Đang tải... (xem toàn văn)
Mời các bạn và các em học sinh cùng tham khảo chuyên đề môn Toán lớp 9 - Chuyên đề 1: Nhân, chia căn thức bậc hai để hỗ trợ cho quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức từ đó vận dụng vào giải các bài tập.
TỐN 9 CHUN ĐỀ 2 : NHÂN, CHIA CĂN THỨC BẬC HAI A – LÝ THUYẾT I . Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương: Với A ≥ 0, B ≥ 0 thì: Khai phương một tích Nhân các căn thức bậc hai Với A ≥ 0, B > 0 thì: Khai phương một thương Chia hai căn thức bậc hai II . Bổ sung: Với A1, A2, …, An ≥ 0 thì: Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: (dấu “=” xảy ra a = 0 hoặc b = 0) Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì: (dấu “=” xảy ra a = b hoặc b = 0) Cơng thức “căn phức tạp” Trong đó A > 0; B > 0 và A2 > B BĐT Cơsi (cịn gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân) Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì: (dấu “=” xảy ra a = b) Vài dạng khác của bất đẳng thức Cơsi: Dạng có chứa dấu căn: với a ≥ 0; b ≥ 0; với a > 0; b > 0 Dạng khơng có chứa dấu căn: ; ; ; BĐT Bunhiacốpxki (đối với hai bộ số) Mỗi bộ có hai số (a1 ; a2) và (b1 ; b2) ; Mỗi bộ có ba số (a1 ; a2 ; a3) và (b1 ; b2 ; b3) ; Mỗi bộ có n số (a1 ; a2 ; …; an) và (b1 ; b2 ; …; bn) ; (dấu “=” xảy ra với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0) B – BÀI TẬP DẠNG 1: Thực hiện phép tính Bài tập 1: Tính: a) A = ; b) B = Bài tập 2: Thực hiện phép tính: a) ; c) Bài tập 3: Thực hiện phép tính: b) ; a) ; c) b) ; Bài tập 4: Cho a = . Tính giá trị của biểu thức: M = Bài tập 5: Tính: a) ; b) ; c) ; d) Bài tập 6: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng tích rồi tính: a) ; b) ; c) ; d) Bài tập 7: Cho hai số có tổng bằng và có hiệu bằng . Tính tích của hai số đó Bài tập 8: Tính biết: a) A = ; c) A = Bài tập 9: Tính: b) A = ; a) ; c) Bài tập 10: Thực hiện các phép tính: b) ; a) ; b) ; Bài tập 11: Biết x = c) Tính giá trị của biểu thức: M = Bài tập 12: Tính: a) Q = ; b) R = Bài tập 13: So sánh: a) và ; c) 18 và Bài tập 14*: a) Nêu một cách tính nhẩm 9972; b) và ; b) Tính tổng các chữ số của A, biết rằng = 99…96 (có 100 chữ số 9) DẠNG 2: Rút gọn biểu thức Bài tập 15: Rút gọn biểu thức M = Bài tập 16: Rút gọn biểu thức: a) ; c) ; e) ; g) ; i) ; Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức: b) ; d) ; f) ; a) A = ; c) C = ; Bài tập 18: Rút gọn biểu thức: M = b) B = ; d) D = j) Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức: a) A = ; c) C = Bài tập 20: Rút gọn biểu thức: A = b) B = ; Bài tập 21: Rút gọn biểu thức: P = Bài tập 22: Rút gọn biểu thức: A = Bài tập 23: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức: a) A = (x 0, hãy so sánh với b) B = Bài tập 26: Rút gọn biểu thức: M = Bài tập 27: Cho biểu thức: A = a) Rút gọn A; b) Tìm các giá trị ngun của x để giá trị của A là một số ngun Bài tập 28: Cho biểu thức: A = a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A; b) Rút gọn biểu thức A; c) Tìm giá trị của x để A 0; b) Tính giá trị của tổng: B = DẠNG 3: Giải phương trình Bài tập 31: Giải phương trình: a) ; Bài tập 32: Giải phương trình: b) a) ; b) ; c) ; d) Bài tập 33: Tìm x và y biết rằng x + y + 12 = Bài tập 34: Tìm x, y, z biết: trong đó a+b+c = 3 Bài tập 35: Giải phương trình: Bài tập 36: Giải phương trình: DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Bài tập 37: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = Bài tập 38: a) Tìm GTLN của biểu thức A = ; b) Tìm GTNN của biểu thức B = Bài tập 39: Cho biểu thức: M = Rút gọn rồi tìm giá trị của x để M có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó DẠNG 5: Chứng minh biểu thức Bài tập 40: Có tồn tại các số hữu tỉ dương a, b hay khơng nếu: a) ; b) Bài tập 41: Cho ba số x, y, là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số , đều là số hữu t ỉ Bài tập 42: Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng tồn tại một số dương trong hai số và Bài tập 43: a) Chứng minh rằng với a > 0 thì, b > 0 thì ; b) So sánh với Bài tập 44: Cho a, b, x, y > 0. Chứng minh rằng Bài tập 45: Cho a, b, c là các số thực khơng âm Chứng minh: Bài tập 46: Chứng minh bất đẳng thức: với 0 0, b > 0 Chứng minh rằng nếu và đều là các số hữu tỉ thì A + B và A.B cũng là các số hữu tỉ Bài tập 49: Chứng minh các hằng đẳng thức sau với b ≥ 0, a ≥ : a) ; b) Bài tập 50: Chứng minh rằng: với n Áp dụng: cho S = . Chứng minh rằng 18 Cách 2: Ta có: = Bài tập 14*: a) 9972 = 9972 – 32 + 32 = (997 – 3)(997 + 3) + 32 = 994.1000 + 9 = 994009 b) = Tổng các chữ số của A bằng: 900 + 2 + 1 + 6 = 909 DẠNG 2: Rút gọn biểu thức Bài tập 15: Cách 1: Có: ; Do đó: M = Cách 2: Dễ thấy M > 0 M2 = = Suy ra M = . (Vì M > 0) Cách 3: * Nhận xét: Với A = 4, B = 7 thì A2 – B = 16 – 7 = 9 là một số chính phương nên ta nghĩ đến việc sử dụng cơng thức “căn phức tạp” * Trình bày lời giải: M = = = Bài tập 16: Rút gọn biểu thức: a) ; c) ; e) ; g) Đáp số: 5 h) ; Bài tập 17: Rút gọn các biểu thức: b) ; d) ; f) 3; i) a) A = ; b) B = ; c) C = = d) D = Bài tập 18: Tính M2 = 2. Đáp số: . (Xem lại cách 2 bài tập 15) Bài tập 19: Rút gọn các biểu thức: a) A = = ; b) B = 1; c) C = 8 Bài tập 20: Rút gọn biểu thức: ĐKXĐ: * Cách 1: = = = TH1: Nếu thì Do đó: A = TH2: Nếu x ≥ 1 thì Do đó: A = * Cách 2: Đặt = y ≥ 0, ta có 2x – 1 = y2 A = TH1: Với 0 ≤ y 2 thì P = Bài tập 22: Nếu 2 ≤ x 0, ta có A = TH1: Nếu x 0 Ta có: (vì a > 0) B = 4(a + 2) Suy ra A2 0) Bài tập 26: Rút gọn biểu thức: ĐKXĐ: –1 ≤ x ≤ 1 Áp dụng cơng thức “căn phức tạp” ta tính được: = = Cả hai trường hợp đều có cùng một kết quả = Vậy M = M = Bài tập 27: a) A = TH1: Nếu x 0 và A = b) Từ câu a) suy ra: Do đó: B = = 99 + DẠNG 3: Giải phương trình Bài tập 31: Giải phương trình: a) Điều kiện xác định của phương trình là: Suy ra Vì x = khơng thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = b) Điều kiện xác định của phương trình là: Khi đó phương trình được đưa về dạng: Suy ra: Hay 2x – 3 = 4(x – 1) khơng thỏa mãn điều kiện x ≥ 1,5 Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm Bài tập 32: Giải phương trình: a) Điều kiện xác định của phương trình là Biến đổi phương trình về dạng: Phương trình đã cho có nghiệm x = 1 b) Điều kiện xác định của phương trình là: Phương trình được đưa về dạng; , thỏa mãn điều kiện xác định Phương trình đã cho có nghiệm x = 2, x = 3 c) Điều kiện xác định của phương trình là: hoặc Phương tình được đưa về dạng: Giải phương trình này được thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình đã cho có nghiệm d) Điều kiện xác định của phương trình là: Khi đó phương tình đưa về dạng: Theo câu c), ta có , nhưng khơng thỏa mãn điều kiện . Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm Bài tập 33: ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 1 ; Đáp số: x = 4; y = 10 Bài tập 34: ĐKXĐ: x ≥ a; y ≥ b; z ≥ c Đáp số: x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1 Bài tập 35: ĐKXĐ: x ≥ 1 Kết hợp với ĐKXĐ ta được Bài tập 36: ĐKXĐ: x ≥ 3 DẠNG 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Bài tập 37: ĐKXĐ: 5 ≤ x ≤ 13 * Cách thứ nhất: Sử dụng bất đẳng thức Cơsi: P2 = P2 ≤ 8 + [(x – 5) + (13 – x)] = 16. (Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x – 5 = 13 – x x = 9) Suy ra max P2 = 16, do đó max P = 4 (khi và chỉ khi x = 9) * Cách thứ hai: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki: Với a1 = a2 = 1; b1 = ; b2 = P2 = hay P2 ≤ 2 . 8 = 16 (dấu “=” xảy ra ) Suy ra max P2 = 16, do đó max P = 4 (khi và chỉ khi x = 9) Bài tập 38: a) Áp dụng bất đẳng thức (với a ≥ b ≥ 0) (Xem lại phần Bổ sung 3.) A = (dấu “=” xảy ra x = 8) Suy ra max A = 3 (khi và chỉ khi x = 8) b) Áp dụng bất đẳng thức (với a, b ≥ 0) (Xem lại phần Bổ sung 2.) B = (dấu “=” xảy ra x = 3 hoặc x = 5) Suy ra min B = (khi và chỉ khi x = 3 hoặc x = 5) Bài tập 39: M = (với ) Vì với mọi x nên . Vậy max A = khi x = 0 DẠNG 5: Chứng minh biểu thức Bài tập 40: a) Có, chẳng hạn: b) Khơng. Giả sử tồn tại các số hữu tỉ dương a và b mà Bình phương hai vế được Lại bình phương hai vế ta có: Vế phải là số hữu tỉ, vế trái là số vơ tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẫn Bài tập 41: Đặt x – y = a, (1) thì a, b là các số hữu tỉ Xét hai trường hợp: TH1: Nếu b ≠ 0 thì nên là số hữu tỉ. (2) Từ (1) và (2) ta có: là số hữu tỉ là số hữu tỉ TH2: Nếu b = 0 thì x = y = 0, hiển nhiên , là số hữu tỉ Bài tập 42: Xét tổng hai số: Tồn tại một trong hai số trên là số dương Bài tập 43: a) Ta có: (1) (2) Vì a > 0, b > 0 nên > 0, do đó từ (1) và (2) suy ra: hay b) Áp dụng câu a) cho hai số dương 2017 và 2018, ta có: Bài tập 44: Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng (Dấu “=” xảy ra ay = bx ) Bài tập 45: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp số không âm a và b, b và c, a và c, ta có: ; ; Suy ra Do đó Bài tập 46: Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng Áp dụng với n = 100; a = 1 ta được Bài tập 47: Giả sử tồn tại A, B để có đẳng thức: Suy ra: Do đó: là số hữu tỉ, vơ lý Bài tập 48: Ta có: A + B = A . B = Đặt , (p, q ) thì: A + B = p(p2 – 3q) + 2q A . B = q(q + 1) + pq(p2 – 3q) là các số hữu tỉ Bài tập 49: (Hs tự chứng minh) Bài tập 50: (1) (2) Từ (1) và (2) suy ra đpcm Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được: Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được: Vậy 18 0 nên (Dấu “=” xảy ra x + y = y + z = z + x x = y = z = ) ... 99 72 =? ?99 72 – 32 + 32 = (99 7 – 3) (99 7 + 3) + 32 =? ?99 4.1000 +? ?9? ?=? ?99 40 09 b) = Tổng các chữ số của A bằng:? ?90 0 + 2 + 1 + 6 =? ?90 9 DẠNG 2: Rút gọn biểu? ?thức Bài tập 15: Cách? ?1: Có: ; Do đó: M = Cách 2: Dễ thấy M > 0... c) Cách? ?1:? ?Ta có: 182 = 324, Vì 324 > 255 nên 182 > hay 18 > Cách 2: Ta có: = Bài tập 14*: a) 99 72 =? ?99 72 – 32 + 32 = (99 7 – 3) (99 7 + 3) + 32 =? ?99 4.1000 +? ?9? ?=? ?99 40 09. .. Bài tập 14*: a) Nêu một cách tính nhẩm? ?99 72; b) và ; b) Tính tổng các chữ số của A, biết rằng =? ?99 ? ?96 (có 100 chữ số? ?9) DẠNG 2: Rút gọn biểu? ?thức Bài tập 15: Rút gọn biểu? ?thức? ?M = Bài tập 16: Rút gọn biểu? ?thức: a) ;