WWW.VNMATH.COM Chương 11 Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Sau khi học xong chương này, học sinh cần biết : 1. Để có hai đường thẳng d và d ′ vuông góc, có thể chứng minh : • −→ u . −→ v = 0, ở đó −→ u và −→ v lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d ′ . • Góc giữa chúng bằng 90 ◦ . • d song song với đường thẳng ∆, còn d ′ vuông góc với ∆ (∆ là đường thẳng nào đó). • d⊥(α) mà (α) chứa d ′ , hoặc d ′ ⊥(β) mà (β) chứa d. • Khi d và d ′ cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp trong hình học phẳng như trung tuyến của tam giác cân, định lí đảo của định lí Pytago, . 2. Để có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), có thể chứng minh : • d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (α). • d ∥ d ′ mà d ′ ⊥(α). • d⊥(β) mà (β) ∥ (α). • d là trục của tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (α) (nghĩa là chứng minh d chứa hai điểm cách đều A, B,C). • d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (α). • Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc : nếu (α)⊥(β) mà d nằm trong (β) và d vuông góc với giao tuyến của (β) và (α) thì d⊥(α). 3. Để có hai mặt phẳng vuông góc, có thể chứng minh : • Góc giữa chúng bằng 90 ◦ . • Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. • Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng kia. 4. Ngoài ra, chúng ta cần biết xác định góc, xác định khoảng cách giữa các yếu tố. Hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A, AH, AM tương ứng là đường cao, trung tuyến xuất phát từ A. A B C H M 201 WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC • AB 2 + AC 2 = BC 2 (Định lí Pytago); • 1 AH 2 = 1 AB 2 + 1 AC 2 ; AH = AB.AC BC ; • AB 2 = BH.BC; AC 2 = CH.BC; • AM = BC 2 , nếu  C = 30 ◦ thì AB = BC 2 . Nhắc lại một số hệ thức lượng trong tam giác. Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b; h a , h b , h c và m a , m b , m c lần lượt là độ các đường cao và các đường trung tuyến xuất phát từ A, B,C; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; S là diện tích tam giác ABC; và p = a + b + c 2 là nửa chu vi tam giác. 1. Định lí hàm số cosin : a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A; cos A = b 2 + c 2 − a 2 2bc . 2. Định lí hàm số sin : a sin A = b sin B = c sinC = 2R ⇒ a = 2R sin A. 3. Công thức trung tuyến : m 2 a = 2(b 2 + c 2 ) − a 2 4 . 4. Công thức diện tích tam giác: (a) Tam giác thường S = 1 2 a.h a = 1 2 b.c. sin A = abc 4R = pr =  p(p − a)(p − b)(p − c) ⇒ h a = 2S a , R = abc 4S , r = S p . (b) Tam giác ABC vuông tại A thì S = 1 2 AB.AC và nếu là tam giác vuông cân cạnh a thì S = a 2 2 . (c) Tam giác ABC đều cạnh a thì S = a 2 √ 3 4 và đường cao bằng a √ 3 2 ; 5. Diện tích hình vuông cạnh a là S = a 2 . 6. Diện tích hình chữ nhật cạnh a, b là S = ab. 7. Diện tích hình bình hành ABCD là S = đáy.cao = AB.AD. sin  BAD = 1 2 AC.BD. sin(AC, BD). 8. Diện tích hình thoi ABCD là S = đáy.cao = AB.AD. sin  BAD = 1 2 AC.BD. 9. Diện tích hình thang là S = ( đáy lớn + đáy nhỏ ) × cao 2 . 10. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc là S = 1 2 tích hai đường chéo. 11.1 Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ Vấn đề 1 : Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng  Nếu ba vectơ −→ a , −→ b , −→ c không đồng phẳng thì vectơ −→ d bất kì biểu thị được một cách duy nhất qua ba vectơ −→ a , −→ b , −→ c ; nghĩa là tồn tại duy nhất bộ ba số m, n, p sao cho −→ d = m −→ a + n −→ b + p −→ c . Bài 11.1 : Cho hình hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Đặt −−→ AA ′ = −→ a , −−→ AB = −→ b , −−→ AD = −→ c . Gọi I là tâm hình bình hành CDD ′ C ′ , J là điểm trên cạnh B ′ C ′ sao cho JB ′ = k.JC ′ (k ∈ R cho trước). Hãy biểu thị các vectơ −−→ CB ′ , −→ AI, −→ IJ theo ba vectơ −→ a , −→ b , −→ c . Bài 11.2 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A ′ B ′ C ′ . Đặt −→ a = −−→ AC ′ , −→ b = −−→ BA ′ , −→ c = −−→ CB ′ . Gọi M là trung điểm AA ′ và G là trong tâm tam giác ABC. Hãy biểu diễn các vectơ −−→ AA ′ , −−−→ B ′ G, −−−→ MN theo ba vectơ −→ a , −→ b , −→ c . TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 202 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Vấn đề 2 : Chứng minh các đẳng thức vectơ  1. Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia và ngược lại. 2. Sử dụng các tính chất của các phép toán vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho. Bài 11.3 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Chứng minh rằng −−→ AB + −−→ AD + −−→ AE = −−→ AG. Bài 11.4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng −−→ S A + −−→ SC = −−→ S B + −−→ S D. Bài 11.5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng −−→ S A 2 + −−→ SC 2 = −−→ S B 2 + −−→ S D 2 . Bài 11.6 : Cho đoạn thẳng AB. Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao cho CA CB = m n , với m, n > 0. Chứng minh rằng với S bất kì ta luôn có −−→ SC = n m + n −−→ S A + m m + n −−→ S B. Bài 11.7 : Cho hình lập phương ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ cạnh a. Gọi O và O ′ theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A ′ B ′ C ′ D ′ . 1. Hãy biểu diễn các vectơ −−→ AO, −−−→ AO ′ theo các vectơ −−→ AA ′ , −−→ AB, −−→ AD. 2. Chứng minh rằng −−→ AD + −−−→ D ′ C ′ + −−−→ D ′ A ′ = −−→ AB. Bài 11.8 : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm A, B,C, D tạo thành một hình bình hành là : −−→ OA + −−→ OC = −−→ OB + −−→ OD. Vấn đề 3 : Chứng minh các điểm thẳng hàng và quan hệ song song  1. Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta có thể • Chứng minh vectơ hai −−→ AB và −−→ AC cùng phương, tức là −−→ AB = k −−→ AC. • Chọn một điểm I nào đó và chứng minh −→ IC = m −−→ OA + n −−→ OB với m + n = 1. 2. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi hai vectơ −−→ AB và −−→ CD cùng phương. 3. Đường thẳng AB không nằm trên (P) và AB ∥ (P) khi và chỉ khi có một đường thẳng CD ⊂ (P) sao cho AB ∥ CD hoặc −−→ AB = x −→ u + y −→ v trong đó các vectơ −→ u và −→ v có giá song song hoặc nằm trên (P). Bài 11.9 : Cho hình hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Xét các điểm M, N lần lượt trên các đường thẳng A ′ C và C ′ D sao cho −−−→ MA ′ = k −−→ MC, −−−→ NC ′ = l −−→ ND (k và l đều khác 1). Đặt −−→ BA = −→ a , −−→ BB ′ = −→ b, −−→ BC = −→ c . 1. Hãy biểu thị các vectơ −−→ BM và BN qua các vectơ −→ a , −→ b , −→ c . 2. Xác định các số k, l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD ′ . Bài 11.10 : Cho hình hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . M là một điểm trên đường thẳng AB sao cho −−→ MA = m −−→ AB. Tìm điểm N trên đường thẳng B ′ C và điểm P trên đường thẳng A ′ C ′ sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng (m  0). Bài 11.11 : Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho −−→ MA = −2 −−→ MB, −−→ ND = −2 −−→ NC. Các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho −→ IA = k −→ ID, −−→ JM = k −−→ JN, −−→ KB = k −−→ KC. Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng. Bài 11.12 : Cho hai đường thẳng ∆, ∆ 1 cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) lần lượt tại A, B, C và A 1 , B 1 ,C 1 . Với điểm O bất kì trong không gian, đặt −→ OI = −−−→ AA 1 , −−→ OJ = −−−→ BB 1 , −−→ OK = −−−→ CC 1 . Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 203 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 11.13 : Cho tứ diện ABCD. Gọi B 0 ,C 0 , D 0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD, ADB và ABC. Gọi G và G 0 là trọng tâm tam giác BCD và B 0 C 0 D 0 . Chứng minh rằng ba điểm A,G 0 ,G thẳng hàng. Bài 11.14 : Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . M là điểm trên cạnh AD sao cho −−→ AM = 1 3 −−→ AD. N là điểm trên đường thẳng BD 1 , P là điểm trên đường thẳng CC 1 sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng. Tính ¬ ¬ ¬ −−−→ MN ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ −−→ NP ¬ ¬ ¬ . Bài 11.15 : Cho hình hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng AA ′ , BC,C ′ D ′ lân lượt tại M, N, P sao cho −−−→ NM = 2 −−→ NP. Tính MA MA ′ . Bài 11.16 : Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . 1. Chứng minh rằng đỉnh A, trọng tâm G của tam giác BDA 1 và đỉnh C 1 thuộc một đường thẳng. 2. Tính tỉ số GA GC 1 . Bài 11.17 : Cho hình hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của mặt phẳng ABB ′ A ′ . M là một điểm trên OB ′ . Mặt phẳng (MD ′ C) cắt BC ′ ở I và DA ′ ở J. Chứng minh rằng ba điểm I, M, J thẳng hàng. Bài 11.18 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A ′ B ′ C ′ . Gọi G và G ′ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A ′ B ′ C ′ , gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AB ′ và A ′ B. Chứng minh rằng hai đường thẳng GI và GG ′ song song với nhau. Bài 11.19 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 , gọi E, F là những điểm lần lượt nằm trên các đường chéo CA 1 , AB 1 của các mặt bên sao cho EF ∥ BC 1 . Tìm tỉ số EF BC 1 , xác định vị trí của E, F. Bài 11.20 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 , điểm M là trung điểm cạnh bên AA 1 . Trên đường chéo AB 1 , BC 1 của các mặt bên lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EF ∥ CM. Tìm tỉ số EF CM , xác định vị trí của E, F. Bài 11.21 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh bên AA 1 ,CC 1 . Hai điểm E, F lần lượt trên các đường thẳng CM, AB 1 sao cho EF ∥ BN. Tìm tỉ số EF BN , xác định vị trí của E, F. Bài 11.22 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 . Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh bên AA 1 , BB 1 ,CC 1 sao cho AM AA 1 = B 1 N BB 1 = C 1 P CC 1 = 3 4 . Hai điểm E, F lần lượt trên các đường thẳng CM, A 1 N sao cho EF ∥ B 1 P. Tìm tỉ số EF B 1 P . Bài 11.23 : Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Chứng minh rằng tồn tại điểm M duy nhất thuộc đường thẳng AC và điểm N duy nhất thuộc DC 1 sao cho MN ∥ BD 1 . Tính tỉ số MN BD 1 . Bài 11.24 : Cho hình lập phương ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc AD ′ và DB sao cho −−→ MA = k −−−→ MD ′ , −−→ ND = k −−→ NB (k  0, k  1). 1. Chứng minh rằng MN ∥ (A ′ BC) ; 2. Khi đường thẳng MN ∥ A ′ C, chứng minh rằng MN vuông góc với AD ′ và DB. Bài 11.25 : Cho hình hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm CD và DD ′ ; G, G ′ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A ′ D ′ MN và BCC ′ D ′ . Chứng minh rằng đường thẳng GG ′ và mặt phẳng (ABB ′ A ′ ) song song với nhau. Vấn đề 4 : Chứng minh các vectơ đồng phẳng  Muốn chứng minh các vectơ −→ a , −→ b , −→ c đồng phẳng chúng ta có thể : 1. Dựa vào định nghĩa : Chứng tỏ các vectơ −→ a , −→ b , −→ c có giá cùng song song với một mặt phẳng. 2. Ba vectơ −→ a , −→ b , −→ c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho −→ c = m −→ a + n −→ b , trong đó −→ a , −→ b là hai vectơ không cùng phương. Bài 11.26 : Cho hình hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Hãy xét sự đồng phẳng của các vectơ : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 204 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. −−→ AB, −−−→ A ′ C ′ , −−−→ B ′ D ′ ; 2. −−→ AB, −−→ BB ′ , −−−→ B ′ C ′ ; 3. −−→ AB, −−−→ B ′ D, −−−→ C ′ D ′ . Bài 11.27 : Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho −−→ AM = 3 −−−→ MD và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho −−→ NB = −3 −−→ NC. Chứng minh rằng ba vectơ −−→ AB, −−→ DC, −−−→ MN đồng phẳng. Bài 11.28 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABFE và K là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành BCGF. Chứng minh rằng ba vectơ −−→ BD, −→ IK, −−→ GF đồng phẳng. Bài 11.29 : Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM AC = BN BD = k (k > 0). Chứng minh rằng ba vectơ −−→ PQ, −−→ PM, −−→ PN đồng phẳng. Bài 11.30 : Cho hai hình bình hành ABCD và AB ′ C ′ D ′ có chung đỉnh A. Chứng minh rằng các vectơ −−→ BB ′ , −−−→ CC ′ , −−−→ DD ′ đồng phẳng. Bài 11.31 : Cho hai ngũ giác đều OABCD và OA ′ B ′ C ′ D ′ có chung đỉnh O và nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Chứng minh rằng các vectơ −−→ AA ′ , −−→ BB ′ , −−−→ CC ′ , −−−→ DD ′ đồng phẳng. Bài 11.32 : Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AD và BB 1 sao cho AM = BN. Chứng minh rằng ba vectơ −−−→ MN, −−→ AB, −−−→ B 1 D đồng phẳng. Bài 11.33 : Cho tứ diện OABC. Gọi M, N, P là ba điểm trong không gian được xác định từ các hệ thức vectơ sau : −−→ OM = −−→ OA + α −−→ OB − 2 −−→ OC; −−→ ON = (α + 1) −−→ OA + 2 −−→ OB + −−→ OC; −−→ OP = (α − 2) −−→ OB + 2 −−→ OC với α là số thực. Tìm α để ba vectơ −−→ OM, −−→ ON, −−→ OP đồng phẳng. Bài 11.34 : Cho góc tam diện Oxyz. Chứng minh rằng các phân giác trong của các góc  yOz,  zOx và phân giác ngoài của  xOy thuộc một mặt phẳng. Bài 11.35 : Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Gọi α là mặt phẳng đi qua đỉnh D 1 song song với DA 1 và AB 1 . Mặt phẳng này cắt đường thẳng BC 1 tại M, và giả sử −−→ BM = k −−−→ BC 1 . Hãy tính k ? Bài 11.36 : Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q là trung điểm các cạnh AB và CD. R, S là hai điểm theo thứ tự thuộc hai cạnh AC và BD sao cho AR AC = BS BD . Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng. Bài 11.37 : Cho lăng trụ ABC.A ′ B ′ C ′ . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB ′ và A ′ C ′ . Điểm K thuộc B ′ C ′ sao cho −−−→ KC ′ = −2 −−−→ KB ′ . Chứng minh rằng bốn điểm A, I, J, K cùng thuộc một mặt phẳng. Bài 11.38 : Cho tứ diện ABCD ; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD ; M là điểm thuộc AC sao cho −−→ MA = k 1 −−→ MC ; N là điểm thuộc BD sao cho −−→ NB = k 2 −−→ ND. Chứng minh rằng các điểm I, J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k 1 = k 2 . Bài 11.39 : Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC,CD, DA sao cho −−→ AM = 1 3 −−→ AB, −−→ BN = 2 3 −−→ BC, −−→ AQ = 1 2 −−→ AD, −−→ DP = k −−→ DC. Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên một mặt phẳng. 11.2 Hai đường thẳng vuông góc Vấn đề 1 : Tính góc giữa hai vectơ  1. Dùng trực tiếp định nghĩa : Nếu −−→ OA = −→ a , −−→ OB = −→ b thì ( −→ a , −→ b ) = ( −−→ OA, −−→ OB) =  AOB. Đặ c biệt • Góc giữa hai vectơ chung gốc hoặc chung ngọn tính bởi công thức ( −−→ OA, −−→ OB) = ( −−→ AO, −−→ BO) =  AOB. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 205 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC • Góc giữa hai vectơ có gốc của vectơ này là ngọn của vectơ kia tính bởi công thức ( −−→ AO, −−→ OB) = ( −−→ OA, −−→ BO) = 180 ◦ − ( −−→ OA, −−→ OB) = 180 ◦ −  AOB. 2. Dùng hệ quả của tích vô hướng : cos( −→ u , −→ v ) = −→ u . −→ v | −→ u|.| −→ v| . Bài 11.40 : Cho tứ diện đều ABCD, gọi H là trung điểm AB. Tính góc giữa các cặp vectơ sau: 1. −−→ AC và −−→ CD; 2. −−→ CH và −−→ CD. Bài 11.41 : Cho hình lập phương ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Tính góc giữa các cặp vectơ sau: 1. −−−→ A ′ C ′ và −−→ AB; 2. −−−→ A ′ C ′ và −−→ AB ′ ; 3. −−→ A ′ B và −−−→ B ′ D ′ . Bài 11.42 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm AB. Tính góc giữa hai vectơ −−→ OM và −−→ BC. Bài 11.43 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có S A = S B = SC = AB = AC = a và BC = a √ 2. Tính góc giữa hai vectơ −−→ AB và −−→ SC. Vấn đề 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng a và b  1. Dùng trực tiếp định nghĩa : Lấy hai đường thẳng a ′ và b ′ cùng đi qua một điểm lần lượt song song hoặc trùng với a và b. Góc giữa a và b bằng góc giữa a ′ và b ′ . 2. Tính qua góc giữa hai vectơ, cụ thể • Nếu (  −−→ AB, −−→ CD) ≤ 90 ◦ thì (  AB,CD) = (  −−→ AB, −−→ CD). • Nếu (  −−→ AB, −−→ CD) > 90 ◦ thì (  AB,CD) = 180 ◦ − (  −−→ AB, −−→ CD). Nếu tính theo phương pháp vectơ thì cos(AB,CD) = ¬ ¬ ¬ ¬ cos(  −−→ AB, −−→ CD) ¬ ¬ ¬ ¬ . Bài 11.44 : Cho hình lập phương ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: 1. AC và DA ′ ; 2. BD và AC ′ . Bài 11.45 : Cho tứ diện OABC, có OA = OB = OC = a và OA⊥OB, OB⊥OC, OC⊥OA. Gọi M là trung điểm của OB. Tính côsin góc giữa các cặp đường thẳng : 1. AM và BC ; 2. AM và OP, với P là trung điểm BC. Bài 11.46 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh bên S A = AB và S A⊥BC. 1. Tính góc giữa hai đường thẳng S D và BC. 2. Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc S B và S D sao cho IJ ∥ BD. Chứng minh rằng góc giữa hai đường thẳng AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J. Bài 11.47 : Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của BC. Tính côsin góc giữa hai đường thẳng AB và DM. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 206 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 11.48 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = a √ 3. Bài 11.49 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm trên cạnh AB (M không trùng với A và B). Tìm vị trí của M để mặt phẳng qua M và vuông góc với AC, BD cắt tứ diện theo thiết diện có diện tích lớn nhất. Vấn đề 3 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc  Muốn chứng minh AB⊥CD ta thường chứng minh góc giữa AB và CD bằng 90 ◦ hoặc chứng minh −−→ AB. −−→ CD = 0. Bài 11.50 : Cho hình lập phương ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB ′ . Chứng minh rằng MN⊥A ′ C. Bài 11.51 : Cho tứ diện ABCD có ABD là tam giác đều cạnh a, BCD là tam giác cân có CB = b, AC = c. 1. Chứng minh rằng AC⊥BD ; 2. Tính cosin góc giữa hai vectơ −−→ AB, −−→ CD. Bài 11.52 : Trên các đường chéo D 1 A, A 1 B, B 1 C,C 1 D của các mặt của hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 lấy các điểm M, N, P, Q sao cho : −−−−→ D 1 M = k −−−→ D 1 A; −−→ BN = k −−−→ BA 1 ; −−−→ B 1 P = k −−−→ B 1 C; −−→ DQ = k −−−→ DC 1 . Tìm số thực k để MN⊥PQ. Bài 11.53 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng OA⊥CD. Bài 11.54 : Cho hình lập phương ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ có cạnh bằng a. Trên các cạnh DC và BB ′ ta lần lượt lấy các điểm M, N không trùng với đầu mút sao cho DM = BN. Chứng minh rằng AC ′ ⊥MN. Bài 11.55 : Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BD, BC, AD và có MN = PQ. Chứng minh rằng AB⊥CD. Bài 11.56 : Cho hình hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC⊥B ′ D ′ . Chứng minh rằng nếu  ABC =  B ′ BA =  B ′ BC = 60 ◦ thì A ′ B ′ CD là hình vuông. Bài 11.57 : Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng BC, AD sao cho −−→ MB = k −−→ MC và −−→ NA = k −−→ ND, với k là số thực khác 0 cho trước. Đặt α = ( −−−→ MN, −−→ BA), β = ( −−−→ MN, −−→ CD). Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để α = β = 45 ◦ . Bài 11.58 : Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. 1. Chứng minh rằng AD⊥BC. 2. Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, DB sao cho −−→ MA = k −−→ MB, −−→ ND = k −−→ NB. Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC. Bài 11.59 : Cho tứ diện ABCD có CD = 4 3 AB. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD. Biết JK = 5 6 AB, tính góc giữa các đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB. Bài 11.60 : Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Đặt α, β, γ là góc giữa BC và AD, AC và BD, AB và CD. Chứng minh rằng trong ba số hạng a 2 cos α, b 2 cos β, c 2 cos γ có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại. 11.3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Vấn đề 1 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)  1. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt cắt nhau và nằm trong (P). TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 207 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2. Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (P). 3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với (Q) mà (Q) song song với (P). Bài 11.61 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm BC. 1. Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với S I tại H. Chứng minh rằng AH⊥(S BC). 2. Gọi G 1 ,G 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và S BC. Chứng minh rằng G 1 G 2 ⊥(ABC). Bài 11.62 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và S A = SC. 1. Chứng minh rằng AC⊥(S BD). 2. Kẻ đường thẳng qua S vuông góc với (ABCD) tại I. Chứng minh rằng I cách đều A và C. Bài 11.63 : Cho hình chóp S.ABC có S A = S B = SC = a,  AS B = 90 ◦ ,  BSC = 60 ◦ ,  ASC = 120 ◦ . Gọi O là trung điểm cạnh AC. Chứng minh rằng S O⊥(ABC). Bài 11.64 : Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều, gọi I là trung điểm cạnh BC. 1. Chứng minh rằng BC⊥(AID). 2. Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng AH⊥(BCD). Bài 11.65 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a √ 3, mặt bên S BC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D và có S D = a √ 5. 1. Chứng minh rằng S A⊥(ABCD) và tính S A. 2. Mặt phẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD tại I, J. gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của S B, S D với (HIJ). Chứng minh rằng AK⊥(S BC), AL⊥(SCD). 3. Tính diện tích tứ giác AKHL. Bài 11.66 : Cho tam giác ABC. Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và (β) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau và giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Bài 11.67 : Cho hình chóp S .ABC có S A = S B = SC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABC. Chứng minh rằng S O⊥(ABC). Hãy tổng quát hóa bài toán. Bài 11.68 : Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác cân, có AB = AC = a và  BAC = 120 ◦ , đồng thời S A = S B = SC = 2a. Gọi D là điểm đối xứng của A qua trung điểm của BC. 1. Chứng minh rằng BC⊥(S AD); 2. Tính góc giữa S B và (ABC). Bài 11.69 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông (  A = 90 ◦ ), đáy lớn AD = 2a và AB = BC = a, đồng thời S A = SC = S D. Gọi M là trung điểm AD. Chứng minh rằng S M⊥(ABCD) và AC⊥(S BM). Vấn đề 2 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau  1. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia. 2. Dùng định lí ba đường vuông góc : Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a ′ của a trên (P). 3. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng song song với đường thẳng kia. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 208 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 11.70 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh S A⊥(ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh S B, SC,S D. 1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB), CD⊥(S AD), BD⊥(S AC). 2. Chứng minh rằng SC⊥(AHK) và điểm I ∈ (AHK). 3. Chứng minh rằng HK⊥(S AC), từ đó suy ra HK⊥AI. Bài 11.71 : Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có S A = SC, S B = S D. 1. Chứng minh rằng S O⊥(ABCD). 2. Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh BA, BC. Chứng minh rằng IK⊥(S BD) và IK⊥S D. Bài 11.72 : Cho tứ diện ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một. Bài 11.73 (Bài toán cơ bản) : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H. Chứng minh rằng: 1. OA⊥BC, OB⊥CA, OC⊥AB. 2. H là trực tâm của tam giác ABC. 3. 1 OH 2 = 1 OA 2 + 1 OB 2 + 1 OC 2 . 4. Tam giác ABC nhọn 5. sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 1, trong đó α, β, γ là góc giữa các đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). 6. S 2 ∆ABC = S 2 ∆OAB + S 2 ∆OBC + S 2 ∆OCA . Bài 11.74 : Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh các mặt bên của hình chóp đã cho là các tam giác vuông. Bài 11.75 : Cho chóp S .ABC có tam giác ABC vuông tại B, S A⊥(ABC). 1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB). 2. Gọi AH là đường cao của tam giác S AB. Chứng minh rằng AH⊥SC. Bài 11.76 : Cho hình chóp S .ABCD, đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên S AB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S . Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, CD. 1. Tính các cạnh của tam giác S IJ và chứng minh rằng S I⊥(SCD), S J⊥(S AB). 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng S H⊥AC. 3. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM⊥S A. Tính AM theo a. Bài 11.77 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên S AB là tam giác đều và SC = a √ 2. Gọi H, K là trung điểm AB, AD. 1. Chứng minh rằng S H⊥(ABCD) ; 2. Chứng minh rằng AC⊥S K,CK⊥S D. Bài 11.78 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ′ B ′ C ′ . Gọi H là trực tâm tam giác ABC và biết rằng A ′ H⊥(ABC). Chứng minh rằng 1. AA ′ ⊥BC và AA ′ ⊥B ′ C ′ . 2. Gọi MM ′ là giao tuyến của mặt phẳng (AHA ′ ) với mặt bên BCC ′ B ′ , trong đó M ∈ BC và M ′ ∈ B ′ C ′ . Chứng minh rằng tứ giác BCC ′ B ′ là hình chữ nhật và MM ′ là đường cao của hình chữ nhật đó. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 209 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 11.79 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên S A vuông góc với mặt đáy là (ABC). Gọi D là điểm đối xứng của B qua trung điểm O của cạnh AC. Chứng minh rằng CD⊥CA, CD⊥(SCA). Bài 11.80 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và S A = a, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm M của cạnh AB; gọi N là trung điểm AD. 1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB) và CN⊥(S D). 2. Tính góc giữa hai đường thẳng S D và AC. Bài 11.81 : Cho hình chóp S .ABCD có ABCD là hình chữ nhật và S A = S B. Chứng minh rằng CD⊥(S IJ), trong đó I, J tương ứng là trung điểm của AB và CD. Bài 11.82 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A; S A⊥(ABC) và H thuộc cạnh AC và thỏa mãn S H 2 = HA.HC. Chứng minh rằng SC⊥(S AB). Bài 11.83 : Cho hình chóp S .ABC có  BSC = 120 ◦ ;  CS A = 60 ◦ ;  AS B = 90 ◦ và S A = S B = SC. Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông và S I⊥(ABC), trong đó I là trung điểm của BC. Vấn đề 3 : Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)  1. Sử dụng định nghĩa : Nếu a không vuông góc với (P) thì góc giữa a và (P) bằng góc giữa a và hình chiếu vuông góc a ′ của a trên mặt phẳng (P). 2. Nếu a ∥ (P) hoặc a ⊂ (P) thì góc giữa a và (P) bằng 0 ◦ . 3. Nếu a⊥(P) thì góc giữa a và (P) bằng 90 ◦ . 4. Nếu a không vuông góc với (P) và cắt (P) tại A, ta chọn một điểm B trên a (B không trùng với A) và xác định hình chiếu vuông góc H của B lên (P). Khi đó góc giữa a và (P) bằng  BAH. (P) A B H ϕ a a ′ Bài 11.84 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a. Tính góc giữa nỗi cạnh bên của hình chóp với mặt đáy. Bài 11.85 : Cho hình chóp tứ giác S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a √ 6. Tính góc giữa 1. SC và (ABCD); 2. SC và (S AB); 3. S B và (S AC); 4. AC và (S BC). Bài 11.86 : Cho lăng trụ đều ABC.A ′ B ′ C ′ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA = a √ 2. 1. Tính góc giữa đường thẳng BC ′ và (ABB ′ A ′ ). TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 210 www.VNMATH.com www.VNMATH.com [...]... chiếu vuông góc của O lên MN Tính độ dài đoạn OH Từ đó chứng minh AH⊥HC và (AMN)⊥(CMN) Vấn đề 3 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) 1 Lấy mặt phẳng (Q) chứa a mà (Q)⊥(P), (P) ∩ (Q) = c rồi chứng minh a⊥c 2 Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với (P) Bài 11.127 : Cho tam giác ABC vuông tại B Một đoạn AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) Từ điểm A trong. .. phẳng (P) chứa AN và vuông góc với (S BC), trong đó N là trung điểm của CD 11.5 Khoảng cách Vấn đề 1 : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ cho trước 1 Trong mặt phẳng xác định bởi điểm M và đường thẳng ∆ vẽ MH⊥∆) tại H Ta có d(M, ∆) = MH 2 Trong không gian dựng mặt phẳng (α) qua M và (α)⊥∆, cắt ∆ tại H Ta có d(M, ∆) = MH Bài 11.143 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O, cạnh... (A07) : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lân lượt là trung điểm các cạnh S B, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP √ Bài 11.319 (B08) : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, S A = a, S B = a 3 và mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt đáy Gọi M, N lần lượt... tứ giác B′ MDN là hình vuông 3 Khi tứ giác B′ MDN là hình vuông, hãy tính góc giữa hai mặt phẳng (B′ MDN) và (ABCD) Vấn đề 2 : Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc 1 Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 90◦ 2 Chứng minh (P) chứa đường thẳng a, trong đó a⊥(Q) Bài 11.121 : Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I Trên đường thẳng vuông góc với √ a 6 mặt... hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là hai điểm a 3a nằm trên BC, DC sao cho BM = ; DN = Chứng minh rằng (S AM)⊥(S MN) 2 4 Bài 11.125 : Cho hình chóp tam giác đều S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Tính đường cao S O theo a để hai mặt phẳng (S AB) và (S AC) vuông góc với nhau Bài 11.126 : Cho hình vuông ABCD tâm O và có cạnh bằng a Trên hai tia Bx và Dy cùng vuông. .. A và vuông góc với trung tuyến S I của tam giác S BC 3 (α) qua trung điểm M của S C và vuông góc với BC Bài 11.99 : Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S AB là tam giác đều nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy M là trọng tâm của tam giác BCD, (α) đi qua M và vuông góc với AB, (β) đi qua M và vuông góc với CJ (J là điểm giữa đoạn AB) Hãy xác định và tính diện tích các thiết diện... Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, các cạnh AB = a 2, AD = a, tam giác S AB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm AB 1 Chứng minh rằng S M⊥(ABCD); BC⊥(S AB) và AC⊥S D 2 Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (S CD) Bài 11.130 : Cho hình vuông ABCD Gọi S là điểm trong không gian sao cho S AB là tam giác đều và (S AB)⊥(ABCD) 1 Chứng minh rằng (S AB)⊥(S AD) và (S AB)⊥(S... Bài 11.135 : Cho hai hình vuông ABCD và ABEF cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau Trên hai cạnh AC, BF lần √ lượt lấy hai điểm M và N sao cho AM = BN = x (0 < x < a 2) 1 Chứng minh rằng AF⊥(ABCD) 2 Gọi M1 là hình chiếu vuông góc của M trên AB Chứng minh rằng MM1 ⊥M1 N và MN ∥ (CDEF) 3 Tính MN theo a và x Tìm x để MN nhỏ nhất 4 Khi MN nhỏ nhất hãy chứng minh MN vuông góc với AC, BF và... phẳng (Q) vuông góc √ x 3 với AC Đặt CM = 2 1 Tùy theo x, khảo sát hình dạng của thiết diện của hình chóp cắt bởi (Q) Tính diện tích của thiết diện 2 Tìm x để diện tích thiết diện đạt giá trị lớn nhất Bài 11.107 : Cho hình chóp S ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với AB = a, ABC = 600 Cạnh S C = a và vuông góc với (ABC) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua M ∈ S A và vuông. .. mặt phẳng (P) Bước 1 : Dựng mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với (P) Bước 2 : Gọi c là giao tuyến của (P) và (Q) Trong (Q) kẻ đường thẳng qua A vuông góc với c tại H, AH chính là đường thẳng cần dựng và AH là khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P) Nếu đã biết khoảng cách từ B đến (P), để tính khoảng cách từ A đến (P) chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ sau : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 . WWW.VNMATH.COM Chương 11 Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Sau khi học xong chương này, học sinh cần biết : 1. Để có hai đường thẳng d và d ′ vuông góc, có thể. chéo vuông góc là S = 1 2 tích hai đường chéo. 11. 1 Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ Vấn đề 1 : Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không