Giáo án Ơn thi HSG Tốn Năm học 2014 - 2015 Ngày soạn: 15/3/2015 Ngày giảng: 18/3/2015 CHUYÊN ĐỀ 1: THỰC HIỆN TÍNH VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC (tiết 1-4) I Kiến thức: - Sử dụng phép tính, phép biến đổi thức để giải - Các dạng tập: + Thực tính với biểu thức số + Rút gọn biểu thức đại số + So sánh biểu thức số II Bài tập tổng hợp: Tiết 1: Bài : 1) Đơn giản biểu thức : 2) Cho biểu thức : P = 14   14 � x2 Q= � � �x  x   x  2� x  � x1 � � x a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm x để Q > - Q c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên Hướng dẫn : P = a) ĐKXĐ : x > ; x � Biểu thức rút gọn : Q = x b) Q > - Q  x > c) x =  2;3 Q  Z Bài : Cho biểu thức P = x 1  x xx a) Rút gọn biểu thức sau P b) Tính giá trị biểu thức P x = Hướng dẫn : Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2014 - 2015 a) ĐKXĐ : x > ; x � Biểu thức rút gọn : P = b) Với x = x 1 1 x P = - – 2 Bài : Cho biểu thức : A = x x 1 x   x x 1 a) Rút gọn biểu thức sau A b) Tính giá trị biểu thức A x = c) Tìm x để A < d) Tìm x để A = A Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x �0, x � Biểu thức rút gọn : A = b) Với x = x x1 A = - c) Với  x < A < d) Với x > A = A � 1 � � �  1 Bài : Cho biểu thức : A = � � � � a  3� � a3 � a� a) Rút gọn biểu thức sau A b) Xác định a để biểu thức A > Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a > a �9 Biểu thức rút gọn : A = b) Với < a < biểu thức A > a 3 Tiết 2: Bài : Cho biểu thức: �x  x  x2  4x  1�x  2003  A= �  � x2  � x �x  x  1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa 2) Rút gọn A 3) Với x � Z ? để A � Z ? Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x ≠ ; x ≠  Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2014 - 2015 x  2003 với x ≠ ; x ≠  x c) x = - 2003 ; 2003 A �Z b) Biểu thức rút gọn : A =   �x x  x x  1� x  x   : � � x1 �x  x x  x � Bài : Cho biểu thức: A= � � a) Rút gọn A b) Tìm x để A < c) Tìm x ngun để A có giá trị nguyên Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x > ; x ≠ Biểu thức rút gọn : A = x 1 x1 b) Với < x < A < c) x =  4;9 A  Z Bài : Cho biểu thức: � x � x 1 : � � �x x  x  x  1 x � A= � �  x  a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng: < A < Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : x > ; x ≠ Biểu thức rút gọn : A = x  x 1 b) Ta xét hai trường hợp : +) A >  +) A <  x  x 1 x  x 1 > với x > ; x ≠ (1) <  2( x  x  ) >  x  x > theo gt x > (2) Từ (1) (2) suy < A < 2(đpcm) Bài : Cho biểu thức: P = a a  a 1 a   (a �0; a � 4) 4 a a a) Rút gọn P b) Tính giá trị P với a = Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a �0, a �4 Biểu thức rút gọn : P = a b) Ta thấy a =  ĐKXĐ Suy P = Tiết 3: Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So Giáo án Ơn thi HSG Tốn Năm học 2014 - 2015 � a a � � a a � 1 � � � � a  1� a  1� � � � � 1 N= � � Bài : Cho biểu thức: 1) Rút gọn biểu thức N 2) Tìm giá trị a để N = -2004 Hướng dẫn : a) ĐKXĐ : a �0, a �1 Biểu thức rút gọn : N = – a b) Ta thấy a = - 2004  ĐKXĐ Suy N = 2005 Bài 10 : Cho biểu thức P  x x  26 x  19 x x   x x  x x a Rút gọn P b Tính giá trị P x 7 c Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ Hướng dẫn : x 16 x 103 3 b) Ta thấy x 7  ĐKXĐ Suy P  22 a ) ĐKXĐ : x �0, x �1 Biểu thức rút gọn : P c) Pmin=4 x=4  x 3x    x  x :   Bài 11 : Cho biểu thức P    x  x  x     a Rút gọn P b Tìm x để P     1 x3  c Tìm giá trị nhỏ P Hướng dẫn : a ) ĐKXĐ : x �0, x �9 Biểu thức rút gọn : P  b Với 0 x  P    x c Pmin= -1 x = � a 1 a 1 �� � � a  Bài 12: Cho A= � �với x>0 ,x �1 � a 1  a 1  a � � a� � �� a Rút gọn A  b Tính A với a =   15   10    15  ( KQ : A= 4a ) Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So Giáo án Ơn thi HSG Tốn Năm học 2014 - 2015 Tiết 4: �x  x ��  x x 3 x 2�  1�� :   �với x �0 , x �9, x �4 ��x  x  x 2 x 3� � x9 �� � Bài 13: Cho A= � � a Rút gọn A b x= ? Thì A < c Tìm x �Z để A �Z ) x 2 (KQ : A= Bài 14: Cho A = 15 x  11 x  2 x    x  x  1 x x 3 với x �0 , x �1 a Rút gọn A b Tìm GTLN A c Tìm x để A = 2 d CMR : A � (KQ: A= x2 x 1   x x 1 x  x 1 1 x Bài 15: Cho A = 25 x ) x 3 với x �0 , x �1 a Rút gọn A b Tìm GTLN A ( KQ : A = x ) x  x 1   với x �0 , x �1 x 1 x x 1 x  x 1 Bài 16: Cho A = a Rút gọn A b CMR : �A �1 ( KQ : A x ) x  x 1 III Bài tập nhà: �x  x �� 25  x x 3 x 5�  1�� :   � �� x 5 x 3� �x  25 ��x  x  15 � Bài 17: Cho A = � � a Rút gọn A b Tìm x �Z để A �Z Bài 18: Cho A = a 9 a  a 1   a 5 a 6 a 2 3 a với a �0 , a �9 , a �4 a Rút gọn A b Tìm a để A < c Tìm a �Z để A �Z Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So = Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2014 - 2015 �x  x  Bài 19: Cho A= � � x4 � a Rút gọn A b So sánh A với  �� x  x 2 x � :   �� � với x > , x �4 x4� x  �� x  x  �� � A  3 � x y x  y � �:  Bài 20: Cho A = � �x y yx � � � x y   xy x y với x �0 , y �0, x �y a Rút gọn A b CMR : A �0 Bài 21 : Cho A = x x 1 x x 1 � �� x  x 1 �  � x  �  � Với x > , x �1 � x x x x � x �� x 1� � x 1 � a Rút gọn A b Tìm x để A = � �� x 2 �  :�  � � với x �0 , x �1 � � x  x x  x  x  �� x  x  � Bài 22: Cho A= � � a Rút gọn A b Tìm x �Z để A �Z c Tìm x để A đạt GTNN �2 x x x  ��2 x  �   :  1� �� � với x �0 , x �9 x  x  �� � x 3 �� x  � Bài 23 : Cho A = � � a Rút gọn A � x 1 x  x �� x  x  �   :  �� � với x �0 , x �1 Bài 24 : Cho A = � � x 1 x  x  �� x 1 � � �� x  � b Tìm x để A < - a Rút gọn A b Tính A với x =  c CMR : A �1 Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So Giáo án Ơn thi HSG Tốn Năm học 2014 - 2015 Ngày soạn: 17/3/2015 Ngày giảng: 20/3/2015 CHUYÊN ĐỀ 2: GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ (tiết 5-8) Phương pháp chung : Để giải phương trình chứa dấu ta tìm cách khử dấu - Tìm ĐKXĐ phương trình - Biến đổi đưa phương trình dạng học - Giải phương trình vừa tìm - So sánh kết với ĐKXĐ kết luận nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vơ tỉ: Tiết 1: a/ Phương pháp1: Nâng lên luỹ thừa (Bình phương lập phương vế PT):  Giải phương trình dạng : Ví dụ 1: f ( x)  g ( x ) Giải phương trình : x   x  (1) ĐKXĐ : x+1 0  x -1 Với x  -1 vế trái phương trình khơng âm Để phương trình có nghiệm x-1 0  x 1.Khi phương trình (1) tương đương với phương trình :  x 0  x 3 x+1 = (x-1)2  x2 -3x=  x(x-3) =   Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x =3 Ví dụ 2:  Giải phương trình: x  13  x x  x  13  x  0  x 1   13  x 0  x 13 ( 1) ĐKXĐ :    x 13 (2) Bình phương hai vế (1) ta : x  (13  x)  x  27 x  170 0 Phương trình có nghiệm x1 10 x 17 Chỉ có x1 10 thỗ mãn (2) Vậy nghiệm phương trình x 10 Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So Giáo án Ơn thi HSG Tốn Năm học 2014 - 2015 * Giải phương trình dạng : Ví dụ 3: f ( x )  h( x )  g ( x ) Giải phương trình:   x 1   x ĐKXĐ: 1 x   x 1 (1)  x 0   x 0 x 1 x     x 1 Bình phương hai vế phương trình (1) ta :  x 1  2  x   x  x  x  0 Phương trình có nghiệm x  Vậy nghiệm phương trình x  Ví dụ 4: Giải phương trình:  1 thỗ mãn (2)  1 x    x 2 (1) Lập phương trình hai vế (1) ta được: x    x  33 ( x  1)(7  x) 8  (x-1) (7- x) =  x =-1 (đều thoả mãn (1 ) x =7 (đều thoả mãn (1 ) Vậy x  1; x 7 nghiệm phương trình * Giải phương trình dạng : Ví dụ5:  f ( x )  h( x)  g (x) Giải phương trình x  - x  = 12  x x  = 12  x + x  (1)  x  0  ĐKXĐ: 12  x 0   x  0   x    x 12   x 12  x 7  Bình phương hai vế ta được: x- = (12  x)( x  7) (3) Ta thấy hai vế phương trình (3) thỗ mãn (2) bình phương vế phương trình (3) ta : (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)  5x2 - 84x + 352 = Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So Giáo án Ơn thi HSG Tốn Năm học 2014 - 2015 Phương trình có nghiệm x1 = Vậy x1 = 44 x2 = nghiệm phương trình * Giải phương trình dạng : Ví dụ 6: 44 x2 = thoả mãn (2) f ( x )  h( x)  g (x) + q (x) Giải phương trình : x  + x  10 = x  + x  (1) ĐKXĐ :  x  0  x  10 0    x  0  x  0   x   x   10    x   x    x ≥ -1 (2) Bình phương hai vế (1) ta : x+1 + x+ 10 + ( x  1)( x  10) = x+2 + x+ + ( x  2)( x  5)  2+ ( x  1)( x  10) = ( x  2)( x  5) (3) Với x  -1 hai vế (3) dương nên bình phương hai vế (3) ta ( x  1)( x  10) = 1- x Điều kiện x  -1 (4) Ta việc kết hợp (2) (4)  x    x   x = nghiệm nhầt phương trình (1) + / Lưu ý : Phương pháp nâng lên luỹ thừa sử dụng vào giải số dạng phương trình vơ tỉ quen thuộc, cần ý nâng lên luỹ thừa bậc chẵn Đưa vế dạng tổng biểu thức Chú ý điều kiện tồn căn, điều kiện hai vế phương trình vấn đề hay mắc sai lầm, chủ quan sử dụng phương pháp + / Bài tập nhà: x  = x- x  45 - x  16 =1  x x  = x+  x =  x -  (2 x  5)  x +  x =3 Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So x 1+ x = 2x  Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2014 - 2015 Tiết 2: b / Phương pháp : đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối : Ví dụ1: Giải phương trình: ĐKXĐ: x  24 x  16  x   x  24 x  16 0    x  0 (1)  (3x  4) 0x   x 4   x≤4 x  = -x + Phương trình (1)   3x   x     3x   x   x 2   x 0  Với x= x = nghiệm phương trình (đều thoả mãn x  ) Ví dụ : Giải phương trình : x  x 4 + x  x  16 = ĐKXĐ: x  R Phương trình tương đương : x  + x  = Lập bảng xét dấu : x x- - x- - + - + + Ta xét khoảng : + Khi x < ta có (2)  6-2x =5  x = 0,5(thoả mãn x  2) + Khi  x  ta có (2)  0x + =5 + Khi x > ta có (2)  2x – =5 vô nghiệm  x =5,5 (thoả mãn x > ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0,5 x = 5,5 Ví dụ : Giải phương trình: x  x  13 + x  x   = ; ĐKXĐ: x  Phương trình viết lại : ( x  1)  x   +   ( x  1)  x   = ( x   2) + x 1 + ( x   3) = x   =1 (1) - Nếu  x < ta có (1)  2- x  + - x  =  x  =2  x= không thuộc khoảng xét Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 10 Giáo án Ôn thi HSG Toán (do Năm học 2014 - 2015 ( x  2002) 0 x x > 0)  P2 Min = 8008  x = 2002  x = 2002 8008  BMin =  x = 2002 8008 Vậy BMin =  x = 2002 8008  P1 Max = Ví dụ 3: Cho a, b, c dương a + b + c = Tìm GTLN C = 5a  4b  5b  4c  5c  4a Giải: Do a, b, c >  C > Đặt: P = C2 PMax  CMax  Ta có: P = 5a  4b  5b  4c  5c  4a   P  (12 + 12 + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiacôpxki P  3.9(a + b + c) = 81 a + b + c =  PMax = 81  a = b = c =  C Max = 81  a = b = c =  CMax =   a = b = c = Vậy CMax =   a = b = c = Ví dụ 4: Cho x, y, z, t > x y t y tx t Tìm GTNN D = y  t  x  t  x  y  x  y  Giải : Đặt P = 2D ta có : 2x P = y t  xy t 2( y  t ) 2y 2(t  x) 2( x  y ) 2t     x tx y xy t  2x y  t   2y x  y 3 y t t  x x t t  x   2t               2x   t  x 2y   x  y 2t   x y t   y t y  t   2y x y 3 y t t x x y 2x t  x   2t                  y t 2x   t  x 2y   x  y 2t   x x y y t t  + + + (theo côsi) P=   P=   P P  15  PMin = 15  x = y = t >  DMin = 15 x=y=t Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 61 Giáo án Ơn thi HSG Tốn Vậy DMin = Năm học 2014 - 2015 15 x=y=t II Các tập : xy yz zx Cho x,y, z > x2 + y2 + z2 = Tìm GTNN A  z  x  y x8  x 1 x4 x8 Cho x  Tìm GTLN C = 16 x  x 1 Cho x  Tìm GTNN B = Cho a2 + b2 + c2 = Tìm GTLN D = a + 2b + 3c   1   a  b  a b bc cd d a    Cho a, b, c, d > Tìm GTNN F = bc d c d a d a b a bc   Cho a,b > a + b = Tìm GTNN E = 1  Cho a,b  |R Tìm GTNN G = a  (1  b)  b  (1  a) Phương pháp 05: Phương pháp miền giá trị Trong số trường hợp đặc biệt, biểu thức đại số cho có hai biến số đưa dạng tam thức bậc ta sử dụng kiến thức miền già trị hàm số để giải  Phương pháp chung: Giải sử ta phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y giá trị f(x) với x  D Điều có nghĩa điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm Sau giải điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm (x biến, coi y tham số) Thường đưa đến biểu thức sau: m yM Từ  Min f(x) = m với x  D  Max f(x) = M với x  D I Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTNN f(x) = x2 + 4x + Giải: Gọi y giá trị f(x) Ta có : y = x2 + 4x +  x2 + 4x + - y = (có nghiệm)  ' = - + y   y1 Vậy f(x) Min =  x = -2 Ví dụ 2: Tìm GTLN f(x) = - x2 + 2x - Giải: Gọi y giá trị f(x) Ta có: y = - x2 + 2x -  x2 - 2x + y + (có nghiệm)  ' = - y -  Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 62 Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2014 - 2015  y-6 Vậy f(x)Max = -6  x = Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN f(x) = x  4x  x  2x  Giải: Gọi y giá trị f(x) x  4x  Ta có : y =  yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - = x  2x   (y - 1)x2 + (y - 2).x + 3y - = (có nghiệm) * Nếu y =  x = - * Nếu y   ' = (y - 2)2 + (3y - 6) (1 - y)   y2 - 4y + - 3y2 + 3y + 6y -   - 2y2 + 5y +   Ta thấy : Do : y2 0; giờ) công việc x Trong người thứ hai làm y công việc Trong người thứ làm Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 68 Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2014 - 2015 Hai người làm xong 16 Vậy hai người làm công 16 việc 1 Ta có phương trình: x  y  16 (1) Người thứ làm giờ, người thứ hai làm 25%= cơng việc Ta có phương trình x  y  (2) �1 1 �3 3 �1 1 �x  y  16 �x  y  16 �x  y  16 � � � �� �� Từ (1) (2) ta có hệ phương trình � �3   �3   �3  � � � �x y �x y �y 16 x  24 � �� (tho�m� n� i� u ki� n) y  48 � Vậy làm riêng người thứ hồn thành cơng việc 24 Người thứ hai hồn thành cơng việc 48 Ví dụ 2: Hai thợ đào mương sau 2giờ 55 phút xong việc Nếu họ làm riêng đội hồn thành cơng việc nhanh đội Hỏi làm riêng đội phải làm xong công việc? Giải: Gọi thời gian đội làm xong cơng việc x (x > 0; giờ) Gọi thời gian đội làm xong công việc x + (giờ) c� ng vi� c x c� ng vi� c Mỗi đội làm x 11 35 Vì hai đội sau 55 phút =  (giờ) xong 12 12 12 Trong hai đội làm công việc 35 1 12   � 35x  70  35  12x2  24x Theo ta có phương trình x x  35 � 12x2  46x  70  � 6x2  23x  35  Mỗi đội làm Ta có   (23)2  4.6.(35)  529  840  1369  �   1369  37 23 37 23 37 V� y ph� � ng tr� nh c�hai nghi� m x1   5(thoa m� n); x2   2(lo� i) 12 12 Vậy đội thứ hoàn thành cơng việc Đội hai hồn thành cơng việc Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 69 Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2014 - 2015 Chú ý: + Nếu có hai đối tượng làm cơng việc biết thời gian đại lượng hơn, đại lượng ta nên chọn ẩn đưa phương trình bậc hai + Nếu thời gian hai đại lượng không phụ thuộc vào ta nên chọn hai ẩn làm thời gian hai đội đưa dạng hệ phương trình để giải Ví dụ 3: Hai người thợ sơn cửa cho ngơi nhà ngày xong việc Nếu người thứ làm ngày nghỉ người thứ hai làm tiếp ngày xong việc Hỏi người làm xong cơng việc? Giải: Gọi thời gian để người thứ hồn thành cơng việc x (x > 2; ngày) Gọi thời gian để người thứ hai hồn thành cơng việc y (x > 2; ngày) công việc x Trong ngày người thứ hai làm y công việc Trong ngày người thứ làm Cả hai người làm xong ngày nên ngày hai người làm việc Từ ta có pt cơng 1 + y = (1) x Người thứ làm ngày người thứ hai làm ngày xong cơng việc ta có pt:   (2) x y �1 1 �1 1 �x  y  �   x � �x y � �� �� (tho�m� n� k) Từ (1) (2) ta có hệ pt � y3 � �4   �3  � �x � �x y Vậy người thứ làm xong cơng việc ngày Người thứ hai làm xong công việc ngày Bài tâp: Hai người thợ làm cơng việc xong 18 Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm 1/3 cơng việc Hỏi người làm xong cơng việc? Để hồn thành công việc hai tổ phải làm Sau làm chung tổ hai điều làm việc khác Tổ hồn thành cơng việc lại 10 Hỏi tổ làm riêng xong cơng việc đó? Hai đội công nhân đào mương Nếu họ làm ngày xong cơng việc Nếu làm riêng đội haihồn thành cơng việc nhanh Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 70 Giáo án Ơn thi HSG Tốn Năm học 2014 - 2015 đội ngày Hỏi làm riêng đội phải làm ngày để xong công việc? Hai bình rỗng giống có dung tích 375 lít Ở bình có vịi nước chảy vào dung lượng nước chảy Người ta mở cho hai vòi chảy vào bình sau khố vịi thứ hai lại sau 45 phút tiếp tục mở lại Để hai bình đầy lúc người ta phải tăng dung lượng vịi thứ hai thêm 25 lít/giờ Tính xem vịi thứ chảy lít nước Kết quả: 1) Người thứ làm 54 Người thứ hai làm 27 2) Tổ thứ làm 10 Tổ thứ hai làm 15 3) Đội thứ làm ngày Đội thứ hai làm ngày 4) Mỗi vòi thứ chảy 75 lít Tiết 4: Dạng 4: Tốn có nội dung hình học: Kiến thức cần nhớ: - Diện tích hình chữ nhật S = x.y (x chiều rộng; y chiều dài) - Diện tích tam giác S  x.y (x chiều cao, y cạnh đỏy tương ứng) - Độ dài cạnh huyền: c2 = a2 + b2 (c cạnh huyền; a, b cạnh góc vng) - Số đường chéo đa giác n(n  3) (n số đỉnh) Ví dụ 1: Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm 2, biết tăng kích thước thêm cm diện tích tăng thêm 48 cm2 Giải: Gọi kích thước hình chữ nhật x y (cm; x, y > 0) Diện tích hình chữ nhật lúc đầu x.y (cm2) Theo ta có pt x.y = 40 (1) Khi tăng chiều thêm cm diện tích hình chữ nhật Theo ta có pt (x + 3)(y + 3) – xy = 48  3x + 3y + = 48 x + y = 13(2) Từ (1) (2) suy x y nghiệm pt X2 – 13 X + 40 = Ta có   (13)2  4.40   �   Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 71 Giáo án Ơn thi HSG Tốn Phương trình có hai nghiệm X  Năm học 2014 - 2015 13 13  8;X  5 2 Vậy kích thước hình chữ nhật (cm) (cm) Ví dụ 2: Cạnh huyền tam giác vuông m Hai cạnh góc vng 1m Tính cạnh góc vng tam giác? Giải: Gọi cạnh góc vng thứ x (m) (5 > x > 0) Cạnh góc vng thứ hai x + (m) Vì cạnh huyền 5m nên theo định lý pi – ta – go ta có phương trình x2 + (x + 1)2 = 52 � 2x2  2x  24 � x2  x  12    12  4.(12)  49 �   Ph� � ng tr� nh c�hai nghi� m ph� n bi� t 1 1 x1   3(tho�m� n); x2   4(lo� i) 2 Vậy kích thước cạnh góc vng tam giác vuông m m Bài tâp: Bài 1: Một hình chữ nhật có đường chéo 13 m, chiều dài chiều rộng m Tính diện tích hình chữ nhật đó? Bài 2: Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích ruộng biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng không thay đổi Bài 3: Một đa giác lồi có tất 35 đường chéo Hỏi đa giác có đỉnh? Bài 4: Một sân hình tam giác có diện tích 180 m Tính cạnh đáy sân biết tăng cạnh đáy m giảm chiều cao tương ứng m diện tích khơng đổi? Bài 5: Một miếng đất hình thang cân có chiều cao 35 m hai đáy 30 m 50 m người ta làm hai đoạn đường có chiều rộng Các tim đứng đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối hai trung điểm hai đáy Tính chiều rộng đoạn đường biết diện tích phần làm đường diện tích hình thang Đáp số: Bài 1: Diện tích hình chữ nhật 60 m2 Bài 2: Diện tích hình chữ nhật 3750 m2 Bài 3: Đa giác có 10 đỉnh Bài 4: Cạnh đày tam giác 36 m Bài 5: Chiều rộng đoạn đường m Dạng 5: Toán lãi suất, tăng trưởng: Những kiến thức cần nhớ: Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 72 Giáo án Ôn thi HSG Toán + x% = Năm học 2014 - 2015 x 100 + Dân số tỉnh A năm ngoái a, tỷ lệ gia tăng dân số x% dân số năm tỉnh A x a  a 100 x x x S�d� n n� m sau l�(a+a )  (a+a ) 100 100 100 Ví dụ 1: Bài 42 – SGK tr 58 Gọi lãi suất cho vay x (%), đk: x > Tiền lãi suất sau năm 2000000 x  20000 (đồng) 100 Sau năm vốn lẫn lãi 200000 + 20000 x (đồng) Riêng tiền lãi năm thứ hai (2000000 20000x ) x  20000x  200x 2(� � ng) 100 Số tiến sau hai năm Bác Thời phải trả 2000000 +20000x + 20000x + 200x2(đồng) 200x2 + 40000x +2000000 (đồng) Theo ta có phương trình 200x2 + 40 000x + 2000000 = 2420000  x2 + 200x – 2100 = Giải phương trình ta x1 = 10 (thoả mãn); x2 = -210 (không thoả mãn) Vậy lãi suất cho vay 10 % năm Ví dụ 2: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I sản xuất vượt mức kế hoạch 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ Giải Gọi x số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch (sản phẩm), đk < x < 600 Số sản phẩm tổ II hoàn thành theo kế hoạch 600 – x (sản phẩm) 18 (sản phẩm) 100 21 Số sản phẩm vượt mức tổ II (600 x ) (sản phẩm) 100 Số sản phẩm vượt mức tổ I x Vì số sản phẩm vượt mức kế hoạch hai tổ 120 sản phẩm ta có pt 18x 21(600  x )   120  x = 20 (thoả mãn yêu cầu toán) 100 100 Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ I 200 (sản phẩm) Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ II 400 (sản phẩm) Bài tập: Bài 1: Dân số thành phố Hà Nội sau năm tăng từ 200000 lên 2048288 người Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng phần trăm Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 73 Giáo án Ơn thi HSG Tốn Năm học 2014 - 2015 Bài 2: Bác An vay 10 000 000 đồng ngân hàng để làm kinh tế Trong năm đầu bác chưa trả nên số tiền lãi năm đầu chuyển thành vốn để tính lãi năm sau Sau năm bác An phải trả 11 881 000 đồng Hỏi lãi suất cho vay phần trăm năm? Bài 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm thời gian dự định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I vượt mức kế hoạch 15% tổ hai vượt mức 17% Vì thời gian quy định hai tổ sản xuất tất 1162 sản phẩm Hỏi số sản phẩm tổ bao nhiêu? Kết quả: Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2% Bài 2: Lãi suất cho vay 9% năm Bài 3: Tổ I giao 400 sản phẩm Tổ II giao 600 sản phẩm Dạng 6: Các dạng toán khác Những kiến thức cần nhớ : m (V l�th�tich dung dich; m l�kh� i l� � ng; D l�kh� i l� � ng ri� ng) D Kh� i l� � ng ch� t tan - Khối lượng nồng độ dung dịch = Kh�il��ng dung m�i(m t�ng) - V Ví dụ : (Bài trang 59 SGK) Gọi trọng lượng nước dung dịch trước đổ thêm nước x (g) đk x > Nồng độ muối dung dịch 40 % x  40 Nếu đổ thêm 200g nước vào dung dịch trọng lượng dung dịch là: Vì nồng độ giảm 10% nên ta có phương trình 40 % x  240 40 40 10   � x2  280x  70400  x  40 x  240 100 Giải pt ta x1 = -440 (loại); x2 = 160 (thoả mãn đk toán) Vậy trước đổ thêm nước dung dịch có 160 g nước Ví dụ 2: Người ta trộn 8g chất lỏng với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ 0,2g/cm3 để hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm3 Tìm khối lượng riêng chất lỏng Giải Gọi khối lượng riêng chất lỏng thứ x (g/cm3) Đk x > 0,2 Khối lượng riêng chất lỏng thứ x – 0,2 (g/cm3) (cm3 ) x Thể tích chất lỏng thứ hai x  0, (cm ) Thể tích chất lỏng thứ Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 74 Giáo án Ôn thi HSG Toán Năm học 2014 - 2015 Thể tích hỗn hợp x  x  0, (cm ) 14 Theo ta có pt x  x  0,  0, � 14x  12, 6x  1,12  Giải pt ta kết x1 = 0,1 (loại) ; x2 = 0,8 (t/m đk) Vậy khối lượng riêng chất lỏng thứ 0,8 (g/cm3) Khối lượng riêng chất lỏng thứ hai 0,6 (g/cm3) Bài tập: Bài 1: Một phòng họp có 240 ghế xếp thành dãy có số ghế Nếu dãy bớt ghế phải xếp thêm 20 dãy hết số ghế Hỏi phòng họp lúc đầu xếp thành dãy ghế Bài 2: Hai giá sách có 400 Nếu chuyển từ giá thứ sang giá thứ hai 30 số sách giá thứ số sách ngăn thứ hai Tính số sách ban đầu ngăn? Bài 3: Người ta trồng 35 dừa đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m chiều rộng 20 m thành hàng song song cách theo hai chiều Hàng trồng biên đất Hãy tính khoảng cách hai hàng liên tiếp? Bài 4: Hai người nông dân mang 100 trứng chợ bán Số trứng hai người không số tiền thu hai người lại Một người nói với người kia: “ Nếu số trứng số trứng anh tơi bán 15 đồng ” Người nói “ Nếu số trứng tơi số trứmg anh bán đồng thơi” Hỏi người có trứng? Bài 5: Một hợp kim gồm đồng kẽm có gam kẽm Nếu thêm 15 gam kẽm vào hợp kim hợp kim mà lượng đồng giảm so với lúc đầu 30% Tìm khối lượng ban đầu hợp kim? Kết quả: Bài 1: Có 60 dãy ghế Bài 2: Giá thứ có 180 Giá thứ hai có 220 Bài 3: Khoảng cách hai hàng 5m Bài 4: Người thứ có 40 Người thứ hai có 60 Bài 5: 25 gam 10 gam Họ tên: Trần Ngọc Nam – Trường THCS Mường So 75 ... thi HSG Tốn Năm học 2014 - 2015 � y (3 x  2)  (3x  2)   � (3 x  2)(3 y  2)  19 3 Do x, y nguyên dương nên x  �1; y  �1 mà 19 = 1. 19 = 19. 1 nên ta có khả 3x   � (I) sau: � y   19 �...   mx  y ? ?9  (m  4) y 8m   mx  y ? ?9        mx  m y  m x  my   x  my 8    x  9m  32  m2  9m  32 8m  - Thay x = ;y= vào hệ thức cho ta được: m  m  9m  32 8m ... Nam – Trường THCS Mường So 16 Giáo án Ơn thi HSG Tốn Năm học 2014 - 2015 � 3(25  30 y  y )  y  y  16 � 23 y  82 y  59  � y  1, y  59 23 � 31 59 � �  ; �  1;1 ; � Vậy tập nghiệm hệ phương