Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Nguyễn Anh Thi Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh 2015 Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nội dung Chương 4: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 4.1 Định nghóa tính chất 4.2 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 4.3 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 4.1 Định nghóa tính chất Định nghóa Cho V W hai không gian vector trường R Ta nói f : V → W ánh xạ tuyến tính thỏa mãn điều kiện đây: i) f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 ), ∀x1 , x2 ∈ V, ii) f(αx) = αf(x), ∀α ∈ R, ∀x ∈ V Nhận xét Điều kiện i) ii) định nghóa thay điều kiện: f(αx1 + x2 ) = αf(x1 ) + f(x2 ), ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V Nếu f ánh xạ tuyến tính, f(0) = f(−x) = −f(x), ∀x ∈ V Kyù hiệu L(V, W) tập hợp ánh xạ tuyến tính từ V → W Nếu f ∈ L(V, V) f gọi toán tử tuyến tính V Viết tắt f ∈ L(V) Ví dụ Các ánh xạ sau ánh xạ tuyến tính f : R → Rn xác định f(x) = (x, 0, , 0); f : R3 → R2 xác định f(x1 , x2 , x3 ) = (2x1 + x2 , x1 − 3x2 ); Định lý Mọi ánh xạ tuyến tính f : V → W hoàn toàn xác định ảnh vector sở V Chứng minh Ta xét trường hợp V không gian vector hữu hạn chiều Gỉa sử B = {u1 , u2 , , un } laø sở V vector f(ui ), ∀i ∈ 1, n hoàn toàn xác định W Khi ∀x ∈ V, biểu diễn x cách dạng x = α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un ta coù f(x) = α1 f(u1 ) + α2 f(u2 ) + · · · + αn f(un ) Trên tập hợp L(V, W) ta định nghóa phép toán sau đây: a) Phép cộng: ∀f, g ∈ L(V, W), ∀x ∈ V, (f + g)(x) = f(x) + g(x) b) Pheùp nhân vô hướng: ∀f ∈ L(V, W), ∀x ∈ V, ∀α ∈ R (αf)(x) = αf(x) Mệnh đề L(V, W) với phép toán vừa định nghóa phía không gian vector trường R 4.2 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính Định nghóa Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính a) Tập hợp Kerf = {x ∈ V|f(x) = 0} gọi nhân ánh xạ f b) Tập hợp Imf = {f(x)|x ∈ V} gọi ảnh ánh xạ f Nhân ảnh f tương ứng không gian V W Ví dụ Cho f : R3 → R3 xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z) Tìm sở Kerf Ví dụ Cho f : R3 → R3 xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z) Tìm sở Kerf Gọi u ∈ R3 u ∈ Kerf ⇔ f(u) =   x + y − z = 2x + 3y − z = ⇔  3x + 5y − z = Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R Nghiệm hệ u = (2, −1, 1) Vậy Kerf có sở {u = (2, −1, 1)} Định lý Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính Khi đó, S = {u1 , u2 , um } tập sinh V f(S) = {f(u1 ), f(u2 ), , f(um )} tập sinh Imf Ví dụ Cho f : R3 → R3 xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z) Tìm sở Imf Ví dụ Cho f : R3 → R3 xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z) Tìm sở Imf Gọi B0 = {e1 , e2 , e3 } sở tắc R3 Ta coù f(e1 ) = (1, 2, 3), f(e2 ) = (1, 3, 5), f(e3 ) = (−1, −1, −1) Ta có Imf sinh {f(e1 ), f(e2 ), f(e3 )} Laäp ma traän       f(e1 ) 3 →  A =  f(e2 )  =  f(e3 ) −1 −1 −1 0 Do Imf có sở {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)} Định lý Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính từ không gian vector hữu hạn chiều V vào không gian vector W Khi Imf không gian hữu hạn chiều V ta có công thức: dim V = dim Kerf + dim Imf 4.3 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Định nghóa Cho V W không gian vector trường R Gọi B = {u1 , u2 , , un } vaø C = {v1 , v2 , , vm } sở V W Cho f ánh xạ tuyến tính từ không gian vector V vào không gian vector W, f ∈ L(V, W) Đặt P = ([f(u1 )]C , [f(u2 )]C , , [f(un )]C ) Khi ma trận P gọi ma trận biểu diễn ánh xạ f theo cặp sở B, C, ký hiệu P = [f]B,C [f]CB Nếu f ∈ L(V) ma trận [f]B,C gọi ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính f, ký hiệu [f]B Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định f(x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x2 , 2x1 + x2 + x3 ) cặp sở B = {u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 2), u3 = (1, 1, 1)}, C = {v1 = (1, 3), v2 = (2, 5)} Tìm [f]B,C Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định f(x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x2 , 2x1 + x2 + x3 ) vaø cặp sở B = {u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 2), u3 = (1, 1, 1)}, C = {v1 = (1, 3), v2 = (2, 5)} Tìm [f]B,C , [f(u2 )]C = −3 11 −3 −6 −4 Ta có [f(u1 )]C = Vậy [f]B,C = 11 −6 , [f(u3 )]C = −4 Định lý Cho V, W không gian vector với sở tương ứng B = {b1 , b2 , , bn }, C = {c1 , c2 , , cm } Giả sử f : V → W ánh xạ tuyến tính Khi với vector x ∈ V, ta có [f(x)]C = [f]B,C [x]B Hệ Cho V không gian vector trường R B sở V Giả sử f toán tử tuyến tính V Khi đó, với x ∈ V ta có [f(x)]B = [f]B [x]B Ví dụ   Trong ví dụ ta lấy x = (1, 2, 3), ta có [x]B =   Do  [f(x)]C = [f]B,C [x]B = 11 −3 −6 −4   = 19 −10 Mệnh đề Cho V W không gian vector hữu hạn chiều trường R B, B C, C tương ứng cặp sở V W Khi đó, với ánh xạ tuyến tính f : V → W ta coù [f]B ,C = (C → C )−1 [f]B,C (B → B ) Hệ Cho B B hai sở không gian vector hữu hạn chiều V trường R Khi với toán tử tuyến tính f ta có [f]B = (B → B )−1 [f]B (B → B ) Ví dụ Trong không gian R3 cho vector u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1) ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 định f(x1 , x2 , x3 ) = (2x1 + x2 − x3 , x1 + 2x2 − x3 , 2x1 − x2 + 3x3 ) a) Chứng minh B = (u1 , u2 , u3 ) sở R3 b) Tìm [f]B Ví dụ Trong không gian R3 cho caùc vector: u1 = (1, −1, 2); u2 = (3, −1, 4); u3 = (5, −3, 9) Chứng tỏ B = (u1 , u2 , u3 ) sở R3 Cho f : R3 → R3 ánh xạ tuyến tính thỏa    [f]B =  −1 −1 Hãy tìm biểu thức aùnh xaï f  .. .Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Nội dung Chương 4: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 4. 1 Định nghóa tính chất 4. 2 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 4. 3 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 4. 1 Định nghóa tính... Tìm [f]B,C , [f(u2 )]C = −3 11 −3 −6 ? ?4 Ta có [f(u1 )]C = Vậy [f]B,C = 11 −6 , [f(u3 )]C = ? ?4 Định lý Cho V, W không gian vector với sở tương ứng B = {b1 , b2 , , bn }, C = {c1 , c2 , ... không gian vector W Khi Imf không gian hữu hạn chiều V ta có công thức: dim V = dim Kerf + dim Imf 4. 3 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Định nghóa Cho V W không gian vector trường R Gọi B = {u1