Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 Tài liệu ôn tập cuối năm toán lớp 9 v
Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (1) a) Nhẩm nghiệm: x1 = • a + b +c = ⇒ pt (1) có nghiệm: x2 = c a x1 = − • a – b +c = ⇒ pt (1) có nghiệm: x2 = − c a b) Giải với ∆ ' : Nếu b = 2b’ ⇒ b’ = b ⇒ ∆ ' = (b’)2 – ac − b'+ ∆ ' −b'− ∆ ' • Nếu ∆ ' >0 ⇒ phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = −b' • Nếu ∆ ' = ⇒ phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = a • Nếu ∆ ' < ⇒ phương trình vơ nghiệm c) Giải với ∆ : a a Tính ∆ : ∆ = b2 – 4ac − b+ ∆ − b− ∆ • Nếu ∆ > ⇒ phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = • −b Nếu ∆ = ⇒ phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 2a Nếu ∆ < ⇒ phương trình vơ nghiệm 2a 2a • Hệ thức Vi ét ứng dụng: a) Định lý: Nếu x1, x2 nghiệm phương trình ax + bx + c = (a ≠ 0) ta có: b S = x1 + x2 = − a P = x x = c a u + v= S =P uv b) Định lý đảo: Nếu ⇒ u, v nghiệm phương trình x2 – Sx + P = (ĐK: S2 – 4P ≥ 0) * Một số hệ thức áp dụng hệ thức Vi-ét: • Tổng bình phương nghiệm: x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1x2 = S2 – 2P GV: Nguyễn Hồng Khanh Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm • Tổng nghịch đảo nghiệm: 1 x1 + x2 S + = = x1 x2 x1x2 P • Tổng nghịch đảo bình phương nghiệm: 1 x12 + x22 S2 − 2P + = = x12 x22 (x1x2 )2 P2 • Bình phương hiệu nghiệm: (x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1x2 = S2 – 4P • Tổng lập phương nghiệm: x13 + x23 = (x1 + x2 )3 − 3x1x2(x1 + x2 ) = S3 – 3PS II MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = Hãy tính giá trị biểu thức sau: 2 a) x1 + x2 b) 1 + x1 x2 c) (x1 − x2 ) 3 d) x1 + x2 Giải: Phương trình có ∆ ' = > ⇒ pt có nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): b S = x1 + x2 = − a = 12 P = x x = c = 35 a 2 a) x1 + x2 = (x1 + x2 ) − 2x1x2 = S2 – 2P = 122 – 2.35 = 74 b) 1 x1 + x2 S 12 + = = = x1 x2 x1x2 P 35 2 c) (x1 − x2 ) = (x1 + x2 ) − 4x1x2 = S -4P = 122 – 4.35 = 3 d) x1 + x2 = (x1 + x2 ) − 3x1x2(x1 + x2 ) = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468 3.Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập tham số:(Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số) * Phương pháp giải: • Tìm điều kiện để phương trình cho có nghiệm ( ∆ ' ≥ ; ∆ ≥ a.c < 0) • b S = x1 + x2 = − a Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình c P = x x = a • Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ S P → Đó hệ thức độc lập với tham số Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (1) (m tham số) CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m GV: Nguyễn Hồng Khanh Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm Gọi x1, x2 nghiệm pt (1) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Giải: Phương trình (1) có ∆ = b2 – 4ac = + (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1) = 4m2 – 12m + = (2m – 3)2 ≥ 0, ∀ m Vậy phương trình (1) ln có nghiệm với m • Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1): b − 2m+ S = x1 + x2 = − a = ⇔ P = x x = c = m− 1 a 2S = − 2m+ 2P = m− 2S = − 2m+ ⇔ ⇒ 2S + 4P = -1 Hay: 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 : Đây hệ thức cần tìm 4P = 2m− Tìm hai số biết tổng tích chúng – Lập phương trình bâc hai biết hai nghiệm nó: * Phương pháp giải: u+ v = S ⇒ u, v hai nghiệm phương trình: =P uv • Nếu số u v c ó: x2 – Sx + P = (*) • Giải pt (*): + Nếu ∆ ' > (hoặc ∆ > 0) ⇒ pt (*) có nghiệm phân biệt x1, x2 u= x1 u= x2 v= x2 v= x1 Vậy + Nếu ∆ ' = (hoặc ∆ = 0) ⇒ pt (*) có nghiệm kép x1 = x2 = − Vậy u = v = − b' a b' a + Nếu ∆ ' < (hoặc ∆ < 0) ⇒ pt (*) vô nghiệm Vậy khơng có số u, v thỏa đề Ví dụ 1: Tìm số u,v biết u + v = 11 u.v = 28 Giải: Theo đề ⇒ u, v hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = GV: Nguyễn Hồng Khanh Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm ⇔ x2 – 11x + 28 = 0(*) x1 = Phương trình (*) có ∆ = > ⇒ ∆ = ⇒ x2 = u = u = hay v = v = Vậy: Ví dụ 2: Cho hai số a = +1 b = – Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm a b Giải: • a + b = ( +1) + (3 – ) = • a.b = ( +1) (3 – ) = Suy ra: a, b nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = ⇔ x2 – 4x + = Đây pt cần tìm Chứng minh phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ) • Biến đổi ∆ ' đưa dạng : ∆ ' = (A ± B)2 + c > 0, ∀ m (với c số dương) • Kết luận: Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với tham số m Chứng minh phương trình bậc hai ln có nghiệm với giá trị tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ) • Biến đổi ∆ ' đưa dạng : ∆ ' = (A ± B)2 ≥ 0, ∀ m • Kết luận: Vậy phương trình cho ln nghiệm với tham số m Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ) • Biện luận: + Phương trình có nghiệm phân biệt khi: ∆ ' > → giải bất pt → tìm tham số m → kết luận + Phương trình có nghiệm kép ∆ ' = → giải pt → tìm tham số m → kết luận + Phương trình vơ nghiệm ∆ ' < → giải bất pt → tìm tham số m → kết luận + Phương trình có nghiệm ∆ ' ≥ → giải bất pt → tìm tham số m → kết luận * Phương trình có nghiệm trái dấu khi: a.c < → giải bất pt → tìm tham số m → kết luận Xác định giá trị nhỏ biểu thức: GV: Nguyễn Hồng Khanh Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm * Phương pháp giải: • Đưa biểu thức P cần tìm dạng: P = (A ± B)2 + c ⇒ P = (A ± B)2 + c ≥ c • Giá trị nhỏ P: Pmin = c A ± B = → giải pt → tìm tham số m → kết luận Xác định giá trị lớn biểu thức: * Phương pháp giải: • Đưa biểu thức Q cần tìm dạng: Q = c – (A ± B)2 ⇒ Q = c – (A ± B)2 ≤ c Giá trị nhỏ Q: Qmax = c A ± B = → giải pt → tìm tham số m → kết luận II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = (1) Giải phương trình (1) m = – 2 CMR: Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m HD: Khi m = –2, ta có phương trình: x2 + 5x + = 0, pt có a – b + c = –5 + = ⇒ x1 = − c x2 = − = − = − a Vậy m = – 2, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = – ∆ = m2 + 2m + = (m + 1)2 + > 0, ∀m Hệ thức: 2S + P = – ⇒ 2(x1 + x2) + x1x2 = – Bài tập 2: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = (1) Giải phương trình (1) m = CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 khơng phụ thuộc vào m HD: Khi m = 3, ta có phương trình: x2 – 4x + = 0, pt có a + b + c = +(–4) + = ⇒ x1 = c x2 = = = a Vậy m = 3, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = ∆ = (m – 1)2 ≥ 0, ∀m m > • ĐK để pt (1) có nghiệm phân biệt: (m – 1)2 > ⇔ |m – 1| > ⇔ m < • Hệ thức: S – P = ⇒ x1 + x2 – x1x2 = GV: Nguyễn Hồng Khanh Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm Bài tập : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (m tham số) (1) Giải phương trình (1) m = 2 CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ x 1, x2 độc lập với m HD: Khi m = 2, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = − ∆ = (2m – 3)2 ≥ 0, ∀m • m > ĐK để pt (1) có nghiệm phân biệt: (2m – 3) > ⇔ |2m – 3| > ⇔ m < Hệ thức: 2S + 4P = ⇒ 2( x1 + x2) + x1x2 = • Bài tập : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = (m tham số) (1) Giải phương trình (1) m = CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ x 1, x2 độc lập với m Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trái dấu HD: Khi m = 5, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = ∆ = (m – 2)2 ≥ 0, ∀m m > • ĐK để pt (1) có nghiệm phân biệt: (m – 2)2 > ⇔ |m – 2| > ⇔ m < • Hệ thức: S – P = ⇒ x1 + x2 – x1x2 = Phương trình (1) có nghiệm trái dấu a.c < ⇔ 1.(2m – 3) < ⇒ m < Bài tập : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m – 1)x + m2 = (1) Tìm m để: a) Pt (1) có nghiệm phân biệt b) Pt (1) có nghiệm – 2 Giả sử x1, x2 nghiệm pt (1) CMR: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + = HD: 1a • Phương trình (1) có ∆ ' = – 2m 1b Pt (1) có nghiệm – khi: (– 2)2 –2(m – 1)(–2) + m2 = ⇔ m2 + 4m = ⇔ • Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆ ' > ⇔ – 2m > ⇔ m < m1 = m = − GV: Nguyễn Hồng Khanh Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm Vậy m = m = – pt (1) có nghiệm – S = x1 + x2 = 2m− 2 Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): P = x1x2 = m Ta có: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + = (x1 + x2)2 – 4x1x2 + 4(x1 + x2) + = (2m – 2)2 – 4m2 + 4(2m – 2) + = 4m2 – 8m + – 4m2 + 8m – + = (đpcm) Bài tập : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – = (1) Giải phương trình (1) m = –2 CMR: ∀m, phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Gọi x1, x2 hai nghiệm pt (1) Chứng minh biểu thức: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m HD: Khi m = –2 ⇒ x1 = −1+ ; x2 = −1− 19 ∆ ' = m + m + = m+ ÷ + > 0, ∀m 2 S = x1 + x2 = 2m+ P = x1x2 = m− Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): Theo đề bài: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) = x1 – x1x2 + x2 – x1x2 = (x1 + x2) – 2x1x2 = (2m + 2) – 2(m – 4) = 10 Vậy A = 10 không phụ thuộc vào m Bài tập 7: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = (1) Giải phương trình (1) m = – 2 CMR: Với m, phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt 2 Gọi x1, x2 hai nghiệm (1) Tính A = x1 + x2 theo m Tìm giá trị m để A đạt giá trị nhỏ Bài tập 8: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – = (1) Giải phương trình (1) m = –1 CMR: Với m, phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trái dấu Thiết lập mối quan hệ nghiệm x1, x2 không phụ thuộc m 2 Tìm m để x1 + x2 = 10 HD: Khi m = –1 ⇒ x1 = −1+ 10 ; x2 = −1− 10 ∆ = m2 – 10m + 29 = (m – 5)2 + > 0, ∀m GV: Nguyễn Hồng Khanh Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm Phương trình (1) có nghiệm trái dấu a.c < ⇔ 1.(2m – 7) < ⇒ m < Hệ thức cần tìm: 2S – P =5 ⇒ 2(x1 +x2) – x1x2 = 5 x12 + x22 = 10 ⇔ m2 – 6m + = ⇒ m = m = Bài tập 9: Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + = (1) Giải phương trình (1) m = –1 Tìm m để: a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu c) Tổng bình phương nghiệm pt (1) 11 HD: Khi m = –1 ⇒ x1 = ; x2 = –3 2a Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆ = –4m > ⇒ m < 2b Phương trình (1) có nghiệm trái dấu a.c < ⇔ 1.(4m + 1) < ⇒ m < − 2c Tổng bình phương hai nghiệm pt (1) 11 ⇔ x12 + x22 = 11 ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 11 ⇔ – 8m = 11 ⇔ m = − Bài tập 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m tham số) (1) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép tính nghiệm kép b) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m HD: a) m = a Phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆ ' = ⇔ m2 – = ⇔ m = − m = b' b Khi pt (1) có nghiệm kép x1 = x2 = − = m + a m = − c Khi m = ⇒ x1 = x2 = d Khi m = – ⇒ x1 = x2 = – b) m > • Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ∆ ' > ⇔ m2 – > ⇔ m < − • Hệ thức: S – P = – ⇒ x1 + x2 – x1x1 = – hay: x1x1 – (x1 + x2) = THAM KHẢO THÊM Dạng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai 1.1 Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có nghiệm – Cách làm: Xét tổng a + b + c a – b + c GV: Nguyễn Hồng Khanh Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x + x − 11 = b) x + x + = Giải: a) Ta có: a + b + c = + + ( −11) = nên phương trình có nghiệm x1 = , nghiệm lại x2 = − c 11 = a b) Ta có: a − b + c = − + = nên phương trình có nghiệm x1 = −1 , nghiệm lại x = c = a 1.2 Cho phương trình bậc hai, có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm, tìm nghiệm lại hệ số chưa biết phương trình: Ví dụ 2: a) Phương trình x − px + = có nghiệm 2, tìm p nghiệm cịn lại phương trình b)Phương trình x + x + q = có nghiệm 5, tìm q nghiệm cịn lại phương trình c) Phương trình x − x + q = biết hiệu hai nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d) Phương trình x − qx + 50 = có hai nghiệm nghiệm gấp đơi nghiệm kia, tìm q hai nghiệm Giải: a) Thay x1 = vào phương trình ta − p + = ⇒ 9− 4p = ⇒ p = Phương trình cho trở thành x − Từ x1 x = ⇒ x = x+5= 5 9 = ( x1 + x = ⇒ x = − x1 = − = ) x1 2 2 Câu b tương tự Giả sử hai nghiệm phương trình x1 , x có vai trị c) Theo đề ta có x1 − x = 11 Theo định lí Vi-et ta có x1 + x = x1 − x = 11 ta x1 = 9, x = −2 x1 + x = Giải hệ phương trình q = x1 x = 9(−2) = −18 2 x2 = x = −5 d) Ta có x1 = 2x Theo định lí Vi-et ta có x1 x = 50 ⇒ x = 50 ⇔ x = 25 ⇔ Với x = x1 = 10 , q = x1 + x = 10 + = 15 GV: Nguyễn Hồng Khanh Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm Với x = −5 x1 = −10 , q = x1 + x = (- 10) + (- 5) = - 15 * Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm nghiệm phương trình: b) x − (m + 5) x + m + = a) x + 24 x + 19 = Bài 2: Xác định m tìm nghiệm cịn lại phương trình a) x + mx − 35 = biết nghiệm – b) x − (m + 4) x + m = biết nghiệm – c) mx − 2(m − 2) x + m − = biết nghiệm Dạng 2: Lập Phương trình bậc hai 2.1.Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm S = x1 + x = + = P = x1 x = 3.2 = Giải: Theo Định lí Vi-et ta có Vậy hai nghiệm phương trình: Ví dụ 2: Cho x1 = +1 ; Giải: Ta có +1 ; x2 = Nên x1 = x1.x2 = x2 = x − Sx + P = hay Hãy lập phương trình bậc hai có ngiệm: x1; x2 1+ 1+ x − x + =0 = 1− (1 + )(1 − ) 1 +1 = ; 1+ Vậy phương trình có hai nghiệm x1; x2 x2 - −1 +1 + = 1+ x + x2 = 3x+ = = Hay 2x2 - x + = 2.2.Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước Ví dụ 1: Cho phương trình x − x + = có hai nghiệm x1 ; x Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 = x + 1 ; y = x1 + x1 x2 *Nhận xét: tốn dạng có hai giải: Cách 1: + Tính trực tiếp y1 ; y cách: Tìm nghiệm x1 ; x phương trình cho thay vào biểu thức tính y1 ; y Phương trình x − x + = có a + b + c = + (−3) + = nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x = GV: Nguyễn Hồng Khanh 10 Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm Có nghiệm chung (b − d ) + (a − c)( ad − bc) = Cho phương trình x − (2m + 3) x + m + 3m + = a) Định m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm b) Chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt c) Định m để phương trình có hai nghiệm thỏa – < x1 < x2 < d) Định m để phương trình có nghiệm bình phương nghiệm ĐS: a) m = 0, x = 1; m = 1, x = ; b) ∆ = > ; c) - < m < ; d) m1 = −1 − −1 + m2 = 2 6.Cho hàm số y = mx2 + (m + 3)x + – 6m Chứng minh mặt phẳng toạ độ (Oxy), đồ thị hàm số cho luôn qua hai điểm cố định với giá trị m Đs: A(- 3; -8) , B(2; 7) Cho phương trình: (7 + 3) x + (2 + 3) x − = Tìm hiệu số nghiệm lớn nghiệm nhỏ pt ĐS: − 3 GV: Nguyễn Hồng Khanh 66 Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm Cho phương trình : ( m − 4) x − 2mx + m − = , m tham số a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = b) Tìm m để : - Phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm - Phương trình có hai nghiệm phân biệt Tìm hai nghiệm Đs: a) m = 10(3 + 2) ; b) m = , x1 = x = ; m ≠ m > 4 m± m− ; x1,2 = m −4 Cho phương trình: x − 2( a + b + c ) x + 3(ab + bc + ca ) = (1) a) Chứng minh pt (1) ln có nghiệm b) Trong trường hợp pt (1) có nghiệm kép xác định a, b, c biết a + b + c = 14 10 Chứng minh pt ẩn x sau có nghiệm: a) ax2 + bx + c = ax2 + bx - c = b) ax2 + 2bx + c = , bx2 + 2cx + a = , cx2 + 2ax + b = c) x2 + 2ax +ac = , x2 – 2bx +ab - c = , x2 + 2cx + c = GV: Nguyễn Hồng Khanh 67 Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm 11 Cho x2 + 4y2 = Chứng minh x − y ≤ HD: Đặt x – y = a Viết pt ẩn x theo a, buộc pt có nghiệm suy điều kiện a Suy đpcm 12 Tìm số nguyên k nhỏ cho pt: x(kx − 4) − x + = vô nghiệm ĐS: k = 13 Có số nguyên a để pt: ax − 2ax + 2a - = có nghiệm ĐS: Có bốn giá trị nguyên a 14 Cho phương trình x − x − + = (1) Khơng giải phương trình tính: 2 a) x1 + x2 ; 2 b) x1 − x2 ; ĐS: a) − ; b) ± 20 − ; 3 c) x1 + x2 ; c) 2(8 − 3) ; 3 d) x1 − x2 ; d) ±(4 − 3) 10 − 15 Cho pt: x − 2( m −1) x − m = a) Chứng minh pt ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 b) Với m ≠ 0, lập pt ẩn y có hai nghiệm là: y1 = x1 + 1 , y2 = x2 + x2 x1 c) Định m để pt có hai nghiệm thoả x1 + 2x2 = ĐS: a) ∆ ' = m − 1 ÷ + > , m ; 2 GV: Nguyễn Hồng Khanh 68 Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm b) my − 2(1 − m) y − (1 − m ) = ; c) m1,2 = 29 ± 73 16 16 Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: A = x − (a + 2) x − ax + a ĐS: A = ( x − x − a )(2 x − a) 17.Cho phương trình : x − x − (m −1)(m − 3) = Định m để pt có hai nghiệm x1, x2 thoả : (x1 + 1)x2 đạt giá trị lớn ĐS: Max(x1 + 1)x2 = 18 Gọi x1, x2 hai nghiệm pt: x + 2(m +1) x + m + 4m + = (1) Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x1 x2 − x1 − x2 ĐS: MaxA = ⇔ m = −4 2 19 Cho phương trình x − ( m + 1) x − 3m − 2m − = (1) a) Chứng minh với m, phương trình (1) ln có hai nghiệm trái dấu b) Tìm giá trị m để (1) có nghiệm x = -1 GV: Nguyễn Hồng Khanh 69 Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm 2 c) Tìm giá trị m để (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 = m − 2m + d) Tìm giá trị m để (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 = e) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m HD : 20 Giải hệ phương trình sau: x + y = 65 a) xy = x + y +17 xy + x + y = b) x y 10 y + x = ; ĐS: a) S1 = { (−1; −8), ( −8; −1), (7; 4), (4; 7)} ; b) S = (1;3), (3;1), ( −7; −7 −7 ), ( ; −7) 3 21 Giải phương trình sau: a) 24 15 − =2 x + x −8 x + 2x − HD: Đặt x2 +2x -3 = y −2 − 66 −2 + 66 ; ; 0; −2 2 ĐS: S = GV: Nguyễn Hồng Khanh 70 Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm b) 1 + = x ( x + 2) 16 ĐS: S = { −4; 2} HD: Đặt x + = y c) 1 + = x − x + x − x + 2( x − x + 4) HD: Đặt x2 – 2x + = y d) ĐS: S = { 1} x + x +1 x + x + + = x2 + x + x2 + x + HD: Đặt x2 + 2x +2 = y ĐS: S = { 0; −2} e) ( x −1) + x −1 − = HD: Đặt x −1 = y ĐS: S = { −1; 3} f) x + x = x + x +1 − x HD: Biến đổi pt, đặt −1 + −1 − ; x + x = y ĐS: S = 2 GV: Nguyễn Hồng Khanh 71 Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm 22 Giải phương trình sau: a) x 3−x 3−x (x + ) =2 x +1 x +1 HD: Đặt a = b) x.(3 − x) (3 − x) ;b = x + Tính a.b = ?, a + b =? ĐS: S = { 1} x +1 x +1 x.(5 − x) 5−x (x + ) =6 x +1 x +1 ĐS: S = { 1; 2} 23 Giải phương trình: a) ( x − 2)3 + ( x − 4)3 = HD: Đặt x – = y b) ( x + 2) + ( x + 4) = 82 ĐS: S = { 4} HD: Đặt x + = y ( Pt dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c (x + a)3 + (x + b)3 = c ĐS: S = { −1; −5} HD: Đặt y = x + a +b ) 24 Giải phương trình sau: a) x(x + 1)(x – 1)(x + 2) = 24 ĐS: S = { −3; 2} GV: Nguyễn Hồng Khanh 72 Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm b) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = −3 ± 17 ĐS: S = (Pt dạng (x +a)(x + b)(x + c)(x + d) = e ( e ≠ 0), a + b = c + d a + c = b + d a + d = c +b ) 25 Giải phương trình: a) 25 + x + 3 − x = HD: Đặt a = 25 + x ; b = 3 − x , giải a, b =? ĐS: S = { −24; 2} b) 24 + x + 12 − x = ĐS: S = { −24;3; −88} 26 Giải phương trình sau: GV: Nguyễn Hồng Khanh 73 a) Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm ĐS: S = { 0;1} x − x + + x − x + = 12 b) (4 x + 3) ( x +1)(2 x +1) = 810 HD: Biến đổi pt nhân vế cho Đặt y = 4x + 3 2 ĐS: S = −3; ÔN TẬP GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Một tam giác có chiều cao ¾ cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm 3dm cạnh đáy giảm 2dm diện tích tăng thêm 24 dm2 Tính chiều cao cạnh đáy tam giác Tìm hai số có tổng 20 tổng bình phương chúng 208 3.Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 120m2 Nếu tăng chiều rộng thêm 5m, giảm chiều dài 2m diện tích mảnh đất tăng thêm 30m2 Tính kích thước Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 44m, diện tích 120m Hãy tính kích thước 5.Trong phịng họp có 360 ghế xếp thành dãy số ghế dãy Có lần phòng họp phải xếp thêm dãy ghế dãy tăng thêm ghế ( số ghế dãy nhau) để đủ chỗ ngồi cho 400 đại biểu Hỏi bình thường phịng có dãy ghế? Quãng đường AB dài 150 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ lại B 15 phút trở A hết tất 10 Tính vận tốc tô lúc biết vận tốc lúc lớn vận tốc lúc 10km/h Một ca nô xi dịng từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngược dịng từ B A Thời gian xi thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B, biết vận tốc dòng nước 5km/h vận tốc riêng ca nô lúc xi dịng ngược dịng nhau? Nhà trường giao tiêu cho lớp 9A thu 150kg giấy vụn Mặc dù có em chưa kịp góp số giấy vụn thu nhiều tiêu 80kg, em góp nhiều 2kg Hỏi lớp 9A có học sinh? Một đội cơng nhân hồn thành cơng việc với mức 420 cơng thợ Hãy tính số cơng nhân đội, biết đội tăng thêm người số ngày để hồn thành công việc giảm ngày 10 Hai vịi nước chảy vào bể sau 4 bể đầy Mỗi lượng nước vòi I chảy lượng nước chảy vòi II Hỏi vòi chảy riêng đầy bể? 11 Năm ngối tổng số dân tỉnh hai tỉnh A B triệu người Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 4045000 người Tính số dân tỉnh năm ngoái năm 12 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m Người ta làm lối xung quanh vườn ( thuộc đất vườn) rộng 2m Tính kích thước vườn, biết đất lại vườn để trồng trọt 4256m GV: Nguyễn Hồng Khanh 74 Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm 13.Cho tam giác vuông, tăng cạnh lên 3cm diện tích tam giác tăng thêm 36cm 2, cạnh giảm 2cm, cạnh giảm 4cm diện tích tam giác giảm 26cm Hãy tính độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng 14 Một thuyền khởi hành từ bến sông A Sau 20 phút, canô chạy từ bến A đuổi theo gặp thuyền cách bến A 20km Hỏi vận tốc thuyền, biết canô chạy nhanh thuyền 12km/h 15 Người ta hoà lẫn g chất lỏng với g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ 200kg/m để hỗn hợp có khối lượng riêng 700kg/m3 Tính khối lượng riêng chất lỏng MỘT SỐ DẠNG PT, HPT NÂNG CAO ( x − 1) ( y + 1) + =8 x − 2y x + 2y Giải hệ phương trình: 20 ( x − 1) − ( y + 1) = −6 x + y x − 2y 5 x + y = 31 Giải hệ phương trình: x + y −3 y −3 + x+2 = ( 2m + 1) x + y = 2m − m ∈ Z , m ≠ −1 2 m x − y = m − 3m Cho hệ phương trình: Xác định m để hệ phương trình có nghiệm ngun Cho đường thẳng (d) có phương trình: ( m + ) x − ( 3m − 1) y + 5m − 11 = Chứng minh m thay đổi (d) ln qua điểm cố định Tìm toạ độ điểm ( ) ( ) ( ) 2 Cho đường thẳng (d) có phương trình: m + 2m + x + 6m + 3m − y + 2m − 5m + = Khi m thay đổi đường thẳng (d) có qua điểm cố định khơng? x − y − = x + + y − = 21 Giải hệ phương trình: x − y = x − y + x + y − = 7.Giải hệ phương trình: Giải hệ phương trình: 6 xy = ( x + y ) a) 3 yz = ( y + z ) ; 7 zx = 10 ( z + x ) GV: Nguyễn Hồng Khanh xy = x+ y yz = ; b) y+z zx 12 = z + x 75 Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm xy − x − y = c) yz − y − z = 11 ; zx − z − x = x ( y − z ) = −4 d) y ( z − x ) = z ( x + y) = Giải hệ phương trình: 3 x + xz − yz + y = 2 b) y + xy − yz + z = x − xy − xz − z = x + y + = ; y − x + = a) 10 Giải phương trình: a) 1+ x + − x = ; b) x −1 + − x = 11 Xác định hàm số f(x) biết hàm số xác định với số thực x f ( x ) − f ( − x ) = x + ax + by = c 12 Cho hệ phương trình: bx + cy = a a, b, c ≠ Biết hệ phương trình có nghiệm cx + ay = b Chứng minh rằng: a + b3 + c3 = 3abc (a + 1) x − y = a + x + (a − 1) y = 13 Cho hệ phương trình với tham số a: a) Giải hệ phương trình với a = b) Giải biện luận hệ phương trình c) Tìm giá trị nguyên a để hệ phương trình có nghiệm ngun d) Tìm giá trị nguyên a để nghiệm hệ phương trình thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ a x + ay + z = 14 Giải hệ phương trình với ẩn x, y, z tham số a, b, c khác đôi một: b x + by + z = c x + cy + z = 15 Tìm giá trị a để hai hệ phương trình sau tương đương nhau: 2 x + y = ax − y = −2 3 x − y = x + y = 16 Tìm trục tung điểm có tung độ số nguyên, cho qua điểm ta dựng đường vng góc với trục tung đường vng góc cắt đường thẳng x + y = ( d ) x − y = ( d ' ) điểm có toạ độ số nguyên GV: Nguyễn Hồng Khanh 76 Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm 17 Tìm trục hồnh điểm có hồnh độ số nguyên, cho qua điểm ta dựng đường vng góc với trục hồnh đường vng góc cắt đường thẳng x − y = ( d1 ) , x − y = ( d ) x − y = −7 ( d3 ) điểm có toạ độ số nguyên 18 Giải hệ phương trình: x + y + z = 11 a) x − y + z = ; 3 x + y + z = 14 x + xy + xz = c) y + yz + xy = z + xz + yz = x + y + z = 11 b) x − y + z = ; 3 x + y + z = 14 19 Giải hệ phương trình: Với a tham số ax + y + z = a b) x + ay + z = 3a x + y + az = x + y + z = 12 a) ax + y + z = 46 ; 5 x + ay + 3z = 38 20 Giải hệ phương trình: ( a + b ) ( x + y ) − cz = a − b ax + by + cz = a + b + c a) ( b + c ) ( y + z ) − ax = b − c ( a, b, c tham số , a + b + c ≠ ) ; b) bx + cy + az = a + b + c cx + ay + bz = a + b + c ( a + c ) ( x + z ) − by = c − a GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC Câu 1: Giải phương trình: a) x + x + + x + x + + x + x + + x + 16 x + 64 = ; b) x + x + + x + x + + x + 10 x + 25 = ; c) x − e) 2016 + x −3 2017 =1; x +1 + x + = ; d) x + + x = f) x + 2016 + x + 2017 + x + 2018 = ; g) − x + 3 x − = Câu 2: Giải phương trình: 8 a) x = x + ; c) x + x + = 2 x + ; GV: Nguyễn Hồng Khanh b) x − + − x = x − x + 18 ; d) x + = ; x 77 Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm e) x = + 2x ; f) x + x + = x + x ; g) x3 − 3x − x + 40 = 4 x + Câu 3: Giải phương trình: a) x + = x + + x − ; x b) x = x − + − ; x c) x + x + x + x + x + 11 + x + 11x + x + 19 = ; d) x2 − 4x + + x2 + 4x + = f) − x + x + 12 − − x + x + = − x ; x2 − x + + x2 + x + = e) x2 +6; g) x2 + x + x − x2 = x + b) x + x + x − = 3x + x + ; d) − x2 + x = 2x + − Câu 4: Giải phương trình: a) − x + + x + − x ≥ + ; x 2 c) − x − x = − ; e) f) x2 + x −1 + x − x2 + = x2 − x + ; g) x − 11x + 25 x − 12 = x + x − 2 + x = x+9 ; x +1 h) 13 x − + x + = 16 x Câu 5: Giải phương trình: x2 a) + x + − x + = ( Với x ≥ ) ; c) − x + − 1 = − x + ÷; x x e) − x + − x + + x = ; b) x2 + x + + = x+3; x2 d) 32 x + ( x − 1) = 27 g) x − x + 816 + x + 10 x + 267 = 2003 11 25 =1; f) x − ( x + 5) h) 20 x +3 + 11y +2 + 2006 z +1 = 10127 Câu 6: Tìm a để phương trình có nghiệm nhất: GV: Nguyễn Hồng Khanh 78 Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm + x + − x − + 2x − x2 = a Câu 7: Tìm m để phương trình có nghiệm nhất: x + 1− x + x + 1− x = m Câu 8: Giả sử a + b + c = Chứng minh tồn ba phương trình sau có nghiệm: x + ax + = 0; x + bx + = 0; x + cx + = Câu 9: Chứng minh a + b > phương trình 2ax + bx + − a = có nghiệm Câu 10: Cho ba số dương a, b, c phương trình: x − x − a b c − − + =0 b+c a+c a+b Chứng minh phương trình ln có nghiệm, từ xác định điều kiện a, b, c để phương trình có nghiệm Câu 11: Cho a, b hai số thoả mãn: a + b ≥ Chứng minh phương trình sau có nghiệm: (x + 2a 2bx + b5 ) ( x + 2ab x + a ) = Câu 12: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh phương trình: x − x − ab ( a + b − 2c ) − bc ( b + c − 2a ) − ac ( a + c − 2b ) + = luôn có nghiệm Khi tìm điều kiện a, b, c để phương trình có nghiệm kép Câu 13: Cho a, b hai số dương thoả mãn : a + b3 ≥ a + b Chứng minh hai phương trình sau có nghiệm: ax + x + a = 0; bx + x + b = GV: Nguyễn Hồng Khanh 79 Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm Câu 14: Cho ba số a, b, c thoả mãn abc = a > 36 Chứng minh phương trình sau có 2ab ab3 3 x − x + nghiệm phân biệt: ÷( x − 2bcx + bc ) ( x − 2acx + a c ) = 3 Câu 15: Biết phương trình ax + bx + cx + d = ( a ≠ ) có nghiệm dương x1 , x2 , x3 −b c Chứng minh x + x2 + x3 ≥ 81a 7 Câu 16: Giải phương trình: x + 4ax + 6b x + 4c3 x + = Trong a, b, c số thực dương , a ≤ , biết phương trình có bốn nghiệm thực GV: Nguyễn Hồng Khanh 80 ... thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 20 09) Cho phương trình x − 2(m + 1) x + m − = 0(1) a) Giải phương trình (1) m = GV: Nguyễn Hồng Khanh 15 Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm b) Tìm tất... (2) ta có hệ pt: 90 90 ⇔ 10 x − y = 20 x − 90 − x = 20 (b) • Thời gian xe I hết đoạn đường AB: • • • GV: Nguyễn Hồng Khanh 36 Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm • Giải pt (b)ta... x1, x2 không phụ thuộc m 2 Tìm m để x1 + x2 = 10 HD: Khi m = –1 ⇒ x1 = −1+ 10 ; x2 = −1− 10 ∆ = m2 – 10m + 29 = (m – 5)2 + > 0, ∀m GV: Nguyễn Hồng Khanh Tài liệu ôn tập phần Đại số cuối năm Phương