WWW.VNMATH.COM Chương 12 Mặt cầu và khối tròn xoay 12.1 Mặt cầu, khối cầu  Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp; điều kiện cần và đủ để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là một hình lăng trụ đứng và có đáy là một đa giác có đường tròn ngoại tiếp. Phương pháp chung để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và khối lăng trụ là : (i) Xác định tâm (đường tròn ngoại tiếp) của đa giác đáy. (ii) Xác định trục của đáy (là đường thẳng qua tâm đáy và vuông góc với đáy). (iii) Xác định mặt trung trực của một cạnh bên. Mặt trung trực này cắt trục của đáy tại đâu thì đó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp. Chú ý : 1. Nếu có một cạnh bên nào đó vuông góc với đáy (tổng quát là đồng phẳng với trục của đáy), ta thay việc dựng mặt phẳng trung trực bởi dựng đường trung trực của cạnh bên này trong mặt phẳng tạo bởi đường trung trực và trục của đáy. 2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp cũng có thể xác định là giao của trục của đa giác đáy và trục của một mặt bên. Bài 12.1 : Cho tam giác cân ABC có  BAC = 120 ◦ và đường cao AH = a √ 2. Trên đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy hai điểm I và J ở về hai phía của điểm A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vuông cân. 1. Tính theo a độ dài các cạnh của tam giác ABC. 2. Tính theo a độ dài AI, AJ. 3. Chứng minh rằng BIJ,CIJ là các tam giác vuông. 4. Xác định tâm và tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC. 5. Xác định tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC. Bài 12.2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi B ′ ,C ′ , D ′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên S B, SC, S D. Chứng minh rằng 1. Các điểm A, B ′ ,C ′ , D ′ đồng phẳng. 2. Bảy điểm A, B, C, D, B ′ ,C ′ , D ′ nằm trên một mặt cầu. 3. Hình chóp S .ABCD nội tiếp một mặt cầu. 239 WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 12.3 : Cho tam giác ABC vuông tại C. Đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A. Điểm S thay đổi trên ∆ (S khác A). Hạ AD⊥S C và AE⊥S B. Chứng minh rằng 1. Các điểm A, B,C, D, E thuộc cùng một mặt cầu. 2. Bốn điểm B, C, D, E cùng một đường tròn. Bài 12.4 : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc ϕ. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 12.5 : Cho tứ diện ABCD có bán kính mặt cầu nội tiếp r. Gọi S tp là tổng diện tích các mặt của tứ diện; h A , h B , h C , h D lần lượt là độ dài đường cao xuất phát từ A, B, C, D của tứ diện. Chứng minh rằng 1. V ABCD = 1 3 r.S tp . 2. 1 r = 1 h A + 1 h B + 1 h C + 1 h D . Bài 12.6 : Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của S B và S D. Biết AM⊥CN. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Bài 12.7 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy, cạnh bên S B = a √ 3. 1. Tính thể tích khối chóp S .ABCD. 2. Chứng minh rằng trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Bài 12.8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều, AB = 2a, BC = CD = DA = a, S A vuông góc với đáy, S A = h. Mặt phẳng qua A vuông góc với S B, cắt S B, S C, S D lần lượt tại B ′ ,C ′ , D ′ . 1. Chứng minh rằng tứ giác A, B ′ ,C ′ , D ′ nội tiếp một đường tròn. 2. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B ′ ,C ′ , D ′ thuộc cùng một mặt cầu. 3. Tính thể tích khối chóp S .AB ′ C ′ D ′ . 4. Tính diện tích tứ giác AB ′ C ′ D ′ . Bài 12.9 : Cho tứ diện ABCD có AB = CD = c, AD = BC = a, AC = BD = b. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Bài 12.10 : Cho tứ diện OABC vuông tại O, OA = a, OB = b, OC = c. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Bài 12.11 : Cho tứ diện OABC vuông tại O. Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp, chiều cao kẻ từ O của tứ diện. Chứng minh rằng 1. h r ≤ 1 + √ 3. 2. R r ≥ 3 + 3 √ 3 2 . Bài 12.12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, S A vuông góc với đáy, SC tạo với đáy góc 45 ◦ và tạo với mặt phẳng (S AB) góc 30 ◦ . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 12.13 : Cho tam giác đều ABC. Đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A. Điểm M thay đổi trên ∆. Kẻ BE⊥AC, BF⊥MC (E ∈ AC, F ∈ MC). Đường thẳng EF cắt đường thẳng ∆ tại N. Chứng minh rằng 1. AM.AN không đổi. 2. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNBC có tâm thuộc đường thẳng cố định. Bài 12.14 : 1. Cho hình lập phương ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và tính bán kính mặt cầu (tính theo a) trong các trường hợp sau : (a) Mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương ; (b) Mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương ; (c) Mặt cầu tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 240 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2. Chứng minh rằng : có vô số mặt cầu đi qua hai điểm cố định A và B cho trước. Hãy tìm tập hợp tâm các mặt cầu đó. Bài 12.15 : 1. Cho hai đường tròn C 1 và C 2 có tâm O 1 và O 2 . Hai đường tròn này nằm trong hai mặt phẳng khác nhau và có chung nhau dây cung AB. Chứng minh rằng có duy nhất một mặt cầu đi qua cả hai đường tròn C 1 và C 2 . 2. Cho đường thẳng a cố định và một điểm M cố định không thuộc đường thẳng a. Gọi O là một điểm di động trên đường thẳng a. Vẽ mặt cầu (S ) có tâm O và bán kính R = OM. Chứng minh rằng : mặt cầu (S ) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định. Bài 12.16 : 1. Cho mặt cầu S (O; R) và một điểm A sao cho OA = 2R. Qua A kẻ một tiếp tuyến tới mặt cầu (và giả sử B là tiếp điểm) và kẻ một cát tuyến cắt mặt cầu tại C và D, biết : CD = R √ 3. (a) Tính độ dài AB theo R ; (b) Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng CD. 2. Cho mặt cầu S (O; R) và một điểm A thuộc mặt cầu này. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (Q) là 30 ◦ . (a) Tính diện tích thiết diện (theo R) của mặt cầu với mặt phẳng (Q). (b) Kẻ đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (Q). Đường thẳng ∆ cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài cạnh AB theo R. Bài 12.17 : 1. Cho mặt cầu S(O; R) tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm I. Gọi M là điểm thuộc mặt cầu này. Từ M kẻ hai tiếp tuyến với mặt cầu S(O; R) sao cho hai tiếp tuyến này cắt mặt phẳng (Q) tại A và B. Biết MA⊥MB. Chứng minh rằng : AB 2 = IA 2 + IB 2 . 2. Cho mặt phẳng (Q) và hai điểm A và B cố định nằm về một phía của mặt phẳng (Q) sao cho đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Q) tại điểm I. Gọi mặt cầu S (O; R) là mặt cầu thay đổi nhưng luôn đi qua A và B đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (Q). Gọi M là tiếp điểm của mặt cầu S (O; R) với mặt phẳng (Q). Chứng minh rằng : điểm M di động trên một đường tròn cố định C nào đó. Bài 12.18 : 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Hãy xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó theo a và b. 2. Cho ba đoạn thẳng S A, S B, SC đôi một vuông góc với nhau tạo thành một tứ diện S ABC, với S A = a, S B = b, SC = c. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó theo a, b, c. Bài 12.19 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A ′ B ′ C ′ có 9 cạnh đều bằng a. 1. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngaoij tiếp hình lăng trụ đã cho ; 2. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu nói trên (tính theo a). Bài 12.20 : Cho hình chóp S.ABC có S A = S B = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó (tính theo a và h). Tính diện tích của mặt cầu đó. Bài 12.21 : Trong mặt phẳng (Q) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Lấy một điểm S thuộc đường thẳng Ax vuông góc với (Q). Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. Mặt phẳng (P) cắt S B, SC,S D lần lượt tại M, N, E. 1. Chứng minh rằng : bảy điểm A, B,C, D, M, N, E là cùng thuộc một mặt cầu. 2. Tính diện tích của mặt cầu đó theo a và thể tích của khối cầu đó. Bài 12.22 : Cho tứ diện S ABC có S A⊥(ABC) và S A = a, S B = b, SC = c. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đã cho trong các trường hợp sau : 1. có  BAC = 90 ◦ ; 2. có  BAC = 60 ◦ và b = c ; 3. có  BAC = 120 ◦ và b = c. Bài 12.23 : Cho mặt cầu S (O;R) và mặt phẳng (Q) cách tâm O một khoảng bằng h (0 < h < R). Mặt phẳng cắt mặt cầu (Q) theo đường tròn C . Vẽ đường thẳng d đi qua điểm A cố định thuộc đường tròn C và d⊥(Q). Đường thẳng d cắt mặt cầu S (O;R) tại B. Gọi CD là đường kính di động của đường tròn C . 1. Chứng minh rằng : AD 2 + BC 2 và AC 2 + BD 2 là không đổi. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 241 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2. Tìm vị trí của đường kính CD để diện tích tam giác BCD là lớn nhất. 3. Kẻ BH⊥CD với H ∈ CD. Tìm tập hợp điểm H khi CD di động. Bài 12.24 : Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD. Bài 12.25 : Cho hình chóp S.ABCD có S A = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, có AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE. Bài 12.26 : Cho hình cầu đường kính AA ′ = 2R. Gọi H là điểm trên đoạn AA ′ sao cho AH = 4R 3 , mặt phẳng (Q) đi qua H và vuông góc với AA ′ cắt hình cầu theo đường tròn C . 1. Tính diện tích đường tròn C ; 2. Giả sử tam giác BCD là tam giác đều nội tiếp đường tròn C . Hãy tính thể tích hình tứ diện ABCD và A ′ BCD theo R. Bài 12.27 : 1. Chứng minh rằng : Nếu tứ diện ABCD có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của nó thì tứ diện đó có tổng các cặp cạnh đối diện là bằng nhau. 2. Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a √ 2. Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai cạnh S B, SC tại E và F là trung điểm của mỗi cạnh. (a) Chứng minh rằng : mặt cầu đó đi qua M và N là trung điểm của AB và AC. (b) Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng S A là D. Tính độ dài của AD và S D. Bài 12.28 : Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = BD = a, AD = b và mặt phẳng (ACD)⊥(BCD). 1. Chứng minh rằng : ACD là tam giác vuông ; 2. Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ; 3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bài 12.29 : Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Vẽ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi S là một điểm bất kì trên d với S  A. 1. Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC ; 2. Cho S A = h cho trước. Hãy tính diện tích và thể tích của hình cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC ; 3. Gọi A ′ là điểm đối xúng của A qua tâm mặt cầu nói trên. Chứng minh rằng : khi S thay đổi trên đường thẳng d thì A ′ luôn thuộc một đường thẳng cố định. Bài 12.30 : Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua cạnh BC và (P)⊥(ABC). Gọi (C ) là đường tròn đường kính BC và đường tròn này nằm trong mặt phẳng (P). Gọi S là điểm di động trên đường tròn (C ). Chứng minh rằng : 1. Tổng T = S A 2 + S B 2 + SC 2 là một số không đổi ; 2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC là một điểm cố định (nếu S  B và C). Bài 12.31 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao S H = a 2 . 1. Chứng minh rằng : tồn tại mặt cầu tâm H tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp. Tính bán kính R của mặt cầu đó theo a. 2. Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (ABCD) và khoảng cách giữa hai mặt phẳng này là x, với 0 < x < R. Gọi S td là diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (Q) với hình chóp nhưng nó bỏ đi phần nằm trong mặt cầu. Hãy xác định x để S td = πR 2 . Bài 12.32 : Cho hình chóp S .ABCD với đáy ABCD là tứ giác có AC⊥BD tại H và S H là đường cao của hình chóp đã cho. 1. Chứng minh rằng : bốn tâm mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S .HAB, S .HBC, S.HCD, S .HDA là bốn điểm O 1 , O 2 , O 3 , O 4 sẽ tạo thành hình chữ nhật. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 242 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2. Gọi M, N, E, F là hình chiếu của điểm H lần lượt trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng : hình chóp S .MNEF có mặt cầu ngoại tiếp. Tính diện tích thiết diện của mặt cầu ấy khi cắt bởi (ABCD), nếu biết ME = a,  BAC = α ◦ và  BDC = β ◦ . Bài 12.33 : Cho hình chóp S .ABC có S A⊥(ABC); AB = c, AC = b,  BAC = α ◦ . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trênS B, SC. Chứng minh rằng : các điểm A, B, C, M, N cùng thuộc một mặt cầu và tính bán kính của mặt cầu đó theo b, c, α ◦ . Bài 12.34 : Cho hai tia Ax, By chéo nhau và Ax⊥By. Biết AB là đoạn vuông góc chung của Ax và By. Lấy một điểm C thuộc tia Ax và điểm D thuộc tia By. 1. Tìm tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a, b, c ở đó b = AC và c = BD. 2. Cho C và D di động trên Ax và By sao cho AC + BD = CD. Chứng minh rằng : đường thẳng CD luôn tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB. Bài 12.35 : Cho trước mặt cầu tâm O bán kính R và một điểm A cố định thuộc mặt cầu. Ba tia At 1 , At 2 , At 3 là ba tia thay đổi, đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm B,C, D. 1. Chứng minh rằng : hình hộp dựng trên ba cạnh AB, AC, AD có một đường chéo cố định và mặt phẳng (BCD) luôn luôn đi qua một điểm cố định. 2. Chứng minh rằng : hình chiếu H của điểm D trên đường thẳng BC luôn thuộc một mặt cầu cố định. Bài 12.36 : Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R nằm trong mặt phẳng (P). Gọi C là điểm đối xứng với O qua A. Lấy điểm S sao cho : SC⊥(P) và SC = 2R. Tính thể tích của khối cầu đi qua đường tròn đã cho và đi qua điểm S . Bài 12.37 : Cho tam giác ABC vuông ở A có BC = 2a,  ACB = 30 ◦ . Xét hai tia Bx, Cy cùng hướng và vuông góc với mặt phẳng (ABC). 1. Hãy xác định vị trí của điểm E trên tia Bx sao cho mặt cầu đường kính BE tiếp xúc với Cy. 2. Hãy xác định vị trí điểm F thuộc tia Cy sao cho mặt cầu đường kính tiếp xúc với Bx. 3. Với các điểm E, F tìm được ở trên, hỏi đa diện ABCFE có mặt cầu ngoại tiếp không ? Hãy tính thể tích của khối đa diện đó. Bài 12.38 : Trong vô số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước. Hãy tìm hình hộp thỏa mãn một trong các tính chất sau : 1. Thể tích của hình hộp đạt giá trị lớn nhất. 2. Tổng độ dài các cạnh của hình hộp đạt giá trị lớn nhất. Bài 12.39 : 1. Trong vô số các hình chóp tam giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước. Hãy tìm hình chóp chữ số thể tích lớn nhất. 2. Hãy mở rộng bài toán cho hình chóp n-giác đều. 12.2 Mặt tròn xoay. Mặt trụ, hình trụ và khối trụ Bài 12.40 : Cho trước mặt phẳng (P) có điểm cố định A thuộc mặt phẳng (P) và điểm cố định B  (P), ở đó hình chiếu vuông góc H của điểm B lên mặt phẳng (P) là không trùng với A. Gọi M là một điểm di động trên mặt phẳng (P) sao cho  ABM =  BMH. Chứng minh rằng : điểm M luôn nằm trên một mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng AB. Bài 12.41 : Cho mặt trụ tròn xoay (T ) và một điểm S cố định nằm ngoài (T ). Gọi d là một đường thẳng thay đổi nhưng luôn đi qua S và cắt mặt trụ (T ) tại A và B. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng : trung điểm I đó luôn luôn nằm trên một mặt trụ cố định nào đó. Bài 12.42 : Một khối trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao h = R √ 3. Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) và điểm B thuộc đường tròn (O ′ ) là hai đường tròn đáy của khối trụ đã cho, sao cho góc tạo bởi đường thẳng AB và trục của khối trụ là 30 ◦ . 1. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua AB và mặt phẳng (Q) song song với trục của khối trụ. Hãy tính diện tích thiết diện của mặt phẳng (Q) với khối trụ (tính theo R). TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 243 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2. Tính góc giữa hai bán kính OA và O ′ B. 3. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB với trục của khối trụ. Bài 12.43 : Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và tâm O ′ và bán kính R. Chiều cao của hình trụ h = R √ 2. Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) và điểm B thuộc đường tròn (O ′ ) sao cho OA⊥O ′ B. 1. Chứng minh rằng : các mặt của tứ diện OABO ′ là những tam giác vuông. Tính thể tích của tứ diện này theo R. 2. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua AB và (Q) ∥ OO ′ . Tính khoảng cách giữa đường thẳng OO ′ và mặt phẳng (Q) theo R. 3. Chứng minh rằng : (Q) tiếp xúc với mặt trụ (T ) có trục OO ′ , bán kính bằng R √ 2 2 dọc theo một đường sinh. Bài 12.44 : Cho một hình trụ có đáy là hai đường tròn (O) và (O ′ ) có bán kính R = 50cm, chiều cao hình trụ là h = 50cm. 1. Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên. 2. Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) và điểm B thuộc đường tròn (O ′ ) là hai đường tròn đáy của hình trụ. Biết AB = 100cm. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ. Bài 12.45 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có S A = a và góc giữa mặt bên và đáy là α ◦ . Gọi (T ) là hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và chiều cao của hình trụ là bằng chiều cao của hình chóp S.ABC. Tính diện tích xung quanh của hình trụ (T ). Hỏi các mặt bên : S AB, S BC, SCA cắt hình trụ (T ) theo giao tuyến thế nào ? Bài 12.46 : Cho một khối trụ có chiều cao bằng 20cm và bán kính đáy bằng 10cm. Kẻ hai bán kính OA và O ′ B lần lượt nằm trên hai đáy của khối trụ sao cho góc giữa chúng bằng 30 ◦ . Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua AB ′ và (Q) song song với trục của khối trụ. Hãy tính diện tích thiết diện giữa khối trụ và mặt phẳng (Q). Bài 12.47 : Cho một khối trụ có bán kính bằng R và có thiết diện qua trục là một hình vuông. 1. Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó theo R. 2. Vẽ hình trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho. Hãy tính thể tích của lăng trụ đó theo R. 3. Gọi V là thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nói trên và V ′ là thể tích của khối trụ. Hãy tính tỉ số : V V ′ . Bài 12.48 : Một hình trụ có diện tích xung quanh là S , diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu bán kính a. Hãy tính : 1. Thể tích của hình trụ đã cho theo a và S. 2. Diện tích thiết diện đi qua trục của hình trụ. Bài 12.49 : Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục hình trụ là một hình vuông. 1. Tính thể tích và diện tích của hình cầu ngoại tiếp hình trụ theo R. 2. Một mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ, cắt đáy của hình trụ theo một dây cung có độ dài bằng bán kính đáy của hình trụ. Tính diện tích các thiết diện của hình trụ đã cho và hình cầu ngoại tiếp hình trụ khi bị cắt bởi mặt phẳng (P) (tính theo R). Bài 12.50 : Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao OO ′ = h. Gọi A và B là hai điểm thay đổi trên hai đường tròn (O) và (O ′ ) là hai đường tròn đáy sao cho AB = a không đổi (h < a < √ h 2 + 4R 2 ). 1. Chứng minh rằng : Góc giữa hai đường thẳng AB và OO ′ là không đổi. 2. Chứng minh rằng : Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO ′ là không đổi. Bài 12.51 : Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, có trục OO ′ = h. Một mặt phẳng (P) thay đổi đi qua tâm O, tạo với đáy hình trụ góc α ◦ cho trước và cắt hai đáy hình trụ theo các dây cung AB và CD (dây AB đi qua O). 1. Tính diện tích tứ giác ABCD theo R và h. 2. Chứng minh rằng : hình chiếu vuông góc K của điểm O ′ lên mặt phẳng (P) luôn luôn thuộc một đường tròn cố định. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 244 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 12.52 : Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ F ′ có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính theo a và h diện tích : 1. xung quanh và thể tích hình trụ ngoại tiếp lăng trụ đó. 2. toàn phần và thể tích hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho. Bài 12.53 : Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ có đáy ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a, đáy lớn CD = 4a, hai cạnh bên bằng 5a 2 , chiều cao lăng trụ bằng h. 1. Chứng minh rằng : tồn tại một hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho. 2. Tính diện tích toàn phần và thể tích hình lăng trụ đó theo a và h. Bài 12.54 : Cho hình trụ có trục O 1 O 2 . Một mặt phẳng (α) ∥ O 1 O 2 cắt hình trụ theo thiết diện là một hình chũ nhật ABCD. Gọi O là tâm của thiết diện đó. Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là bán kính đường tròn đáy của hình trụ đã cho. Hãy tính góc  O 1 OO 2 . Bài 12.55 : Cho một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4π. 1. Tính diện tích toàn phần của hình trụ ; 2. Tính thể tích của khối trụ ; 3. Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều nội tiếp hình trụ ; 4. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình trụ ; 5. Một mặt phẳng (α) song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ đó theo thiết diện ABB 1 A 1 . Biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của đường tròn đáy và chắn một cung tròn 120 ◦ . Hãy tính diện tích thiết diện đó. Bài 12.56 : Xét nột hình trụ nội tiếp một mặt cầu tâm O có bán kính R cho trước. Biết rằng diện tích thiết diện qua trục của hình trụ này là lớn nhất (so với các hình trụ khác cùng nội tiếp mặt cầu đã cho). 1. Tính thể tích V và diện tích toàn phần S tp của hình trụ đã cho theo R. 2. Tính thể tích của lăng trụ n-giác đều ngoại tiếp hình trụ đã cho. 3. Tính diện tích thiết diện của hình trụ khi cắt bởi một mặt phẳng song song với trục hình trụ và cách trục một khoảng bằng R 2 . Bài 12.57 : Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 nội tiếp trong một hình trụ cho trước, góc giữa đường thẳng B 1 D và (ABB 1 A 1 ) là 30 ◦ . Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt phẳng (ABB 1 A 1 ) là 3a 2 . Tính thể tích hình hộp đã cho và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình hộp, biết đường chéo của đáy hình hộp là 5a. Bài 12.58 : Cho hai điểm A, B cố định. Gọi d là một đường thẳng di động luôn luôn đi qua A và d luôn cách điểm B một khoảng bằng BH = a = AB 2 . Chứng minh rằng : đường thẳng d luôn luôn nằm trên một mặt nón tròn xoay. Bài 12.59 : Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách tới tâm O của đáy là 12cm. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng (P) với khối nón đã cho và tính diện tích thiết diện đó. Bài 12.60 : Cho hình lập phương ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ có cạnh bằng a. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón N có đỉnh là tâm O và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A ′ B ′ C ′ D ′ . Bài 12.61 : Cho một hình nón N có đỉnh là điểm D, có O là tâm đường tròn đáy, có độ dài đường sinh bằng l và có góc giữa đường sinh với mặt đáy bằng α ◦ . 1. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón N theo l và α ◦ . 2. Gọi I là một điểm trên đường cao DO của hình nón sao cho DI DO = k. Tính diện tích thiết diện của hình nón với mặt phẳng (Q) đi qua I và vuông góc với trục hình nón (tính theo l, α ◦ , k). Bài 12.62 : Cho một hình nón N có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 245 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón N đã cho (tính theo a). 2. Một mặt phẳng (Q) đi qua đỉnh của hình nón và tạo với mặt phẳng đáy góc 60 ◦ . Tính diện tích thiết diện được tạo nên bởi hình nón N và mặt phẳng (Q). Bài 12.63 : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có các cạnh bên bằng a và có góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng α ◦ . Vẽ hình nón N có đỉnh S và có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC - gọi là hình nón nội tiếp hình chóp đã cho. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón N theo a và α ◦ . Bài 12.64 : Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có chiều cao S O = h và  S AB = α ◦ (α > 45 ◦ ). Vẽ hình nón N có đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón N đó theo h và α ◦ . Bài 12.65 : Cho khối nón N có bán kính đáy R = 12cm và có góc ở đỉnh bằng 120 ◦ . Hãy tính diện tích của thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau. Bài 12.66 : Cho hình nón N có bán kính đáy bằng R, đường cao S O. Một mặt phẳng (P) cố định vuông góc với S O tại A, cắt hình nón N theo đường tròn có bán kính bằng R 1 . Gọi mặt phẳng (Q) là mặt phẳng thay đổi và vuông góc với SO tại B (điểm B nằm giữa O và A). Mặt phẳng (Q) cắt hình nón theo thiết diện là một đường tròn có bán kính bằng x. Hãy tính x theo R và R 1 nếu biết mặt phẳng (Q) chia khối tròn xoay trong hình nón nằm giữa (P) và đay hình nón thành hai phần có thể tích bằng nhau. Bài 12.67 : Cho hình nón N có bán kính đáy bằng R, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón bằng α ◦ . Một mặt phẳng (P) song song với đáy hình nón và cách đáy hình nón một khoảng bằng h, và cắt hình nón N theo một đường tròn (C ). 1. Tính bán kính của đường tròn (C ) theo R, h, α ◦ ; 2. Tính diện tích và thiết diện phần hình nón nằm giữa đáy hình nón N và mặt phẳng (P). Bài 12.68 : Cho hình nón N có bán kính đáy bằng R, đường cao S O. Lấy một điểm A thuộc đường cao S O sao cho S A = 1 3 S O. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với S O tại A. Một mặt phẳng (Q) qua trục hình nón cắt khối tròn xoay nằm trong khối nón N - khối đó nằm giữa mặt phẳng (P) và đáy hình nón - theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau. Hãy tính thể tích khối tròn xoay của khối nón N nằm giữa (P) và mặt phẳng chứa đáy hình nón (tính theo R). Bài 12.69 : Cho hình chóp S , ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, có  B = 60 ◦ . Biết rằng có một hình nón nội tiếp hình chóp đã cho với bán kính đáy là r, góc giữa đường sinh và đáy hình nón là β ◦ . 1. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón theo r và β ◦ ; 2. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp theo r và β ◦ . Bài 12.70 : Gọi (C ) là đường tròn chứa các điểm tiếp xúc của mặt xung quanh hình nón với mặt cầu nội tiếp hình nón đó. Đường tròn (C ) chia mặt xung quanh của hình nón thành hai phần. Hãy tính tỉ số diện tích của hai phần đó, biết diện tích hình cầu bằng diện tích đáy hình nón. Bài 12.71 : Cho hình nón N có bán kính đáy R và chiều cao bằng 4R. 1. Tính diện tích toàn phần của hình trụ nội tiếp hình nón, biết bán kính đáy hình trụ bằng r - tính theo R và r (Hình trụ được gọi là nội tiếp hình nón nếu có một đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt xung quanh của hình nón và đáy còn lại của hình trụ nằm trong mặt đáy của hình nón). 2. Tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp hình nón theo R để diện tích toàn phần của hình trụ đạt giá trị lớn nhất. Bài 12.72 : 1. Tìm hình nón có thể tích lớn nhất sao cho hình nón đó phải nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước. 2. Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất sao cho hình nón đó phải ngoại tiếp một mặt cầu bán kính r cho trước. Bài 12.73 : Tìm hình tròn có thể tích lớn nhất biết diện tích toàn phần của nó bằng diện tích hình tròn có bán kính bằng a cho trước. Bài 12.74 : Đường cao của hình nón gấp hai lần bán kính đáy của nó. Tính tỉ số thể tích của hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình nón đó. Bài 12.75 : Trong tất cả các hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R cho trước, tìm hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất. Với hình nón ấy, xét hình trụ nội tiếp hình nón. Tìm chiều cao của hình trụ đó, biết thiết diện qua trục hình trụ là hình vuông. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 246 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 12.76 : Một mặt phẳng (Q) đi qua hai đường sinh của hình nón, cắt mặt đáy của hình nón theo một dây cung có độ dài gấp k lần đường cao hình nón. Gọi α ◦ là góc giữa mặt phẳng (Q) và mặt đáy của hình nón. Biết α = 1 2 góc tạo bởi hai đường sinh của hình nón mà hai đường sinh đó nằm trong (Q). Hãy tính cos α theo k. Bài 12.77 : Cho hình nón N có đỉnh S , đường cao S O. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ điểm O tới AB là bằng a. Biết  S AO = 30 ◦ và  S AB = 60 ◦ . Tính diện tích xung quanh của hình nón N theo a. Bài 12.78 : Cho hai điểm cố định A và B, ở đó AB = a. Với mỗi điểm C trong không gian sao cho tam giác ABC đều, kí hiệu AE là đường cao của tam giác ABC và d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trong mặt phẳng chứa d và AE, xét đường tròn đường kính AE. Gọi S là một giao điểm của đường tròn này và đường thẳng d. 1. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón ngoại tiếp hình chóp S .ABC (tính theo a). 2. Chứng minh rằng : khi điểm C thay đổi thì điểm S luôn thuộc một đường tròn cố định và mỗi đường thẳng S A, S B luôn thuộc một mặt nón cố định. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 247 www.VNMATH.com www.VNMATH.com WWW.VNMATH.COM WWW.VNMATH.COM CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 248 www.VNMATH.com www.VNMATH.com [...]... →, b , c a → − − − → − − − → − → − Bài 13.3 : Cho hai vectơ → và b tạo với nhau một góc 120◦ Tìm |→ + b | và |→ − b | biết |→| = 3, | b | = 5 a a a a − Bài 13.4 : Cho vectơ → = (1; −3; 4) a → − − 1 Tìm y0 và z0 để cho vectơ b = (2; y0 ; z0 ) cùng phương với → a − − − − − c a c c a 2 Tìm tọa độ của vectơ → biết rằng → và → ngược hướng và |→| = 2|→| Bài 13.5 : Cho hình hộp ABCD.A′ B′C ′ D′ , biết A(1;...www.VNMATH.com www.VNMATH.com Chương 13 Phương pháp không gian toạ độ trong không gian 13.1 Hệ toạ độ trong không gian Vấn đề 1 : Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện cho trước Sử dụng các định nghĩa có tính liên quan đến vectơ : tọa độ của vectơ, độ dài của vectơ, tổng (hiệu) của hai vectơ, tọa độ trung điểm,... A′ (0; 0; 2a) 1 Xác định toạ độ các đỉnh còn lại −− −→ 2 Xác định toạ độ DB′ 3 Xác định toạ độ trung điểm M của đoạn BA′ 4 Xác định toạ độ trọng tâm tam giác B′CD Vấn đề 2 : Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng 1 Sử dụng các công thức 249 WWW.VNMATH.COM . Chương 12 Mặt cầu và khối tròn xoay 12. 1 Mặt cầu, khối cầu  Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn. chóp n-giác đều. 12. 2 Mặt tròn xoay. Mặt trụ, hình trụ và khối trụ Bài 12. 40 : Cho trước mặt phẳng (P) có điểm cố định A thuộc mặt phẳng (P) và điểm cố định