Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Phương trình ma trận 2015 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Chương MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng môn học Toán B1 Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Ma trận Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính 1.1 Định nghóa ký hiệu 1.2 Ma trận vuông 1.3 Các phép toán ma trận Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng môn học Toán B1 Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận 1.1 Định nghóa ký hiệu Nguyễn Anh Thi Nội dung Định nghóa Một ma trận loại m × n R bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số R có dạng   a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   A=  . am1 am2 amn Viết tắt: A = (aij )m×n hay A = (aij ), aij ∈ R Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng môn học Toán B1 Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận 1.1 Định nghóa ký hiệu Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính aij hệ số dòng i, cột j ma trận A (hệ số ký hiệu Aij ) Ký hiệu Mm×n (R) tập hợp tất ma trận loại m × n R Ví dụ  Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận A=  ∈ M2×3 (R); B = 0 1 ∈ M3×2 (R) Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng môn học Toán B1 Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận 1.1 Định nghóa ký hiệu Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Ma trận có hệ số 0, gọi ma trận không, ký hiệu 0m×n (hay 0) Ví dụ  03×4  0 0 = 0 0 0 0 0 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng môn học Toán B1 Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận 1.2 Ma trận vuông Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Định nghóa Ma trận vuông cấp n ma trận loại n × n, (số dòng số cột) Ký hiệu Mn (R) tập hợp ma trận vuông cấp n Ví dụ     0 A ∈ M3 (R) = 4 6, 03×3 = 0 0 0 Nguyeãn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận 1.2 Ma trận vuông Định nghóa Nếu A = (aij ) ∈ Mn×n (R) đường chứa phần tử a11 , a22 , , ann gọi đường chéo hay đường chéo A   a11 a12 a1n a21 a22 a2n   A=   an1 an2 ann Ví duï  A = 4 6 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng môn học Toán B1 Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận 1.2 Ma trận vuông Nguyễn Anh Thi Nội dung Định nghóa Một ma trận chéo cấp n ma trận vuông cấp n mà tất hệ số nằm đường chéo Nếu A ma trận chéo cấp n, ta ký hiệu A = diag(a11 , a22 , , ann ) Ví dụ Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận   0 A = diag(1, 5, 9) = 0 0 0 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng môn học Toán B1 Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận 4.1 Định nghóa Nguyễn Anh Thi Nội dung Ví dụ Cho A = Khi A−1 = −5 −1 Mệnh đề Cho A ∈ Mn (R) Giả sử A khả nghịch có ma trận nghịch đảo A−1 Khi • A−1 khả nghịch (A−1 )−1 = A • A khả nghịch (A )−1 = (A−1 ) • ∀α ∈ R\{0}, αA khả nghịch (αA)−1 = α1 A−1 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Mệnh đề Cho A, B ∈ Mn (R) Giả sử A B khả nghịch AB khả nghịch, (AB)−1 = B−1 A−1 Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng môn học Toán B1 Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận 4.2 Nhận diện tìm ma trận khả nghịch Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Định lý Cho A ∈ Mn (R) Khi khẳng định sau tương đương: i A khả nghịch ii r(A) = n iii A ∼ In iv Tồn phép BĐSCTD ϕ1 , , ϕk biến ma trận A thành ma trận đơn vị In ϕ ϕ k A −→ A1 → −→ Ak = In Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hơn nữa, qua phép BĐSCTD ϕ1 , ϕ2 , , ϕk , ma trận đơn vị In biến thành ma trận nghịch đảo A−1 : ϕ ϕ k In −→ B1 → −→ Bk = A−1 Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Lập (A|In ) dùng phép BĐSCTD đưa A dạng bậc thang rút gọn: Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận ϕ ϕp (A|In ) −→ (A1 |B1 ) → −→ (Ap |Bp ) Trong trình biến đổi xảy hai trường hợp: • Trường hợp 1: Trong dãy biến đổi trên, tồn p cho ma trận Ap có dòng hay cột Khi A không khả nghịch • Trường hợp 2: Mọi ma trận Ai dãy biến đổi dòng hay cột Khi ma trận cuối dãy có dạng (In |B) Ta có A khả nghịch A−1 = B Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Chú ý Nếu toán yêu cầu kiểm tra ma trận A có khả nghịch hay không, ta cần tính hạng ma trận (dùng Gauss) Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Ví dụ Xét tính khả nghịch A   A=  tìm A−1 (nếu có)    12  14 19 Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma traän   (A|I4 ) =   4 7 12 14 19 Nguyeãn Anh Thi 0 0  0    Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi  Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH d2 :=d2 −2d1 d3 :=d3 −3d1  −−−−−−−→   d4 :=d4 −4d1  Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận d1 :=d1 −2d2  −− −−−−−→   d3 :=d3 −d2 0 0 1 −2 −1 −2 −1 −3 −4 −2 −1 −2 1 −1 −4 Nguyeãn Anh Thi  0 0    0  −2 0 0   −1  0 Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi  Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận  −−−−−−−→  d4 :=d4 −2d3  0  d1 :=d1 +d4 d2 :=d2 −d4  −−−−−−→  d3 :=d3 −d4  0 d1 :=d1 −7d3 d2 :=d2 +2d3 0 0 0 0  −1 12 −7 −4 −1   −1 −1  −2 1 −2  10 −9 −1  −2 −3  = (I4 |A−1 ) −3 −1  −2 −2 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Vậy ma trận khả nghịch A−1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận  10 −9  −2 −3 −1   =  −3 −1  −2 −2  Ví dụ Xét tính khả nghịch A, tìm   A=  −1 Nguyễn Anh Thi A−1 (nếu có)     −3 Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi  Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận  1 (A|I4 ) =   −1 −3  d2 :=d2 −2d1 −3 −5 d3 :=d3 −3d1  −−−−−−−→  −7 d4 :=d4 −4d1  −6 −9 −12 Nguyeãn Anh Thi 0 0 0 −8 −11 −19  0    1 −2 −3 −4 0 0 Bài giảng môn học Toán B1  0    Noäi dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận  0 0 −3 −5 −8 −2 0 d3 :=d3 −2d2  −−−−−−−→   −2 0 d4 :=d4 −3d2 0 −3  0  −8 −2 d4 :=d4 −d3  −3 −5 −− −−−−→  −6 −7 −11 −3 1 −1 −1 0 0 Ta coù r(A) < Suy A không khả nghịch Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1      0    Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng môn học Toán B1 Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Phương trình ma trận Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Định lý Cho ma trận A, A ∈ Mn (R) khả nghịch B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R), D ∈ Mn (R) Khi • AX = B ⇔ X = A−1 B; • XA = C ⇔ X = CA−1 ; • AXA = D ⇔ X = A−1 DA −1 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng môn học Toán B1 Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Phương trình ma trận Nguyễn Anh Thi Nội dung Ví dụ Cho hai ma trận  −2  −1 −2 −3 A=  −1 −5 −3 −3    −1 0   −1  ;B =     0 −1  0 a Chứng tỏ A khả nghịch tìm A−1 b Tìm ma trận X thỏa AXA = AB c Tìm ma trận X thỏa A2 XA2 = ABA2 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ma trận Các phép biến đổi sơ cấp dòng Hệ phương trình tuyến tính Hệ Cho ma trận A ∈ Mn (R) khả nghịch B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mm×n (R) Ta có • Nếu AB = B = • Nếu CA = C = Ma trận khả nghịch Phương trình ma trận Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 ... trận A (B1 + B2 ) = AB1 + AB2 ; (D1 + D2 )A = D1 A + D2 A Nguyeãn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng môn học Toán B1 Chương 1: MA... a 11 a12 a1n  a 21 a22 a2n   nghóa A =    am1 am2 amn   a 11 a 21 am1 a12 a22 am2   A =   a1n a2n amn Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1. .. ? ?1  , tìm tích AB =? ,B= ? ?1 11 Nguyeãn Anh Thi Bài giảng môn học Toán B1 Nội dung Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài giảng môn học Toán B1 Nguyễn Anh Thi Nội dung Chương 1: