BỒI DƯỠNG HSG TOÁN LỚP A.ĐẠI SỐ Bài tập tính chất tỷ lệ thức Bài 1: Cho số x ,y , z khác thỏa mãn điều kiện : y+z−x z+x− y x+ y−z = = x y z  x  y  z  Hãy tính giá trị biểu thức : B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ y  z  x   Giải Với số x ,y , z khác y+z−x z+x− y x+ y−z = = x y z y+z z+x x+ y −1 = −1 = −1 ⇒ x y z y+z z+x x+ y = = ⇒ x y z Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : y + z z + x x + y 2( x + y + z ) = = = = với x + y + z ≠ x y z x+ y+z Do :  x  y  z  y + z z + x x + y B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷= x y z = 2 = y  z  x   Bài Cho a, b, c số khác a + b + c ≠ thỏa mãn: Tính giá trị biểu thức P = a b c = = b+ c c + a a+ b b+ c c + a a+ b + + a b c Giải Ta có ⇒ a b c a+ b + c = = = = b + c c + a a + b 2.(a + b + c) b + c c + a a+ b = = =2 a b c b + c c + a a+ b ⇒P= + + = 2+ 2+ = a b c Bài Một tam giác có chu vi 63 cm ba cạnh tỉ lệ với 5; 7; Tính độ dài ba cạnh tam giác Giải Gọi x,y,z ba cạnh tam giác (x,y,z >0; tính cm) Theo đề bài, ta có: x y z = = x + y + z = 63 x y z x + y + z 63 = Suy ra: = = = =3 + + 21  x = = 15  y = 3= 21  z = = 27 Trả lời: Ba cạnh tam giác 15 cm, 21 cm, 27 cm Bài Một hộp đựng ba loại bi khác Số lượng loại bi màu xanh, bi màu vàng bi màu đỏ tỷ lệ với số 5,7,9 Tính số bi loại, biết số bi màu xanh số bi màu vàng viên Giải - Gọi số bi màu xanh, vàng, đỏ x, y, z (viên) x y z = = y − x = x y z y−x = =2 Từ = = = 7−5 tìm x = 10; y = 14; z = 18 ⇒ - KL: Có 10 viên xanh; 14 viên đỏ; 18 viên vàng Bài Tìm số a,b,c biết a b c = = a+b-c=15 Giải a b c = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : a b c a + b − c 15 = = = = 3+ 4−5 ⇒ a=15; b=22,5;c=30 Từ = Bài Tìm a, b, c biết a b c = = a+2b-3c= -20 Giải a b Từ = = c a 2b 3c a + 2b − 3c −20 ⇒ = = = = =5 12 + − 12 −4 ⇒ a=10; b=15; c=20 Bài tập 1.Tính x,y,z biết x y z = = = x + y + z (1) y + z +1 x + z + x + y − HD 1 Từ (1) ⇒ x+y+z= ⇒ y+z= -x (2) 2 x Lại từ y + z + = ⇒ y+z=2x-1 (3) −5 Từ (2) (3) ⇒ x= Tưng tự tính y= ; z= 6 a b b c 2.1.Tìm ba số a,b,c biết = (1); = (2) a+b-c=8 HD Từ (1) (2) ⇒ a b c a +b−c = = = = =2 10 15 21 10 + 15 − 21 ⇒ a=20;b=30;c=42 2.2Tìm ba số a,b,c biết a b = (1) , = (2) a-b+c=55 c c HD a a c b c Từ = (1) ⇒ = (*); Từ (2) ⇒ = (**) c 5 a b c a − b + c 55 = =5 Từ (*) (**) ⇒ = = = 7 − + 11 ⇒ a=35; b=5; c=25 Bài Cho a,b,c số tự nhiên khác Chứng minh a c = b d 2a + 7b 2c + d = 2a − 7b 2c − d Giải a b Từ = c ⇒ d a b 2a 7b 2a +7b 2a −7b = = = = = c d 2c 7d 2c +7d 2c −7d 2a +7b 2c +7d ⇒ = 2a −7b 2c −7 d BTTT Cho a,b,c số tự nhiên khác Chứng minh a c = b d 2a + 5b 2c + 5d = 2a − 5b 2c − 5d Bải cho a c a c a c = chứng minh = = ; ; b d a +b c + d a −b c −d Giải Từ a c a b a+b a c ⇒ = ⇒ = = = b d c d c+d a+b c+d Bài tập dãy số Bài Tính tổng a) S= 1+3+5+ +97+99 =(1+99)+(3+97)+(5+95)+ +(49+51) ,có 25 nhóm =100.25=2500 b) S=1-2-3+4+5-6-7+8+ +2009-2010-2011+2012+2013 =(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+ +(2009-2010-2011+2012)+2013 =2013 Bài Cho M= + ( có 53 nhóm) 1 1 + + + 99 (1) Chứng minh M< 2 3 Giải 1 + + + 98 3 1 1 ⇒ 3M-M=1- 99 ⇒ 2M=1- 99 ⇒ M= − ⇒ M< 99 2.3 3 1 1 BTTT Cho C = + + + + + 2012 (1) Chứng minh C < 3 3 Từ (1) ⇒ 3M=1+ + Giải 1 1 + + + 2011 ) 3 3 1 3 ⇒ 3C=3+C- 2012 ⇒ 2C=3- 2012 ⇒ C= − 2012 < ⇒ C < 3 2.3 2 1 1 < Bài Chứng minh A= 2 + 2 + + +2 +3 + 102 Từ (1) ⇒ 3C=3+(1+ + Giải 1 11  = < =  − Nhận xét ÷ a + (a + 1) 2a + 2a + 2a + 2a  a a +  1 1 1  1 1 1 Do A<  − + − + + − ÷ = 1 − ÷ = − < 1 2 10   10  20 ⇒ A< BTTT 1 1 Chứng minh M= 12 + 22 + 22 + 32 + + n + n + < ( ) 99 < 100 10 1 1 Bài Tính tổng S= + + + + 1.2 2.3 3.4 99.100 Bài Chứng minh rằng: A=   1 1 1  S= 1 − ÷+  − ÷+  − ÷  2  3  99 100  =1- 99 = 100 100        ÷ − ÷ − ÷ 1 − ÷ 2.3  3.4  4.5   9.10  n + n − ( n − 1) ( n + ) − = = Nhận xét: n n + n ( n + 1) ( ) n ( n + 1) 1.4 2.5 3.6 4.7 5.8 6.9 7.10 8.11 11 11 Do P= = = 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 27       ÷ BTTT Tính P= 1 − ÷1 − ÷1 − ÷ 1 −  2.3  3.4  4.5   n ( n + 1) ÷  Tính P= 1 − Bài Nhận xét: − n + n − ( n − 1) ( n + ) = = n ( n + 1) n ( n + 1) n ( n + 1) 1.4 2.5 3.6 Do P= 2.3 3.4 4.5 ( n − 1) ( n + ) n ( n + 1) n+2 n+2 = − = n 3n ĐỀ THI THỬ SỐ Câu 1.Tìm số nguyên a cho chia hết cho (a-2) 2.Tìm số nguyên x cho x − = Câu x y 3z = = (1) x-y=15 x y x− y = 15 HD: Từ (1) ⇒ = = 4−3 ⇒ x=60; y=45; z= 40 1.Tìm x,y,z biết a b c d Cho = Chứng minh 2a + 5b 2c + 5d = 2a − 5b 2c − 5d Câu Rút gọn biểu thức (2x-3y)(4x2+6xy+9y2) Tính giá trị biểu thức 6x2-(2x+1)(3x-2)-4 x=3 Câu Cho hình thang ABCD (AB//CD) Các đường phân giác đỉnh A D cắt K; Các đường phân giác đỉnh B C cắt L Biết KL=25cm Tính chu vi hình thang Câu Tìm số nguyên x,y cho 5x+2y=3xy-3 (1) Từ (1) ⇒ 3xy-2y-5x=3 9xy-6y-15x=9 (9xy-6y)-(15x-10)=19 (3x-2y)(3y-5)=19 3 x − = 19 3 x − = ⇒ a)   ; 3 y − = 3 y − = 19 3x − = −19 b)   y − = −1 3 x − = −1 3 y − = −19  ... = 7 − + 11 ⇒ a=35; b=5; c=25 Bài Cho a,b,c số tự nhiên khác Chứng minh a c = b d 2a + 7b 2c + d = 2a − 7b 2c − d Giải a b Từ = c ⇒ d a b 2a 7b 2a +7b 2a −7b = = = = = c d 2c 7d 2c +7d 2c −7d... Nhận xét: n n + n ( n + 1) ( ) n ( n + 1) 1.4 2.5 3.6 4 .7 5.8 6.9 7. 10 8.11 11 11 Do P= = = 2.3 3.4 4.5 5.6 6 .7 7.8 8.9 9.10 27       ÷ BTTT Tính P= 1 − ÷1 − ÷1 − ÷ 1 −... số Bài Tính tổng a) S= 1+3+5+ + 97+ 99 =(1+99)+(3+ 97) +(5+95)+ +(49+51) ,có 25 nhóm =100.25=2500 b) S=1-2-3+4+5-6 -7+ 8+ +2009-2010-2011+2012+2013 =(1-2-3+4)+(5-6 -7+ 8)+ +(2009-2010-2011+2012)+2013