Đang tải... (xem toàn văn)
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 (ĐỀ THI THPTQG 2017) Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. B. C. . D. Câu 2. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. B. C. D. Câu 3. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính tích V của khối chóp tứ giác đã cho. A. B. C. D. Câu 4 (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30o. Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. B. C. D. Câu 5(ĐỀ THI THPTQG 2017) Xét khối tứ diện có cạnh AB = x và các cạnh còn lại đều bằng . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất A. B. C. D. Câu 6. (ĐỀ THI THPTQG 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. B. C. D. Câu 7 (ĐỀ THI THPTQG 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, , SA vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. B. C. D. Câu 8. ( ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V.
CHỦ ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Các hệ thức lượng tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông A , AH đường cao, AM đường trung tuyến Ta có: B A B BC = AB + AC AH BC = AB AC AB = BH BC , AC = CH CB C M H 1 = + , AH = HB HC 2 AH AB AC 2AM = BC Các hệ thức lượng tam giác thường: a Định lý cosin: A b2 + c2 - a2 2bc a2 + c2 - b2 2 * b = a + c - 2ac cosB � cosB = 2ac a + b2 - c2 * c2 = a2 + b2 - 2ab cosC � cosC = 2ab * a2 = b2 + c2 - 2bc cosA � cosA = b c a B C b Định lý sin: A c b (R là bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC) R a B C c Công thức tính diện tích tam giác: A c B b a C 1 b = ch c SD ABC = a.ha = bh 2 1 SDABC = absinC = bc sin A = ac sin B 2 abc , SD ABC = pr SD ABC = 4R p p p a p b p c p - nửa chu vi r - bán kính đường trịn nội tiếp Trang 1/35 d.Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến: A K N B AB + AC BC 2 2 BA + BC AC * BN = * AM = C M * CK = CA2 + CB AB 2 Định lý Thales: A M B AM AN MN = = =k AB AC BC � � AM � � � =� = k2 � � � AB � � * MN / / BC � N * C SDAMN SDABC (Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đờng dạng) Trang 2/35 B Diện tích đa giác: a.Diện tích tam giác vuông: � SD ABC = AB.AC bằng ½ tích Diện tích Ctam giác vuông A cạnh góc vuông b.Diện tích tam giác đều: � B 32 Diệ n tích tam� giá u:a(cạnh) S c đề= � �D ABC đều � � � SD = � a h � h= � � Chiều C cao tam u: (cạnh) �giác đề a A hD A = đều c Diện tí ch hình vuông và hình chữ B nhật: � SHV = a2 a Diện tích hì�nh�����AC vuông bằn= ga cạn = BD 2h bình O D � phương C Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng d.Diện tích hình thang: SHình Thang = (đáy lớn + đáy bé) x chiều cao A D �S = B e.Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc: C H B C� SH Thoi chéoA Diện tích tứ giác có hai đường vuông góc bằng ½ tích hai đường chéo Hình thoi có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường ( AD + BC ) AH = AC BD D 6.Hình chóp đều: 1.Định nghĩa: Mợt hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy Trang 3/35 Nhận xét: Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng 2.Hai hình chóp đều thường gặp: S C A O a.Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC B Đáy ABC là tam giác đều Các mặt bên là các tam giác cân tại S Chiều cao: SO � = SBO � = SCO � Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO � Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO Tính chất: AO = AH , OH = AH , AH = AB 3 Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy b.Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD S A I D O C B Đáy ABCD là hình vuông Các mặt bên là các tam giác cân tại S Chiều cao: SO � = SBO � = SCO � = SDO � Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO � Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO 7.Thể tích khối đa diện: S 1.Thể tích khối chóp: V = B h B : Diện tích mặt đáy hA : Chiều cao của khối chóp B D O C Trang 4/35 A C A C B tích khối lăng B 2.Thể trụ: V = B h A’ B : Diện tích mặt đáy C’ A’ h : Chiều cao của khối chóp C’ B’ Lưu ý: Lăng trụ đứnB’ g có chiều cao cũng là cạnh bên c a3.Thể tích hình hộp chữ nhậ a t: a b H a � Thể tích khối lập phương: V = a3 Tỉ số thể Stích: VS A ��� BC VS ABC = A ’ SA �SB �SC � SA SB B SC ’ 5.Hình chóp A V = C cụt’ ( ABC A��� BC B ) h B + B� + BB � , h là diệnC tích hai đáy Với B, B � chiều cao B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu (ĐỀ THI THPTQG 2017) Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = Tính thể tích V khối chóp S.ABC A V 40 B V 192 C V 32 D V 24 Câu (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Tính thể tích V khối chóp S.ABC 13a 11a 11a 11a V V V V 12 12 D A B C Câu (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính tích V khối chóp tứ giác cho 2a 2a 14a 14a V V V V 6 A B C D Câu (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30o Tính thể tích V khối chóp cho Trang 5/35 6a 2a 2a V V V 3 3 A B C D V 2a Câu 5(ĐỀ THI THPTQG 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x và cạnh lại đều bằng Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A x B x 14 C x D x Câu (ĐỀ THI THPTQG 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc a với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng Tính thể tích V khối chóp cho a3 a3 3a A V B V a C V D V Câu (ĐỀ THI THPTQG 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD a , SA vng góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60o Tính thể tích V khối chóp S.ABCD a3 3a A V B V C V a D V 3a 3 Câu ( ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M, N là trung điểm cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh A tích V Tính V 11 2a3 2a 2a 13 2a V V V V 216 B 216 216 18 A C D Câu (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với � 120o , mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy góc 60o Tính thể tích V khối lăng trụ AB = AC = a, BAC cho 3a 9a a3 3a V V V V 8 A B C D Câu 10.(15/101/2018) Cho khối chóp có đáy là hình vng cạnh a , chiều cao bằng 2a Thể tích khối chóp cho bằng A 4a B a C 2a D a 3 Câu 11 (42/101/2018) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến BB ' bằng , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB ' và CC ' bằng và , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') là trung điểm M B ' C ' và A ' M Thể tích khối lăng trụ cho bằng 3 A B C D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên lần độ dài đường cao khơng đổi thể tích S ABC tăng lên lần? A B C D Câu Có khối đa diện đều? A B C D Câu Cho khối đa diện p; q , số p Trang 6/35 A Số cạnh mặt B Số mặt đa diện C Số cạnh đa diện D Số đỉnh đa diện Câu Cho khối đa diện p; q , số q A Số đỉnh đa diện C Số cạnh đa diện Câu Tính thể tích khối tứ diện cạnh a B Số mặt đa diện D Số mặt đỉnh a3 a3 a3 B C a D � � � 12 Câu Cho S ABCD hình chóp Tính thể tích khối chóp S ABCD biết AB a , SA a A a3 a3 a3 C D Câu Cho hình chóp AB a, AD 2a có SA ABC , đáy ABC tam giác Tính thể tích A a B khối chóp S ABC biết AB a , SA a a3 a3 C a D Câu Cho hình chóp S ABCD có SA ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật Tính thể A a3 12 B tích S ABCD biết AB a , AD 2a , SA 3a a3 � Câu Thể tích khối tam diện vuông O ABC vuông O có OA a, OB OC 2a A a B 6a B 2a D 2a a3 a3 B � C D 2a � � Câu 10 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc mặt đáy, tam giác ABC vng A, SA 2cm , AB 4cm, AC 3cm Tính thể tích khối chóp A 12 24 24 cm cm cm B C D 24cm3 Câu 11 Cho hình chóp S ABCD đáy hình chữ nhật, SA vng góc đáy, AB a, AD 2a A Góc SB đáy 450 Thể tích khối chóp A a3 � B 2a � C a3 � D a3 � Câu 12 Hình chóp S ABCD đáy hình vng, SA vng góc với đáy, SA a 3, AC a Khi thể tích khối chóp S ABCD a3 a3 a3 a3 B C D � � � � 3 Câu 13 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B Biết SAB tam A giác thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABC Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB a , AC a A a3 � 12 B a3 � C a3 � D a3 � Trang 7/35 Câu 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi Mặt bên SAB tam giác vuông cân S thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABCD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết BD a , AC a a3 a3 a3 C D � � � 12 Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A Hình chiếu S A a B lên mặt phẳng ABC trung điểm H BC Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB a , AC a , SB a a3 a3 a3 a3 B C D � � � � 6 Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu S lên A mặt phẳng ABCD trung điểm H AD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết SB A a3 � 3a B a C a3 � Câu 17 Hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh a, SD ABCD D 3a � a 13 Hình chiếu S lên trung điểm H AB Thể tích khối chóp a3 a3 a3 B C a 12 D � � � 3 � Câu 18 Hình chóp S ABCD đáy hình thoi, AB 2a , góc BAD 1200 Hình chiếu A vng góc S lên ABCD I giao điểm đường chéo, biết SI a Khi thể tích khối chóp S ABCD a3 a3 a3 a3 B C D � � � � 9 3 Câu 19 Cho hình chóp S ABC , gọi M , N trung điểm SA, SB Tính tỉ số A VS ABC VS MNC 1 � C D � , C� Câu 20 Cho khối chop O ABC Trên ba cạnh OA, OB, OC lấy ba điểm A’, B� A B OA, 4OB� OB, 3OC � OC Tính tỉ số cho 2OA� 1 C D 24 16 32 Câu 21 Cho hình chóp S.ABC Gọi mặt phẳng qua A song song với BC A 12 VO A ' B 'C ' VO ABC B cắt SB , SC M , N Tính tỉ số SM biết chia khối chóp thành SB phần tích Trang 8/35 1 1 B C D 2 2 Câu 22 Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a là: A a3 a3 a3 a3 B C D � � � � 3 Câu 23 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình chữ nhật, A ' A A ' B A ' D Tính A thể tích khối lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' biết AB a , AD a , AA ' 2a A 3a B a C a 3 D 3a 3 Câu 24 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có ABC tam giác vng A Hình chiếu A ' lên ABC trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' biết AB a , AC a , AA ' 2a a3 3a B C a 3 D 3a 3 � � 2 Câu 25 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình thoi Hình chiếu A ' lên A ABCD trọng tâm tam giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' biết AB a , � ABC 1200 , AA ' a A a B a3 � Câu 26 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Tính tỉ số C a3 � D a3 � VABB 'C ' VABCA ' B 'C ' 1 � B � C � D 3 Câu 27 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có tất cạnh a Thể tích khối tứ diện A’BB’C’ A a3 a3 a3 a3 B C D � � � � 12 12 B C có đáy tam giác cạnh a , góc cạnh bên Câu 28 Lăng trụ tam giác ABC A��� A mặt đáy 300 Hình chiếu A�lên ABC trung điểm I BC Thể tích khối lăng trụ a3 a3 a3 a3 B C D � � � � 12 Câu 29 Lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A, BC 2a, AB a A Mặt bên BB’C’C hình vng Khi thể tích lăng trụ a3 B a C 2a 3 D a 3 Câu 30 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi M , N trung điểm CC ' BB ' A Tính tỉ số VABCMN VABC A ' B 'C ' 1 B C D B C Tỉ số thể tích khối chóp A� ABC khối lăng Câu 31 Cho khối lăng trụ ABC A��� trụ A Trang 9/35 1 1 B C D B C D Tỉ số thể tích khối A� ABD khối lập Câu 32 Cho khối lập phương ABCD A���� phương là: 1 1 A B C D Câu 33 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có chiều cao h , góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABCD) Tính thể tích khối chóp S ABCD theo h A 3h3 tan Câu 34 Cho hình chóp A 3 4h C 8h D 3h tan tan tan có đáy hình vng cạnh , cạnh vuông S ABCD ABCD 2a SB B góc với đáy mặt phẳng SAD tạo với đáy góc 60� Tính thể tích khối chóp S ABCD D V 4a 3 Câu 35 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , A V 3a 3 B V 3a BC a , mặt phẳng A ' BC 3 C V 8a 3 tạo với đáy góc 30�và tam giác A ' BC có diện tích a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' a3 Câu 36 Cho hình lăng trụ A 3a 3 3a 3 3a 3 C D có đáy tam giác cạnh a Hình ABC A ' B ' C ' ABC B chiếu vng góc A ' AA ' C ' C ABC trung điểm AB Mặt phẳng tạo với đáy góc 45� Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' 3a Câu 37 Cho hình chóp S ABC , góc mặt bên mặt phẳng đáy ABC A V 3a 16 B V 3a C V 3a 600 , khoảng cách hai đường thẳng SA BC D V 3a Thể tích khối chóp S ABC theo a a3 a3 a3 a3 B C D 12 18 16 24 Câu 38 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , AC 3a , A BD 2a , hai mặt phẳng SAC SBD vng góc với mặt phẳng a O đến mặt phẳng SAB Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a ABCD Biết khoảng cách từ điểm Trang 10/35 Hướng dẫn giải: Gọi H trung điểm BC � A ' H ABC ABC tam giác vuông A � BC AB AC 2a � AH BC a A ' AH vuông H � A ' H AA '2 AH a S ABC a2 AB AC 2 3a VABCA ' B 'C ' A ' H S ABC Câu 25 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình thoi Hình chiếu A ' lên ABCD trọng tâm tam giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' biết AB a , � ABC 1200 , AA ' a a3 � Hướng dẫn giải: Gọi H trọng tâm tam giác ABD � A ' H ABCD A a B a3 � C D a3 � A' B' C' D' � 1800 � Ta có: BAD ABC 600 � 600 Tam giác ABD cân có BAD nên tam giác ABD ABD tam giác cạnh a A B H a � AH C D A ' AH vuông H � A ' H AA '2 AH a a2 a2 a3 ; VABCDA ' B ' C ' D ' A ' H S ABC 2 VABB 'C ' Câu 26 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Tính tỉ số VABCA ' B 'C ' S ABCD 2S ABD A � B � � Hướng dẫn giải: Ta có: BB ' C ' C hình bình hành 1 S BB ' C 'C � VA BB 'C ' VA BB 'C 'C 2 Ta có: VA A ' B ' C ' VABCA ' B 'C ' � VA BB ' C 'C VABCA ' B 'C ' VA A ' B ' C ' VABCA ' B 'C ' C D C' A' B' � S BB 'C ' A C B Trang 20/35 V 1 � VABB 'C ' VABCA ' B 'C ' � ABB ' C ' VABCA ' B 'C ' Câu 27 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có tất cạnh a Thể tích khối tứ diện A’BB’C’ A a3 � 12 B a3 � a3 � Hướng dẫn giải: C D A' h BB� a � � � a2 �S A��� BC � a3 � 12 C' B' a3 � � VA�BB�� BB S C A��� BC 12 A C B B C có đáy tam giác cạnh a , góc cạnh bên Câu 28 Lăng trụ tam giác ABC A��� mặt đáy 300 Hình chiếu A�lên ABC trung điểm I BC Thể tích khối lăng trụ A a3 � B a3 � a3 � 12 Hướng dẫn giải: C D a3 � � a 3 a I AI tan 300 � �A� � � a �S ABC � � � VABC A’ B’C ’ A� I S ABC a3 Câu 29 Lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A, BC 2a, AB a Mặt bên BB’C’C hình vng Khi thể tích lăng trụ A a3 B a C 2a 3 D a 3 Hướng dẫn giải: h BB� 2a � � � 2 �AC BC AB a a2 � S ABC AB AC 2 � VABC A’ B’C ’ BB� S ABC a 3 C' A' B' A C B Câu 30 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi M , N trung điểm CC ' BB ' Tính tỉ số VABCMN VABC A ' B 'C ' Trang 21/35 A B Hướng dẫn giải: C Ta có: BB ' C ' C hình bình hành D A' B' S BB 'C ' C � VA BCMN VA.BB 'C 'C Ta có: VA A ' B ' C ' VABCA ' B 'C ' � S BCMN C' M � VA BB ' C 'C VABCA ' B 'C ' VA A ' B 'C ' VABCA ' B 'C ' V 1 � VA BCMN VABCA ' B 'C ' � A.BCMN VABCA ' B ' C ' N A B C B C Tỉ số thể tích khối chóp A� ABC khối lăng Câu 31 Cho khối lăng trụ ABC A��� trụ 1 1 A B C D Hướng dẫn giải: C' A' B' 1 VA�ABC AA� S ABC VABC A��� BC 3 VA�ABC � VABC A��� BC A C B B C D Tỉ số thể tích khối A� ABD khối lập Câu 32 Cho khối lập phương ABCD A���� phương là: 1 1 A B C D Hướng dẫn giải: A' D' VA’ ABD AA� S ABD C ' B' 1 AA� AB AD AA� S ABCD D A VABCD A’ B’C ’ D’ B C VA’ ABD � VABCD A’ B’C ’ D’ VẬN DỤNG THẤP Câu 33 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có chiều cao h , góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABCD) Tính thể tích khối chóp S ABCD theo h A 3h3 tan B 4h tan C 8h tan D 3h3 tan Trang 22/35 Hướng dẫn giải: AB aA, D 2a Gọi O tâm mặt đáy SO mp ABCD Từ đó, SO đường cao hình chóp.Gọi M trung điểm đoạn CD Ta có: h CD SM �(SCD ) � � � CD OM �( ABCD ) � SMO � � CD (SCD ) �( ABCD ) � A O D M B C V = SABCD.SO; B = SABCD = AB ; Tìm AB: AB = 2OM SO h h � OM = Tam giác SOM vng tại O, ta có: tan = = OM OM tan 2h 4h � AB = Suy ra: B = SABCD = SO = h tan tan 4h 4h Vậy VS.ABCD = h = tan tan Câu 34 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , cạnh vng S ABCD ABCD 2a SB góc với đáy mặt phẳng SAD tạo với đáy góc 60� Tính thể tích khối chóp S ABCD A V 3a 3 Hướng dẫn giải: B V 3a C V 8a 3 3 D V 4a �AD AB � AD (SAB) � Ta có: � S �AD SB AD SA � 600 � SAB SABCD = 4a2 A D Xét tam giác SAB vuông B, ta có: SB AB tan 600 2a 2a a B C Vậy V = 4a2 2a = 3 Câu 35 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , BC a , mặt phẳng A ' BC tạo với đáy góc 30�và tam giác A ' BC có diện tích a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' a3 Hướng dẫn giải: A B 3a 3 C 3a 3 D 3a 3 Trang 23/35 V= Bh = SABC.A’B’C’.AA’ �BC AB � BC A� B Do � �BC AA� �BC AB �( ABC ) � BC ) Và �BC A ' B �( A� �BC ( ABC ) �( A ' BC ) � A’ C’ B’ � (� ABC ), ( A ' BC ) � AB, A ' B � ABA ' A Ta có: C 30o a A� B.BC B 2.S A�BC 2.a � A� B 2a BC a � � AB A� B.cos � ABA� 2a 3.cos 300 3a; AA� A� B.sin ABA 2a 3.sin 30 a S A�BC 1 3a 3 VABC A ' B 'C ' B.h S ABC AA� AB.BC AA� 3a.a.a 2 Câu 36 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy chiếu vng góc A ' AA ' C ' C ABC ABC tam giác cạnh a Hình trung điểm AB Mặt phẳng tạo với đáy góc 45� Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A V 3a 16 B V 3a C V 3a D V 3a Hướng dẫn giải: A’ Gọi H, M, I trung điểm đoạn thẳng AB, AC, AM VABC A ' B 'C ' S ABC A ' H a2 S ABC Ta có IH đường trung bình tam giác AMB , MB trung tuyến tam giác ABC �IH // MB � IH AC Do đó: � �MB AC B ’ C ’ H A I B a M C �AC A ' H � AC A ' HI � AC A ' I � �AC IH �AC IH �( ABC ) � Mà: �AC A ' I �( ACC ' A ') � � A ' IH góc gữa hai mặt phẳng AA ' C ' C � ( ABC ) �( ACC ' A ') AC � ABCD � � A ' IH 45� Trong tam giác A ' HI vng H, ta có: tan 45� A' H � A ' H IH tan 45o HI Trang 24/35 a a a 3a Vậy IH MB V 4 16 Câu 37 Cho hình chóp S ABC , góc mặt bên mặt phẳng đáy 600 , khoảng cách hai đường thẳng SA BC ABC 3a Thể tích khối chóp S ABC theo a a3 16 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm BC Trong mp(SAM), Kẻ MH SA, ( H �SA) �BC AM � BC SAM � BC MH Ta có: � �BC SO A a3 12 B a3 18 C D a3 24 Do MH đường vng góc chung SA BC 3a � 600 Suy MH Ta có: SM BC � � SBC , ABC SMA OM x � AM 3x, OA x Đặt � SO OM tan 600 x SA x 3 S 2x x Trong VSAM ta có: SA.MH SO AM 3a a � x x 3.3x � x Khi đó: AM x a H C A O a � AB a N B 1 a2 a a2 VS ABC S ABC SO 3 24 Câu 38 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , AC 3a , BD 2a , hai mặt phẳng SAC SBD vng góc với mặt phẳng a O đến mặt phẳng SAB Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a ABCD Biết khoảng cách từ điểm a3 Hướng dẫn giải S Ta có tam giác ABO vng A a3 16 B a3 18 C D a3 12 O AO a , BO a Do I AO tan 600 � � ABO 600 BO D A Suy ABD 2a C O B Trang 25/35 Ta có: � SAC ABCD � SBD ABCD � SO ABCD � � SAC � SBD SO � Trong tam giác ABD , gọi H trung điểm AB, K trung điểm BH, suy DH AB DH a ; OK / / DH OK Suy OK AB � AB SOK a DH 2 Gọi I hình chiếu O lên SK, ta có: OI SK ; AB OI � OI SAB � OI d � O; SAB � � � 1 a � SO 2 OI OK SO 1 1 a VS ABCD SABCD SO 4.S ABO SO .OA.OB.SO 3 3 Câu 39 Cho hình chóp tứ giác S ABCD , O giao điểm AC BD Biết mặt bên hình chóp tam giác khoảng từ O đến mặt bên a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Tam giác SOK vuông O, OI đường cao: A 2a 3 B 4a 3 C 6a 3 Hướng dẫn giải: D 8a 3 Gọi M trung điểm CD , SOM kẻ đường cao OH � OH SCD � OH a Đặt A CM x Khi OM x , SM x , SO A SM x x Ta có: SM OH SO.OM � x 3.a x 2.x � x a M � CD a 6, SO a 1 VS ABCD S ABCD SO CD SO 6a a 2a 3 3 Câu 40 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA ABCD ABCD hình thang vng A B biết AB 2a AD 3BC 3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a biết góc SCD ABCD 600 A 6a B 6a C 3a Hướng dẫn giải: D 3a Trang 26/35 Dựng AM CD M � 600 Ta có: SMA S ABCD CD S AD BC AB 4a 2 AD BC AB 2a AB.BC a 2 S ABCD S ABC 3a A S ABC S ACD D M C B 2S AM CD � AM ACD a CD � a VS ABCD SA.S ABCD 6a Ta có: SA AM tan SMA Câu 41 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA ABCD , ABCD hình thang vng A B biết AB 2a AD 3BC 3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a , S ACD biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) a A 6a B 6a C 3a D 3a Hướng dẫn giải: Dựng AM CD M Dựng AH SM H S Ta có: AH a AD BC S ABCD AB 4a 2 CD S ABC S ACD AD BC AB 2a H A AB.BC a 2 S ABCD S ABC 3a D M B C 2S S ACD AM CD � AM ACD a CD 1 AH AM � AS a Ta có: 2 AH AM AS AM AH VS ABCD SA.S ABCD 6a 3 Câu 42 Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có BB ' a , góc đường thẳng BB ' � 60� Hình chiếu ABC 60�, tam giác ABC vuông C góc BAC vng góc điểm B ' lên ABC trùng với trọng tâm ABC Thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a A 13a 108 B 7a 106 15a 108 Hướng dẫn giải: C D 9a 208 Trang 27/35 Gọi M , N trung điểm AB, AC G trọng tâm ABC � �' BG 600 B ' G ABC � BB ', ABC B 1 VA ' ABC SABC B ' G AC.BC.B ' G 60� �' BG 600 Xét B ' BG vuông G , có B � B 'G 60� a (nửa tam giác đều) � 600 Đặt AB x Trong ABC vng C có BAC AB � tam giác ABC tam giác � AC x, BC x 3 3a Do G trọng tâm ABC � BN BG Trong BNC vuông C : BN NC BC 3a � �AC 13 9a x 9a 3a � � 3x � x �x �� 16 52 13 �BC 3a � 13 � 2 3a 3a a 9a Vậy, VA ' ABC 13 13 208 Câu 43 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' , biết đáy ABC tam giác cạnh a a Khoảng cách từ tâm O tam giác ABC đến mặt phẳng A ' BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A 3a B 3a 28 3a Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm BC , ta có A ' AM A ' BC theo giao C D A' 3a 16 C' tuyến A ' M Trong A ' AM kẻ OH A ' M ( H �A ' M ) B' � OH A ' BC Suy ra: d O, A ' BC OH a a2 S ABC Xét hai tam giác vuông A ' AM � chung nên chúng OHM có góc M đồng dạng A C H O M B Trang 28/35 a OH OM � Suy ra: A ' A A ' M A' A a � A' A A ' A2 AM �a � A' A � � �2 � a a a 3a Thể tích: VABC A ' B ' C ' S ABC A ' A 4 16 VẬN DỤNG CAO Câu 44 Cho hình chóp tam giác S ABC có M trung điểm SB , N điểm cạnh SC cho NS NC Kí hiệu V1 ,V2 thể tích khối � A' A chóp A.BMNC S AMN Tính tỉ số A V1 V2 B V1 V2 V1 V2 C V1 V2 D V1 V2 Hướng dẫn giải VS AMN SM SN � � ; VS ABC SB SC 3 VS AMN VA BMNC VS ABC Suy ra, VA.BMNC VS AMN Câu 45 Cho hình chóp tam giác S ABC có M trung điểm SB , N điểm cạnh SC cho NS NC , P điểm cạnh SA cho PA PS Kí hiệu V1 ,V2 thể tích khối tứ diện BMNP SABC Tính tỉ số A V1 V2 B V1 V2 C V1 V2 D V1 V2 V1 V2 Hướng dẫn giải � d ( N , ( SAB )) � S BMP VN BMP ; VC SAB � d (C, ( SAB)) � S SAB d ( N ,( SAB)) NS d (C, ( SAB)) CS , S BPM 1 S BPS � S SAB 2 VN BMP 1 � Suy ra, V C SAB Câu 46 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABCD) 45�, M , N P trung điểm cạnh SA, SB AB Tính thể tích V khối tứ diện DMNP Trang 29/35 A V a3 B V a3 C V a3 12 D V a3 Hướng dẫn giải S SMN SM SN � S SAB SA SB Ta có: Tương tự, Suy S BNP S AMP , S SAB S SAB S MNP (có thể khẳng S SAB S MNP nhờ hai tam giác S SAB định MNP BAS hai tam giác đồng dạng với tỉ số k ) VD.MNP (1) VD.SAB VS DAB VS ABCD (2) Do VD.SAB VS ABCD 1 4a (3) Từ (1), (2) (3): SO.S ABCD OP.tan 45� S ABCD 3 1 4a a VDMNP B C có đáy ABC tam giác vuông cân B , AC 2a ; Câu 47 Cho lăng trụ ABC A��� cạnh bên AA� 2a Hình chiếu vng góc A� mặt phẳng ( ABC ) BC trung điểm cạnh AC Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A��� 3 a 2a A V a B V C V a D V 3 Hướng dẫn giải Vì ABC tam giác vuông cân B nên trung tuyến BH đường cao nó, HB HA HC AC a A� H A� A2 AH 2a a a � S ABC A� VABC A��� H � BH � AC a BC A H � Câu 48 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc với Gọi G1 , G2 , G3 G4 trọng tâm mặt ABC , ABD, ACD BCD Biết AB 6a, AC 9a , AD 12a Tính theo a thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 A 4a B a C 108a Hướng dẫn giải D 36a Trang 30/35 Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh VG1G2G3G4 VABCD 27 Thật vậy, ta có (G2G3G4 ) P(CBA) VG2G3G4 ) : VCBA (tỉ số đồng dạng k ) Từ đó: SG2G3G4 SCBA k2 d (G1 , (G2G3G4 )) d (G4 , ( ABC )) 1 d ( D, ( ABC )) (do G4 M DM ) 3 VG G G G d (G1 , (G2G3G4 )) SG2G3G4 1 � � Suy VABCD d ( D, ( ABC )) SCBA 27 1 VABCD � AB.AC AD 4a 27 27 Câu 49 Cho tứ diện ABCD có AB CD 11m , BC AD 20m , BD AC 21m Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 360m3 B 720m3 C 770m3 D 340m3 Hướng dẫn giải Dựng tam giác MNP cho C, B, D trung điểm cạnh MN, MP, NP Do BD đường trung bình tam giác MNP nên � VG1G2G3G4 1 MN hay AC MN 2 Tam giác AMN vng A (do có trung tuyến nửa cạnh tương ứng), hay AM AN Tương tự, AP AN AM AP 1 1 Ta có S MBC S MNP , S NCD S MNP , S BPD S MNP Suy S BCD S MNP 4 4 BD Từ đó, VABCD VAMNP �x y 4.202 �2 AM AN AP 2 ,y ,z Đặt x Ta có �y z 4.21 , m m m �x z 4.112 � Trang 31/35 �x 160 �2 1 suy �y 1440 � xyz 1440 � VABCD VAMNP 360m �z 324 � (AM, AN, AP đơi vng góc nên VAMNP AM AN AP ) (a b2 c )(a b c )( a b c ) 12 V Câu 50 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy vng; mặt bên ( SAB ) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết khoảng cách từ điểm a Tính thể tích V khối chóp S ABCD A đến mặt phẳng ( SCD) 3 3a 3 V a V a A B V a C D V 3 Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AB, suy SH chiều cao khối chóp cho Kí hiệu x độ dài cạnh đáy 3 x VS ABCD x Kẻ HK CD ( K �CD) ; Kẻ HL SK (L �SK ) Ta có SH Suy HL ( SCD) d ( A, ( SCD)) d ( H , ( SCD)) HL HS � HK 21 x HS HK 21 7a 3 3 Theo gt, x � x a Suy VS ABCD x (a 3)3 a 7 6 Câu 51 Cho tứ diện S ABC , M N điểm thuộc cạnh SA SB cho MA 2SM , SN NB , ( ) mặt phẳng qua MN song song với SC Kí hiệu 2 ( H1 ) ( H ) khối đa diện có chia khối tứ diện S ABC mặt phẳng ( ) , đó, ( H1 ) chứa điểm S , ( H ) chứa điểm A ; V1 V2 thể tích ( H1 ) ( H ) Tính tỉ số D Hướng dẫn giải Kí hiệu V thể tích khối tứ diện SABC Gọi P , Q giao điểm ( ) với đường thẳng BC , AC Ta có NP //MQ //SC Khi chia khối ( H1 ) mặt phẳng (QNC ) , ta hai A B V1 V2 C khối chóp N SMQC N QPC Trang 32/35 VN SMQC Ta có: VB ASC d ( N , ( SAC )) SSMQC � ; d (B, ( SAC )) S SAC d ( N , ( SAC )) NS ; d (B, ( SAC )) BS S AMQ S ASC S �AM � � � � SMQC S ASC �AS � Suy VN QP C VS ABC VN SMQC VB ASC 10 � 27 d ( N , (QP C )) SQPC � d (S,(A BC )) S ABC NB CQ CP 1 2 � � �� SB CA CB 3 27 V V1 VN SMQC VN QP C 10 V1 � � 5V1 4V2 � V2 V VB ASC VS ABC 27 27 V1 V2 Câu 52 Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm tam giác ABC ; mặt phẳng ( SAB ) , ( SAC ) ( SBC ) tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc Biết AB 25 , BC 17 , AC 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy góc 45� Tính thể tích V khối chóp S ABC A V 408 B V 680 C V 578 D V 600 Hướng dẫn giải Gọi J chân đường cao hình chóp S.ABC; H, K L hình chiếu J cạnh AB, � , SLJ � SKJ � BC CA Suy ra, SHJ góc tạo mặt phẳng ( ABC ) với mặt phẳng (S AB) , ( SBC ) ( SAC ) Theo giả thiết, ta � SLJ � SKJ � , suy tam có SHJ giác vng SJH , SJL SJK Từ đó, JH JL JK Mà J nằm tam giác ABC nên J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Áp dụng công thức Hê-rông, ta tính diện tích S tam giác ABC S 204 Kí hiệu p nửa chu vi tam giác ABC, r bán kính đường tròn nội S 204 6 p 34 Đặt x BH BL , y CL CK , z AH AK tiếp ABC Ta có r Trang 33/35 �x y 17 � Ta có hệ phương trình �x z 25 �y z 26 � Giải ( x; y; z ) (8;9;17) JB JH BH 82 10 � ( SB � Ta có SBJ , ( ABC )) 45�, suy SJB tam giác vuông cân J SJ JB 10 Thể tích V khối chóp S.ABC V SJ S ABC 680 Trang 34/35 ... =k AB AC BC � � AM � � � =� = k2 � � � AB � � * MN / / BC � N * C SDAMN SDABC (Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đờng da? ?ng) Trang 2/35 B Diện tích đa giác: a.Diện tích tam giác vuông:... ABCD theo a A A 2a 3 B 4a 3 C 6a 3 D 8a 3 Câu 40 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA ABCD ABCD hình thang vng A B biết AB 2a AD 3BC 3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo... S ABCD có chiều cao h , góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABCD) Tính thể tích khối chóp S ABCD theo h A 3h3 tan Câu 34 Cho hình chóp A 3 4h C 8h D 3h tan tan tan có đáy hình vng
