BDHSG 6

367 104 0
BDHSG 6

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

CHUYÊN ĐỀ : THỰC HIỆN PHÉP TÍNH 1.Các kiến thức vận dụng: + Tính chất phép cộng , phép nhân + Các phép toán lũy thừa: 3a ; am.an = am+n ; am : an = am –n ( a ≠ 0, m ≥ n) an = a1.a2 n a b (am)n = am.n ; ( a.b)n = an bn ; ( )n = an (b ≠ 0) bn 2.Các dạng tập Dạng 1: RÚT GỌN Bài 1: Thực phép tính: a, 212.35 − 46.9 510.73 − 255.49 − (22.3) (125.7)3 + 59.143 b, HD : 218.187.33 + 315.215 210.615 + 314.15.413 c, ( ) ( ) 212.35 − 22 32 212.35 − 46.9 510.73 − 255.49 = − a, Ta có: (22.3)6 (125.7)3 + 59.143 212.36 = 46.95 + 69.120 84.312 − 611 510.73 − ( 52 ) ( ) − (5 ) 3 73 + 59.23.73 12 10 212.35 − 212.34 510.73 − 510.7 ( − 1) ( − ) 5.6 −28 − = − = 2− = 12 9 3 12 3 + 7 ( + ) 9 218.187.33 + 315.215 218.27.314.33 + 315.215 225.317 + 315.215 = = 210.615 + 314.15.413 210.215.315 + 314.3.5.228 225.315 + 315.2 28.5 215.315 ( 210.32 + 1) ( 210.32 + 1) = 25 15 = 210 41 ( + 23.5 ) b, Ta có: 46.95 + 69.120 ( c, Ta có: = 84.312 − 611 Bài 2: Thực phép tính: 5.415.99 − 4.320.89 a, 5.2 29.916 − 7.229.27 HD : ) ( ) + 3.5 = + = ( + 5) = 2.6 = − 3 ( 2.3 − 1) 3.5 ( ) − 12 11 11 12 10 12 12 24.52.112.7 b, 3 2 11 12 11 12 10 11 11 10 11 511.712 + 511.711 c, 12 11 + 9.511.711 229.318 ( 5.2 − 32 ) 32 5.230.318 − 229.320 5.415.99 − 4.320.89 −9 = a, Ta có: = 29 16 = 29 18 29 16 = 29 16 29 5.2 − 7.2 3 ( − 7.3 ) −58 58 5.2 − 7.2 27 24.52.112.7 2.11 22 = = 23.53.7 2.11 5.7 35 511.711 ( + 1) 511.712 + 511.711 = = c, Ta có: 12 11 = 11 11 + 9.511.711 ( + ) 14 b, Ta có: Bài 3: Thực phép tính: 11.322.37 − 915 a, (2.314 ) HD : a, Ta có: 210.310 − 210.39 b, 29.310 45.94 − 2.69 c, 10 8 + 20 11.322.37 − 915 11.329 − 330 329 ( 11 − 3) 3.8 = = = =6 (2.314 ) 22.328 2.328 210.310 − 210.39 210.39 ( − 1) 2.2 = = = 29.310 29.310 3 10 10 10 9 ( − 3) −2 −1 − − 2.6 = 10 10 = 10 = = c, Ta có: 10 8 3 + 20 + ( + ) b, Ta có: Bài 4: Thực phép tính: 212.35 − 46.9 510.7 − 255.49 − a, (22.3) + 84.35 (125.7)3 + 59.143 5.415.99 − 4.320.89 b, 5.29.619 − 7.229.276 HD: a, Ta có : 45.94 − 2.69 c, 10 8 + 20 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492 − (2 3) + (125.7)3 + 59.143 12 10 212.35 − 212.34 510.73 − 510.7 ( − 1) ( − ) ( −6 ) −10 − = = = 12 12 − 9 3 = 12 + + 2 ( + 1) 59.7 ( + ) 229.318 ( 5.2 − 32 ) 5.230.318 − 320.229 5.415.99 − 4.320.89 = = =2 b, Ta có : = 5.29.619 − 7.2 29.27 5.228.319 − 7.229.318 28.318 ( 5.3 − 7.2 ) 210.38 ( − 3) −2 −1 210.38 − 210.39 45.9 − 2.69 = = = = 10 10 10 210.38 + 68.20 + ( + ) Bài 5: Thực phép tính: 15.412.97 − 4.315.88 315.222 + 616.44 163.310 + 120.69 c, a, b, 19.224.314 − 6.412.27 2.99.87 − 7.275.2 23 46.312 + 611 HD : 224.315 ( − 22 ) 5.224.315 − 26.315 15.412.97 − 4.315.88 = = =3 a, Ta có: = 24 14 25 16 224.324 ( 19 − 2.32 ) 19.224.314 − 6.412.275 19.2 − c, Ta có : 222.315 ( + 22.3 ) 13 −13 315.222 + 224.316 315.222 + 616.44 = 22 15 = = b, Ta có : = 22 18 15 23 ( − 7.2 ) −5 2.9 − 7.275.223 − 7.3 ( ) + 3.5 ( 2.3) c, Ta có: ( ) + ( 2.3) 10 12 11 Bài 6: Thực phép tính : 212.35 − 46.9 510.73 − 255.49 A = − a, ( 22.3) + 84.35 ( 125.7 ) + 59.143 Bài 7: Thực phép tính: 212.35 − 46.92 A = a, ( 22.3) + 84.35 Bài 8: Thực phép tính : 310.11 + 310.5 a, 39.24 Bài 9: Thực phép tính: 230.57 + 213.527 a, 27 + 210.527 = 212.310 ( + ) 212.310 + 212.310.5 2.6 12 = = = 12 12 11 11 11 11 + 3 ( 2.3 + 1) 3.7 21 b, 5.415.99 − 4.320.89 5.210.612 − 7.229.276 b, B = b, b, 45.9 − 2.69 210.38 + 68.20 210.13 + 210.65 28.104 ( −3) 155 + 93 ( −15 ) ( −3) 10 55.23 Bài 10: Thực phép tính: 219.273.5− 15.( −4) 94 52.611.162 + 62.126.152 a, 2.612.104 − 812.9603 b, A = Bài 11: Thực phép tính:  ( 0,8 ) 215.9  4510.520 + : a,  6  7515 0, ( )  69.210 − ( −12) 10 ( 22 21 3.715 − 19.714 2.5 − 9.5 b, A = : 2510 716 + 3.715 )  2  9    ÷ +  ÷ :  16 ÷ Bài 12: Tính giá trị biểu thức: A =   7    + 512 3 0,6 − − −1 + 0,875− 0,7 14 13 : Bài 13: Tính biểu thức: B = − 1,21 + 6 25 1,2 − − − 0,25+ 0,2 13 3  −1 1  3.12 A = − 84 + − + 51 − 37 − 51 − 137 + ( ) ( )  7÷ Bài 14: Tính biêu thức:   27.42 ( ) Bài 15: Thực phép tính: a, 1024: (17.25 + 15.25 ) b, 53.2 + (23 + 40 ) : 23 HD : 10 10 5 a, Ta có: 1024: (17.25 + 15.25 ) = :  ( 17 + 15 )  = : ( 2 ) = c, (5.35 + 17.34 ) : b, Ta có: 53.2 + (23 + 40 ) : 23 = 53.2 + 24 : 23 = 250 + = 253 34.25 c, Ta có: (5.35 + 17.34 ) : 34 ( 3.5 + 17 )  : 32.2 = ( 34.32 ) : 32.2 = 2 = 9.8 = 72 Bài 16: Thực phép tính: a, (102 + 112 + 122 ) : (132 + 14 ) b, (23.94 + 93.45) : (92.10 − 92 ) HD : a, Ta có: (102 + 112 + 12 ) : (132 + 14 ) = ( 100 + 121 + 144 ) : ( 169 + 196 ) = 365 : 365 = c Ta có : (23.9 + 93.45) : (9 2.10 − ) = ( 23.38 + 311.5 ) : ( 32.10 + 32 ) = 38 ( + 33.5 ) 32.11 = 36.143 = 13.36 11 Bài 17: Thực phép tính: 14 14 16 a, (3 69 + 12) : −  : b, 244 : 34 − 3212 :1612 HD : a, Ta có: (314.69 + 314.12) : 316 −  : =  314.3.23 + 314.3.2 : 316 −  : 24 =  315.23 + 315.4 : 316 −  :     = 315.27 : 316 −  : = ( − ) : = 12 4 12 12 b, Ta có: 24 : − 32 :16 = ( 24 : 3) − ( 32 :16 ) = 84 − 212 = 212 − 212 = Bài 18: Thực phép tính : 2010 10 2010 2010 100 101 102 97 98 99 a, 2010 ( : − 3.2 − : ) b, ( + + ) : ( + + ) ( HD : ) ( ) 2010 10 2010 2010 2010 a, Ta có : 2010 ( : − 3.2 − : ) = 2010 ( 49 − 3.16 −1) = −5 −11 + 1− Bài 19: Tính: A = −2 − 5 4−2 1− B= 2+ − 1+ −1 −1 −1 45      ÷ − + + ÷ ÷ Bài 20: Thực phép tính : 19     ÷  ÷   HD : = 45 45 26 − = − =1 19 + 19 19 1+4 3  3  Bài 21: Rút gọn : A =  − + ÷:  − + ÷  10   12  Dạng : TÍNH ĐƠN GIẢN Bài 1: Thực phép tính: 1 2 + − + − 2003 2004 2005 − 2002 2003 2004 5 3 + − + − 2003 2004 2005 2002 2003 2004 HD: 1 2 + − + − 2003 2004 2005 − 2002 2003 2004 Ta có : 5 3 = + − + − 2003 2004 2005 2002 2003 2004 1   1 1 2 + − + − ÷ 2003 2004 2005 −  2002 2003 2004  = − = −7 1  1  15   5 + − + − ÷ 3 ÷  2003 2004 2005   2002 2003 2004  3    1,5 + − 0, 75 0,375 − 0,3 + 11 + 12 ÷ 1890 + + 115 Bài 2: Thực phép tính:  ÷:  2,5 + − 1.25 −0, 625 + 0,5 − − ÷ 2005 11 12   HD: 3    1,5 + − 0, 75 0,375 − 0,3 + 11 + 12 ÷ 1890 + + 115 ÷: Ta có :   2,5 + − 1.25 −0, 625 + 0,5 − − ÷ 2005 11 12   3 3 3 3   + − − 10 + 11 + 12 ÷ 378 378  3  378 + 115 = : + 115 = 115 + 115 =  + ÷: =  5 + −5 5 ÷: − 401 401 401    + − + − − ÷  10 11 12  1 3 − − 0, − − − 25 125 625 Bài 3: Thực phép tính: 11 + 4 4 4 − − − 0,16 − − 11 125 625 HD: 1 3 − − 0, − − − 11 25 125 625 + = Ta có : 4 + 4 =4 − − − 0,16 − − 11 125 625 12 12 12 3    12 + − 25 − 71 + 13 + 19 + 101 ÷ : Bài 4: Thực phép tính: 564  4 5 ÷  4+ − − ÷ 5+ + + 25 71 13 19 101   HD: 12 12 12 3    12 + − 25 − 71 + 13 + 19 + 101 ÷  12  : Ta có : 564  = 564  : ÷ = 564.5 = 2820 ÷  5  4+ − − 5+ + + ÷ 25 71 13 19 101   Bài 5: Thực phép tính: 1 1 5 15 15 1+ + + + 5− + − 15 − + 16 27 : 11 121 a, b, 1 1 8 16 16 1− + − + 8− + − 16 − + 16 27 11 121 HD: 1 1 16 1 + + + +  1+ + + +  ÷  16  = 16 + + + + = 31 16 a, Ta có : = 1 1  1 1  16 − + − + 11 1− + − + 16 1 − + − + ÷ 16  16  5 15 15 5− + − 15 − + 27 : 11 121 = : 15 = 16 = b, Ta có : 8 16 16 16 15 8− + − 16 − + 27 11 121 Bài 6: Thực phép tính: 2 4 12 12 12 3 2− + − 4− + − 12 − − − 3+ + + 19 43 1943 : 29 41 2941 289 85 : 13 169 91 a, b, 3 5 4 7 3− + − 5− + − 4− − − 7+ + + 19 43 1943 29 41 2941 289 85 13 169 91 HD: 2 4 2− + − 4− + − 19 43 1943 : 29 41 2941 = : = = a, Ta có : 3 5 5 3− + − 5− + − 19 43 1943 29 41 2941 12 12 12 3 12 − − − 3+ + + 289 85 : 13 169 91 = 12 : = = b, Ta có : 4 7 7 4− − − 7+ + + 289 85 13 169 91 Bài 7: Thực phép tính:  −5 11  3 3 3+ − + −  − + − ÷(3 − )  11 13  11 1001 13 a, b, 9 9  10 14 22  − + − +9 − + ÷: (2 − )  + 1001 13 11  21 27 11 39  HD:  −5 11   11  −9 −  + − + ÷  − + − ÷(3 − )  11 13   11 13  = = −9 : = −9 a, Ta có : =  11  4 2  10 14 22  − + ÷: (2 − )  + − + ÷:  + 3  11 13  3  21 27 11 39  1  1 3 3 1 + − + − ÷ 3+ − + − 11 1001 13 =  11 1001 13  = = b, Ta có : 9 9 1 1 − + − + 9 1 + − + − ÷ 1001 13 11  11 1001 13  2 + − 13 15 17 Bài 8: Tính nhanh: 4 100 − + − 13 15 17 HD: 2 2 50 − + − 50 − + − 13 15 17 = 13 15 17 = Ta có : 4 4 4   50 − + − ÷ 100 − + − 13 15 17  13 15 17  Bài 9: Tính: 50 − 3 3 3+ − + − 24.47 − 23 11 1001 13 a, A= 9 9 24 + 47.23 − + − +9 1001 13 11 HD: 2 5 + −  ÷ 3 6 b,  35 35 105 35  : + + + ÷ 60  31.37 37.43 43.61 61.67  24.47 − 23 47 ( 23 + 1) − 23 47.23 + 24 = = =1 24 + 47.23 47.23 + 24 47.23 + 24 1  1 1 + − + − ÷  11 1001 13  = => A = = 1 9  1 1 + − + − ÷  11 1001 13  b, Ta có : a, Ta có : TS = 2 25 25 71 + − = − = 3 36 36 36 18   5.7 5.7 3.5.7 5.7   35  : + + + + + + ÷= :    60  31.37 37.43 43.61 61.67    31.37 37.43 43.61 61.67 ÷   35  1 1 1 1  MS = :   − + − + − + − ÷ 60   31 37 37 43 43 61 61 67   MS =  35  1   2077 71 2077 :   − ÷ = : => B = 60   31 67   1800 36 1800 Câu 10: Thực phép tính: 10 5 3 155 − − + + − 0,9 11 23 13 + a, A = 26 13 13 402 − − + + 0, − 11 23 91 10 3 0,375 − 0,3 + + 11 12 + 1,5 + − 0,75 A = b, 5 −0,625 + 0,5 − − 2,5 + − 1, 25 11 12 MS = Dạng : TÍNH TỔNG TỰ NHIÊN Bài 1: a) Tính tổng : 1+ + +… + n , 1+ + +… + (2n -1) b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1) 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) Với n số tự nhiên khác không HD : a) 1+2 + + + n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2 b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1) = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + … + n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n(n+1)(n+2)] : = n(n+ 1)(n+2) :3 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: = n(n+1)(n+2)(n+3) : Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +… + an c c c + + + b) Tính tổng : A = với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = k a1.a2 a2 a3 an −1.an HD: a) S = 1+ a + a2 +… + an ⇒ nhân vào hai vế đẳng thức với số a, ta được: aS = a + a2 +… + an + an+1 Lấy a.S – S, theo vế ta : aS – S = an+1 – ⇒ ( a – 1) S = an+1 – Nếu a = ⇒ S = n a n +1 − Nếu a khác , suy S = a −1 c c 1 = ( − ) với b – a = k b) Áp dụng a.b k a b c 1 c 1 c 1 − ) Ta có : A = ( − ) + ( − ) + + ( k a1 a2 k a2 a3 k an −1 an c 1 1 1 ( − + − + + − ) k a1 a2 a2 a3 an −1 an c 1 = ( − ) k a1 an Bài 3: Tính tổng S = + + 22 + 23 + 24 +… + 2100 = HD: 2.S = + 22 + 23 + 24 + 25 +… + 2101 2S – S = S = 2101 - Bài : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + … + n2 b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + … + n3 HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): b) 13 + 23 + 33 + … + n3 = ( n(n+1):2)2 Bài 5: Tính tổng tự nhiên a, A= + 99 + 999 + + 999 ( 10 số 9) b, B= + 11 + 111 + + 111 (10 số 1) HD: 10 a, Ta có: A = ( 10 − 1) + ( 10 −1) + ( 10 − 1) + + ( 10 − 1) = ( 10 + 102 + 103 + + 1010 ) − 10 = 111 10 − 10 = 111 100 ( số 1) b, Ta có: B = + 99 + 999 + + 9999 99 ( 10 số 9) Tính câu a Bài 6: Tính tổng tự nhiên a, C= + 44 + 444 + + 444 (10 số 4) b, D= + 22 + 222 + + 222 (10 số 2) HD: a, Ta có: C = ( + 11 + 111 + + 111 11) ( 10 số 1) 9C = ( + 99 + 999 + + 999 99 ) ( 10 số 9) Tính tính b, Ta có : D = ( + 11 + 111 + + 111 11) (10 số 1) D = ( + 99 + 999 + + 999 99 ) (10 số 9) Bài 7: Tính tổng sau: E= + 33 + 333 + + 333 (10 số 3) Dạng : TÍNH TỔNG PHÂN SỐ Bài 1: Tính nhanh tổng sau: 1 2 2 + + + + + + + a, A= b, B= 5.6 6.7 24.25 1.3 3.5 5.7 99.101 HD:  1 1 1 1 1  = a, Ta có : A =  − ÷+  − ÷+ +  − ÷= − 5 6 6 7  24 25  25 25  100 1   1   1   = b, Ta có : B =  − ÷+  − ÷+  − ÷+ +  − ÷ = 1− 1       99 101  101 101 Bài 2: Tính nhanh tổng sau: 4 4 52 52 52 + + + + a, D= b, K= + + + 11.16 16.21 21.26 61.66 1.6 6.11 26.31 HD : 5  1    1 1 + + + + − ÷ a, Ta có : D =  ÷ = 1 − + − + − + + 26.31  26 31   1.6 6.11 11.16  6 11 11 16  30 150  D = 1 − ÷ = = 31 31  31  1  5    + + + + + + + + b, Ta có: K =  ÷ => 5K =  ÷ 61.66  61.66   11.16 16.21 21.26  11.16 16.21 21.26 1  55 1 1 1  K =  − + − + + − ÷ =  − ÷=> K = => K = = 61 66   11 16 16 21  11 66  11.66 66 33 Bài 3: Tính nhanh tổng sau: 4 4 1 1 + + + + + + + + a, N= b, F = 1.3 3.5 5.7 99.101 1.1985 2.1986 3.1987 16.2000 HD : 2   200   + + + + a, Ta có : N =  ÷= 1 − ÷= 99.101   1.3 3.5 5.7  101  101 5 5 + + + + + Bài 4: Tính tổng sau: K = 3.7 7.11 11.15 81.85 85.89 1 1 + + + + Bài 5: Tính tổng sau: A = 25.24 24.23 7.6 6.5 5 5 + + + + Bài 6:Tính tổng sau: A = 3.6 6.9 9.12 99.102 Bài 7: Tính giá trị biểu thức: 3 25 25     25 A= + + + + + + + ÷−  ÷ 106.113   50.55 55.60 95.100   1.8 8.15 15.22 HD: 7 3 3   => B =  + + + + + + + + Ta có : B = ÷ 106.113   1.8 8.15 15.22 1.8 8.15 15.22 106.113 1   112 3.112 48 1 1 1  => B =  − + − + − + + − => B = = ÷ = 1 − ÷= 106 113  113 7.113 113  8 15 15 22  113  25 25 25 5 + + + => 5C = + + + C = 50.55 55.60 95.100 50.55 55.60 95.100 1 1 48 => 5C = − = => C = − Khi : A = B − C = 50 100 100 500 113 500 10 30 31 32 33 Ta có A = + + ( + + + ) + + ( + + + ) = + 22 ( + + 22 + 23 ) + + 230 ( + + 22 + 23 ) = + 2.30 + + 29.30 = + ( + + 29 ) 3.10 Ta thấy A có chữ số tận Mà số phương khơng có chữ số tận Do đó, A khơng số phương Vậy A khơng số phương Bài 15: Cho A = 102012 + 102011 + 102010 + 102009 + Chứng minh A khơng phải số phương HD: Ta có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có chữ số tận Nên A = 102012 + 102011 + 102010 + 102009 + có chữ số tận Vậy A số chỉnh phương số phương số có chữ số tận ; 4; 5;6;9 Bài 16: Chứng minh tổng sau: P = + + 32 + 33 + + 361 + 362 khơng số phương HD: P = (1 + + 32 + 33) + (34 + 35 + 36 + 37) + + (356 + 357 + 358 + 359) + 360 + 361 + 362 = (40 + 34 40 + + 356 40) + 360 + 361 + 362 - Các số hạng ngoặc có tận - Số 360 = (32)30 = 930 => chữ số tận - Số 361 = 3.360 => có chữ số tận - Số 362 = 9.360 => có chữ số tận Vậy tổng P có chữ số tận => P khơng số phương Bài 17: Cho A= + + 22 + 23 + + 22010 + 22011 Hỏi số A + có phải số phương khơng? HD: Tính A + = 22012 − + = 4.503 + = + = Vì SCP khơng có tận 3, nên A+8 khơng phải SCP II/ PHƯƠNG PHÁP 2: Dùng tính chất số dư Một số phương chia cho có số dư Một số phương chia cho cho số dư 353 Bài 18: Chứng minh số có tổng chữ số 2006 khơng phải số phương HD: * Phân tích: - Khi nói đến tổng chữ số nghĩ tới phép chia cho cho Nhưng tốn “khơng giống” tốn - Với toán nghĩ tới chia cho không chia hết cho 9, phải dựa vào số dư phép chia cho “số phương chia cho có số dư 1” (tự chứng minh) Giải chi tiết: - Do tổng chữ số số 2006 nên số chia cho dư Chứng tỏ số cho số phương Bài 19: Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 số phương Bài 20: Chứng minh số: n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 không số phương Bài 21: Chứng minh số: n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 khơng số phương Phân tích Nếu xét n chia cho số dư => khơng “bắt chước” cách giải toán ; ; ; Nếu xét chữ số tận chữ số tận n nên không làm “tương tự” tốn ; => Do cần kiểm tra số dư phép chia n cho “Một số phương chia cho cho số dư 1” (các em tự chứng minh) HD: Vì số chia cho dư nên số khơng số phương Bài 22: Giả sử N = 1.3.5.7 2007 2011 Chứng minh số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N 2N + khơng có số số phương HD: a) Ta có 2N - = 2.1.3.5.7 2011 - Có 2N M3 => 2N – ⋮ => 2N – = 3k => 2N - = 3k + (k ∈ N) => 2N – chia cho dư => 2N - không số phương b) 2N = 2.1.3.5.7 2011 => 2N chẵn Ta có N lẻ (vì N tích số tự nhiên lẻ) => N không chia hết cho 354 => Mặc dù 2N M2 2N không chia hết cho => 2N khơng số phương c) 2N + = 2.1.3.5.7 2011 + 2N + lẻ nên 2N + không chia hết cho 2N không chia hết 2N + không chia cho dư => 2N + khơng số phương Bài 23: Chứng minh p tích n (với n > 1) số nguyên tố p - p + khơng thể số phương HD: Vì p tích n số ngun tố (trong có số nguyên tố chẵn, lại tất số nguyên tố lẻ) => pM2 p chia hết cho (1) a) Giả sử p + số phương Đặt p + = m2 ( m ∈ N) Vì p chẵn nên p + lẻ => m2 lẻ => m lẻ Đặt m = 2k + (k ∈ N) Ta có m2 = 4k2 + 4k + => p + = 4k2 + 4k + => p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1) M4 mâu thuẫn với (1) => p + khơng phải số phương b) p = 2.3.5 số chia hết cho => p – ⋮ => p – = 3k => p - = 3k + => p – chia cho dư => p - khơng số phương Vậy p tích n (n >1) số nguyên tố p - p + khơng số phương Bài 24: Chứng minh tổng bình phương số lẻ khơng phải số phương HD: a b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + (Với k, m ∈ N) => a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = (k2 + k + m2 + m) + => a2 + b2 chia cho dư => a2 + b2 khơng thể số phương III/ PHƯƠNG PHÁP 3: “Kẹp” số hai số phương “liên tiếp” Nếu n số tự nhiên số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k < (n + 1)2 k khơng số phương Bài 25: Chứng minh số 4014025 khơng số phương 355 Phân tích Số có hai chữ số tận 25, chia cho dư 1, chia cho dư Nên cách làm trước không vận dụng => cần giải theo hướng khác (dùng phương pháp 3) HD: Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 20042 Chứng tỏ 4014025 khơng số phương Bài 26: Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) khơng số phương với số tự nhiên n khác Nhận xét Đây biểu thức quen thuộc, nhận thấy A + số phương (đây tốn quen thuộc với lớp 8) Các em lớp 6, lớp chịu khó đọc lời giải HD: Ta có: A + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2 Mặt khác: (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A Điều hiển nhiên n ≥ Chứng tỏ: (n2 + 3n)2 < A < A + = (n2 + 3n +1)2 => A không số phương Bài 27: Chứng minh số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 n ∈ N n >1 khơng phải số phương HD: n6 - n + 2n3 + 2n2 = n2 (n4 - n2 + 2n +2) = n2 [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)] = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) [(n3 + 1) - (n2 - 1)] = n2(n + 1)2 (n2 - 2n + 2) Với n ∈ N, n > n2 - 2n + = ( n -1)2 + > ( n - 1)2 Và n2 - 2n + = n2 - 2(n - 1) < n2 Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + < n2 => n2 - 2n + số phương Bài 28: Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 khơng số phương Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho phép chia cho Bài 29: Chứng minh rằng: Tổng bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp khơng thể số phương Gợi ý: Nghĩ tới phép chia cho 356 Bài 30: Chứng minh số 333333 + 555555 + 777777 khơng số phương Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho … chục (?) B/ CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG I/ PHƯƠNG PHÁP 1: Dựa vào định nghĩa “số phương bình phương số tự nhiên”: Bài 31: Chứng minh: Với số tự nhiên n an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương HD: Ta có: an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2 + 3n + 1)2 Với n số tự nhiên n2 + 3n + số tự nhiên Theo định nghĩa, an số phương Bài 32: Cho số phương có chữ số hàng chục khác cịn chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số phương HD: Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Vì chữ số hàng chục số phương 1,3,5,7,9 => Tổng chúng + + + + = 25 = 52 số phương II/ PHƯƠNG PHÁP 2: Dựa vào tính chất đặc biệt “Nếu a, b hai số tự nhiên nguyên tố a.b số phương a b số phương” Bài 33: Chứng minh rằng: Nếu m, n số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n m - n 4m + 4n + số phương HD: Ta có: 3m2 + m = 4n2 + n  4(m2 - n2) + (m - n) = m2  (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 số phương (*) Gọi d ước chung lớn m - n 4m + 4n + (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + chia hết cho d Mặt khác, từ (*) ta có: m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d Từ 8m + chia hết cho d m chia hết cho d ta có chia hết cho d => d = Vậy m - n 4m + 4n + số tự nhiên nguyên tố nhau, thỏa mãn (*) nên chúng số phương 357 III/ PHƯƠNG PHÁP 3: VẬN DỤNG CÁCH BIỄU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN TRONG HỆ THẬP PHÂN N = an an −1 a1 a0 = 10n an + 10n −1 an −1 + + 10a1 + a0 Đặc biệt : a.a a = a 11 { = n so a a (99 9) = (10n − 1) { n so 9 Công thức bổ trợ: A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – B2 = (A – B).(A + B) A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 14 43 14 43 + Bài 34: Chứng minh số sau số phương N = 11111 1.10000 05 1995 so HD: Ta có : 101995 − 1995 N = ( 10 + 5) + 101995 − 1) ( 101995 + ) + ( = ( 10 ) = 1995 + 4.101995 +  101995 +  = ÷    101995 −  = + 1÷   3  =  ( 101995 − 1) + 1 = 33333 14 43   1994 so Vậy số N số phương * 14 43 , B = 11111 1 44 43 , c =666 14 43 Bài 35: Cho m ∈ N , A = 11111 2m so m+1 so m so Chứng minh A + B + C + số phương với ∀m ∈ N * HD: Ta có : 102 m − 1) ( B = ( 10m +1 − 1) C = ( 10m − 1) A= 358 1994 so Vậy A + B + C = 2m (9 10 − 1) + 19 ( 10m+1 − 1) + 96 ( 10m − 1) + = 2m 10 − + 10.10m − + 6.10m − + 72 ) ( = 2m 10 + 16.10m + 64 ) ( = m 10 + ) ( 1  =  ( 10m + )  9  Là số phương 123 123 Bài 36: Chứng minh A = 244 999 91000 09 số phương n − so n so HD: Ta có: A = 244 999 91000 123 123 n − so = 244.10 2n = 244.10 2n n so n +2 + 999 9.10 + 10 n +1 + 123 n − so + ( 10n −2 − 1) 10n +2 + 10 n +1 + = 244.102 n − 90.10 n + = ( 5.10n − 3) (5.10n – 3)2 bình phương số tự nhiên Vậy A số phương Bài 37: Chứng minh số tự nhiên n A = (10n + 10n-1 + …+ 10 + 1)(10n+1 + 5) + Là số phương khơng thể lập phương số tự nhiên HD: Đặt B = 10n+1 ta có A= 10n +1 − B −1 10n +1 + ) + = ( B + 5) + ( 10 − B2 + 4B + ( B + 2) ⇒A= = = ( 3.3.3 34 ) (1) Ta có A = ( 3.3.3 34 )   = 1666 7÷  n −1 so  (2) Từ (1) ta thấy A số phương từ (2) ta lại thấy A chia hết cho mà không chia hết A lập phương số tự nhiên 359 C/ TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC ĐÃ CHO LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Cơng thức nâng cao dùng để khai triển: A2 – B2 = (A – B).(A + B) A2 + 2A + = (A + 1)2 A2 - 2A + = (A - 1)2 A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 Bài 38: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3) c) 13n + d) n2 + n + 1589 HD: a) Vì n2 + 2n + 12 số phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k ∈ N) ⇒ (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 ⇔ k2 – (n + 1)2 = 11 ⇔ (k + n + 1)(k – n - 1) = 11 Nhận xét thấy k + n + > k - n - chúng số nguyên dương => Ta viết (k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1 ⇔ k + n + = 11  k = =>   k − n − = n = b) đặt n(n + 3) = a2 (n ∈ N) ⇒ n2 + 3n = a2 ⇔ 4n2 + 12n = 4a2 ⇔ (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 ⇔ (2n + 3)2 – 4a2 = ⇔ (2n + + 2a)(2n + – 2a) = Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a chúng số nguyên dương Ta viết (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1  2n + 2a + = n = ⇔ =>   2n − 2a + = a = c) Đặt 13n + = y2 (y ∈ N) ⇒ 13(n - 1) = y2 – 16 ⇔ 13(n - 1) = (y + 4)(y – 4) ⇒ (y + 4)(y – 4)  13 mà 13 số nguyên tố nên y +  13 y –  13 ⇒ y = 13k ± (với k ∈ N) 360 ⇒ 13(n - 1) = (13k ± 4)2 – 16 = 13k.(13k ± 8) ⇒ 13k2 ± 8k + Vậy n = 13k2 ± 8k + (với k ∈ N) 13n + số phương d) Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m ∈ N) ⇒ (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 ⇔ (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355 Nhận xét thấy 2m + 2n + > 2m – 2n – > chúng số lẻ => Ta viết (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n có giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28 Bài 39: Tìm a để số sau số phương a) a2 + a + 43 b) a2 + 81 c) a2 + 31a + 1984 HD: a) 2; 42; 13 b) 0; 12; 40 c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728 Bài 40: Có hay khơng số tự nhiên n để 2010 + n2 số phương HD: Giả sử 2010 + n2 số phương 2010 + n2 = m2 (m ∈ N ) Từ suy m2 - n2 = 2010 ⇔ (m + n) (m – n) = 2010 Như số m n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m ⇒ số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) ⇒ m + n m – n số chẵn ⇒ (m + n) (m – n)  2006 không chia hết cho ⇒ Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Bài 41: Tìm số tự nhiên n ≥ cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! số phương (Đề thi HSG lớp - Phòng giáo dục đào tạo Phúc Yên - Vĩnh Phúc) HD: 361 Với n = 1! = = 12 số phương Với n = 1! + 2! = khơng số phương Với n = 1! + 2! + 3! = + 1.2 + 1.2.3 = = 32 số phương Với n ≥ ta có 1! + 2! + 3! + 4! = + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 5!; 6!; …; n! tận 1! + 2! + 3! + … n! có tận chữ số nên khơng phải số phương Vậy có số tự nhiên n thoả mãn đề n = 1; n = Bài 42: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n + 3n + số phương HD: Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n + ≤ 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 2n + 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n + 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy n = 40 Bài 43: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phương HD: Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a ∈ N) 2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48) 2p 2q = (a + 48) (a – 48) với p, q ∈ N ; p + q = n p > q ⇒ a + 48 = 2p a – 48 = 2q ⇒ 2p - 2q = 96 ⇔ 2q (2p-q – 1) = 25.3 ⇒ q = p – q = ⇒ p = ⇒ n = + = 12 Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 Bài 44: Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) cho ab − ba số phương HD: ab − ba = ( 10a + b ) − ( 10b + a ) = 9a − 9b = ( a − b ) = 32 ( a − b ) Do ab − ab số phương nên a-b số phương Ta thấy ≤ a − b ≤ nên a-b ∈ {1;4} 362 Với a - b = ab ∈ { 21;32;43;54;65;76;87;98} loại số hợp số 21;32;54;65;76;87;98 Còn 43 số nguyên tố Với a - b = Thì ab ∈ { 51;62;73;84;95} loại hợp số 51; 62; 84; 95 Còn 73 số nguyên tố Vậy ab = 43;73 D/ TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG VÀ BÀI TỐN TÌM SỐ LIÊN QUAN Bài 45: Cho A số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta số phương B Hãy tìm số A B HD: Gọi A = abcd = k Nếu thêm vào chữ số A đơn vị ta có số B = (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) = m với k, m ∈ N 32 < k < m < 100 ; a, b, c, d = 1; ⇒ Ta có: A = abcd = k B = abcd + 1111 = m Đúng cộng khơng có nhớ ⇒ m2 – k2 = 1111 ⇔ (m - k)(m + k) = 1111 (*) Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > nên m – k m + k số nguyên dương Và m – k < m + k < 200 nên (*) viết (m – k) (m + k) = 11.101 Do đó: m – k = 11 m + k = 101 ⇔ m = 56 n = 45 ⇔ A = 2025 B = 3136 Bài 46: Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống HD: Gọi số phương phải tìm là: aabb = n2 với a, b ∈ N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ Ta có: n2 = aabb = 11 a0b = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1) Nhận xét thấy aabb  11 ⇒ a + b  11 Mà ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ nên ≤ a + b ≤ 18 ⇒ a + b = 11 Thay a + b = 11 vào (1) n2 = 112(9a + 1) 9a + số phương Bằng phép thử với a = 1; 2;…; ta thấy có a = thoả mãn ⇒ b = Số cần tìm là: 7744 Bài 47: Tìm số có chữ số vừa số phương vừa lập phương 363 HD: Gọi số phương abcd Vì abcd vừa số phương vừa lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 với x, y ∈ N Vì y3 = x2 nên y số phương Ta có : 1000 ≤ abcd ≤ 9999 ⇒ 10 ≤ y ≤ 21 y phương ⇒ y = 16 ⇒ abcd = 4096 Bài 48: Tìm số phương gồm chữ số abcd = k2 cho chữ số cuối số nguyên tố, số k có tổng chữ số số phương HD: Gọi số phải tìm abcd với a, b, c, d nguyên ≤ a ≤ 9; ≤ b, c, d ≤ abcd phương ⇒ d ∈ { 0,1, 4, 5, 6, 9} d nguyên tố ⇒ d = Có số phương abcd = k2 < 10000 ⇒ 32 ≤ k < 100 k số có hai chữ số mà k2 có tận ⇒ k tận Tổng chữ số k số phương ⇒ k = 45 ⇒ abcd = 2025 Vậy số phải tìm là: 2025 Bài 49: Tìm số phương có chử số cho viết chử số theo thứ tự ngược lại ta củng số phương số phương bội số số phương cần tìm HD: Đặt số phải tìm abcd = M 1000 < M2 < 10000 nên 31 < M < 50 Ta lại có dcba = N Tính tổng hiệu hai số phương ta abcd + dcba = 1001( a + d ) + 110 ( b + c ) M 11 abcd − dcba = 999 ( d − a ) + 90 ( c − b ) M Vì dcba bội abcd => abcd vừa phải chia hết cho 11 vừa phải chia hết cho tức bội số 33 Mà 31 < M < 50 nên M = 33 ta có abcd = 332 = 1089, dcba = 9801 = 99 Bài 50: Tìm số phương abcd biết ab − cd = 364 HD: ( ) Giả sử n = abcd = 100ab + cd = 100 cd + + cd = 101cd + 100 2 Suy : 101cd = n − 10 = ( n − 10 ) ( n + 10 ) Vì n < 100 101 số nguyên tố nên n + 10 = 101 suy n = 91 Thử lại abcd = 912 = 8281 có 82 – 81 =1 Vậy số cần tìm 8281 Bài 51: Tìm số phương có chữ số mà hai chử số đầu giống hai chữ số cuối giống HD: Giả sử xxyy số phương ta có: 11 xxyy = 1000 x + 100 x + 10 y + y = 1100 x + 11 y = 11( 100 x + y ) M Do 121 ⇒ 100 x + y M 11 ⇒ x + y M 11 ( vi 99xM 11) xxyy số phương nên xxyy M Do < x + y ≤ 11 nên x + y = 11; xxyy = 11( 100 x + y ) = 11( 99 x + 11) = 11 ( x + 1) Suy 9x + số phương suy x = 7, y = Vậy số cần tìm 7744 Bài 52: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phương số viết số bở hai chữ số số theo thứ tự ngược lại số phương HD: Gọi số tự nhiên có hai chữ sốphải tìm ab (a, b ∈ N, ≤ a, b ≤ 9) Số viết theo thứ tự ngược lại ba Ta có ab - ba = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2)  11 ⇒ a2 – b2  11 Hay (a - b) (a + b)  11 Vì < a – b ≤ 8, ≤ a + b ≤ 18 nên a + b  11 ⇒ a + b = 11 Khi đó: ab - ba 2= 32 112 (a – b) Để ab - ba số phương a – b phải số phương a – b = a – b = Nếu a – b = kết hợp với a + b = 11 ⇒ a = 6, b = , ab = 65 Khi 652 – 562 = 1089 = 332 Nếu a – b = kết hợp với a + b = 11 ⇒ a = 7,5 loại Vậy số phải tìm 65 365 Bài 53: Tìm số phương có chử số cho viết chử số theo thứ tự ngược lại ta củng số phương số phương bội số số phương cần tìm HD: Đặt số phải tìm abcd = M 1000 < M2 < 10000 nên 31 < M < 50 Ta lại có dcba = N Tính tổng hiệu hai số phương ta abcd + dcba = 1001( a + d ) + 110 ( b + c ) M 11 abcd − dcba = 999 ( d − a ) + 90 ( c − b ) M3 Vì dcba bội abcd nên abcd vừa phải chia hết cho 11 vừa phải chia hết cho tức bội số 33 Mà 31 < M < 50 nên M = 33 ta có: abcd = 332 = 1089, dcba = 9801 = 992 Bài 54: Cho số phương có chữ số Nếu thêm vào chữ số ta số phương Tìm số phương ban đầu Đáp số: 1156 Bài 55: Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số HD: Gọi số phải tìm ab với a, b ∈ N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ Theo giả thiết ta có: ab = (a + b)3 ⇒ ab lập phương a + b số phương Đặt ab = t3 (t ∈ N), a + b = 12 (1 ∈ N) Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ⇒ ab = 27 ab = 64 Nếu ab = 27 ⇒ a + b = số phương Nếu ab = 64 ⇒ a + b = 10 khơng số phương ⇒ loại Vậy số cần tìm ab = 27 366 367 ... =  ÷ => 5K =  ÷ 61 .66  61 .66   11. 16 16. 21 21. 26  11. 16 16. 21 21. 26 1  55 1 1 1  K =  − + − + + − ÷ =  − ÷=> K = => K = = 61 66   11 16 16 21  11 66  11 .66 66 33 Bài 3: Tính nhanh... Bài 40: Tính tổng S = 63 + 65 + 67 + … + 69 9 + 61 01 HD : S = 63 + 65 + 67 + … + 69 9 + 61 01 38 => 62 S = 65 + 67 + + 61 01 + 61 03 => 62 S – S = 35S = 61 03 – 63 => S = 61 03 − 63 35 Bài 41: Tính tổng... 2 .6 + 3 .6 + 4 .63 + + 100 .69 9 HD : Ta có : H = + 2 .6 + 3 .63 + 4 .6 + + 100 .61 00 H − H = −5 H = ( 2 .6 − ) + ( 3 .6 − 2 .62 ) + ( 4 .63 − 3 .63 ) + + ( 100 .69 9 − 99 .69 9 ) + ( −100 .61 00 ) −5H = + + 63

Ngày đăng: 01/10/2020, 07:26

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Bài 4: So sánh 2 biểu thức A và B trong từng trường hợp:

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan