Mục lục danh mục bảng viii Các từ viết tắt ix Những kí hiệu luận án xi mở đầu 1 tổng quan phơng pháp song song 1.1 Các phơng pháp RKN 1.1.1 Cấp xác phơng pháp RKN 1.1.2 Tính ổn định phơng pháp RKN 1.2 Các phơng pháp IRKN dạng trùng khớp 1.2.1 Các phơng pháp IRKN dạng trùng khớp gián tiếp 1.2.2 Các phơng pháp IRKN dạng trùng khớp trùc tiÕp 1.2.3 Xác định hệ số phơng pháp RKN 1.3 Các phơng pháp PIRKN 1.3.1 Cấp xác phơng pháp PIRKN 1.3.2 Sự hội tụ phơng pháp PIRKN 1.3.3 Tính ổn định phơng pháp PIRKN 1.3.4 So s¸nh sai sè cđa cđa c¸c phơng pháp PIRKN 1.4 Các phơng pháp IPIRKN 1.4.1 Cấp xác phơng pháp IPIRKN 1.4.2 Xác định hệ số phơng pháp dự báo 1.4.3 Tính ổn định phơng pháp IPIRKN 1.4.4 Sai số phơng pháp PIRKN v 5 8 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1.5 1.4.5 So sánh phơng pháp PIRKN IPIRKN 1.4.6 Các phơng pháp TRKN 1.4.7 Chän hệ số phơng pháp 1.4.8 Các phơng pháp PITRKN KÕt luËn Phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh dạng PIRKN với công thức dự báo kiĨu adams 2.1 Giíi thiƯu 2.2 Điều kiện cấp xác 2.3 Xác định hệ số phơng pháp PIRKNA 2.4 2.5 2.6 Tính chất ổn định phơng pháp PIRKNA Thử nghiệm tính toán 2.5.1 Các toán thử 2.5.2 So s¸nh víi c¸c phơng pháp song song 2.5.3 Bài toán không dõng tuyÕn tÝnh 2.5.4 Bài toán Fehlberg phi tuyến KÕt luËn 21 22 25 27 31 32 32 34 36 37 39 39 41 41 42 42 phơng pháp lặp song song gi¶ RKN hai b−íc 44 3.1 Giíi thiƯu 44 3.2 Phơng pháp hiệu chỉnh PTRKN 45 3.2.1 Điều kiện cấp xác 47 3.2.2 Zero-ổn định 52 3.3 Phơng pháp IPIPTRKN 53 3.3.1 Điều kiện cấp xác công thức dự báo 54 3.3.2 Tốc độ hội tụ phơng pháp IPIPTRKN 56 3.3.3 Miền ổn ®Þnh 57 3.4 Thư nghiƯm tÝnh to¸n 59 3.4.1 So sánh với phơng ph¸p song song 62 3.4.2 So s¸nh với phơng pháp 64 3.5 KÕt luËn 65 Phơng pháp dự báo hiệu chỉnh dạng RKN vi lặp song song liên tục 4.1 Giới thiệu 4.2 Phơng pháp RKN liên tục (phơng pháp CRKN) 4.3 Phơng pháp CPIRKN 4.3.1 Tèc ®é héi tơ 4.3.2 MiÒn ổn định 4.4 Thư nghiƯm sè 4.4.1 So s¸nh víi phơng pháp song song 4.4.2 So sánh với phơng pháp 4.5 KÕt luËn 67 67 68 74 76 77 79 80 82 82 Kết luận 84 công trình đà công bố liên quan đến luận án 86 Tài liệu tham khảo 87 vii Danh sách bảng 2.1 Biên ổn định (m) phơng pháp PIRKNA 2.2 Giá trị NCD/Nseq toán (testprob1) tính phơng pháp PIRKNA, PIRKN IPIRKN 2.3 Giá trị NCD/Nseq toán (testprob2) tính phơng pháp PIRKN, IPIRKN trực tiếp PIRKNA 39 3.1 Nhân tử hội tụ số phơng pháp song song PC cấp p 3.2 Biên ổn định (m) phơng pháp song song PC cấp p 3.3 NCD/Nseq toán (testprob1) tính phơng pháp IPIPTRKN phơng pháp PIRKN 3.4 NCD/Nseq cña toán (testprob2) tính phơng pháp IPIPTRKN phơng pháp PIRKN 3.5 NCD/Nseq toán (testprob3) tính phơng pháp IPIPTRKN phơng pháp PIRKN 3.6 So sánh phơng pháp IPIPTRKN6 với code giải toán (testprob2) 60 61 4.1 Giá trị NCDp |NCDp cho toán (testprob2) với phơng pháp RKN liên tục khác 4.2 Biên ổn định stab (m) cho phơng pháp CPIRKN khác 4.3 Giá trị NCD/Nseq cho toán (testprob1) với p khác 4.4 Giá trị NCD/Nseq cho toán (testprob2) nhận đợc với p kh¸c 4.5 Gi¸ trị NCD/Nseq cho toán (testprob3) với p khác 4.6 So sánh phơng pháp CPIRKN56 với code DOPRIN ODEX2 giải toán (testprob2) viii 43 43 63 64 64 65 74 79 81 81 82 83 Các từ viết tắt CPIRKN Continuous parallel-iterated RKN ERKN Explicit Runge-Kutta-Nystro m NCD Number of Correct Decimal Digits Lặp song song liên tục Runge-Kutta-Nystrom Runge-Kutta-Nystrom hiển Giá trị trung bình số chữ số thập phân IPIRKN Improved Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystro m IPIPTRKN Improved Parallel-Iterated Pseudo Two-step IRK Implicit Runge-Kutta LỈp song song cải tiến Runge-Kutta-Nystrom Lặp song song cải tiến giả Runge-Kutta-Nystrom hai b−íc Rungge-Kutta Èn IRKN Implicit Runge-Kutta-Nystro m PC Predictor-Corrector Runge-Kutta-Nystrom Èn Dù b¸o-HiƯu chØnh PIPTRKN Parallel-Iterated Pseudo Two-step Runge-Kutta-Nystro m PIRKNA Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystro m with Adams-type predictors PIRKN Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystro m PISRKN Parallel-Iterated Symetric Runge-Kutta-Nystro m LỈp song song giả Runge-Kutta-Nystrom hai bớc Lặp song song Runge-Kutta-Nystrom với dự báo kiểu Adams Lặp song Runge-Kutta-Nystrom Lặp song song ®èi xøng Runge-Kutta-Nystrom ix PITRKN Parallel Iterated Two step Runge-Kutta-Nystro m PTRKN Pseudo Two-step Runge-Kutta-Nystro m RK Runge-Kutta Lặp song song hai bớc Runge-Kutta-Nystrom Giả Runge-Kutta-Nystrom hai bớc Runge-Kutta RKN Runge-Kutta-Nystro m SRKN Symmetric Runge-Kutta-Nystro m TRKN Two Step Runge-Kutta-Nystro m Runge-Kutta-Nystrom Runge-Kutta-Nystrom ®èi xøng Runge-Kutta-Nystrom hai bớc x Những kí hiệu luận án Ngoài kí hiệu thông thờng giải tích đại số, luận án dùng số kÝ hiƯu sau: TÝch trùc tiÕp cđa hai ma trận Giả sử A ma trận p ì q chiều, B ma trận  a11 B a12 B a1q B  A ⊗ B = [aij B] = a.21 .B a.22 .B a.2q B ap1 B ap2 B apq B Luü thõa cña véc tơ Giả sử c = (c1 , c2 , , cs )T , ®ã ck = (ck1 , ck2 , , cks )T d To¸n tư exp( dx ) d d d2 dn + + )=1+ + dx dx 2!dx2 n!dxn Khi ®ã khai triển Taylor hàm y(t) lân cận điểm t0 lµ: exp( d y(t0 + h) = exp(h )y(t0 ) = dt ∞ n=0 n dn y(t0 ) h n! dxn KÝ hiƯu vÐc t¬ e VÐc tơ e hiểu có tất thành phần Giả sử f (x, y) hàm thùc cđa hai biÕn thùc x vµ y , nÕu thay x y tơng ứng hai véc tơ v = (v1 , v2 , , vs )T vµ w = (w1 , w2 , , ws )T , ta đợc véc tơ hàm với s thành phần: f (v, w) = [f (v1 , w1 ), f (v2 , w2 ), , f (vs , ws )]T NÕu x ∈ R, cßn y thay bëi w = (w1 , w2 , , ws )T ta cã f (x, w) = [f (x, w1 ), f (x, w2 ), , f (x, ws )]T xi Mở đầu Hầu hết tợng tự nhiên kĩ thuật đợc mô tả hệ phơng trình vi phân Các hệ phơng trình vi phân thuộc loại thờng không cho nghiệm dới dạng giải tích Vì vậy, vấn đề giải gần hệ phơng trình vi phân đà đợc quan tâm từ lâu Một hớng giải gần giải số Nhng khoa học công nghệ ngày phát triển, dẫn đến kích thớc toán ngày lớn, yêu cầu ngày cao độ xác, lại phải cho kết thời gian thực (real time problems) chẳng hạn nh toán dự báo thời tiết hay toán điều khiển chuyến bay Cần thực khối lợng tính toán khổng lồ, với độ xác cao khoảng thời gian hạn chế Các máy tính hệ cũ đáp ứng đợc yêu cầu Trớc nhu cầu xúc đó, chủng loại máy tính đà đời, máy tính có tốc độ cao với nhiều xử lí đồng thời làm việc siêu máy tính ( gọi máy tính song song, máy tính véc tơ ) Sự đời siêu máy tính mở đờng cho hớng phát triển giải tích số nói chung giải số hệ phơng trình vi phân nói riêng Vì phơng pháp số trớc đợc xây dựng nghiên cứu nhằm khai thác loại máy tính truyền thống, có xử lý, phơng pháp đợc gọi phơng pháp Nếu sử dụng phơng pháp không khai thác cách có hiệu siêu máy tính Việc xây dựng nghiên cứu phơng pháp nhằm khai thác tốt siêu máy tính đà trở thành nhu cầu cấp thiết toán học tính toán nói chung giải số hệ phơng trình vi phân nói riêng Cho đến nay, việc xây dựng thuật toán để giải số toán giá trị đầu máy tính song song đà trở thành hớng nghiên cứu quan trọng Có ba cách tiếp cận chính, là: Song song hoá toán Song song hoá bớc lấy tích phân Song song hoá thuật toán Trong ba cách tiếp cận trên, cách tiếp cận thứ ba đợc quan tâm thuật toán đợc xây dựng độc lập với toán Luận án không quan tâm chung Luận án: Một số phơng pháp song song dạng Runge-Kutta-Nystrom giải toán không cơng nghiên cứu phát triển số phơng pháp song song để giải toán Cauchy cho lớp hệ phơng trình vi phân cấp có dạng sau đây: y (t) = f (t, y(t)), y(t0 ) = y0 , y (t0 ) = y0 , t0 y, f ∈ RN t T, (1) đây, nh toàn luận án, hàm vế phải f (t, y(t)) giả thiết liên tục theo biến t Lipschitz theo biến y, nữa, nghiệm toán (1) đợc giả thiết đủ trơn Đây lớp phơng trình quan trọng Vật lí, Cơ học, Thiên văn học mô tả mối quan hệ theo định luật Newton thứ hai Một biện pháp truyền thống để giải toán (1) chuyển đổi hệ phơng trình vi phân cấp với số chiều gấp đôi, sau áp dụng phơng pháp hệ phơng trình vi phân cấp Một lớp phơng pháp truyền thống phổ biến giải hệ phơng trình vi phân cấp phơng pháp Runge-Kutta (RK) có lợc đồ nh sau (xem [6]): Un = e un + h(A ⊗ IN )F(tn e + hc, Un ), un+1 = un + h(bT ⊗ IN )F(tn e + hc, Un ) (2) víi A, c, b lµ ma trận véc tơ tạo thành tham số phơng pháp Phơng pháp RK (1.1) thờng đợc biểu diễn ngắn gọn dới dạng bảng Butcher nh sau: A bT c Cách giải nh gọi cách giải gián tiếp Một cách giải khác không đa hệ phơng trình cấp hệ phơng trình cấp 1, mà giải trực tiếp (còn gọi phơng pháp trực tiếp) Nhiều nhà toán học đà quan tâm xây dựng đợc nhiều phơng pháp số hữu hiệu để giải trực tiếp toán (1) nhờ khả khai thác dạng đặc biệt hàm vế phải không phụ thuộc đạo hàm cấp y Một lớp phơng pháp thành công phơng pháp Runge-Kutta-Nystrom (RKN) Phơng pháp RKN đợc Nystrom đề xuất vào năm 1925 Về sau số nhà toán học khác nh Hairer, Fehlberg, Graf tiếp tục hớng nghiên cứu Nystrom đà xây dựng đợc phơng pháp RKN hiển (explicit RKN - ERKN) với cấp xác cao (xem[24, 25, 26, 27, 28]) Tuy đà đợc nghiên cứu phát triển sớm nhng phơng pháp song song dạng RK đà đợc xây dựng dừng mức áp dụng cho hệ phơng trình vi phân cấp Việc giải toán hệ phơng trình vi phân cấp cao nói chung cấp nói riêng phải giải gián tiếp thông qua việc chuyển đổi hệ phơng trình vi phân cấp Chỉ tới năm 1993 phơng pháp song song giải trực tiếp hệ phơng trình vi phân cấp dạng (1) đợc N.H Cong, P.J van der Houwen, B.P Sommeijer bắt đầu nghiên cứu xây dựng sở phơng pháp RKN ẩn (Implicit RKN - IRKN) gọi phơng pháp song song dạng RKN Luận án gồm phần mở đầu chơng nội dung Chơng 1, trình bày số nét phơng pháp RKN thống kê lại số lớp phơng pháp song song dạng RKN điển hình đà đợc xây dựng Chơng 2, nghiên cứu lớp phơng pháp song song với công thức dự báo hai bớc kiểu Adams (PIRKNA) Kết chơng công bố [3] Do vậy, với phơng trình thử, tốc độ hội tụ đợc xác định bán kính phổ (zA) ma trận lặp zA Điều kiện (zA) < 1, cho ta điều kiƯn héi tơ |z| < ρ(A) h2 < hay lµ ρ(∂f /∂y)ρ(A) (4.16) Ta gäi ρ(A) lµ nhân tử hội tụ 1/(A) biên hội tụ phơng pháp CPIRKN, ta tận dụng việc tù chän lùa cđa vÐc t¬ trïng khíp c phơng pháp hiệu chỉnh RKN để cực tiểu nhân tử hội tụ (A), hay tơng đơng cực đại hoá miền hội tụ mà ta kí hiệu Sconv đợc ®Þnh nghÜa bëi (4.17) Sconv := z : |z| < 1/(A) nhân tử hội tụ (A) phơng pháp CPIRKN cã thĨ thÊy mơc 4.4 4.3.2 MiỊn ỉn định ổn định tuyến tính phơng pháp CPIRKN (4.10) đợc nghiên cứu thông qua phơng trình y (t) = y(t), số thực âm Ta định nghÜa ma trËn T B = b(1 + c1 ), , b(1 + cs ) , cho mô hình phơng trình thử, ta trình bày véc tơ khởi tạo (0) (0) (0) Yn = ((Yn,1 )T , , (Y1,s )T )T xác định (4.10a) dới dạng (m) Yn(0) = eyn1 + h(e + c)yn1 + zBYn1 , z := h2 áp dụng (4.10a)-(4.10c) vào phơng trình thử, ta cã Yn(m) = eyn + chyn + zAYn(m−1) = [I + zA + · · · + (zA)m−1 ](eyn + chyn ) + (zA)m Yn(0) (4.18a) (m) = z m+1 Am BYn−1 + [I + zA + · · · + (zA)m−1 ]eyn + [I + zA + · · · + (zA)m−1 ]chyn + z m Am eyn−1 + z m Am (e + c)hyn−1 77 yn+1 = yn + hyn + zbT Yn(m) (m) = z m+2 bT Am BYn−1 + {1 + zbT [I + zA + · · · + (zA)m−1 ]e}yn + {1 + zbT [I + zA + · · · + (zA)m−1 ]c}hyn (4.18b) + z m+1 bT Am eyn−1 + z m+1 bT Am (e + c)hyn−1 , hyn+1 = hyn + zdT Yn(m) (m) = z m+2 dT Am BYn−1 + zdT [I + zA + · · · + (zA)m−1 ]eyn T m−1 + {1 + zd [I + zA + · · · + (zA) ]c}hyn + z (4.18c) d A eyn−1 m+1 T m + z m+1 dT Am (e + c)hyn−1 Tõ (4.18) ta cã quan hƯ ®Ư qui     (m) (m) Y Yn  yn+1   yn−1  hy  = Mm (z)  hyn  ,  yn+1  y n n1 n hyn hyn1 (4.19a) Mm (z) có số chiều (s + 4) ì (s + 4) đợc xác định Mm (z) =  z m+1 Am B m+2 T m b A B z z m+2 dT Am B  0T 0T (4.19b)  Pm−1 (z)e Pm−1 (z)c z m Am e z m Am (e + c) T T m+1 T m m+1 T m + zb Pm−1 (z)e + zb Pm−1 (z)c z b A e z b A (e + c) zdT Pm−1 (z)e + zdT Pm−1 (z)c z m+1 dT Am e z m+1 dT Am (e + c) , 0 0 0 ®ã Pm−1 (z) = I + zA + · · · + (zA)m−1 , ma trËn Mm (z) xác định (4.19) xác định tính ổn định phơng pháp CPIRKN đợc gọi ma trận khuếch đại, bán kính phổ Mm (z) hàm ổn định Với m số bớc lặp cho trớc, khoảng ổn định kí hiệu stab (m), đợc xác định nh sau stab (m), := z : ρ Mm (z) < 1, z Ta gọi stab (m) biên ổn định phơng pháp CPIRKN, tìm thấy ®iỊu nµy mơc 4.5 78 4.4 Thư nghiƯm sè Trong mục đăng tải kết tính toán số CPIRKN Ta giới hạn phơng pháp CPIRKN với phơng pháp hiệu chỉnh liên tục dựa véc tơ trùng khớp đối xứng c đà xét [10]) Phơng pháp hiệu chỉnh RKN s nấc (4.10) dựa véc tơ trùng khớp đối xứng có cấp p = p s + s tuỳ theo s lẻ hay chẵn (xem [10] Định lí 4.3.1 chơng này) Véc tơ trùng khớp đối xứng đợc chọn cho bán kính phổ (A) ma trận RKN cực tiểu, mà phơng pháp CPIRKN xác định (4.10) có tốc độ hội tụ tối u [10]) Bảng 4.2 dới liệt kê biên ổn định phơng pháp CPIRKN với phơng pháp hiệu chỉnh RKN liên tục dựa véc tơ trùng khớp đối xứng đợc xét [10] với s = 3, 4, 5, cấp tơng ứng p = 4, 4, 6, Phơng pháp CPIRKN tơng ứng dựa phơng pháp hiệu chỉnh RKN liên tục s nấc, cấp xác p đợc kí hiệu CPIRKNsp Cho s = 3, 4, 5, 6; p = 4, 4, 6, ta đợc phơng pháp CPIRKN34, CPIRKN44, CPIRKN56, CPIRKN66 Ta nhận thấy biên ổn định phơng pháp đủ lớn để giải toán không cơng có dạng (1) Bảng 4.2: Biên ổn định stab (m) cho phơng pháp CPIRKN khác Phơng ph¸p CPIRKN34 CPIRKN44 CPIRKN56 CPIRKN66 βstab (1) βstab (2) βstab (3) βstab (4) βstab (5) βstab (6) 1.472 0.087 2.367 0.535 2.039 9.765 3.114 0.184 0.424 6.701 1.236 2.051 0.075 1.579 0.617 1.582 9.869 3.417 0.155 5.996 0.790 5.926 2.309 6.031 Sau ta so sánh phơng pháp CPIRKN với phơng pháp song song hiển với phơng pháp đà có tài liệu Với CPIRKN bớc ta sử dụng công thức dự báo cho (0) Y0,i = y0 + hci y0 , 79 i = 1, , s Sai sè tut ®èi nhận đợc điểm cuối khoảng lấy tích phân đợc cho dới dạng 10N CD Khả tính toán đo tỉ số Nseq /Nstp Thử nghiệm số với toán nhỏ đà cho thấy u tiềm tàng phơng pháp CPIRKN so với phơng pháp có Tính u việt có ý nghĩa giải toán đủ lớn phơng pháp có số lần tính toán hàm vế phải đắt (xem [5]) Nhằm thấy đợc hội tụ phơng pháp CPIRKN, sử dụng chiến lợc động cho việc xác định số lần lặp, từ ta có tiêu chuẩn dừng sau (xem [7, 8, 10, 11, 12]) Yn(m) − Yn(m−1) ∞ T OL = Chp , (4.20) C tham số phụ thuộc toán phơng pháp Những tính toán đợc thực máy tính có độ xác 15 chữ số 4.4.1 So sánh với phơng pháp song song Chúng đa kết số thu đợc từ phơng pháp PIRKN trên, phơng pháp RKN song song hiển tốt tiếp cận đợc nh đà đề cập [8, 38], phơng pháp CPIRKN Chúng ta xét phơng pháp PIRKN gián tiếp đà đề cập [38] phơng pháp PIRKN trực tiếp [8] Chúng chọn toán thử nh đà nói Bài toán không dừng tuyến tính Kết số bảng 4.3 đà phơng pháp CPIRKN hiệu so với phơng pháp PIRKN trực tiếp gián tiếp cấp Với toán tuyến tính này, phơng pháp CPIRKN cần lần lặp bớc Lu ý sai số làm tròn ta không hi vọng 15 chữ số xác 80 Bảng 4.3: Giá trị N CD/Nseq cho toán (testprob1) với p khác Phơng pháp PC p Nstp 80 Nstp 160 Nstp 320 Nstp 640 Nstp 1280 C Ind.PIRKN Dir.PIRKN 4 4.0/239 5.2/239 5.3/480 6.4/479 6.5/960 7.6/960 7.7/1920 8.8/1920 8.9/3840 10.0/3840 10−1 10−1 CPIRKN34 CPIRKN44 4 5.6/161 5.8/161 6.9/321 7.0/321 8.1/641 8.2/641 9.3/1281 9.4/1281 10.5/2561 10.6/2561 10−1 10−1 Ind.PIRKN Dir.PIRKN 6 7.4/360 8.0/354 9.2/721 9.9/710 11.0/1441 11.7/1420 12.8/2881 13.5/2839 14.6/5769 15.3/5678 10−3 10−3 CPIRKN56 CPIRKN66 6 9.8/173 10.2/162 11.7/322 11.9/322 13.8/642 13.9/642 103 103 Bài toán Fehlberg phi tuyến Ta sử dụng phơng pháp PC cấp p khác đà đợc nói tới trên, kết số thể bảng 4.4 Những kết đà Bảng 4.4: Giá trị N CD/Nseq cho toán (testprob2) nhận đợc với p khác Phơng pháp PC p Nstp Nstp Nstp Nstp Nstp 200 400 800 1600 3200 C Ind.PIRKN Dir.PIRKN 4 1.7/728 2.4/722 2.8/1457 3.6/1445 4.0/2915 4.8/2889 5.2/5829 6.0/5778 6.5/11658 7.2/11555 102 102 CPIRKN34 CPIRKN44 4 3.3/523 3.3/473 4.6/1007 4.5/866 5.8/1942 5.7/1601 7.0/3713 6.9/3201 8.2/7033 8.1/6401 102 102 Ind.PIRKN Dir.PIRKN 6 4.0/900 5.0/896 5.8/1812 6.8/1807 7.6/3625 8.6/3615 9.4/7247 10.4/7230 11.2/14496 12.2/14458 103 103 CPIRKN56 CPIRKN66 6 6.5/526 6.7/468 8.3/999 8.5/878 10.1/1941 10.3/1611 11.9/3763 12.1/3202 13.7/7254 13.9/6402 103 103 phơng pháp CPIRKN vợt xa so với phơng pháp PIRKN trực tiếp gián tiếp cấp Với toán số lần lặp m cần có bớc phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh 81 Phơng trình chun ®éng Newton Xem [37, p 245], [28], [35] Víi = 0.3 kết số toán đợc bảng 4.5 Bảng 4.5: Giá trị N CD/Nseq cho toán (testprob3) với p khác Phơng pháp PC p Nstp Nstp Nstp Nstp Nstp 100 200 400 800 1600 C Ind.PIRKN Dir.PIRKN 4 2.9/229 2.8/229 3.7/600 4.9/600 4.9/1200 6.2/1200 6.1/2400 7.4/2400 7.3/4800 8.6/4800 101 101 CPIRKN34 CPIRKN44 4 4.6/201 3.3/201 5.8/401 4.5/401 6.9/801 5.7/801 8.1/1601 6.9/1601 9.3/3201 8.1/3201 101 101 Ind.PIRKN Dir.PIRKN 6 5.0/400 5.8/400 6.8/400 7.5/800 8.6/1600 9.3/1600 10.4/3200 11.1/3200 12.2/6400 12.9/6400 10−1 10−1 CPIRKN56 CPIRKN66 6 7.8/227 6.4/210 9.2/440 8.2/402 10.8/831 10.0/802 12.7/1602 11.7/1602 14.5/3202 13.6/3202 10−1 10−1 4.4.2 So s¸nh với phơng pháp Trong mục đà so sánh phơng pháp CPIRKN với phơng pháp song song indirPIRKN dirPIRKN Trong mục này, so sánh phơng pháp CPIRKN với vài phơng pháp tốt có Chúng giới hạn việc so sánh CPIRKN56 CPIRKN66 với hai phơng pháp ODEX2 DORIN Kết so sánh bảng 4.6 cho thấy phơng pháp CPIRKN có số lần tính hàm vế phải xấp xỉ 1/5 so với phơng pháp DOPRIN Trong CPIRKN có bớc lới cố định DOBRIN đợc trang bị lới biến bớc 4.5 Kết luận Trong chơng này, xây dựng lớp phơng pháp song song dự báo-hiệu chỉnh gọi phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh lặp 82 Bảng 4.6: So sánh phơng pháp CPIRKN56 với code DOPRIN ODEX2 giải toán (testprob2) Phơng pháp Nstp N CD ODEX2 (Hairer93) 49 53 43 47 81 79 353 1208 4466 200 400 800 1600 3200 200 400 800 1600 3200 2.7 4.8 6.5 8.8 10.9 3.8 8.3 12.3 16.3 6.5 8.3 10.1 11.9 13.7 6.7 8.5 10.3 12.1 13.9 DOPRIN (Hairer93) CPIRKN56 (trong chơng này) CPIRKN66 (trong chơng này) Nseq 746 1122 1493 2039 2907 633 2825 9665 35729 526 999 1941 3763 7254 468 878 1611 3202 6402 song song liên tục dạng Runge-Kutta-Nystro m ( phơng pháp CPIRKN ) dựa phơng pháp hiệu chỉnh RKN với công thức đầu liên tục Kết việc chạy ba toán thử đà phơng pháp CPIRKN có số lần tính hàm vế phải tiết kiệm lần so với phơng pháp truyền thống nh ODEX2, DOPRIN tiết kiệm lần so với phơng pháp song song đợc công bố tài liệu 83 Kết luận Luận án đà đề xuất, xây dựng nghiên cứu thuật toán mới, lặp song song dạng Runge-Kutta-Nystrom giải trực tiếp hệ phơng trình vi phân cấp hai dạng (1) máy tính song song Cả ba phơng pháp mang chất dự báo-hiệu chỉnh Cách tiếp cận chung là: phát biểu phơng pháp, tính toán ma trận véc tơ hệ số, nghiên cứu tính hội tụ, tính ổn định, tính toán thử nghiệm Các phơng pháp có u điểm chung tiết kiệm số lần tính hàm vế phải, ra, phơng pháp có u điểm riêng, là: a) Phơng pháp PIRKNA đợc xây dựng cách thay phơng pháp PIRKN công thức dự báo hai bớc kiểu Lagrange công thức dự báo hai bớc kiểu Adams, phơng pháp PIRKNA có khối lợng tính toán 2/3 so với PIRKN IPIRKN Với véc tơ c Gauss-Legendre, phơng pháp PIRKNA đạt đợc siêu hội tụ (p = 2s) b) Phơng pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh giả Runge-Kutta Nystrom hai bớc (phơng pháp IPIPTRKN) có đặc tính ổn định tốt không cần nhiều xử lí song song Chúng đợc áp dụng tốt trờng hợp máy tính có xử lí làm việc đồng thời c) Phơng pháp song song dự báo-hiệu chỉnh dạng RKN với công thức đầu liên tục (phơng pháp CPIRKN) cho phép tính toán giá trị nghiệm điểm bớc mà không cần chia lại lới không cần tính toán lại hàm phải Những thí dụ giải số đà thể tính hiệu phơng pháp CPIRKN 84 Đề tài đà mở số vấn đề tiÕp tơc nghiªn cøu: a) Trong thêi gian thùc hiƯn luận án này, máy tính song song nớc ta cha nhiều, việc chạy toán thử máy tính song song gặp nhiều khó khăn, việc triển khai chạy máy tính song công việc b) ý tởng kĩ thuật nghiên cứu giải toán (1) hoàn toàn áp dụng vào việc nghiên cứu giải hệ phơng trình vi phân cấp cao (y (n) (t) = f (t, y(t)), n > 2) Phơng trình vi phân cấp cao xuất số toán học Chúng đà triển khai ý tởng đà thu đợc số kết ban đầu c) Trong luận án xét toán có dạng y (t) = f (t, y(t)), y(t0 ) = y0 , y (t0 ) = y0 Việc giải toán tổng quát y (t) = f (t, y(t), y (t)), y(t0 ) = y0 , đợc nghiên cứu thêi gian tíi 85 y (t0 ) = y0 c¸c công trình đà công bố liên quan đến luận án Để hoàn thành luận án, sử dụng công trình khoa học sau đây, công bố Nguyễn Văn Minh (2000), Phơng pháp Dự báo-Hiệu chỉnh dạng PIRKN với công thức dự báo kiểu Adams, Tạp chí Khoa học Công Nghệ, Đại học Thái Nguyên (16), 27-31 Nguyen Huu Cong and Nguyen Van Minh, ” Improved Paralleliterated pseudo two-step RKN methods for nonstiff BVPs”, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, Vol 32(2008), 1-18 Nguyen Huu Cong and Nguyen Van Minh, ” Continuous paralleliterated RKN-type PC methods for nonstiff IVPs”, Applied Numerical Mathematics, (57), 1097-1107 86 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Công (1995), Các phơng pháp song song dạng Runge-Kutta Nystro m, LuËn ¸n TiÕn sÜ khoa häc To¸n lÝ [2] Nguyễn Thị Hồng Minh (2001), Một số thuật toán song song giải số hệ phơng trình vi phân siêu m¸y tÝnh, Ln ¸n TiÕn sÜ To¸n häc [3] Ngun Văn Minh(2000), Phơng pháp Dự báo-Hiệu chỉnh dạng PIRKN với công thức dự báo kiểu Adams, Tạp chí Khoa học Công Nghệ, Đại học Thái Nguyên (16), 27-31 [4] Nguyễn Văn Minh, Phơng pháp Runge-Kutta-Nystro m cho hệ phơng trình vi phân cấp 3, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, ( Đà nhận đăng 12/ 2006) [5] K Burrage (1995), Parallel and Sequential Methods for Ordinary Differential Equations, Clarendon Press, Oxford [6] J.C Butcher (1987), The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations, Runge-Kutta and General Linear Methods, Wiley, New York [7] N.H Cong (1993), ”An improvement for parallel-iterated Runge-Kutta Nystro m methods”, Acta Math Viet (18), 295-308 [8] N.H Cong (1993), ” Note on the performance of direct and indirect Runge Kutta-Nystro m methods”, J Comput Appl Math.(45), 347-355 [9] N.H Cong (1995), ” Direct collocation-based two-step Runge-Kutta-Nystro m methods ”, SEA Bull Math (19), 49-58 [10] N.H Cong (1996), ” Explicit symmetric Runge-Kutta-Nystro m methods for parallel computers”, Computers Math Applic (31),111-122 87 [11] N.H Cong (1996), ” Explicit parallel two-step Runge-Kutta-Nystro m methods”, Computers Math Applic (32), 119-130 [12] N.H Cong (1998), ” RKN-type parallel block PC methods with Lagrange-type predictors”, Computers Math Applic (35), 45-57 [13] N.H Cong, K Strehmel and R Weiner (1999), ” Runge-Kutta-Nystro m-type parallel block predictor-corrector methods”, Advances in Computational Mathematics, (10), 115-133 [14] N.H Cong, K Strehmel and R Weiner (1999), ” A general class of explicit pseudo two-step RKN methods on parallel computers”, Computers Math Applic (38), 17-30 [15] N.H Cong , ” Explicit pseudo two-step RKN methods with stepsize control”, accepted for publication in Appl Numer Math [16] N.H Cong (1999), ” Half-implicit pseudo two-step RKN methods ”, SEA Bull Math (23), 585-597 [17] N.H Cong, K Strehmel and R Weiner (1999), ” A general class of explicit pseudo two-step RKN methods on parallel computers ”, Computers Math Applic (38), 17-30 [18] N.H Cong (1999), ”New high-order Runge-Kutta methods and applications to paralell integrations”, Viet J Math (32), 353-359 [19] Nguyen Huu Cong and Nguyen Thi Hong Minh (2000), ” Parallel block PC methods with RKN-type correctors and Adams-type predictors”, Intern J Comput Math.(74), 509-527 [20] Nguyen Huu Cong and Nguyen Thi Hong Minh (2001), ” Fast convergence PIRKN-type PC methods with Adams-type predictors”, Intern J Comput Math (77), 373-387 [21] Nguyen Huu Cong and Nguyen Thi Hong Minh (2002), ”Parallel-iterated pseudo two-step RKN methods for nonstiff BVPs”, Comput Math App (44) , 143-155 88 [22] Nguyen Huu Cong and Nguyen Van Minh, ”Improved Parallel-iterated pseudo two-step RKN methods for nonstiff BVPs”, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, Vol 32(2008), 1-18 [23] Nguyen Huu Cong and Nguyen Van Minh, ”Continuous parallel-iterated RKNtype PC methods for nonstiff IVPs”, Applied Numerical Mathematics,(57), 1097-1107 ”Klassische Runge-Kutta-Nystro m Formeln mit Schrittweiten-Kontrolle fu r Differentialgleichungen x = f (t, x)”, Comput- [24] E Fehlberg (1972), ing (10), 305-315 [25] E Fehlberg (1981), ” Eine Runge-Kutta-Nystro m Formel 9-ter Ordnung mit Schrittweitenkontrolle fu r Differentialgleichungen x = f (t, x)”, Z Angew Math Mech (61), 477-485 Fehlberg, S Filippi und J Graf(1986), ” Eine Runge-Kutta-Nystro m Formelpaar der Ordnung 10(11) fu r Differentialgleichungen y = f (t, y)”, [26] E Z Angew Math Mech.(66), 265-270 [27] S Filippi und J Graf(1985), ” Ein Runge-Kutta-Nystro m Formelpaar der Ord nung 11(12) fu r Differentialgleichungen der Form y = f (t, y)”, Computing(34), 271-282 [28] S Filippi and J Graf(1986), ” New Runge-Kutta-Nystro m formula-pairs of order 8(7), 9(8), 10(9) and 11(10) for differential equations of the form y = f (t, y)”, J Comput Appl Math (14), 361-370 [29] E Hairer (1977), ” Methodes de Nystro m pour l Ðquations differentielle y (t) = f (t, y)”, Numer Math (27), 283-300 [30] E Hairer (1979), ” Unconditionally stable methods for second order differential equations”, Numer Math (32), 373-379 [31] E Hairer (1982), ” A one-step method of order 10 for J Numer Anal (2), 83-94 89 y (t) = f (t, y)”, IMA [32] E Hairer, S.P Norsett and G Wanner (1993), Solving Ordinary Differential Equations, I Nonstiff Problems, second revised edition, Springer-Verlag, Berlin [33] P.J van der Houwen, B.P Sommeijer and N.H Cong (1991), ” Stability of collocation-based Runge-Kutta-Nystro m methods”, BIT (31), 469-481 [34] P.J van der Houwen, B.P Sommeijer (1990), ” Parallel iteration of high-order Runge-Kutta methods with stepsize control”, J Comput Appl Math (29), 111127 [35] T.E Hull, W.H Enright, B.M Fellen and A.E Sedgwick (1972), ”Comparing numerical methods for ordinary differential equations”, SIAM J Numer Anal (9), 603-637 [36] J D Lambert(1991), Numerical methods for ordinary differential sys- tems, John Wiley & sons Chishester-New York-Brisbane-Toronto-Singapor [37] L.F Shampine and M.K Gordon (1975), Computer Solution of Ordinary Differential Equations, The Initial Value Problems, W.H Freeman and Company, San Francisco [38] B.P Sommeijer (1993), ”Explicit, high-order Runge-Kutta-Nystro m methods for parallel computers”, Appl Numer Math (13), 221-240 90 Thank you for evaluating AnyBizSoft PDF Splitter A watermark is added at the end of each output PDF file To remove the watermark, you need to purchase the software from http://www.anypdftools.com/buy/buy-pdf-splitter.html