BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— LÂM TRẦN PHƯƠNG THỦY MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH ĐỐI VỚI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2020 Luận án hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Đình Kế Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Minh Trí Viện Tốn học Phản biện 2: PGS TS Đỗ Đức Thuận Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Thị Kim Sơn Trường Đại học Thủ đô Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Tổng quan vấn đề nghiên cứu lí chọn đề tài Thuật ngữ “phương trình vi phân khơng địa phương” (nonlocal differential equation) dùng để phương trình vi phân mà đạo hàm hàm trạng thái khơng xác định điểm mà xác định thông qua cơng thức tích phân (gọi đạo hàm “có nhớ”) Lớp phương trình khơng địa phương tiêu biểu sau mơ tả q trình khuếch tán dị thường (anomalous diffusion) ∂t [k ∗ (u − u0 )] = ∆u, (1) u = u(t, x) hàm trạng thái, k hàm khả tích địa phương, với ‘∗’ ký hiệu tích chập Laplace, ∆ tốn tử Laplace theo biến khơng gian Lớp phương trình nghiên cứu gần cơng trình Zacher cộng (2015, 2016) Đặc biệt, t−α , < α < 1, k(t) = g1−α (t) = Γ(1 − α) (2) phương trình phương trình vi phân phân thứ cấp α theo biến thời gian mơ tả q trình khuếch tán (subdiffusion), đối tượng nghiên cứu nhiều nhà toán học hai thập kỷ qua Phương trình (1) với nhân k cho (2) phương trình vi phân (đạo hàm riêng) phân thứ loại Caputo Có thể thấy phương trình vi phân phân thứ mơ hình tiêu biểu phương trình vi phân khơng địa phương, chủ đề nghiên cứu có tính thời Các kết tính ổn định Lyapunov cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tìm thấy cơng trình R Agarwal, S Hristova D O’Regan (2016), N.D Cong, D.T Son H.T Tuan (2014), hoăc tác giả I.M Stamova (2016) tài liệu tham khảo Liên quan đến tính ổn định thời gian hữu hạn cho hệ vi phân phân thứ, kể đến kết gần cơng trình nhà toán học M.P Lazarevic A.M Spasic (2009), M Li J.R Wang (2017), Y Zhang J.R Wang (2016) Với hệ vi phân phân thứ không gian vô hạn chiều, số kết tính ổn định tiệm cận yếu thiết lập cơng trình cơng bố T D Ke cộng (2016, 2017) Năm 2015, tác giả V Vergara R Zacher xem xét trường hợp khác phương trình (1) thay nhân k hàm khả tích, từ dẫn đến mơ hình khuếch tán nhanh (fast diffusion) hay khuếch tán siêu chậm (ultra-slow diffusion) ý nghĩa vật lý chúng Những kết gợi ý cho vấn đề nghiên cứu mới, đối tượng nghiên cứu phương trình vi phân khơng địa phương nửa tuyến tính tổng qt không gian Banach Hilbert dạng d [k ∗ (u − u0 )] = Au + f (u), dt (3) với A tốn tử tuyến tính đóng sinh nửa nhóm liên tục mạnh, f hàm phi tuyến cho trước Theo khảo sát chúng tôi, kết nghiên cứu định tính cho phương trình (3) chưa biết đến nhiều, kết biết chủ yếu thiết lập cho trường hợp cụ thể A toán tử elliptic mạnh Những vấn đề cần nghiên cứu lớp phương trình (3) bao gồm: • Tính giải tính quy nghiệm; • Sự tồn lớp nghiệm tuần hồn, nghiệm tiêu hao; • Tính ổn định tiệm cận/ổn định tiệm cận yếu; • Tính ổn định/tính hút thời gian hữu hạn; • Bài tốn giá trị cuối Chú ý ánh xạ nghiệm (3) nói chung khơng có tính chất nửa nhóm nên việc sử dụng lý thuyết tập hút toàn cục để nghiên cứu dáng điệu nghiệm khơng khả thi Ngồi ra, phương pháp hàm Lyapunov khó áp dụng để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận nghiệm khơng gian pha (nói chung) khơng gian vơ hạn chiều việc tính đạo hàm có nhớ phiếm hàm Lyapunov khó thực Đặc biệt, (3) có xuất trễ thời gian dẫn đến nhiều khó khăn nghiên cứu tính ổn định nghiệm Do vậy, để nghiên cứu dáng điệu nghiệm, ta cần tìm cách tiếp cận Bên cạnh đó, tốn ngược cho phương trình vi phân khơng địa phương nội dung mẻ có nhiều khía cạnh lí thú Trên thực tế, mơ hình hố tốn hệ phương trình tiến hố, có hai tình xem xét Tình ta xác định hệ số kiện ban đầu hệ phương trình Khi ta giải hệ nghiên cứu tính chất định tính nghiệm cơng cụ giải tích Bài tốn ứng với tình gọi tốn thuận (forward problem) Tình thứ hai xảy ta không xác định đầy đủ hệ số phương trình khơng đo kiện ban đầu Khi lúc ta phải xác định hệ số kiện nghiệm tương ứng hệ dựa vào ‘đo đạc’ bổ sung Lúc ta có tốn ngược (inverse problem) Cần nhấn mạnh rằng, khác với toán thuận, tốn ngược thường tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard, có độ phức tạp cao cần có cách tiếp cận phù hợp với trường hợp cụ thể Chính vậy, phương pháp giải toán ngược phong phú Trong thập kỷ qua, tốn ngược phương trình đạo hàm riêng phân thứ thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học Bài toán xác định ngoại lực phương trình đạo hàm riêng phân thứ tuyến tính đề cập nhiều báo, tiêu biểu kết tác giả F AL-Musalhi cộng (2017), K Sakamoto M Yamamoto (2011), T Wei Z Zhang (2013), phương pháp khai triển Fourier sử dụng So với trường hợp tuyến tính, tốn xác định ngoại lực với phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phức tạp nhiều kết liên quan cịn biết đến Năm 2013, Y Luchko cộng sử dụng nguyên lý cực trị để giải tốn xác định ngoại lực cho phương trình khuếch tán nửa tuyến tính Bài tốn tương tự giải cơng trình M Slodicka K Siskova (2016) S Tatar S Ulusoy (2017) phương pháp khác phương pháp rời rạc hoá (discretization method) phương pháp tối ưu (optimization method) Đối với tốn khơng đo kiện ban đầu, kiện bổ sung cho thời điểm quan sát t = T dạng u(T ) = g Ta gọi toán toán giá trị cuối (final value problem/terminal value problem) Bài toán giá trị cuối chủ đề nghiên cứu có tính thời ứng dụng xử lý tín hiệu, xử lý hình ảnh, địa vật lý, Để cụ thể hóa vấn đề nghiên cứu, trước hết xét hệ sau đây: d [k ∗ (u − u0 )](t) + Au(t) = f (u(t)), t > 0, dt u(0) = u0 , (4) (5) ẩn hàm u nhận giá trị không gian Hilbert tách H , nhân k ∈ L1loc (R+ ), A toán tử tuyến tính khơng bị chặn, f : H → H hàm cho trước Cần lưu ý rằng, lớp phương trình sử dụng làm mơ hình cho nhiều tốn khác có liên quan đến q trình có nhớ (điều tham khảo cơng trình Ph Clộment v J A Nohe (1981) hoc J Pră uss (1993)) Trong −α trường hợp đặc biệt, nhân k(t) = g1−α (t) := t /Γ(1 − α), α ∈ (0, 1), phương trình (4) phương trình vi phân phân thứ với d [k ∗ (u − u0 )] đạo hàm phân thứ Caputo dt bậc α, đối tượng nghiên cứu rộng rãi Trong trường hợp cụ thể, chẳng hạn H = L2 (Ω), Ω ⊂ RN , A = −∆ toán tử Laplace với điều kiên biên Dirichlet/Neumann, phương trình (4) dùng để mơ tả tượng khuếch tán dị thường bao gồm khuếch tán chậm, siêu chậm, điều V Vergara R Zacher viết vào năm 2015 Theo hiểu biết chúng tơi chưa có nghiên cứu tính quy nghiệm hệ (4)-(5) Ngoài ra, ổn định theo nghĩa Lyapunov cho (4) biết đến Đó động lực cho tiến hành nghiên cứu toán Trong trường hợp đặc biệt, k = g1−α , số kết tính ổn định T D Ke cộng nghiên cứu (2015, 2017) Trong báo công bố năm 2017, Vergara Zacher nghiên cứu mơ hình cụ thể phương trình (4), phương trình vi phân đạo hàm riêng nửa tuyến tính khơng địa phương Sử dụng nguyên lý cực đại cho phương trình tuyến tính hóa, tác giả chứng minh ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường cho phương trình Điều đáng ý kỹ thuật Vergara Zacher khơng áp dụng cho phương trình tổng quát (4) Chúng đặt vấn đề nghiên cứu tính quy tính ổn định tiệm cận nghiệm (4) cách sử dụng biểu diễn nghiệm bất đẳng thức kiểu Gronwall Tiếp theo, chúng tơi xét hệ phương trình khơng địa phương với ngoại lực f không phụ thuộc vào trạng thái hệ mà phụ thuộc vào trạng thái lịch sử, tức hệ có trễ thời gian Sự xuất trễ trường hợp đặc tính tự nhiên nhiều tốn thực tế vật lý, hóa học, sinh học Cụ thể, xét hệ sau đây: Cho Ω ⊂ Rd miền bị chặn có ∂Ω trơn, xét phương trình ∂t [k ∗ (u − u0 )] + (−∆)γ u = f (t, u, uρ ), t > 0, x ∈ Ω, (6) với điều kiện ban đầu u(τ, x) = ϕ(τ, x), τ ∈ [−h, 0], x ∈ Ω, (7) ϕ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)), ϕ(0, ·) = u0 , điều kiện biên Dirichlet u(t, x) = 0, t > 0, x ∈ ∂Ω (8) Trong (6), nhân k ∈ L1loc (R+ ), γ > 0, f hàm cho trước Ở uρ (t, x) = u(t − ρ(t), x), ρ ∈ C(R+ ) cho −h ≤ t − ρ(t) < t Chúng tơi nghiên cứu tính tiêu hao ổn định cho hệ (6)-(8) Sự xuất trễ dẫn đến khó khăn việc nghiên cứu tính ổn định, ví dụ thực ước lượng tiên nghiệm Theo biết, chưa có kết tính giải dáng điệu tiệm cận nghiệm (6) Do chúng tơi đặt mục tiêu tìm điều kiện thích hợp k , ρ f , đảm bảo: • Sự tiêu hao hệ, tức tồn tập đóng hấp thụ tất nghiệm; • Sự ổn định tiệm cận nghiệm trường hợp hệ có nghiệm nhất; • Sự ổn định tiệm cận yếu (Định nghĩa 3.1) nghiệm tầm thường trường hợp không nghiệm Để thu kết này, trước tiên, chứng minh bất đẳng thức kiểu Halanay mới, kết tổng quát cho trường hợp phương trình vi phân phân thứ by D.Wang, A Xiao H Liu công bố năm 2015 Bất đẳng thức sử dụng việc nghiên cứu tiêu hao tính ổn định tiệm cận Để chứng minh tính ổn định tiệm cận yếu, sử dụng kỹ thuật phát triển T D Ke cộng (2016, 2017), dựa nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén Cuối cùng, luận án này, chúng tơi quan tâm đến tốn giá trị cuối sau đây: Cho Ω ⊂ Rd miền bị chặn với biên ∂Ω trơn Xét phương trình k ∗ ∂t u + (−∆)γ u = f (t, u), t ∈ (0, T ), x ∈ Ω, (9) u(T, x) = g(u)(x), x ∈ Ω, (10) u(t, x) = 0, t > 0, x ∈ ∂Ω (11) với điều kiện cuối điều kiện biên Dirichlet Trong phương trình (9), k ∈ L1loc (R+ ), γ > 0, f hàm cho trước Ở (−∆)γ toán tử Laplace phân thứ Hàm g phụ thuộc u có ý nghĩa thực tế, kiện đo thời điểm t = T phụ thuộc vào ‘năng lượng’ hệ Với hệ (9)-(11), mục tiêu dưạ vào trạng thái thời điểm (t = T ), ta xác định trạng thái trước Khơng giống tốn giá trị đầu (u(0) = g(u), toán thuận), toán giá trị cuối kiểu tốn ngược, nói chung phức tạp Lý hiệu ứng trơn toán thuận, tức u(t), với t > 0, thuộc khơng gian quy khơng gian chứa u(0) Khi đó, t = điểm kì dị u giá trị cuối khơng đủ quy Trường hợp k(t) = t−α /Γ(1 − α) γ = 1, phương trình (9) phương trình khuếch tán với đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Bài toán giá trị cuối trường hợp nghiên cứu số cơng trình cơng bố gần đây, kể đến cơng trình N.H Tuan cộng (2017), H Zhang X Zhang (2017), với f g không phụ thuộc u Trong cơng trình này, tốn chứng minh đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm không ổn định kiện cuối, từ cần số phương pháp quy hóa để tìm nghiệm xấp xỉ Sau đó, tốn với f , g phụ thuộc u nghiên cứu N.H Tuan cộng (2018, 2019), kết thu dựa vào công thức nghiệm biểu diễn qua hàm Mittag-Leffler Về phương diện kĩ thuật, tác giả sử dụng phương pháp điểm bất động kết hợp với ước lượng cho hàm Mittag-Leffler Đối với tốn (9)-(11), chúng tơi xem xét tốn giá trị cuối trường hợp tổng quát hơn, k nhân Sonine, tức tồn hàm khả tích địa phương l cho k ∗ l = Khi phương trình (9) chứa trường hợp riêng phương trình khuếch tán chậm, khuếch tán siêu chậm, phương trình phân thứ đa thành phần, phương trình phân thứ có trọng, sử dụng để mơ tả q trình khuếch tán có nhớ khác Lúc này, tốn tử nghiệm chưa có biểu diễn tường minh theo hàm đặc biệt biết Do vậy, kĩ thuật dựa vào lý thuyết hàm hoàn toàn dương G Gripenberg, S.-O Londen O Staffans (1990) phát triển lý thuyết giải thức trỡnh by ti liu tham kho ca Pră uss (1993) kết hợp với nguyên lý điểm bất động Cụ thể hơn, sử dụng tính parabolic phương trình khuếch tán dị thường, chúng tơi thu tính quy giải thức điều cho phép giải tốn trường hợp hàm phi tuyến khơng thỏa mãn điều kiện Lipschitz So sánh với kết có cho trường hợp phương trình phân thứ, chúng tơi giải tốn tổng qt đưa điều kiện cụ thể Đối với tốn này, chúng tơi thu kết sau: • Đưa biểu diễn nghiệm nhẹ cho hệ (9)-(11) trường hợp tuyến tính cách sử dụng lý thuyết giải thức; • Chứng minh tồn nghiệm điều kiện tính quy; • Chứng minh tính giải cho hệ (9)-(11) khơng gian hàm gián đoạn t = Các kết thu chúng tơi đóng góp phần vào hoàn thiện lý thuyết phương trình vi phân khơng địa phương Từ phân tích trên, chọn đề tài luận án là: “Một số vấn đề định tính lớp phương trình vi phân khơng địa phương” Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu luận án 2.1 Mục đích nghiên cứu: Luận án tập trung vào tính chất định tính nghiệm phương trình (3) mơ hình liên quan Mục tiêu thiết lập điều kiện đủ cho tính giải được, tính quy tính ổn định/ổn định yếu nghiệm, đồng thời xem xét tính giải toán giá trị cuối 2.2 Đối tượng nghiên cứu: Một số tốn với phương trình vi phân khơng địa phương khơng chứa trễ có chứa trễ 2.3 Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu thể thơng qua nội dung sau • Nội dung 1: Sự tồn tính quy nghiệm tích phân phương trình vi phân khơng địa phương; • Nội dung 2: Dáng điệu nghiệm: tính tiêu hao, tính ổn định tiệm cận ổn định tiệm cận yếu; • Nội dung 3: Bài tốn giá trị cuối cho phương trình vi phân khơng địa phương Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng cơng cụ lý thuyết tốn tử, lý thuyết ổn định lý thuyết điểm bất động Ngoài ra, nội dung cụ thể, sử dụng số kỹ thuật tương ứng: • Sự tồn tính quy nghiệm nhẹ phương trình vi phân khơng địa phương: sử dụng lý thuyết tốn tử, đặc biệt lý thuyết giải thức cho phương trình tích phân lý thuyết điểm bất động • Dáng điệu nghiệm: sử dụng lý thuyết ổn định, phương pháp điểm bất động • Bài tốn giá trị cuối cho phương trình vi phân khơng địa phương: sử dụng lý thuyết hàm hoàn toàn dương, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết giải thức Cấu trúc kết luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục cơng trình cơng bố Tài liệu tham khảo, luận án chia làm bốn chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương chứng minh tính giải được, ổn định quy cho lớp phương trình vi phân khơng địa phương Chương đưa điều kiện thích hợp để đảm bảo tính tiêu hao, ổn định tiệm cận nghiệm trường hợp tốn có nghiệm ổn định tiệm cận yếu nghiệm trường hợp khơng nghiệm lớp phương trình khuếch tán dị thường có trễ hữu hạn Chương với tốn giá trị cuối cho phương trình khuếch tán dị thường nửa tuyến tính, chúng tơi chứng minh tính giải hai trường hợp kiện quy khơng quy Ý nghĩa kết luận án Các kết thu luận án góp phần làm phong phú thêm hướng nghiên cứu định tính cho lớp phương trình vi phân khơng địa phương, áp dụng cho lớp phương trình khuếch tán dị thường hai trường hợp khơng chứa trễ có chứa trễ Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại kết tính ổn định hệ vi phân, lý thuyết tốn tử tuyến tính, số nguyên lý điểm bất động, toán tử đạo hàm khơng địa phương, phương trình tích phân Volterra vơ hướng tốn tử nghiệm phương trình vi phân khơng địa phương khơng gian Hilbert 1.1 CÁC KHƠNG GIAN HÀM Trong mục này, nhắc lại số không gian hàm sử dụng chương sau, là: Lp (Ω), ≤ p < +∞, Lploc (Ω), ≤ p < +∞, C([a, b]; H), AC([a, b]), Lp (a, b; H), C γ ([a, b]; H), γ ∈ (0, 1) Chúng tơi trình bày Định lý Arzelà-Ascoli Theorem Nội dung thể hai mục nhỏ 1.1.1 Các không gian hàm quan trọng 1.1.2 Định lí Arzelà-Ascoli 1.2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ VI PHÂN Ta nhắc lại số khái niệm lý thuyết ổn định Lyapunov khái niệm ổn định yếu 1.3 LÝ THUYẾT TỐN TỬ TUYẾN TÍNH Trong mục này, nhắc lại số khái niệm tính chất liên quan đến tốn tử tuyến tính đóng, tốn tử tự liên hợp lũy thừa toán tử Nội dung gồm mục: 1.3.1 Toán tử tuyến tính đóng 1.3.2 Tốn tử tự liên hợp 1.3.3 Lũy thừa toán tử 1.4 MỘT SỐ NGUYÊN LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG Mục trình bày nguyên lý ánh xạ co, nguyên lý điểm bất động Schauder nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén Các nội dung trình bày tiểu mục sau: 1.4.1 Nguyên lý ánh xạ co 1.4.2 Nguyên lý điểm bất động Schauder 1.4.3 Nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén 1.5 TOÁN TỬ ĐẠO HÀM KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG 1.5.1 Giới thiệu tốn tử đạo hàm không địa phương Trong phần nhỏ này, chúng tơi đưa định nghĩa tốn tử đạo hàm khơng địa phương 1.5.2 Nhân hoàn toàn đơn điệu cặp nhân Sonine Trong tiểu mục này, nhắc lại khái niệm nhân hoàn toàn dương cặp nhân Sonine, nêu giả thiết hàm nhân sử dụng suốt luận án (K) Hàm k ∈ L1loc (R+ ) không âm không tăng, tồn hàm l ∈ L1loc (R+ ) cho k ∗ l = (0, ∞) Nội dung thể qua đề mục: Cặp nhân Sonine Nhân hồn tồn đơn điệu 1.5.3 Một số ví dụ điển hình 1.6 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA VƠ HƯỚNG 1.6.1 Phương trình Volterra vơ hướng Ở chúng tơi giới thiệu loại phương trình Volterra đưa loại phương trình Volterra đặc biệt sử dụng chương sau Nghiệm hai phương trình kí hiệu s(·, µ) r(·, µ) 1.6.2 Tính chất nghiệm phương trình Volterra Trong mục này, chúng tơi trình bày tính chất s(·, µ) r(·, µ) đề cập mục trình bày bất đẳng thức kiểu Gronwall 1.7 TỐN TỬ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Trong mục này, chúng tơi xét toán: d dt [k ∗ (u − u0 )](t) + Au(t) = g(t), t ∈ (0, T ] với u(0) = u0 , với g ∈ C([0, T ]; H) Chúng xây dựng biểu diễn nghiệm cho toán Definition of mild solution was given in Chapter Theorem 2.1 If u is a mild solution to the problem (2.3)-(2.4), then it is a weak solution The next theorem show that the weak solution is unique Theorem 2.2 Problem (2.3)-(2.4) has a unique weak solution 2.2.2 Regularity Theorem 2.3 Let (A), and (K*) hold Assume that the function g in (2.3) belongs to C γ ([0, T ]; H), and u is the weak solution of (2.3)-(2.4) Then u ∈ C([0, T ]; H) ∩ C γ ([δ, T ]; H) for any < δ < T , and u is a strong solution 2.3 2.3.1 SOLVABILITY, STABILITY AND REGULARITY FOR SEMILINEAR EQUATIONS Solvability Definition 2.3 A function u ∈ C([0, T ]; H) is called a mild solution of the problem (2.1)-(2.2) on [0, T ] iff t R(t − s)f (u(s))ds, u(t) = S(t)u0 + for every t ∈ [0, T ] We need the following hypothesis on f (F) The nonlinear function f : H → H is locally Lipschitzian, i.e., for each ρ > there is a nonnegative number κ(ρ) such that f (v1 ) − f (v2 ) ≤ κ(ρ) v1 − v2 , ∀v1 , v2 ∈ Bρ , where Bρ is the closed ball in H with center at origin and radius ρ In the next theorem, we prove a local solvability result Theorem 2.4 Let (A), (K) and (F) be satisfied Then there exists t∗ > such that the problem (2.1)-(2.2) has a mild solution defined on [0, t∗ ] Moreover, u(t) ∈ V 21 for all t ∈ (0, t∗ ] We now discuss some circumstances, in which solutions exist globally Theorem 2.5 Let (A) and (K) hold For any T > 0, if the nonlinear function f is globally Lipschitzian, that is, κ(ρ) = κ0 is constant, then the problem (2.1)-(2.2) has a unique global mild solution u ∈ C([0, T ]; H) ∩ C((0, T ]; V 12 ) If, in addition, that κ0 < λ1 and l ∈ L1 (R+ ), then every mild solution to (2.1) is globally bounded and asymptotically stable The following theorems show the main results of this section Theorem 2.6 Let (A), (K) and (F) hold If f (0) = and lim sup κ(ρ) = α with ρ→0 α ∈ [0, λ1 ), then there exists δ > such that the problem (2.1)-(2.2) admits a unique global mild solution u ∈ C([0, T ]; H) ∩ C((0, T ]; V 21 ), provided that u0 ≤ δ 11 2.3.2 Stability Theorem 2.7 Let the hypotheses of Theorem 2.6 hold If l ∈ L1 (R+ ), then the zero solution of (2.1) is asymptotically stable We now present a linearized stability result as a consequence of Theorem 2.7 Corollary 2.1 Let (A) and (K) hold Assume that the nonlinearity f is continuously differentiable such that f (0) = and A − f (0) remains positively definite Then the zero solution of (2.1) is asymptotically stable 2.3.3 The Holder ­ continuity of the mild solution We prove the Hăolder continuity of the mild solution to (2.1)-(2.2) Theorem 2.8 Let (A), (K*) and (F) hold Then the mild solution to (2.1)-(2.2) is Hăolder continuous on [δ, T ] for every < δ < T 2.4 APPLICATION Let Ω ⊂ RN be a bounded domain with smooth boundary ∂Ω We apply the obtained results to the following two-term fractional-in-time PDE: ∂tα u(t, x) + µ ∂tβ u(t, x) + (−∆)γ u(t, x) = F u2 (t, x)dx G(x, u(t, x)), (2.5) Ω for t > 0, x ∈ Ω, u(t, x) = 0, for t ≥ 0, x ∈ ∂Ω, u(0, x) = u0 (x), for x ∈ Ω, (2.6) (2.7) where < α < β < 1, µ ≥ 0, γ > 0, ∂tα and ∂tβ stand for the Caputo fractional derivatives of order α and β in t, respectively; ∆ is the Laplacian with the domain D(∆) = H (Ω) ∩ H01 (Ω) Let H = L2 (Ω) with the inner product (u, v) = u(x)v(x)dx Put Ω k(t) = g1−α (t) + µ g1−β (t), A = (−∆)γ , (2.8) v (x)dx G(x, v(x)), v ∈ L2 (Ω) f (v)(x) = F Ω Then the problem (2.5)-(2.7) is in the form of (2.1)-(2.2) Observe that, the kernel function k is completely monotonic, i.e (−1)n k (n) (t) ≥ for t ∈ (0, ∞) Thus, k admits a resolvent function l such that k ∗ l = on (0, ∞) and in this case, (1 ∗ l)(t) ∼ g1+α (t) as t → ∞ Thus → as t → ∞, for any µ > s(t, µ) ≤ + µ(1 ∗ l)(t) Noting that, the nonlinearity in (2.5) can be seen as a perturbation depending not only on the state but also on the energy of the system We assume that (H1) F ∈ C (R) obeys the estimate |F (r)| ≤ a + b|r|ν , for some nonnegative numbers a, b and ν 12 (H2) G : Ω×R → R is a Carath´eodory function and satisfies the Lipschitz condition in the second variable, i.e |G(x, y1 ) − G(x, y2 )| ≤ h(x)|y1 − y2 |, ∀x ∈ Ω, y1 , y2 ∈ R, here h ∈ L∞ (Ω) is a nonnegative function In addition, assume that G(x, 0) = for a.e x ∈ Ω Theorem 2.9 Suppose (H1) − (H2) hold and 1) a h ∞ < θγ λγ if ν > 0, 2) (a + b) h ∞ < θγ λγ if ν = 0, where h ∞ = ess supx∈Ω |h(x)| Then problem (2.5)-(2.7) has a unique mild solution Moreover, the trivial is asymptotically stable 13 Chapter DISSIPATIVITY AND STABILITY FOR SEMILINEAR ANOMALOUS DIFFUSION EQUATIONS WITH FINITE DELAYS In this chapter, we analyze the dissipativity and stability of solutions to a class of semilinear anomalous diffusion equations involving delays The existence of absorbing set, the stability and weak stability will be shown under suitable assumptions on nonlinearity Our analysis is based on a new Halanay type inequality, local estimates and fixed point arguments The content of this chapter is written based on the paper [3] in the author’s works related to the thesis that has been published 3.1 PROBLEM SETTING Let Ω ⊂ Rd be a bounded domain with smooth boundary ∂Ω Consider the following equation ∂t [k ∗ (u − u0 )] + (−∆)γ u = f (t, u, uρ ), t > 0, x ∈ Ω, (3.1) with initial condition u(τ, x) = ϕ(τ, x), τ ∈ [−h, 0], x ∈ Ω, (3.2) for ϕ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)), ϕ(0, ·) = u0 , and the Dirichlet boundary condition u(t, x) = 0, t ≥ 0, x ∈ ∂Ω (3.3) In (3.1), the kernel k ∈ L1loc (R+ ), γ > 0, and f : R+ × R2 → R is a given function Here uρ (t, x) = u(t − ρ(t), x), ρ ∈ C(R+ ) such that −h ≤ t − ρ(t) < t, and the notation ∗ denotes the Laplace convolution with respect to the time t, i.e., t (k ∗ v)(t, x) = k(t − s)v(s, x)ds The existence results are proved under assumption that the kernel k satisfies (K*) with suitable hypothesis on f The dissipative and stability of solutions are obtained by employing a new Halanay type inequality Let S(ϕ) be the set of solutions of (3.1) with respect to the initial datum ϕ, ut ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)) the function defined by ut (ξ) = u(t − ρ(t)), ξ ∈ [−h, 0] Definition 3.1 The solution u ∈ S(ϕ) is said to be weakly asymptotically stable iff it is 1) stable: for all > 0, there exists δ > such that if ψ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)) satisfying ψ − ϕ ∞ < δ, then vt − ut ∞ < for all v ∈ S(ψ) and t > 2) weakly attractive: there is > such that for every ψ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)) obeying ψ − ϕ ∞ < , there exists v ∈ S(ψ) such that lim vt − ut ∞ = t→∞ In order to study the weak stability for (3.1)-(3.3), we make use of the fixed point theory for condensing maps 14 3.2 EXISTENCE Definition 3.2 A function u ∈ C([−h, T ]; L2 (Ω)) is said to be a mild solution to (3.1)-(3.3) on [−h, T ] iff u(t) = ϕ(t) for t ∈ [−h, 0] and t R(t − τ )f (τ, u(τ ), u(τ − ρ(τ )))dτ for t ∈ [0, T ] u(t) = S(t)ϕ(0) + We will examine sufficient conditions for global solvability and dissipativity of (3.1)-(3.3) For u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) and ϕ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)), denote by u[ϕ] the function given by u(t) if t > 0, u[ϕ](t) = ϕ(t) if − h ≤ t ≤ Set Cϕ = {u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) : u(0) = ϕ(0)}, t R(t − τ )f (τ, u(τ ), u[ϕ](τ − ρ(τ )))dτ, u ∈ Cϕ , t ≥ Φ(u)(t) = S(t)ϕ(0) + Then u is a fixed point of Φ iff u[ϕ] is a mild solution of (3.1)-(3.3) So we refer to Φ as the solution operator In the sequel, we use · ∞ for the supremum norm in the space C(J; L2 (Ω)), where J ⊂ R is a compact interval Theorem 3.1 Assume that (K*) hold, and f is a continuous function and satisfies the superlinear condition f (t, v, w) ≤ β v + κ w + Ψ( v + w ), ∀t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω), (3.4) where β ≥ 0, κ > 0, Ψ ∈ C(R+ ; R) such that Ψ(r) = o(r) as r → If β + κ < λγ1 , then there is a positive number δ such that a mild solution to (3.1)-(3.3) exists globally provided ϕ ∞ < δ Moreover, if f is locally Lipschitzian, i.e., for each r > 0, there is L(r) > such that f (t, v1 , w1 ) − f (t, v2 , w2 ) ≤ L(r)( v1 − v2 + w1 − w2 ), (3.5) for all t ≥ 0, vi , wi ≤ r, i ∈ {1, 2}, then the mild solution is unique In the following theorem, we show a result on global existence, relaxing the smallness condition on initial data as well as on coefficients Theorem 3.2 Let (K*) and f be continuous and satisfy the sublinear condition f (t, v, w) ≤ α(t) + β v + κ w , ∀t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω), (3.6) where α ∈ L1loc (R+ ) is a nonnegative function, β and κ are nonnegative numbers Then the problem (3.1)-(3.3) has at least one global mild solution 3.3 DISSIPATIVITY , STABILITY AND WEAK STABILITY 3.3.1 Halanay type inequality 3.3.2 Dissipativity The following theorem states a dissipativity result for (3.1)-(3.3) 15 Theorem 3.3 Assume that f is continuous and satisfies the condition f (t, v, w) ≤ α(t) + β v + κ w , ∀t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω), (3.7) where β and κ are nonnegative numbers such that β + κ < λγ1 , α ∈ L1loc (R+ ) is a nonnegative nondecreasing function such that r(·, λγ1 − β) ∗ α ∈ BC(R+ ) If l ∈ L1 (R+ ) and lim (t − ρ(t)) = ∞, then the system (3.1)-(3.3) is dissipative with t→∞ the absorbing set Bσ for any σ satisfying λγ1 − β σ> γ sup(r(·, λγ1 − β) ∗ α)(t) λ1 − β − κ R+ 3.3.3 Stability Theorem 3.4 Assume that the nonlinearity f satisfies the Lipschitz condition f (t, v1 , w1 ) − f (t, v2 , w2 ) ≤ β v1 − v2 + κ w1 − w2 , for all t ≥ 0, vi , wi ∈ L2 (Ω), i ∈ {1, 2}, where β ≥ 0, κ > such that β + κ < λγ1 If l ∈ L1 (R+ ) and lim (t − ρ(t)) = ∞, then every solution of (3.1)-(3.3) is t→∞ asymptotically stable The following theorem shows a result on asymptotic stability for (3.1)-(3.3) in the case f satisfies the hypotheses in Theorem 3.1 Theorem 3.5 Let the hypotheses of Theorem 3.1 hold If l ∈ L1 (R+ ) and lim (t− t→∞ ρ(t)) = ∞, then the zero solution of (3.1) is asymptotically stable 3.3.4 Weak stability We are in a position to relax the Lipschitz condition on f and study the weak stability for the zero solution of (3.1) Theorem 3.6 Let f be continuous and satisfy the condition f (t, v, w) ≤ β(t) v + κ(t) w , ∀t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω), (3.8) where β, κ ∈ L1loc (R+ ) are nonnegative functions Assume that l ∈ L1 (R+ ) and lim (t − ρ(t)) = ∞ Then the zero solution of (3.1) is weakly asymptotically stable t→∞ provided that σt r(t − τ, λγ1 )(β(τ ) + κ(τ ))dτ = 0, lim sup T →∞ t≥T t r(t − τ, λγ1 )(β(τ ) + κ(τ ))dτ < 1, = sup t≥0 (3.9) (3.10) for some σ ∈ (0, 1) 3.4 APPLICATION m We work with a concrete case Let k(t) = µi g1−αi (t) with µi > and i=1 < α1 < α2 < < αm < (a multi-term fractional equation) Then k is 16 completely monotone, and the associate kernel l exists Moreover, the Laplace ˆ −1 = m1 transform of l is given by ˆl(λ) = λ−1 k(λ) α µi λ i i=1 Thus (1 ∗ l)(λ) = m µi λαi +1 ∼ µ1 λα1 +1 as λ → Hence the Karamata-Feller i=1 Tauberian theorem tells us that (1 ∗ l)(t) ∼ ensures l ∈ L1 (R+ ) Concerning the nonlinearity, let tα1 µ1 Γ(α1 +1) → ∞ as t → ∞, which |u(t, x)|2 dx, u(qt − h, x) , f (t, u, uρ )(x) = F t, Ω where F : R+ × R+ × R → R is a continuous function, and q ∈ (0, 1) is given So ρ(t) = (1 − q)t + h and the source term in our system is designated to be subordinate to the history state as well as to the energy of the system at the time t The abstract form of f is as follows f (t, v, w)(x) = F (t, v , w(x)), for all v, w ∈ L2 (Ω) We assume that F satisfies the Lipschitz condition |F (t, y1 , z1 ) − F (t, y2 , z2 )| ≤ p|y1 − y2 | + q|z1 − z2 |, (3.11) for some p ≥ 0, q > Then f (t, v1 , w1 ) − f (t, v2 , w2 ) ≤ p |Ω|( v1 + v2 ) v1 − v2 + q w1 − w2 , where |Ω| denotes the volume of Ω This implies that f satisfies the local Lipschitz condition (3.5) with L(r) = max{q, 2rp |Ω|} Furthermore, it is easily seen that f (t, v, w) ≤ f (t, 0, 0) + p |Ω| v +q w Employing Theorem 3.3, if p = and F (·, 0, 0) ∈ BC(R+ ), then our system is dissipative provided that q < λγ1 On the other hand, if F (t, 0, 0) = and q < λγ1 then the zero solution is asymptotically stable, due to Theorem 3.5 We now drop condition (3.11) and impose the following one √ |F (t, y, z)| ≤ p(t) y + r(t)|z|, for p, q ∈ L1loc (R+ ) Then f (t, v, w) ≤ p(t) |Ω| v + r(t) w , ∀t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω) Applying Theorem 3.6, we get the weakly asymptotic stability of the zero solution, provided that the conditions (3.9)-(3.10) are satisfied with β(t) = p(t) |Ω| and κ(t) = r(t) 17 Chapter NONLOCAL VALUE PROBLEM GOVERNED BY SEMILINEAR ANOMALOUS DIFFUSION EQUATIONS In this chapter, we establish some sufficient conditions for the solvability of the nonlocal final value problem involving a class of partial differential equations, which describe the anomalous diffusion phenomenon Our analysis is based on the theory of positively positive functions, resolvent operators and fixed point arguments in suitable function spaces Especially, utilizing the regularity of resolvent operators, we are able to deal with non-Lipschitz cases The obtained results, in particular, extend recent ones proved for fractional diffusion equations The content of this chapter is written based on the paper [2] in the author’s works related to the thesis that has been published 4.1 PROBLEM SETTING Let Ω ⊂ Rd be a bounded domain with smooth boundary ∂Ω Consider the following equation k ∗ ∂t u + (−∆)γ u = f (t, u), t ∈ (0, T ], x ∈ Ω, (4.1) with the final condition u(T, x) = g(u), x ∈ Ω, (4.2) and the Dirichlet boundary condition u(t, x) = 0, t ≥ 0, x ∈ ∂Ω (4.3) In (4.1), k ∈ L1loc (R+ ), γ > 0, and f : R+ × R → R is a given function Here the notation ‘∗’ denotes the Laplace convolution with respect to the time t, i.e., t (k ∗ v)(t, x) = k(t − s)v(s, x)ds, and (−∆)γ stands for the fractional power operator of the Laplacian We establish some sufficient conditions for the solvability in two different cases The first one: f and g take values in regularity functional spaces Then the solutions are defined on [0, T ] The second case: f and g take values in functional spaces which are less regularity Then the obtained solution only defined on (0, T ] In order to get the results in the second case, we use the fixed point principles on a functional space which is designed such that being suitable with assumptions of the problem 4.2 4.2.1 FORMULA OF SOLUTION The linear problem In this subsection, we use the notation u(t) for u(t, ·) and consider u as a function defined on [0, T ], taking values in space Vβ for some β ∈ R Denote 18 A = (−∆)γ with domain D(A) = Vγ Given f ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) and g ∈ L2 (Ω), consider the linear problem k ∗ u (t) + Au(t) = f (t), t ∈ (0, T ], u(T ) = g (4.4) (4.5) We have the following representation for the solution of (4.4)-(4.5) ∞ u(t) = n=1 T s(t, λγn ) gn − s(T, λγn ) ∞ r(T − τ, λγn )fn (τ )dτ en t r(t − τ, λγn )fn (τ )dτ en + n=1 T −1 −1 = S(T ) S(t)g − S(T ) S(t) t R(T − τ )f (τ )dτ + R(t − τ )f (τ )dτ (4.6) Let P (t) = S(T )−1 S(t), then ∞ P (t)v = n=1 4.2.2 s(t, λγn ) (v, e )e , v ∈ L (Ω) n n s(T, λγn ) (4.7) Properties of operators Proposition 4.1 We have the following estimates 1) For v ∈ L2 (Ω) and t ∈ (0, T ], k(T )−1 P (t)v ≤ v (1 ∗ l)(t) (4.8) 2) If v ∈ Vγ and t ∈ [0, T ], then −1 P (t)v ≤ (λ−γ + k(T ) ) v 4.2.3 Vγ (4.9) Definition of mild solutions Based on (4.6)-(4.7), we introduce the following definition Definition 4.1 Let f : [0, T ]×L2 (Ω) → L2 (Ω) and g : C((0, T ]; L2 (Ω)) → L2 (Ω) A function u ∈ C((0, T ]; L2 (Ω)) is said to be a mild solution of the problem (4.1)(4.3) if it satisfies T u(t) = P (t)g(u) − P (t) t R(t − τ )f (τ, u(τ ))dτ + 4.3 R(t − τ )f (τ, u(τ ))dτ SOLVABILITY IN REGULAR SETTING We first consider the simple case, where f and g are Lipschitzian and take values in Vγ Theorem 4.1 Assume that 19 (F1) The function f : [0, T ] × L2 (Ω) → Vγ is continuous and there exists Lf > such that f (t, v1 ) − f (t, v2 ) Vγ ≤ Lf v1 − v2 , ∀t ∈ [0, T ], v1 , v2 ∈ L2 (Ω) (G1) The function g : C([0, T ]; L2 (Ω)) → Vγ is Lipschitzian with constant Lg , i.e., g(u1 ) − g(u2 ) where u ∞ Vγ ≤ Lg u1 − u2 ∞, ∀u1 , u2 ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)), = sup u(t) for u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) t∈[0,T ] Then the problem (4.1)-(4.2) has a unique mild solution u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)), provided that −γ −2γ −1 := (λ−γ + k(T ) )(Lg + λ1 Lf ) + λ1 Lf < (4.10) In the next theorem, we show that if the kernel function l is nonincreasing, then f can takes values in L2 (Ω) Theorem 4.2 Let g satisfy (G1) Assume that the kernel function l is nonincreasing and f : [0, T ] × L2 (Ω) → L2 (Ω) is continuous, f (t, 0) = and obeys the estimate f (t, v1 ) − f (t, v2 ) ≤ Lf (t) v1 − v2 , ∀t ∈ [0, T ], v1 , v2 ∈ L2 (Ω), (4.11) where Lf ∈ C([0, T ]) is a nonnegative function such that T l(T − τ )Lf (τ ) (1 ∗ l)(T − τ ) dτ < ∞ (4.12) Then the problem (4.1)-(4.2) has a unique mild solution u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)), provided that (f, g) < 1, where t (f, g) = (λ−γ r(t − τ, λγ1 )Lf (τ )dτ + k(T )−1 )Lg + sup t∈[0,T ] T −1 + T k(T ) l(T − τ )Lf (τ ) (1 ∗ l)(T − τ ) 2 dτ We are now concerned with the case when f and g are non-Lipschitzian In order to deal with the problem in this case, we need a regularity of the operators S(·) and R(·) Put T Φ1 (u)(t) = P (t)g(u) − P (t) R(T − τ )f (τ, u(τ ))dτ, (4.13) t R(t − τ )f (τ, u(τ ))dτ Φ2 (u)(t) = (4.14) Lemma 4.1 Let the function l ∈ L1loc (R+ ) is of subexponential growth, θ-sectorial for some < θ < π and 3-regular Assume, in addition, that 20 (F2) The function f : [0, T ] × L2 (Ω) → V2γ is continuous and there exists a nondecreasing function Ψf ∈ C(R+ ) such that f (t, v V2γ ≤ Ψf ( v ), ∀t ∈ [0, T ], v ∈ L2 (Ω); (G2) The function g : C([0, T ]; L2 (Ω)) → V2γ is continuous and there is a nondecreasing function Ψg ∈ C(R+ ) such that g(u) V2γ ≤ Ψg ( u ∞ ), ∀u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) Then the operators Φ1 and Φ2 defined by (4.13) and (4.14), respectively, are compact as mappings on C([0, T ]; L2 (Ω)) Theorem 4.3 Let the hypotheses of Lemma 4.1 hold Then the problem (4.1)(4.3) has at least one mild solution in C([0, T ]; L2 (Ω)), provided that (λ−γ 4.4 −1 + k(T ) )λ−γ Ψf (p) Ψg (p) −γ −2γ −1 + (2λ1 + k(T ) )λ1 lim inf < (4.15) lim inf p→∞ p→∞ p p SOLVABILITY IN SINGULAR SETTING Define Cl ((0, T ]; L2 (Ω)) = {u ∈ C((0, T ]; L2 (Ω)) : sup (1 ∗ l)(t) u(t) < ∞} t∈(0,T ] Then Cl ((0, T ]; L2 (Ω)) is a Banach space with the norm u Cl = sup (1 ∗ l)(t) u(t) t∈(0,T ] We find a solution of the problem (4.1)-(4.3) in this space Theorem 4.4 Assume that (F3) The function f : (0, T ] × L2 (Ω) → L2 (Ω) obeys the estimate f (t, u1 (t)) − f (t, u2 (t)) ≤ Lf (t) u1 − u2 Cl , for all t ∈ (0, T ], u1 , u2 ∈ Cl ((0, T ]; L2 (Ω)), where Lf ∈ C((0, T ]) is a nonnegative function; (G3) The function g : Cl ((0, T ]; L2 (Ω)) → L2 (Ω) satisfies the Lipschitz condition g(u1 ) − g(u2 ) ≤ Lg u1 − u2 Cl , ∀u1 , u2 ∈ Cl ((0, T ]; L2 (Ω)), where Lg is a nonnegative number Then the problem (4.1)-(4.3) has a unique mild solution in Cl ((0, T ]; L2 (Ω)), provided that k(T )−1 [Lg + Λ(T )] + sup (1 ∗ l)(t)Λ(t) < 1, (4.16) t∈(0,T ] where t r(t − τ, λγ1 )Lf (τ )dτ Λ(t) = 21 (4.17) In the next result, we relax the Lipschitz condition (F3)-(G3) To this end, we first analyze a compactness condition in Cl ((0, T ]; L2 (Ω)) Lemma 4.2 Let the function l ∈ L1loc (R+ ) is of subexponential growth, θ-sectorial for some < θ < π and 3-regular The following assertions holds 1) C([0, T ]; L2 (Ω)) ⊂ Cl ((0, T ]; L2 (Ω)) 2) If B ⊂ Vγ is a bounded set, then the set B = {P (·)v : v ∈ B} is relatively compact in Cl ((0, T ]; L2 (Ω)) Theorem 4.5 Let the kernel function l ∈ L1loc (R+ ) is of subexponential growth, θ-sectorial for some < θ < π and 3-regular Assume that (F4) The function f : (0, T ] × L2 (Ω) → Vγ is continuous and satisfies f (t, u(t)) Vγ ≤ Lf (t)Ψf ( u Cl ), ∀t ∈ (0, T ], u ∈ Cl ((0, T ]; L2 (Ω)), where Lf ∈ C((0, T ]) is nonnegative and Ψf ∈ C(R+ ) is nondecreasing (G4) The function g : Cl ((0, T ]; L2 (Ω)) → Vγ satisfies g(u) Vγ ≤ Ψg ( u Cl ), ∀u ∈ Cl ((0, T ]; L2 (Ω)), where Ψg ∈ C(R+ ) is a nondecreasing function Then the problem (4.1)-(4.3) has at least one mild solution in Cl ((0, T ]; L2 (Ω)), provided that Ψg (p) + lim inf p→∞ p Ψf (p) Λ(T ) + k(T ) sup (1 ∗ l)(t)Λ(t) lim inf < k(T )λγ1 , p→∞ p t∈(0,T ] (4.18) where Λ is defined by (4.17) 4.5 APPLICATION Let k(t) = tβ−1 dβ Consider the problem Γ(β) k ∗ ∂t u − ∂x2 u = H(t) ln(1 + u2 ), t ∈ (0, T ], x ∈ (0, 1), u(t, 0) = u(t, 1) = 0, T u(T, x) = (4.19) (4.20) dt K(t, x, y)u(t, y)dy, (4.21) where H and K are given functions In this case, Vγ = V = H (0, 1) ∩ H01 (0, 1) ∞ e−pt Note that the associate kernel function l(t) = dp is nonincreasing on 1+p (0, ∞) Let f (t, v)(x) = H(t) ln(1 + v(x)2 ) for v ∈ L2 (0, 1), then f (t, v1 ) − f (t, v2 ) ≤ |H(t)|2 |v1 (x) − v2 (x)|2 dx = |H(t)|2 v1 − v2 T Let g(u)(x) = dt K(t, x, y)u(t, y)dy We assume that 22 1) K(t, 0, y) = K(t, 1, y) = 0, for all t ∈ [0, T ], y ∈ (0, 1) 2) The function x → K(t, x, y) is twice differentiable Then using the Hăolder inequality, we get g(u1 ) − g(u2 ) V ≤ T u1 − u2 ∞ ( sup ∂x K(t, x, ·) t∈[0,T ] + sup ∂x2 K(t, x, ·) )dx t∈[0,T ] So the assumptions of Theorem 4.2 are satisfied, provided that the function H(t), t [0, T ], is Hăolder continuous with order δ ∈ ( 21 , 1], H(T ) = 0, H and K are small enough in the sense that Lf (t) = |H(t)|, t ∈ [0, T ], ( sup ∂x K(t, x, ·) Lg = T t∈[0,T ] + sup ∂x2 K(t, x, ·) )dx t∈[0,T ] obey the condition (f, g) < stated in Theorem 4.2 23 , CONCLUSION RESULTS OF THE THESIS This thesis has studied some qualitative properties for nonlocal differential equations The results are: 1) For a class of semilinear nonlocal differential equations in Hilbert spaces: We proved the solvability, regularity of solutions to linear problem and semilinear problem; we give results on stability for semilinear problem; and apply obtained results to a two-term fractional-in-time PDE 2) For a semilinear anomalous diffusion equations involving delays: We proved the existence of mild solutions; we address sufficient conditions for dissipativity, stability and weak stability Finally, we show an application on a multi-term fractional equation 3) For a nonlocal final value problem governed by semilinear anomalous diffusion equations: We give solution formulation and prove the existence in both two cases (regular setting and singular setting); and present two examples RECOMMENDATION Beside the results obtained in this thesis, some open questions are: • Study the existence and stability for nonlocal differential equations with infinite delays • Study decay solutions to nonlocal differential equations when the nonlinearity part may have superlinear growth • Study the solution regularity for final value problem involving nonlocal differential systems 24 AUTHOR’S WORKS RELATED TO THE THESIS THAT HAVE BEEN PUBLISHED 1) T.D Ke, N.N Thang, L.T.P Thuy, Regularity and stability analysis for a class of semilinear nonlocal differential equations in Hilbert spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications 483 (2020), no 2, 123655 (SCI) 2) T.D Ke, L.T.P Thuy, Nonlocal final value problem governed by semilinear anomalous diffusion equations, Evolution Equations & Control Theory (2020), 9(3): 891-914 (SCIE) 3) T.D Ke, L.T.P Thuy, Dissipativity and stability for semilinear anomalous diffusion equations involving delays, Mathematical Methods in the Applied Sciences (2020);43:8449-8465.doi.org/10.1002/mma.6497 (SCIE) Results of the thesis have been reported at: • Seminar of Department of Analysis, Faculty of Mathematics, Hanoi National University of Eduacation; • Conference for PHD students, Faculty of Mathematics, Hanoi National University of Eduacation, 2019; ... thuyết phương trình vi phân khơng địa phương Từ phân tích trên, chúng tơi chọn đề tài luận án là: ? ?Một số vấn đề định tính lớp phương trình vi phân khơng địa phương? ?? Mục đích – Đối tượng – Phạm vi. .. Định lí 4.2 23 , KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Các kết đạt Trong luận án, chúng tơi nghiên cứu số vấn đề định tính lớp phương trình vi phân khơng địa phương Luận án đạt kết sau: 1) Đối với lớp phương trình. .. cho (2) phương trình vi phân (đạo hàm riêng) phân thứ loại Caputo Có thể thấy phương trình vi phân phân thứ mơ hình tiêu biểu phương trình vi phân khơng địa phương, chủ đề nghiên cứu có tính thời