point Theory (1) 79–89 Mustafa Z., Sims B (2006), “A new approach to generalized metric spaces”, J Nonlinear Convex Anal (2), 289–297 Pacurar M., Rus I.A.(2010), “Fixed point theory for cyclic ϕcontractions,” Nonlinear Analysis Theory, Methods & Applications A, vol 72, no 3-4, pp 1181–1187 Shatanawi W., Maniu G., Bataihah A., Ahmad F.B (2017), “Common fixed points for mappings of cyclic form satisfying linear contractive 36 conditions with omega-distance”, U.P.B Sci Bull., Series A, Vol 79, Iss 2, 11-20 37 ... 1.1 Không gian G - metric 1.2 Điểm bất động ánh xạ cyclic co Banach f - co yếu cyclic không gian G - metric 1.3 w - khoảng cách không gian G - metric Chương ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO CYCLIC. .. CYCLIC TRÊN KHÔNG GIAN G - METRIC 2.1 Điểm bất động ánh xạ f - co cyclic không gian G - metric 2.2 Điểm bất động ánh xạ ( y , f ) - co cyclic không gian G - metric 13 2.3 Ứng dụng tồn tính nghiệm cho... số suy rộng khơng gian metric Trong số đó, đề cập đến không gian quasimetric, không gian metric riêng, không gian D -metric không gian Gmetric Một số suy rộng thú vị không gian G- metric giới thiệu