Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương 3: Tích phân đường có cấu trúc gồm 3 phần cung cấp cho người học các kiến thức: Tham số hóa đường cong, tích phân đường loại 1, tích phân đường loại 2. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG §1: THAM SỐ HĨA ĐƯỜNG CONG §2: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI §3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong Đường cong mặt phẳng: thường cho cách a Cho pt tham số x x (t ) y y (t ) b Cho pt y=y(x): Ta thường đặt x=t pt tham số x t y f (t ) Trường hợp đặc biệt: Có trường hợp a Viết phương trình tham số đường tròn (x-a)2+(y-b)2=R2 ta đặt x a R cos t y CuuDuongThanCong.com b R sin t https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong b Viết phương trình tham số đường ellipse x2 a2 y2 b2 Ta đặt : x ar cos y br sin Đường cong không gian: thường cho cách a Được cho sẵn phương trình tham số x x (t ) y y (t ) z z( t ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong b Cho giao tuyến mặt cong: f ( x, y , z ) g ( x, y , z ) Khi đó, thơng thường ta đặt biến t, thay vào phương trình để hpt với pt ẩn biến lại Giải hpt theo tham số t, ta biến cịn lại tính theo t CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 1: Viết phương trình tham số đường cong C giao tuyến x2+y2=z2 ax=y2 (z≥0) x t Ta đặt y=t x y z2 a ax y y t z z 2 t (t a a2 ) Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường cong C giao tuyến x2=y x=z (x≥0) Ta đặt x=t CuuDuongThanCong.com y x2 x z x t y t2 z t https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong Tuy nhiên, số trường hợp thơng thường hay gặp, ta có cách tham số hóa đường cong cụ thể tùy vào điểm đặc biệt chúng Ví dụ 3: Viết pt tham số đường cong C1, C2 giao tuyến x2+y2+z2=2, z2=x2+y2 Ta có: x2 y2 z2 z2 x2 y2 x2 y2 z 1 Tức C1, C2 vừa giao tuyến mặt cầu mặt nón vừa giao tuyến mặt trụ với mặt phẳng Nói cách khác: C1, C2 đường tròn đơn vị nằm mp đối xứng qua mp z=0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong Khi đó, ta đặt x=cost suy y=sint Vậy pt tham số C x sin t y cos t z CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 4: Viết phương trình tham số đường cong C: x2+y2+z2=a2, x=y Thay x=y vào phương trình mặt cầu Ta được: 2x2+z2=a2 , pt đường ellipse Tức C đường ellipse 2x2+z2=a2 mp x=y Đặt 2x2=a2cos2t thìsuy z2=a2sin2t Vậy ta được: x x y z y a 2x x CuuDuongThanCong.com z y a x z a y cos t a sin t https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 5: Viết phương trình tham số đường cong C: x2+y2+z2=4 x2+y2=2x lấy phần ứng với z dương Từ pt mặt trụ : x2+y2=2x ↔ (x-1)2+y2=1 Ta đặt x-1=cost, suy y=sint thay vào pt mặt cầu x2 y2 z2 x2 y2 2x x cos t y sin t z 4 2(1 cos t ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 6: Viết phương trình tham số đường cong C: x2+y2+z2=6z z=3-x Ta viết lại pt mặt cầu : x2+y2+(3-z)2=9 Thay 3-z=x vào để C đường ellipse 2x2+y2=9 mp x=3-z Đặt 2x2=3cos2t, thìy2=3sin2t Vậy: x2 z x y2 z2 x 6z 2x z y2 x y z CuuDuongThanCong.com cos t sin t https://fb.com/tailieudientucntt cos t §2: Tích phân đường loại – CT Green Pdx Qdy (Qx C C1 Py )dxdy D Pdx Qdy C Pdx Qdy C1 7dxdy D Pdx Qdy C 2ydy 7S(D ) I6 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại – CT Green y x , Q( x, y ) Ví dụ 7: Cho hàm P ( x, y ) 2 x y x2 y Tính I7 Pdx Qdy với C chu tuyến kín, dương C Của hình vng |x|+|y|=1 Của hình trịn x2+y2=1 Khơng bao quanh gốc tọa độ Nhận xét : Ta có Q’x=P’y hàm P, Q không xác định gốc tạo độ O(0,0) tức đường cong C bao kín miền D chứa O ta khơng áp dụng CT Green CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại – CT Green Hình vng |x|+|y|=1 chứa O Để áp dụng CT Green, ta “khoét” phần chứa O Cụ thể, ta gọi C1 đường tròn x2+y2=r2, với r đủ nhỏ lấy chiều kim đồng hồ Áp dụng CT Green CUC1 biên dương miền D: |x|+|y|≤1, x2+y2≥r2, ta Pdx Qdy C C1 (Qx Py )dxdy D CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại – CT Green Pdx Qdy (Qx C C1 Py )dxdy D Pdx Qdy C Pdx Qdy C1 xdy I7 C1 I7 r2 ydx Đặt x=rcost, y=rsint ta r cos t r cos tdt r r sin t ( r sin tdt ) I7 = 2π CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại – CT Green C chu tuyến dương đường tròn x2+y2=1 nên ta thay vào hàm P, Q để I7 xdy ydx C Ta áp dụng CT Green để I7 = 2π CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại – CT Green Chú ý: Cách làm câu không cho C chu tuyến dương hình vng mà cịn làm tương tự C đường cong bao gốc tọa độ Tức với chu tuyến dương bao kín miền D chứa gốc tọa độ ta ln có I7 = 2π Do C không bao quanh gốc tọa độ nên ta áp dụng CT Green Vì Q’x=P’y nên ta có I7=0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI KHÔNG PHỤ THUỘC ĐƯỜNG ĐI Cho hàm P(x,y), Q(x,y) đạo hàm riêng liên tục miền mở, đơn liên D mệnh đề sau tương đương Q’x = P’y Pdx AB Pdx Qdy không phụ thuộc đường cong trơn khúc nối từ A đến B D Qdy C Với chu tuyến C kín, trơn khúc D Tồn hàm U(x,y) cho dU=Pdx+Qdy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại không phụ thuộc đường Cách làm: Thông thường, ta kiểm tra điều kiện (nếu hàm cho sẵn) Nếu điều kiện thỏa, ta có cách để tính tp: Tìm hàm U(x,y) cho dU=Pdx+Qdy tức ta giải hệ U’x=P, U’y=Q thay vào tích phân (A điểm đầu, B điểm cuối) Pdx Qdy AB dU U (B ) U ( A ) AB CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại không phụ thuộc đường Cách 2: Kiểm tra điều kiện ta chọn đường nối từ A đến B nằm hoàn toàn D đường gấp khúc theo đt song song với trục tọa độ yB xB Khi : Pdx Qdy Q( x A, y )dy P ( x, y B )dx AB yA xA Hoặc B xB yB P ( x, y A )dx xA Q( xB , y )dy yA A CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường Ví dụ 8: Tính I8 (4,2) xdy ydx (2,1) Cách 1: Tìm hàm U cho U’x=y, U’y=x Ta U(x,y)=xy Nên I8 = 4.2-2.1 = Cách 2: Kiểm tra điều kiện Q’x=P’y = 1, vìP=y, Q=x I8 dx CuuDuongThanCong.com 4dy 4.1 https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường Ví dụ 9: Tính tích phân (1,2) I9 xdy x2 (2,1) ydx theo đường cong không cắt trục Oy (1,2,3) I10 xydx (x2 z )dy 2yzdz (0,0,0) Tìm hàm U cho : U x y U Ta x (1,2) I9 dU (2,1) CuuDuongThanCong.com U (1,2) U (2,1) y x ,U y x x2 https://fb.com/tailieudientucntt x §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường 10 Ta tìm hàm U(x,y,z) cho dU=Pdx+Qdy+Rdz Suy U’x=2xy, U’y=x2-z2, U’z=-2yz Đạo hàm theo x U 2xy thìngun hàm chắn có số hạng x2y Đạo hàm theo y U có x2-z2 chắn nguyên hàm có số hạng x2y-yz2 Đạo hàm theo z U -2yz chắn nguyên hàm có số hạng –yz2 Tổng hợp từ kết ta hàm U(x,y,z)=x2y-yz2+C Vậy I10 = U(1,2,3)-U(0,0,0) = (1.2-2.9+C)-(C) = -16 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường Ví dụ 10: Tìm hàm h(y) thỏa h(1)=1 cho B I11 (2 xy 3)h( y )dy y h( y )dx A Là khơng phụ thuộc đường Sau tính với A(1,1), B(3,2) Để I11 không phụ thuộc đường ta phải có Q’x=P’y ↔ [(2xy+3).h(y)]’x=[-y2.h(y)]’y ↔ 2y.h = - 2y.h – y2.h’ ↔ 4y.h = -y2.h’ Như vậy, ta pt vi phân cấp với hàm h, biến y CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại không phụ thuộc đường Ta viết lại pt thành pt tách biến 4dy dh dy dh C ↔ -4lny+lnC=lnh y h y h C h( y ) y Thay điều kiện h(1)=1 vào, ta C=1 Khi đó, ta có không phụ thuộc đường (3,2) I11 (2 xy (1,1) 3) dy y dx y Tìm hàm U(x,y) cho U’y=Q, U’x=P CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại không phụ thuộc đường Ux Uy y2 xy y4 y4 Từ đh U theo x, suy U có chứa Thay vào pt dưới, ta suy U ( x, y ) Vậy I11 CuuDuongThanCong.com U (2,3) U (1,1) x y2 x y2 47 27 https://fb.com/tailieudientucntt y3 ... https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại – CT Green CÔNG THỨC GREEN: Mối liên hệ tích phân kép tích phân đường loại Định lý Green : Cho D miền đóng, bị chặn mp Oxy với biên C trơn khúc Các hàm P(x,y)... https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI KHÔNG PHỤ THUỘC ĐƯỜNG ĐI Cho hàm P(x,y), Q(x,y) đạo hàm riêng liên tục miền mở, đơn liên D... https://fb.com/tailieudientucntt §2: Tích phân đường loại – Cách tính Ví dụ 2: Tính đường loại hàm P=x2+2y Q=y2 đường cong C : y=1-|1-x| với x từ đến Ta viết lại pt đường cong C: x, x y x,1 x Vậy :