60 ĐỀ THI HS GIỎI MƠN TỐN LỚP CĨ ĐÁP ÁN CHI TIẾT Các thầy cô đọc, kiểm tra lại lời giải, trình bày lại câu từ cho khoa học dễ hiểu - Cỡ chữ 12, font Times New Roman, tiêu đề để cỡ 14 Các công thức cho vào mathtype cỡ 12 font Times New Roman - Các câu để chế độ gõ tự động, cách 0cm - Đặt tên file: Bài số… Tên Bài Tên người làm Ví dụ: ĐỀ HSG LỚP LÊ VIẾT THƯƠNG Hạn nộp: Trước 24h thứ ngày 17/11/2018 NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ ĐỀ SỐ Đề Olympic huyện năm học 2005 2006 (Thời gian làm 120 phút) 20 27 − 915 25 Bài Thực phép tính: 29.125 − 39 1519 Bài Thay dấu “ * ” chữ số thích hợp để 359** chia cho 5; 6; có số dư Bài Một Đoàn khách 300 người du lịch tham quan thắng cảnh Vịnh Hạ Long Trong có ba loại thuyền để chở: Loại thứ người lái chở 30 khách, loại thứ hai người lái chở 30 khách, loại thứ ba người lái chở 24 khách Tính tốn cho số thuyền, số người lái thuyền để chở hết số khách không thừa, không thiếu người thuyền Đoàn dùng 11 thuyền 19 người lái Tính số thuyền loại ? Bài Số 250 viết hệ thập phân có chữ số ? Bài Tìm ƯCLN 77 7, (51 chữ só 7) 777777 Bài HƯỚNG DẪN (4 điểm) Thực phép tính: 20 27 − 915 25 20 27 − 330 518 = = 29.125 − 39 1519 29 518 − 310 319 519 29 20 − 331 518 29 518 (5 − ) = = 29 18 = (Mỗi bước đ) 29 518 − 29 519 (7 − 5) Bài (5 điểm) Thay dấu “ * ” chữ số thích hợp để 359** chia cho 5; 6; có số dư Theo suy ra: (359** - 1) chia hết cho BCNN (5; 6; 7); BCNN (5; 6; 7) = 210 (1 đ) ( a ; b ∈ N ; ≤ a ; b ≤ ) Hay 359ab = 35700 + 200 + ab (1 đ) => 359ab - = 210 170 + 199 + ab (1 đ) => 199 + ab chia hết cho 210 => ab = k 210 - 199 (k ∈ N ) (1,5 đ) k = => ab = 11 Vậy số cần tìm 35911 (1,5 đ) Bài (4 điểm) Một Đoàn khách 300 người du lịch tham quan thắng cảnh Vịnh Hạ Long Trong có ba loại thuyền để chở: Loại thứ người lái chở 30 khách, loại thứ hai người lái chở 30 khách, loại thứ ba người lái chở 24 khách Tính tốn cho số thuyền, số người lái thuyền để chở hết số khách không thừa, khơng thiếu người thuyền Đồn dùng 11 thuyền 19 người lái Tính số thuyền loại ? Giả sử thuyền chở 30 người 11 thuyền chở được: 30 11 = 330 (người) (1 đ) Nên số thuyền người lái chở 24 người / thuyền (330 - 300): (30 - 24) = (thuyền) (1 đ) Giả sử thuyền có người lái, số người láI thuyền là: 11 = 22 (người) (1 đ) Nên số thuyền người láI chở 30 người là: 22 -19 = (thuyền) Suy số thuyền người láI chở 30 người / thuyền là: 11 - (3 + 5) = (thuyền) (1 đ) Bài (4 điểm) Số 250 viết hệ thập phân có chữ số ? Nhận xét: Số a có n chữ số khi: 10 n −1 ≤ a ≤ 10 n (1 đ) (1) (0,5 đ) Ta thấy: 50 = 216 34 = 216 (2 ) = 216 512 128 16 16 16 16 4 16 10 = = (5 ) = 625 (2) 50 16 Từ (1) (2) suy ra: < 10 (0.5 đ) 50 15 35 15 15 (3) (0,5 đ) Mặt khác: = = (2 ) = 128 NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ 1015 = 215 515 = 215 (5 ) = 215 125 (4) 15 50 10 < Từ (3) (4) suy ra: (0.5 đ) Vậy ta có: 1015 < 50 < 1016 ; Nên số 250 có 16 chữ số viết hệ thập phân (1đ) Bài (3 điểm) Tìm ƯCLN 77 7, (51 chữ só 7) 777777 77  = 777777.1045 +777777 1039+ + 777777 103+777 (0.5 đ) Ta có: 51chu sơ = 777777(1045 + 1039 + + 103) + 777 (0.5 đ) 77  chia cho 777 777 dư 777 Suy ra: 51chu sô (0.5 đ) 77  = A ; 777 777 = B; 1045 + 1039 + + 103 = C Đặt 51chu sô (0.5 đ) Ta có A = B.C + 777 hay A - B C = 777 Từ ước chung A B ước 777 Mặt khác 777 ước số A B (0.5 đ) ( A = 777.(1048 +1045 + + 1); B = 777 1001) Vậy 777 ƯCLN A B (0.5 đ) ĐỀ SỐ Thời gian làm bài: 120’ Bài 1:(1,5đ) Tìm x a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Bài 2: (1,5đ) Cho a số nguyên Chứng minh rằng: a < ⇔ −5 < a < Bài 3: (1,5đ) Cho a số nguyên Chứng minh rằng: a Nếu a dương số liền sau a dương b Nếu a âm số liền trước a âm c Có thể kết luận số liền trước số dương số liền sau số âm? Bài 4: (2đ) Cho 31 số nguyên tổng số số dương Chứng minh tổng 31 số số dương Bài 5: (2đ) Cho số tự nhiên từ đến 11 viết theo thứ tự tuỳ ý sau đem cộng số với số thứ tự ta tổng Chứng minh tổng nhận được, tìm hai tổng mà hiệu chúng số chia hết cho 10 Bài 6: (1,5đ) Cho tia Ox Trên hai mặt phẳng đối nhău có bờ Ox Vẽ hai tia Oy Oz cho góc xOy xOz bắng 1200 Chứng minh rằng: · · a xOy = xOz = ·yOz b Tia đối tia Ox, Oy, Oz phân giác góc hợp hai tia lại ĐÁP ÁN Bài (1,5đ) a).5x = 125  5x = 53 => x= b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = => x = c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5 NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ 52x = 52.5.53  52x = 56 => 2x = => x=3 Bài Vì a số tự nhiên với a ∈ Z nên từ a < ta => a = {0,1,2,3,4} Nghĩa a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4} Biểu diễn trục số cácc số lớn -5 nhỏ -5 x + + x + + x + + + x + 100 = 5750 => ( + + + + 100) + ( x + x + x + x ) = 5750 101 x 50 + 100 x = 5750 100 x + 5050 = 5750 100 x = 5750 – 5050 100 x = 700 x = Câu a) abc deg = 10000ab + 100 cd + eg = 9999 ab + 99 cd + ab + cd + eg M11 b) 10 28 + M9.8 ta có 10 28 + M8 (vì có số tận 008) nên 10 28 + M 9.8 10 28 + M72 Câu Gọi số giấy lớp thu x (Kg) ( x-26) M11 ( x-25) M10 Do (x-15) ∈ BC(10;11) 200 x 300 => x-15 = 220 => x = 235 Số học sinh lớp 6A là: (235 – 26) : 11 + = 20 hs Số học sinh lớp 6B là: (235 – 25) : 10 + = 22 hs 21 Câu Số thứ bằng: : = (số thứ hai) 11 22 27 Số thứ ba bằng: : = (số thứ hai) 11 22 22 + 21 + 27 70 Tổng số (số thứ hai) = (số thứ hai) 22 22 70 21 27 Số thứ hai : 210 : = 66 ; số thứ là: 66 = 63 ; số thứ là: 66 = 81 22 22 22 Câu5: Đường thẳng a chia mặt phẳng hai nửa mặt phẳng Xét trường hợp a) Nếu điểm A, B, CD thuộc nửa mặt phẳng a khơng cắt đoạn thẳng b) Nếu có điểm ( Chẳng hạn điểm A thuộc nửa mặt phẳng) ba điểm B, C, D thuộc nửa mặt phẳng đối đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB, AC, AD c) Nếu có điểm chẳng hạn (A B) thuộc nửa mặt phẳng hai điểm (C D) thuộc mặt phẳng đối a cắt bốn đoạn thẳng AC, AD, BC, BD ( ) ĐỀ SỐ Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1( điểm ) Tìm chữ số tận số sau: a) 571999 b) 931999 1999 1997 Cho A= 999993 - 555557 Chứng minh A chia hết cho a a Cho phân số ( a 41 42 43 79 80 12 Bài ( 2,5 điểm) Tổng số trang loại ; loại loại 1980 trang Số trang loại số trang loại Số trang loại số trang loại Tính số trang loại Bài 3: (2 Điểm) Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng: 1+ 2+ 3+ …….+ n = aaa Bài4 ; (2,5 điểm) NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ Vậy số câu bạn trả lời 50 – 10 = 40 (câu) NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ ĐỀ SỐ 55 Thời gian làm bài: 120 phút Tính giá trị biểu thức a A = 1+2+3+4+ .+100 3 4 4(3 + − − ) + + + 53 : 17 19 2003 b B = -1 3 5 5 3+ − − 5+ + + 37 53 17 19 2003 1 1 + + + + + c C = 1.2 2.3 3.4 4.5 99.100 So sánh biểu thức : a 3200 2300 121212 404 10 + − b A = với B = 171717 17 1717 17 Cho 1số có chữ số: *26* Điền chữ số thích hợp vào dấu (*) để số có chữ số khác chia hết cho tất 4số : 2; ; ; Tìm số tự nhiên n cho : 1! +2! +3! + +n! số phương? Hai xe ôtô khởi hành từ hai địa điểm A,B ngược chiều Xe thứ khởi hành từ A lúc Xe thứ hai khởi hành từ B lúc 10 phút Biết để quãng đường AB Xe thứ cần , xe thứ hai cần Hỏi sau xe gặp lúc giờ? · Cho góc xOy có số đo 120 Điểm A nằm góc xOy cho: AOy =750 Điểm B · nằm ngồi góc xOy mà : BOx =1350 Hỏi điểm A,O,B có thẳng hàng khơng? Vì sao? a) b) a) b) ĐÁP ÁN Câu : Tính giá trị biểu thức : Tổng : S =1 +2 +3 + +100 có 100 số hạng S = ( 1+ 100) + (2 +99) + (3 + 98) + + 950 + 51) có 50 cặp = 50 10 = 5050 3 4 4(3 + − − ) 4+ + + 37 53 : 17 19 2003 A = −1 3 5 5 (3 + − − ) 5+ + + 37 53 17 19 2003 1 4(1 + + + ) 6 4 4.5 17 19 2003 : = −6 Ta có : A = =- : =− 1 5 5 5(1 + + + ) 17 19 2003 1 1 c) B = + + + + + 2.3 3.4 4.5 5.6 99.100 1 1 1 1 99 Ta có : B = + - + - + + =1= 2 3 99 100 100 100 2) Câu2 So sánh Ta có : 3200 =(32)100 = 9100 2300 =(23)100 =8100 Vì 9100 > 8100 Nên 3200 > 2300 121212 404 121212 : 10101 404 : 101 12 12 + − + − + + − ⇒ A= + − = A= 171717 17 1717 171717 : 10101 17 1717 : 101 17 17 17 17 10 10 Vậy A = hay A =B = 17 17 3) Để số có chử số *26* , 4chữ số khác mà chữ số *26* chia hết cho số 2; 5;3;9 Ta cần thoả mản : Số đảm bảo chia hết số số chẳn NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ Số chia hết số phải có chữ số tận số 5.Số vừa chia hết cho và9 Nên số phải có tổng chữ số chia hết cho Vậy : Chữ số tận số ⇒ *260 Chữ số đầu số Do số cho 1260 ) Bài Tìm số tự nhiên n Mà 1! +2!+3! + +n! bình phương số tự nhiên Xét : n = 1! = 12 n = ⇒ 1! +2! = n=3 ⇒ 1! + 2! + 3! = =32 n = ⇒ 1!+ 2! +3! + 4! =33 Với n >4 n! = 1.2.3 .n mội số chẳn Nên 1!+2!+ +n! =33 cộng với số chẳn sốcó chữ số tận tổng chữ số Nên khơng phải số phương Vậy có hai giá trị n=1 n=3 1! +2! + 3! +4! + .+n!là số phương 5) Giải 1 xe thứ đươc quảng đường AB 1 xe thứ quảng đường AB 1 xe + = quảng đương AB 1 1 Sau 10 phút = : Xe thứ = quảng đường AB 6 12 Quảng đường lại là: 11 = 1(của AB) 12 12 Thời gian hai xe quảng đường lại là: 11 11 : = = phút 12 10 Hai xe gặp lúc 10 phút + phút = 16 phút Đáp án : 16 phút (0,25đ) 6) Hình học (tự vẽ hình) (2đ) · · Vì : xOy = 1200 , AOy = 750, điểm A nằm góc xOy nên tia OA nằm hai tia Ox Oy · · · Ta có : xOA Điểm B = xOy - AOy =1200 - 750 = 450 hai vị trí : B B’ (0,75đ) · · +, Tại B tia OB nằm hai tia Ox, OA nên BOx + xOA = 1350 + 450 = 1800 Do ·BOA = BOx · · + xOA =1800 Nên điểm A,O,B thẳng hàng (0,75đ) · · · · +, Cịn B’ : xOB' = 1350 < 1800, AOB' = xOB' - xOA = 1350 - 450 = 900 Nên điểm A,O, B’ không thẳng hàng.(0,5đ) ĐỀ SỐ 56 Thời gian làm bài: 120 phút 1 1 Câu 1: Tính tổng A = + + + + 100 3 3 Câu 2: Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ cho: a b 12 c = ; = ; = b c 21 d 11 Câu 3: Cho dãy số tự nhiên 1, 2, 3, , 50 a-Tìm hai số thuộc dãy cho ƯCLN chúng đạt giá trị lớn b-Tìm hai số thuộc dãy cho BCNN chúng đạt giá trị lớn Câu 4: Cho bốn tia OA, OB, OC, OD, tạo thành góc AOB, BOC, COD, DOA khơng có điểm · · · · · · chung Tính số đo mổi góc biết rằng: BOC ; COD ; DOA = AOB = AOB = AOB NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ HƯỚNG DẪN Câu 1: Ta có 3A = + 1/3 + 1/32 + + 1/399 vậy: 3A-A = (1 + 1/3 + 1/32 + + 1/399)-(1/3 + 1/32 + + 1/3100) 2A= 1-1/3100 = (3100-1)/ 3100 suy A= (3100-1) )/ 2.3100 Câu 2: Ta có 12/21= 4/7, phân số 3/5, 4/5, 6/11 tối giãn nên tồn số tự nhiên k, l, m cho a=3k, b=5k, b=4n, c=7n, c= 6m, d=11m Từ đẳng thức 5k=4n, 7k = 6m ta có 4n M5 7n M mà (4,5)=1; (7,6)=1 nên n M5, n M6 mặt khác (5,6) =1 n M30 để số tự nhiên a, b, c, d nhỏ phải khác , ta chọn n nhỏ 30 suy ra: k =24, m=35 a=72, b=120, c=210, d=385 câu 3: Gọi a b hai số thuộc dãy 1, 2, 3, , 50 Giả sử a>b a.Gọi d thuộc ƯC(a,b) a-b Md ta chứng minh d ≤ 25 giả sử d>25 b>25 ta có a ≤ 50 mà b>25 nên 0< a-b < 25, xảy a-b Md ; d=25 xảy a=50; b=25 hai số có ƯCLN đạt giá trị lớn 50 25 b BCNN(a,b) ≤ a.b ≤ 50.49=2450 hai số có BCNN đạt giá trị lớn 50 49 câu 4: (Học sinh tự vẽ hình) · · · Ta thấy : AOB + BOC + AOD >1800 · trái lại góc AOD có điểm chung với ba góc Đặt AOB =ỏ 0 · · · · ta có: AOB + BOC + AOD + COD = 3600 ⇒ ỏ +3ỏ+5ỏ+6ỏ=360 ⇒ ỏ = 24 · · · · Vậy: AOB = 240 ; BOC =72 ; COD = 120 ; DOA = 1440 -ĐỀ SỐ 57 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (3đ) a Kết điều tra lớp học cho thấy: Có 20 học sinh thích bóng đá, 17 học sinh thích bơi, 36 học sinh thích bóng chuyền, 14 học sinh thích đá bóng bơi, 13 học sinh thích bơi bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá bóng chuyền, 10 học sinh thích ba mơn, 12 học sinh khơng thích mơn Tính xem lớp học có học sinh? b Cho số: A = 10 11 12 …….58 59 60 - Số A có chữ số? - Hãy xóa 100 chữ số số A cho số lại là: + Nhỏ + Lớn Câu 2: (2đ) a Cho A = + 52 + … + 596 Tìm chữ số tận A b.Tìm số tự nhiên n để: 6n + chia hết cho 3n + Câu 3: (3đ) a Tìm số tự nhiên nhỏ biết chia số cho dư 2, cho dư 3, cho dư cho 10 dư b Chứng minh rằng: 11n + + 122n + Chia hết cho 133 Câu 4: (2đ) Cho n điểm khơng có điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Biết có tất 105 đường thẳng Tính n? ĐÁP ÁN Câu 1: (3đ) a Vẽ sơ đồ cho (1,5đ) - Số học sinh thích mơn bóng đá bơi: 14 – 10 = (hs) NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ - Số học sinh thích hai mơn bơi bóng chuyền: 13 – 10 = (hs) - Số học sinh thích hai mơn bóng đá bóng chuyền: 15 – 10 = (hs) - Số học sinh thích bóng đá: 20 – (4 + 10 + 5) = (hs) - Số học sinh thích bơi: 17 – (4 + 10 + 3) = (hs) - Số học sinh thích bóng chuyền: 36 – (5 + 10 + 3) = 18 (hs) Vậy: Số học sinh lớp là: + + 18 + + 10 + + + 12 + = 53 (hs) b (1,5 đ) A = 10 11 12 …… 58 59 60 * Từ đến có : chữ số Từ 10 đến 60 có: 51 = 102 chữ số Vậy: Số A có + 102 = 111 chữ số (0,5đ) * Nếu xóa 100 chữ số số A số A cịn 11 chữ số Trong số A có chữ số có chữ số đứng trước chữ số 51 52 53 … 58 59 60 ⇒ Trong số nhỏ có chữ số đứng trước ⇒ số nhỏ số có chữ số ⇒ Số nhỏ 00000123450 = 123450 (0,5đ) * Trong số A có chữ số Nếu số lớn có chữ số đứng liền số là: 99999960 ⇒ Số có chữ só khơng thỏa mãn ⇒ Số lớn có chữ số liền số có dạng 99999… ⇒ Các chữ số cịn lại 78 59 60 Vậy số lớn nhất: 99999785860 Câu 2: (2,5đ) a.(1,5đ) ⇒A = + 52 + …… + 596 ⇒ 5A =52 + 53 + …… + 596 + 597 597 - ⇒ 5A – A = 597 - ⇒A = 97 Tacó: có chữ số tận → 597 – có chữ số tận Vậy: Chữ số tận A b (1đ) Có: 6n + = 2(3n + 6) – ⇒ 6n + chia hết 3n + ⇒ 2(3n + 6) – chia hết 3n + ⇒ chia hết 3n + ⇒3n + = ± ; ± ; ± 3n -1 + n 7/3 5/3 Vậy; Với n = 6n + chia hết cho 3n + Câu 3: (2,5đ) a (1đ) Gọi số tự nhiên cần tìm a (a > 0, a ∈ N) Theo ta có: - a chia cho dư ⇒ a – chia hết cho - a chia cho dư ⇒ a – chia hết cho - a chia cho dư ⇒ a – chia hết cho - a chia cho 10 dư ⇒ a – chia hết cho 10 ⇒ a = BCNN(3, 4, 5, 10) = 60 b.(1,5đ) 11n + + 122n + = 121 11n + 12 144n =(133 – 12) 11n + 12 144n = 133 11n + (144n – 11n) 12 Tacó: 133 11n chia hết 133; 144n – 11n chia hết (144 – 11) ⇒ 144n – 11n chia hết 133 ⇒ 11n + + 122n + Câu 4: (2đ) NHÓM TOÁN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ n ( n − 1) = 105 ⇒ n (n – 1) = 210 = = 10 14 ⇒ n (n – 1) = 35 = 15 14 Vì n n – số tự nhiên liên tiếp nên: n = 14 Vậy n = 14 ĐỀ SỐ 58 Thời gian làm bài: 120 phút Số đường thẳng vẽ qua n điểm: Bài 1:(2,25 điểm) Tìm x biết a) x+ = 25 b) x- = 11 c)(x-32).45=0 Bài 2:(2,25 điểm) Tính tổng sau cách hợp lý nhất: a) A = 11 + 12 + 13 + 14 + … + 20 b) B = 11 + 13 + 15 + 17 + … + 25 c) C = 12 + 14 + 16 + 18 + … + 26 Bài 3:(2,25 điểm) Tính: 5 5 + + + + A= 11.16 16.21 21.26 61.66 1 1 1 + + B= + + + 12 20 30 42 1 1 + + + + + C= 1.2 2.3 1989.1990 2006.2007 a) b) c) Bài 4:(1 điểm) 102001 + ; 102002 + Hãy so sánh A B Cho: A= B= 102002 + 102003 + Bài 5:(2,25 điểm) Cho đoạn thẳng AB dài 7cm Trên tia AB lấy điểm I cho AI = cm Trên tia BA lấy điểm K cho BK = cm a) Hãy chứng tỏ I nằm A K b) Tính IK ĐÁP ÁN Bài 1:(2,25 điểm) a) x= 45 + 44 89 = − = ; b) x= − = ; 11 99 99 25 25 c) x = 32 Bài 2:(2,25 điểm) Tính tổng sau cách hợp lý nhất: a) A = (11 + 20) + (12 + 19) + (13 + 18) + (14 + 17) + (15+ 16) = 31 + 31 + 31 +31+ 31 = 31.5= 155 b) B = (11+25)+(13+23)+(15 + 21)+(17 +19) = 36.4 = 144 c) C = (12 +26)+(14+24)+(16 +22)+(18 +20) = 38.4 = 152 Bài 3:(2,25 điểm) Tính: 1 1 1 1 1 − + − + − + + − = − = a) A= 11 16 16 21 21 26 61 66 11 66 66 b) B= − 1 1 1 1 1 1 + − + − + − + − + − = 1− = 2 3 4 5 6 7 NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ c) C = 1− 1 1 1 1 2006 + − + + − + + − = 1− = 2 1989 1990 2006 2007 2007 2007 Bài 4:(1 điểm) 102002 + 10 (1) = + 2002 2002 10 + 10 + 102003 + 10 Tương tự: 10B = (2) = + 2003 2003 10 + 10 + 9 ⇒ 10A > 10B ⇒ A > B > 2003 Từ (1) (2) ta thấy : 2002 10 + 10 + Bài 5:(2,25 điểm) Ta có: 10A = A a) Trên tia BA ta có BK = cm BA = 7cm nên BK< BA điểm K nằm A B Suy AK + KB = AB hay AK + = ⇒ AK = cm Trên tia AB có điểm I K mà AI < AK (và 3aM3, 33M3=>5bM3 mà (3, 5) =1 =>bM3 3a+ 5b= 33 =>5b≤ 33 =>b≤ 6,6 (2) Từ (1), (2) b nguyên => b∈{0; 3; 6} • Nếu |b| =0 3a= 33=>a= 11 => a = ± 11; b = Ta có cặp (0; 11), (0; -11) • Nếu |b| =3 3a= 33 – 15 =18 =>a= => a = ± 6; b = ± Ta có cặp (6; 3), (6; -3), (-6; 3), (-6; -3) • Nếu |b| = 3a= 33 – 30 =3 =>a= => a = ± 1; b=± Ta có cặp (1; 6), (1; -6), (-1; 6), (-1; -6) KL: Ta có cặp (0; 11), (0; -11), (6; 3), (6; -3), (-6; 3), (6; -3) (1; 6), (1; -6), (-1; 6), (-1; -6) thoả mãn đề b) Cho n số tự nhiên, tìm số nguyên tố p có chữ số cho p = ƯCLN(2n - 3; 3n +15)  2n − 3Mp p = ƯCLN(2n - 3; 3n +15)=>  3n + 15Mp  6n − 9Mp ⇒ 6n + 30Mp ⇒ ( 6n + 30) − ( 6n − 9) Mp ⇒ 39Mp p số nguyên tố có chữ số => p = 13 c) Cho S = + + 52 + 53 +54 + … + 52010 Tìm số dư chia S cho 2, cho10, cho 13 • S gồm 2011 số hạng số lẻ nên S lẻ => S chia cho dư •S gồm 2010 số hạng chia hết cho số hạng chia cho dư => S chia cho dư => S có tận mà S lẻ nên S có tận Vậy S chia cho 10 dư NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ S = + + 52 + 53 +54 + … + 52010 S =1 + + 52 +( 53 +54 + 55 +56) +( 57 +58 + 59 +510) +… +( 52007 +52008 + 52009 +52010) S =1 + + 25 +53 (1 + + 52 + 53) + 57 (1 + + 52 + 53) +… +52007 (1 + + 52 + 53) S =26 + +53 156 + 57 156 +… +52007 156 Ta có 26 156 chia hết cho 13 S chia cho 13 dư a) Cho a, b, c, d số tự nhiên khác biểu thức: M= a b c d + + + a +b+c a +b+d a +c+d b+c+d Hỏi M có giá trị số tự nhiên hay khơng? Vì ? Vì a, b, c, d ∈ N* ⇒ a+b+c < a+b+c+d => a a > a+ b + c a+ b + c + d b b > Tương tự : a+ b + d a+ b + c + d c c > a+ c + d a+ b + c + d d d > b + c + d a+ b + c + d a+ b + c + d ⇒M > =1 a+ b + c + d a a Vì a, b, c, d ∈ N* ⇒ a + b + c > a + b ⇒ < a+ b + c a+ b Tương tự : b b < ; a+ b + d a+ b c c d d < < ; a+ c + d c + d b + c + d c + d a+ b c + d + =2 a+ b c + d Vậy 1< M < nên M khơng số tự nhiên b) Tìm số tự nhiên x, y, z cho < x ≤ y ≤ z xy + yz + zx = xyz.(1) 1 Từ (1) ⇒ + + = x y z Lý luận < x ≤ ⇒ x ∈ {2, } ⇒M < * ) Trường hợp x = tìm y ∈ {3, } +) y = tìm z = +) y = tìm z = * ) Trường hợp x =3 tìm y = z =3 NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ Vậy x= 2, y = , z = x = 2, y = , z = x = y = z =3 5· · · · Cho xOy yOzlà hai góc kề bù thoả mãn xOy = yOz a) Tính số đo góc xOy yOz Vẽ hình · · Lập luận xOy + yOz = 1800 5· 5· · · mà xOy = yOz => yOz + yOz = 1800 4 9· · yOz = 1800 => yOz = 800 · => xOy = 1000 · = 800 Tia Oy có tia phân giác b) Kẻ tia Ot cho tOy ¶ khơng ? Tại ? tOz Trường hợp tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Oz bờ · = đường thẳng chứa tia Oy tia Ot trùng với tia Oz ( tOy · ¶ 800 ) nên tia Oy không tia phân giác tOz yOz= Trường hợp tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Ox bờ đường thẳng chứa tia Oy tia Oy nằm tia Oz Ot · · = yOz ¶ mà tOy (= 800 ) nên tia Oy tia phân giác tOz c) Qua O kẻ thêm 50 đường thẳng cho đường thẳng không chứa tia Ox, Oy, Oz.Vẽ đường tròn tâm O bán kính r Gọi A tập hợp giao điểm đường trịn nói với tia gốc O có hình vẽ, tính số tam giác mà đỉnh thuộc tập hợp A (Cho biết điểm nằm đường trịn khơng thẳng hàng) Lập luận có 50.2 + = 104 tia gốc O => A có 104 điểm Lập luận để có 104.103/2 = 5356 đoạn thẳng nối 104 điểm A Nối đầu đoạn thẳng với điểm thuộc 102 điểm cịn lại (khơng phải mút đoạn thẳng đó) 102 tam giác Vậy có 5356.102 tam giác Nhưng tam giác tính lân, ta có5356.102 : = 182104 tam giác B ài 5: (1 ể m ) Bài : (1 điểm) Cho lưới vng kích thước 5× Người ta điền vào ô lưới số -1; 0; Xét tổng số tính theo cột, theo hàng theo đường chéo Hãy chứng tỏ tất tổng ln tồn hai tổng có giá trị Vì lưới vng có kích thước 5× có cột, hàng NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ đường chéo, có tất 12 tổng Do chọn điền vào ô số -1, ,1 nên giá trị tổng S số nguyên thoả mãn : -5 ≤ S ≤ Vậy có 11 số mà 12 tổng , theo ngun tắc Đi-rích-lê tồn hai tổng có giá trị NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ NHĨM TỐN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ ... …….+ + = + (1) 41 42 59 60 61 62 79 80 1 1 1 > > … > Vì > >…> (2) 41 42 60 61 62 80 1 1 1 1 + + ….+ + Ta có + + +….+ + 60 60 60 60 80 80 80 80 20 20 1 + + = + = = = (3) 60 80 12 12 Từ (1) , (2),... 36 b 105 96 87 78 69 60 51 42 33 24 15 (a,b) 6 6 6 [a,b] 105 96 261 1 56 345 180 357 168 297 120 165 36 Tổn 108 112 264 162 348 1 86 360 174 300 1 26 168 42 g Bài 4: Hiệu vận tốc nửa quãng đường... mãn (1 điểm) Câu 3:Giả sử có thêm học sinh chia tổ 10 em cịn thừa em chia tổ em Vậy cách chia sau cách chia trước học sinh Mỗi tổ 10 học sinh tổ học sinh là: 10 - = (học sinh) (1 điểm) Do số tổ