ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN XUÂN TRÌU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường Thái Nguyên – 2020 ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tun, người tân tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu để hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, thầy giáo, giáo khoa Tốn–Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Trường Tôi xin chân thành cảm ơn đồng chí lãnh đạo phịng Giáo dục Đào tạo, Ban giám hiệu trường THCS Tân Lập huyện Vũ Thư, tỉnh Thái Bình tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian học Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân, bạn bè động viên, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach phản xạ 1.2 Khoảng cách Bregman ánh xạ Bregman không giãn mạnh 1.2.1 Đạo hàm Gâteaux đạo hàm Fréchet 1.2.2 Hàm lồi khoảng cách Bregman 1.2.3 Hàm lồi hoàn toàn 1.2.4 Phép chiếu Bregman 1.2.5 Ánh xạ Bregman không giãn mạnh Chương Một số phương pháp chiếu giải hỗn hợp tổng quát 2.1 Bài toán cân hỗn hợp tổng quát 2.2 Phương pháp chiếu lai ghép 2.3 Phương pháp chiếu thu hẹp 3 4 12 17 20 hệ toán cân 21 21 24 31 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 iv Một số ký hiệu viết tắt X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X R tập hợp số thực R + tập số thực không âm ∩ phép giao int M phần tập hợp M inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X ∅ tập rỗng dom(A) miền hữu hiệu toán tử (hàm số) A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dãy số {xn } xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 n→∞ x0 F (T ) Fˆ (T ) tập điểm bất động tiệm cận ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f f M tập điểm bất động ánh xạ T gradient hàm f bao đóng tập hợp M v projfC phép chiếu Bregman lên C Df (x, y) khoảng cách Bregman từ x đến y Mở đầu Bài toán tìm điểm bất động chung họ hữu hạn hay vô hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert hay không gian Banach trường hợp riêng tốn chấp nhận lồi: “Tìm phần tử thuộc giao khác rỗng họ hữu hạn hay vơ hạn tập lồi đóng {Ci }i∈I không gian Hilbert H hay không gian Banach X”, với I tập số Bài toán có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực khoa học khác như: Xử lí ảnh, khơi phục tín hiệu, vật lý, y học Khi Ci tập nghiệm toán cân (tổng qt), có nhiều phương pháp đề xuất dựa phương pháp lặp cổ điển tiếng Đó phương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa, Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm hay phương pháp sử dụng siêu phẳng cắt Cho đến vấn đề nghiên cứu phương pháp xấp xỉ nghiệm hệ tốn cân khơng gian Hilbert hay Banach chủ đề thu hút quan tâm nhiều người làm tốn ngồi nước Bằng cách sử dụng công cụ khoảng cách Bregman thay cho khoảng cách thơng thường, người ta tìm nhiều phương pháp xấp xỉ nghiệm lớp tốn cân Ngồi ra, sử dụng khoảng cách Bregman người ta giải toán cân bằng, tốn liên quan khác khơng gian Banach phản xạ mà khơng địi hỏi thêm tính chất hình học khác khơng gian tính lồi hay trơn Năm 2016, T.M Tuyen [21] nghiên cứu đưa ba thuật toán chiếu cho tốn tìm nghiệm hệ tốn cân hỗn hợp tổng quát không gian Banach phản xạ Cụ thể hơn, T.M Tuyen giới thiệu chứng minh hội tụ mạnh ba phương pháp lặp song song dựa phương pháp chiếu lai ghép (hybrid projection method) phương pháp chiếu thu hẹp (shrinking projection method) Mục đích luận văn trình bày lại chi tiết kết T.M Tuyen báo [21] Theo đó, nội dung luận văn chia làm hai chương chính, đó: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số vấn đề không gian Banach phản xạ, đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet, hàm lồi, vi phân hàm lồi, phép biến đổi Young-Fenchel, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman tốn tử Bregman khơng giãn mạnh Chương Một số phương pháp chiếu giải hệ toán cân hỗn hợp tổng quát Nội dung chương kết T.M Tuyen phương pháp chiếu lai ghép hai phương pháp chiếu thu hẹp cho tốn tìm nghiệm hệ toán cân hỗn hợp tổng quát khơng gian Banach phản xạ Ngồi ra, số hệ định lý cho số toán liên quan giới thiệu Chương Kiến thức chuẩn bị Chương bao bồm hai mục Mục 1.1 trình bày số tính chất không gian phản xạ Mục 1.2 giới thiệu khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman tốn tử Bregman khơng giãn mạnh Nội dung chương tham khảo tài liệu [1, 13, 16, 19, 22] 1.1 Không gian Banach phản xạ Trước hết, mục nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ Định nghĩa 1.1.1 Một không gian Banach X gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ X, tồn phần tử x thuộc X cho x, x∗ = x∗ , x∗∗ với x∗ ∈ X ∗ Chú ý 1.1.2 Trong luận văn, sử dụng ký hiệu x∗ , x để giá trị phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Mệnh đề 1.1.3 [1] Cho X không gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) X không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn X, có dãy hội tụ yếu Mệnh đề cho ta mối liên hệ tập đóng tập đóng yếu khơng gian tuyến tính định chuẩn Mệnh đề 1.1.4 Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X, C tập đóng yếu Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn dãy {xn } ⊂ C cho xn x, x ∈ / C Theo định lý tách tập lồi, tồn x∗ ∈ X ∗ tách ngặt x C, tức tồn ε > cho y, x∗ ≤ x, x∗ − ε, với y ∈ C Đặc biệt, ta có xn , x∗ ≤ x, x∗ − ε, với n ≥ Ngoài ra, xn x, nên xn , x∗ → x, x∗ Do đó, bất đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận x, x∗ ≤ x, x∗ − ε, điều vơ lý Do đó, điều giả sử sai, hay C tập đóng yếu Mệnh đề chứng minh Chú ý 1.1.5 Nếu C tập đóng yếu, hiển nhiên C tập đóng 1.2 1.2.1 Khoảng cách Bregman ánh xạ Bregman không giãn mạnh Đạo hàm Gâteaux đạo hàm Fréchet Cho X không gian Banach cho f : X −→ (−∞, +∞] hàm số Ta ký hiệu miền hữu hiệu domf tập {x ∈ X : f (x) < +∞} Với x ∈ int domf y ∈ X, ta ký hiệu f (x, y) đạo hàm phải f x theo hướng y, tức f (x + ty) − f (x) f (x, y) = lim t↓0 t Định nghĩa 1.2.1 Hàm f gọi khả vi Gâteaux x giới hạn limt→0 (f (x + ty) − f (x))/t tồn với y Trong trường hợp f (x, y) trùng với ( f )(x), giá trị gradient f f x Định nghĩa 1.2.2 Hàm f gọi khả vi Fréchet x giới hạn tồn tập {y ∈ X : y = 1} Hàm f gọi khả vi Fréchet tập C X giới hạn tồn với x ∈ C y = Chú ý 1.2.3 i) Nếu hàm f khả vi Gâteaux (Fréchet) X, tốn tử gradient f phiếm hàm tuyến tính liên tục X ii) Ta biết f khả vi Gâteaux (khả vi Fréchet) int domf , f liên tục đạo hàm Gâteaux f liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô yếu* int domf (xem [6]) iii) Nếu f khả vi Fréchet X, tồn số M cho với x ∈ X Dưới tính chất đơn giản hàm khả vi Fréchet f (x) ≤ M , Mệnh đề 1.2.4 (xem [2], Định lý 1.8) Nếu f : X −→ R khả vi Fréchet đều, f liên tục X Chứng minh Lấy u, v ∈ X Xét hàm số h(t) = f [u + t(v − u)] với t ∈ [0, 1] Khi đó, ta có h(t + τ ) − h(t) f ([u + (t + τ )(v − u)]) − f [u + t(v − u)] = τ τ Vì f khả vi Fréchet X, nên cho τ → 0, ta nhận f (u + t(v − u))(v − u) h (t) = Theo định lý Lagrange, tồn θ ∈ (0, 1) cho h(1) − h(0) = h (θ) Suy |f (u) − f (v)| = |h(1) − h(0)| =| f (u + θ(v − u))(v − u)| ≤ f (u + θ(v − u)) u − v Từ Chú ý 1.2.3 iii), suy tồn M cho f (x) ≤ M , với x ∈ X Do đó, ta nhận |f (u) − f (v)| ≤ M u − v Vậy f liên tục X 1.2.2 Hàm lồi khoảng cách Bregman Định nghĩa 1.2.5 Cho D ⊂ X, f : D → R ∪ {±∞} i) Hàm f gọi thường dom f = ∅ f (x) > −∞(∀x ∈ D), dom f = {x ∈ D : f (x) < ∞} 27 có nghĩa lim (Df (p, xn ) − Df (p, ResfΘi ,ϕi ,Ψi xn )) = 0, n→∞ (2.16) với p ∈ F với i ∈ {1, 2, , N } Do ResfΘi ,ϕi ,Ψi toán tử BSNE F (ResfΘi ,ϕi ,Ψi ) = Fˆ (ResfΘi ,ϕi ,Ψi ) nên ta có lim Df (ResfΘi ,ϕi ,Ψi xn , xn ) = 0, n→∞ (2.17) với i ∈ {1, 2, , N } Vì vậy, {xnk } dãy {xn } hội tụ yếu tới v v ∈ Fˆ (ResfΘi ,ϕi ,Ψi ) = F (ResfΘi ,ϕi ,Ψi ) với i ∈ {1, 2, , N } Do v ∈ F , có nghĩa là, điểm tụ yếu {xn } thuộc F Bước Dãy {xn } hội tụ mạnh tới projfF (x0 ) n → +∞ Đặt x† = projfF (x0 ), xn+1 = projfCn ∩Qn (x0 ) F ⊂ Cn ∩ Qn nên ta có Df (xn+1 , x0 ) ≤ Df (projfCn ∩Qn (x0 ), x0 ) = Df (x† , x0 ) Do theo Mệnh đề 1.2.28 ta nhận {xn } hội tụ mạnh tới x† n → +∞ Ta suy điều phải chứng minh Chú ý 2.2.2 Chúng ta chứng minh Bước Định lý 2.2.1 cách khác mà không cần sử dụng kỹ thuật toán tử BSNE Thật vậy, lập luận tương tự chứng minh trên, ta thu đẳng thức (2.14) (2.15) Từ định nghĩa yni , ta có Θi (yni , y) + Ψi xn , y − yni + f (yni ) − f (xn ), y − yni + ϕi (y) − ϕi (yni ) ≥ 0, với y ∈ Ci i = 1, 2, , N Do đó, từ điều kiện C2) suy Ψi xn , y−yni + f (yni )− f (xn ), y−yni +ϕi (y)−ϕi (yni ) ≥ −Θi (yni , y) ≥ Θi (y, yni ) Giả sử {xnk } dãy {xn } hội tụ yếu u Khi từ (2.14), {yni } hội tụ yếu tới u với i = 1, 2, , N Thay n nk bất đẳng thức ta thu Ψi xnk , y − yni k + ϕi (y) − ϕi (yni k ) ≥ f (xnk ) − f (yni k ), y − yni k + Θi (y, yni k ), (2.18) với y ∈ Ci i = 1, 2, , N Vì {yni k } bị chặn, với (2.15), điều kiện C4), tính liên tục Ψi tính nửa liên tục ϕi cho k → +∞ ta thu Ψi u, y − u + ϕi (y) − ϕi (u) ≥ Θi (y, u), (2.19) 28 với y ∈ Ci với i = 1, 2, , N Với t ∈ (0, 1] y ∈ Ci ta đặt yt = ty + (1 − t)u Do u, y ∈ Ci Ci tập lồi X, yt ∈ Ci với t ∈ (0, 1] Do (2.19), thay y by yt ta thu Ψi u, yt − u + ϕi (yt ) − ϕi (u) ≥ Θi (yt , u), (2.20) với i = 1, 2, , N Từ tính lồi ϕi ta có t Ψi u, y − u + t(ϕi (y) − ϕi (u)) ≥ Θi (yt , u), (2.21) với i = 1, 2, , N Từ điều kiện C1) C4) có = Θi (yt , yt ) ≤ tΘi (yt , y) + (1 − t)Θi (yt , u) ≤ tΘi (yt , y), (2.22) với i = 1, 2, , N Từ bất đẳng thức (2.21) (2.22) ta nhận Θi (yt , y) + (1 − t)[ Ψi u, y − u + ϕi (y) − ϕi (u)] ≥ 0, với t ∈ (0, 1] i = 1, 2, , N Bằng cách cho t → 0+ sử dụng điều kiện C3), ta nhận Θi (u, y) + Ψi u, y − u + ϕi (y) − ϕi (u) ≥ 0, với i = 1, 2, , N Do u ∈ F = ∩N i=1 GM EP (Θi , ϕi , Ψi ) Chú ý 2.2.3 Nếu X không gian Banach phản xạ, trơn, lồi chặt f (x) = x thuật tốn (2.7) trở thành    yni = ResfΘi ,ϕi ,Ψi xn , i = 1, 2, , N,     i in   in ∈ argmaxi=1,2, ,N {φ(yn , xn )}, y n = yn , (2.23) Cn = {z ∈ X : φ(z, y n ) ≤ φ(z, xn )},     Qn = {z ∈ X : Jx0 − Jxn , z − xn ≤ 0},     x =Π (x ), n ≥ 0, n+1 Cn ∩Qn ∗ J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc từ X vào 2X , φ(x, y) = x −2 x, Jy + y với x, y ∈ E dãy {xn } hội tụ mạnh tới ΠF (x0 ) với ΠF phép chiếu tổng quát từ X vào F 29 Nếu Định lý 2.2.1, Ψi = với i = 1, 2, , N toán tử ResfΘi ,ϕi ,Ψi ký hiệu ResfΘi ,ϕi ta có hệ sau cho hệ toán cân hỗn hợp Hệ 2.2.4 Cho Ci , i = 1, 2, , N tập lồi, đóng khác rỗng X Cho f : X −→ R hàm Legendre, bức, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Cho Θi : Ci × Ci −→ R thỏa mãn điều kiện C1)-C4) ϕi : Ci −→ R hàm lồi, nửa liên tục từ Ci vào R, với i = 1, 2, , N Giả sử F = ∩N i=1 M EP (Θi , ϕi ) = ∅ Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định    yni = ResfΘi ,ϕi xn , i = 1, 2, , N,     i in   in ∈ argmaxi=1,2, ,N {Df (yn , xn )}, y n = yn , Cn = {z ∈ X : Df (z, y n ) ≤ Df (z, xn )},     Qn = {z ∈ X : f (x0 ) − f (xn ), z − xn ≤ 0},     f x n+1 = projCn ∩Qn (x0 ), (2.24) hội tụ mạnh đến projfF (x0 ) n → +∞ Nếu Định lý 2.2.1, ϕi = với i = 1, 2, , N tốn tử ResfΘi ,ϕi ,Ψi xác định ResfΘi ,Ψi có hệ sau cho hệ toán cân tổng quát Hệ 2.2.5 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng X Cho f : X −→ R hàm Legendre, bức, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Cho Θi : Ci × Ci −→ R thỏa mãn điều kiện C1)-C4) Ψi : Ci −→ X ∗ ánh xạ đơn điệu, liên tục với i = 1, 2, , N Giả sử F = ∩N i=1 GEP (Θi , ϕi ) = ∅ Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định    yni = ResfΘi ,Ψi xn , i = 1, 2, , N,     i in   in ∈ argmaxi=1,2, ,N {Df (yn , xn )}, y n = yn , Cn = {z ∈ X : Df (z, y n ) ≤ Df (z, xn )},     Qn = {z ∈ X : f (x0 ) − f (xn ), z − xn ≤ 0},     f x n+1 = projCn ∩Qn (x0 ), hội tụ mạnh đến projfF (x0 ) n → +∞ (2.25) 30 Nếu Định lý 2.2.1, ϕi = Ψi = với i = 1, 2, , N tốn tử ResfΘi ,ϕi ,Ψi xác định ResfΘi có hệ sau cho hệ toán cân Hệ 2.2.6 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng X Cho f : X −→ R hàm Legendre, bức, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Cho Θi : Ci × Ci −→ R thỏa mãn điều kiện C1)-C4) với i = 1, 2, , N Giả sử F = ∩N i=1 GEP (Θi , ϕi ) = ∅ N Khi với x0 ∈ X, dãy F = ∩i=1 EP (Θi ) = ∅ Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định bởi:    yni = ResfΘi xn , i = 1, 2, , N,     i in   in ∈ argmaxi=1,2, ,N {Df (yn , xn )}, y n = yn , Cn = {z ∈ X : Df (z, y n ) ≤ Df (z, xn )},     Qn = {z ∈ X : f (x0 ) − f (xn ), z − xn ≤ 0},     f x n+1 = projCn ∩Qn (x0 ), (2.26) hội tụ mạnh đến projfF (x0 ) n → +∞ Nếu Định lý 2.2.1, Θi = với i = 1, 2, , N tốn tử ResfΘi ,ϕi ,Ψi xác định Resfϕi ,Ψi có hệ sau hệ bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Hệ 2.2.7 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng X Cho f : X −→ R hàm Legendre, bức, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X ϕi : Ci −→ R hàm lồi, nửa liên tục từ Ci vào R Ψi : Ci −→ X ∗ ánh xạ đơn điệu, liên tục với i = 1, 2, , N Giả sử F = ∩N i=1 M V I(Ci , ϕi , Ψi ) = ∅ Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định bởi:    yni = Resfϕi ,Ψi xn , i = 1, 2, , N,     i in   in ∈ argmaxi=1,2, ,N {Df (yn , xn )}, y n = yn , (2.27) Cn = {z ∈ X : Df (z, y n ) ≤ Df (z, xn )},     Qn = {z ∈ X : f (x0 ) − f (xn ), z − xn ≤ 0},     x = projf (x ), n+1 Cn ∩Qn hội tụ mạnh đến projfF (x0 ) n → +∞ 31 2.3 Phương pháp chiếu thu hẹp Trong mục luận văn đề cập đến hai thuật toán dựa phương pháp chiếu thu hẹp để giải hệ toán cân hỗn hợp tổng quát Các kết mục tham khảo từ tài liệu [21] Trước hết ta có định lý Định lý 2.3.1 Với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định    C0 = X,    f  i   yn = ResΘi ,ϕi ,Ψi xn , i = 1, 2, , N, in ∈ argmaxi=1,2, ,N {Df (yni , xn )}, y n = ynin ,     Cn+1 = {z ∈ Cn : Df (z, y n ) ≤ Df (z, xn )},     f x n+1 = projCn+1 (x0 ), (2.28) hội tụ mạnh projfF (x0 ) n → +∞ Chứng minh Bước Dãy {xn } hoàn toàn xác định Từ Bổ đề 4.14 [12], ta biết dom ResΘi ,ϕi ,Ψi = X với i = 1, 2, , N Do đó, yni hồn tồn xác định với xn Rõ ràng C0 = X tập lồi, đóng Giả sử Cn tập lồi, đóng X Từ định nghĩa Cn+1 ta có Cn+1 = Cn ∩ {z ∈ X : f (xn ) − f (y n ), z ≤ f (y n ) − f (xn ) + f (xn ), xn − f (y n ), y n } Suy Cn+1 tập lồi, đóng X Do đó, Cn tập lồi, đóng X với n ≥ Rõ ràng ta có F ⊂ C0 = X Giả sử F ⊂ Cn với n ≥ Lấy p ∈ F với n ∈ N, ta có Df (p, y n ) = Df (p, ResfΘin ,ϕin ,Ψin xn ) ≤ Df (p, xn ), điều suy p ∈ Cn+1 Vì vậy, theo quy nạp ta có p ∈ Cn với n ∈ N Do đó, F ⊂ Cn với n ∈ N Từ ta thu Cn tập lồi, đóng khác rỗng X Vì xn = projfCn (x0 ) hoàn toàn xác định Bước Dãy {xn } bị chăn Với p ∈ F , từ Mệnh đề 1.2.27 iii), ta có Df (xn , x0 ) = Df (projfCn (x0 ), x0 ) 32 ≤ Df (p, x0 ) − Df (p, projfCn (x0 )) ≤ Df (p, x0 ), (2.29) điều suy dãy {Df (xn , x0 )} bị chặn Vì vậy, từ Mệnh đề 1.2.20, suy dãy {xn } bị chặn Bước Mọi điểm tụ yếu dãy {xn } thuộc F Vì Cn+1 ⊂ Cn , ta suy từ Mệnh đề 1.2.27 iii) Df (xn+1 , projfCn (x0 )) + Df (projfCn (x0 ), x0 ) ≤ Df (xn+1 , x0 ), Df (xn+1 , xn ) + Df (xn , x0 ) ≤ Df (xn+1 , x0 ) (2.30) Vì vậy, {Df (xn , x0 )} dãy tăng, kết hợp với (2.29), ta thấy giới hạn limn→+∞ Df (xn , x0 ) tồn hữu hạn Do vậy, từ (2.30) ta có lim Df (xn+1 , xn ) = n→+∞ (2.31) Bằng cách sử dụng lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.2.1, ta thu kết luận Bước Bước Dãy {xn } hội tụ mạnh đến projfF (x0 ), n → +∞ Đặt x† = projfF (x0 ), xn = projfCn (x0 ) F ⊂ Cn nên ta có Df (xn , x0 ) ≤ Df (projfCn (x0 ), x0 ) = Df (x† , x0 ) Do vậy, theo Mệnh đề 1.2.28, ta thu {xn } hội tụ mạnh đến x† n → +∞ Ta suy điều phải chứng minh Chú ý 2.3.2 Nếu X không gian Banach phản xạ, trơn, lồi chặt f (x) = x thuật tốn (2.28) trở thành    C0 = X,    f  i   yn = ResΘi ,ϕi ,Ψi xn , i = 1, 2, , N, in ∈ argmaxi=1,2, ,N {φ(yni , xn )}, y n = ynin ,     Cn+1 = {z ∈ Cn : φ(z, y n ) ≤ φ(z, xn )},     x n+1 = ΠCn+1 (x0 ) (2.32) Tương tự Mục 2.2, có kết sau: Nếu Định lý 2.3.1, Ψi = với i = 1, 2, , N ta có hệ sau cho hệ tốn cân hỗn hợp 33 Hệ 2.3.3 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng X Cho f : X −→ R hàm Legendre, bức, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Cho Θi : Ci × Ci −→ R thỏa mãn điều kiện C1)-C4) ϕi : Ci −→ R hàm lồi, nửa liên tục từ Ci vào R, với i = 1, 2, , N Giả sử F = ∩N i=1 M EP (Θi , ϕi ) = ∅ Khi với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định    C0 = X,    f  i   yn = ResΘi ,ϕi xn , i = 1, 2, , N, (2.33) in ∈ argmaxi=1,2, ,N {Df (yni , xn )}, y n = ynin ,     Cn+1 = {z ∈ Cn : Df (z, y n ) ≤ Df (z, xn )},     x = projf (x ), n+1 Cn+1 hội tụ mạnh đến projfF (x0 ) n → +∞ Nếu Định lý 2.3.1, ϕi = với i = 1, 2, , N , ta có hệ cho hệ tốn cân tổng quát Hệ 2.3.4 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng X Cho f : X −→ R hàm Legendre, bức, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Cho Θi : Ci × Ci −→ R thỏa mãn điều kiện C1)-C4) gọi Ψi : Ci −→ X ∗ ánh xạ đơn điệu, liên tục với i = 1, 2, , N Giả sử F = ∩N i=1 GEP (Θi , Ψi ) = ∅ Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định    C0 = X,    f  i   yn = ResΘi ,Ψi xn , i = 1, 2, , N, in ∈ argmaxi=1,2, ,N {Df (yni , xn )}, y n = ynin ,     Cn+1 = {z ∈ Cn : Df (z, y n ) ≤ Df (z, xn )},     f x n+1 = projCn+1 (x0 ), (2.34) hội tụ mạnh đến projfF (x0 ) n → +∞ Nếu Định lý 2.3.1, ϕi = Ψi = với i = 1, 2, , N , ta có hệ sau cho hệ toán cân Hệ 2.3.5 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng X Cho f : X −→ R hàm Legendre, bức, bị chặn, khả vi Fréchet 34 lồi hoàn toàn tập bị chặn X Cho Θi : Ci × Ci −→ R thỏa mãn điều kiện C1)-C4) với i = 1, 2, , N Giả sử F = ∩N i=1 EP (Θi ) = ∅ Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định    C0 = X,    f  i   yn = ResΘi xn , i = 1, 2, , N, (2.35) in ∈ argmaxi=1,2, ,N {Df (yni , xn )}, y n = ynin ,     Cn+1 = {z ∈ Cn : Df (z, y n ) ≤ Df (z, xn )},     f x n+1 = projCn+1 (x0 ), hội tụ mạnh đến projfF (x0 ) n → +∞ Nếu Định lý 2.2.1, Θi = với i = 1, 2, , N ta có hệ cho hệ bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Hệ 2.3.6 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng X Cho f : X −→ R hàm Legendre, bức, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Cho ϕi : Ci −→ R hàm lồi, nửa liên tục từ Ci vào R Ψi : Ci −→ X ∗ hàm đơn điệu, liên tục, với i = 1, 2, , N Giả sử F = ∩N i=1 M V I(Ci , ϕi , Ψi ) = ∅ Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định    C0 = X,    f  i   yn = Resϕi ,Ψi xn , i = 1, 2, , N, in ∈ argmaxi=1,2, ,N {Df (yni , xn )}, y n = ynin ,     Cn+1 = {z ∈ Cn : Df (z, y n ) ≤ Df (z, xn )},     f x n+1 = projCn+1 (x0 ), (2.36) hội tụ mạnh tới projfF (x0 ) n → +∞ Từ đặc trưng toán tử giải ResfΘi ,ϕi ,Ψi , ta có định lý phương pháp chiếu thu hẹp khác giải toán cân hỗn hợp Định lý 2.3.7 Với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định    Q0 = X,    f  i   yn = ResΘi ,ϕi ,Ψi xn , i = 1, 2, , N, in ∈ argmaxi=1,2, ,N {Df (yni , xn )}, y n = ynin ,     Qn+1 = {z ∈ Qn : f (xn ) − f (y n ), z − y n ≤ 0},     f x n+1 = projQn+1 (x0 ), (2.37) 35 hội tụ mạnh projfF (x0 ) n → +∞ Chứng minh Bước Dãy {xn } hoàn toàn xác định Từ Bổ đề 4.14 [12], ta biết dom ResΘi ,ϕi = X với i = 1, 2, , N Do đó, yni hoàn toàn xác định với xn Rõ ràng Qn tập lồi đóng Ta F ⊂ Qn với n ≥ Thật vậy, lấy p ∈ F ta có Θin (p, y n ) + ϕin (y n ) ≥ ϕin (p) (2.38) Từ định nghĩa y n ta có Θin (y n , p) + ϕin (p) − ϕin (y n ) ≥ f (xn ) − f (y n ), p − y n (2.39) Từ hai bất đẳng thức ta thu f (xn ) − f (y n ), p − y n ≤ Θin (p, y n ) + Θin (y n , p) Từ điều kiện C2), ta có f (xn ) − f (y n ), p − y n ≤ 0, ta suy p ∈ Qn+1 , hay F ⊂ Qn với n ≥ Vì vậy, dãy {xn } hồn tồn xác định Step Dãy {xn } bị chặn Với p ∈ F , từ Bổ đề 1.2.27 iii), ta có Df (xn , x0 ) = Df (projfQn (x0 ), x0 ) ≤ Df (p, x0 ) − Df (p, projfQn (x0 )) ≤ Df (p, x0 ), (2.40) điều suy dãy {Df (xn , x0 )} bị chặn Theo Mệnh đề 1.2.20 dãy {xn } bị chặn Bước Mọi điểm tụ yếu dãy {xn } thuộc F Vì Qn+1 ⊂ Qn nên suy từ Mệnh đề 1.2.27 iii) Df (xn+1 , projfQn (x0 )) + Df (projfQn (x0 ), x0 ) ≤ Df (xn+1 , x0 ), Df (xn+1 , xn ) + Df (xn , x0 ) ≤ Df (xn+1 , x0 ) (2.41) 36 Vì vậy, {Df (xn , x0 )} dãy tăng, kết hợp với (2.40), ta thấy giới hạn limn→+∞ Df (xn , x0 ) tồn hữu hạn Do vậy, từ (2.41) ta có lim Df (xn+1 , xn ) = n→+∞ (2.42) Từ kết luận xn+1 ∈ Qn+1 theo đồng thức ba điểm suy ≤ Df (xn+1 , y n ) + Df (y n , xn ) ≤ Df (xn+1 , y n ) + Df (y n , xn ) + f (xn ) − f (y n ), y n − xn+1 (2.43) = Df (xn+1 , xn ) Từ (2.42) ta thu đẳng thức sau lim (Df (xn+1 , y n ) + Df (y n , xn )) = 0, n→+∞ limn→+∞ Df (xn+1 , y n ) = Bằng cách sử dụng lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.2.1, ta thu kết luận Bước Bước Đặt x† = projfF (x0 ), xn = projfQn (x0 ) F ⊂ Qn nên ta có Df (xn , x0 ) ≤ Df (x† , x0 ) Do đó, từ Mệnh đề 1.2.28, ta thấy {xn } hội tụ mạnh x† n → +∞ Ta suy điều phải chứng minh Chú ý 2.3.8 Nếu X không gian Banach phản xạ, trơn, lồi chặt f (x) = x thuật tốn (2.28) trở thành    Q0 = X,    f  i   yn = ResΘi ,ϕi ,Ψi xn , i = 1, 2, , N, in ∈ argmaxi=1,2, ,N {φ(yni , xn )}, y n = ynin ,     Qn+1 = {z ∈ Qn : Jxn − Jy n , z − y n ≤ 0},     x n+1 = ΠQn+1 (x0 ) (2.44) Nếu Định lý 2.3.7, ϕi = với i = 1, 2, , N ta có hệ sau cho hệ toán cân Hệ 2.3.9 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng X Cho f : X −→ R hàm Legendre, bức, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Cho Θi : C × C −→ R thỏa mãn 37 điều kiện C1)-C4) với i = 1, 2, , N Giả sử F = ∩N i=1 EP (Θi ) = ∅ Khi với x0 ∈ C, dãy {xn } xác định    Q0 = X,    f  i   yn = ResΘi xn , i = 1, 2, , N, (2.45) in ∈ argmaxi=1,2, ,N {Df (yni , xn )}, y n = ynin ,     Qn+1 = {z ∈ Qn : f (xn ) − f (y n ), z − y n ≤ 0},     x = projf (x ), n+1 Qn+1 hội tụ mạnh đến projfF (x0 ) n → +∞ 38 Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: • Một số tính chất đặc trưng khơng gian Banach phản xạ, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman, hàm lồi hồn tồn; • Tốn tử Bregman khơng giãn mạnh số kết tốn tìm điểm bất động cho lớp ánh xạ này; • Các kết nghiên cứu T.M Tuyen tài liệu [21] phương pháp chiếu lai ghép phương pháp chiếu thu hẹp giải hệ toán cân hỗn hợp tổng quát không gian Banach phản xạ 39 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Ambrosetti A., Prodi G (1993), A Primer of Nonlinear Analysis, Cambridge University Press, Cambridge [3] Alber Y.I (1996), “Metric and generalized projection operators in Banach spaces: properties and applications, In: Kartsatos, A.G (ed.) Theory and Applications of Nonlinear Operator of Accretive and Monotone Type”, Marcel Dekker, New York, pp 15–50 [4] Bauschke H.H., Borwein J.M., Combettes P.L (2001), “Essential smoothness, essential strict convexity, and Legendre functions in Banach spaces”, Commun Contemp Math., 3, pp 615–647 [5] Blum E., Oettli W (1994), “From optimization and variational inequalities to equilibrium problems”, Math Student, 63, pp 123–145 [6] Bonnans J.F., Shapiro A (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problem, Springer, New York [7] Browder F.E (1996), “Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities”, Proc Natl Acad Sci USA., 56, pp 1080–1086 [8] Butnariu D., Iusem A.N (2000), Totally convex functions for fixed points computation and infinite dimensional optimization, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [9] Butnariu D., Resmerita E (2006), “Bregman distances, totally convex functions and a method for solving operator equations in Banach spaces”, Abstr Appl Anal., 2006, pp 1–39 [10] Ceng L.C., Yao J.C (2008), “A hybrid iterative scheme for mixed equilibrium problems and fixed point problems”, J Comput Appl Math., 214, pp 186– 201 40 [11] Censor Y., Reich S (1996), “Iterations of paracontractions and firmly nonexpansive operators with applications to feasibility and optimization”, Optimization, 37, pp 323–339 [12] Darvish V Strong convergence theorem for generalized mixed equilibrium problems and Bregman nonexpansive mapping in Banach spaces Opsearch 2016;53(3):584–603 [13] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Stud Adv Math., 28, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK [14] Reich S (1996), “A weak convergence theorem for the alternating method with Bregman distances, in: Theory and Applications of Nonlinear Operators of Accretive and Monotone Type”, Marcel Dekker, New York, pp 313– 318 [15] Reich S., Sabach S (2009), “A strong convergence theorem for a proximal type algorithm in reflexive Banach spaces”, J Nonlinear Convex Anal., 10, pp 471–485 [16] Reich S., Sabach S (2010), “Two strong convergence theorems for a proximal method in reflexive Banach spaces”, Numer Funct Anal Optim., 31, pp 22–44 [17] Reich S., Sabach S (2011), “Existence and approximation of fixed points of Bregman firmly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces, in: Fixed-Point Algorithms for Inverse Problems in Science and Engineering”, Springer, New York, 49 , pp 301–316 [18] Resmerita E (2004), “On total convexity, Bregman projections and stability in Banach spaces”, J Convex Anal., 11, pp 1–16 [19] Suantai S., Cho Y.J., Cholamjiak P (2012), “Halperns iteration for Bregman strongly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces”, Comput Math Appl., 64, pp 489–499 [20] Takahashi W., Toyoda M (2003), “Weak convergence theorems for nonexpansive mappings and monotone mappings”, J Optim Theory Appl., 118, pp 417–428 41 [21] Tuyen T.M (2017), “Parallel iterative methods for solving systems of generalized mixed equilibrium problems in reflexive Banach spaces”, Optimization, 66 (4), pp 623–639 [22] Zegeye H (2014), “Convergence theorems for Bregman strongly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces”, Filomat, 7, pp 1525–1536 ... Một số phương pháp chiếu giải hệ toán cân hỗn hợp tổng quát Nội dung chương kết T.M Tuyen phương pháp chiếu lai ghép hai phương pháp chiếu thu hẹp cho tốn tìm nghiệm hệ tốn cân hỗn hợp tổng quát. .. Phép chiếu Bregman 1.2.5 Ánh xạ Bregman không giãn mạnh Chương Một số phương pháp chiếu giải hỗn hợp tổng quát 2.1 Bài toán cân hỗn hợp tổng quát 2.2 Phương pháp chiếu. .. Fˆ (T ) 21 Chương Một số phương pháp chiếu giải hệ toán cân hỗn hợp tổng quát Trong chương này, đề cập đến ba thuật toán song song dựa phương pháp chiếu lai ghép phương pháp chiếu thu hẹp cho