Đang tải... (xem toàn văn)
Đông lực học lưu chất: Nghiên cứu cơ sở lý thuyết chuyển động của lưu chất, những phương trình vi phân đặc trưng cho lưu chất chuyển động, từ đó, cộng với ứng dụng nguyên lý bảo toàn năng lư
THEÁ LÖUCHÖÔNG 6THEÁ LÖU dòng chảy phẳng, lưu chất lý tưởng không nén được chuyển động ổn đònhGiới hạn: I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN1. Hàm thế vận tốc:Ta đònh nghóa hàm ϕ sao cho:θ∂ϕ∂=∂ϕ∂=∂ϕ∂=∂ϕ∂=θr1u;ruhayyu;xuryxTrường véctơ u là trường có thế khi: ∫BAdsurchỉ phụ thuộc vào hai vò trí A và B. Ta có: BBABA)1(thoảtồntạiyBAxBAd)dyydxx(dsu)dyudxu(dsuϕ−ϕ=ϕ=∂ϕ∂+∂ϕ∂=+=∫∫∫⇒∫∫ϕrr(1)Dòng chảy có thế ⇔∃ϕ/thoả đ.k. (1) ⇔0xyyx=∂ϕ∂∂∂−∂ϕ∂∂∂⇔⇔⇔⇔0yuxuxy=∂∂−∂∂⇔⇔⇔⇔ rot(u)=0BAAd ϕ−ϕ=ϕ=∫chỉ phụ thuộc vào giá trò hàm thế tại A và B.Rõ ràng từ chứng minh trên, ∫BAdsurVậy:ABnuunus0dyudxu0dyx=+⇔=ϕ2. Phương trình đường đẳng thế:3. Ý nghóa hàm thế vận tốc:ABABϕ−ϕ=Γ∫=ΓBAsABdsulà lưu số vận tốc 4. Tính chất hàm thế:Từ ptr liên tục, ta có:0yx0yyxx0yuxu2222yx=∂ϕ∂+∂ϕ∂⇔=∂ϕ∂∂∂+∂ϕ∂∂∂⇔=∂∂+∂∂⇔ Hàm thế thoả phương trình Laplace 5. Hàm dòng:Khi dòng chảy lưu chất không nén được tồn tại, thì các thành phần vận tốc của nó thoả ptr liên tục : ru;r1uhayxu;yu/0yuxuryxyx∂ψ∂−=θ∂ψ∂=∂ψ∂−=∂ψ∂=ψ∃⇔=∂∂+∂∂θψ gọi là hàm dòng.Như vậy ψ tồn tại trong mọi dòng chảy,còn ϕ chỉ tồn tại trong dòng chảy thế.6. Hàm dòng trong thế phẳng:Vì là dòng chảy thế nên:0yx0yyxx0yuxu2222xy=∂ψ∂+∂ψ∂⇔=∂ψ∂∂∂−∂ψ∂∂∂−⇔=∂∂−∂∂Vậy trong dòng thế thì hàm ψ thoả ptr Laplace.Vậy trong dòng thế thì hàm ψ thoả ptr Laplace.7. Đường dòng và ptr:Từ ptr đường dòng: 0d0dxxdyy0dxudyuyx=ψ⇔=∂ψ∂+∂ψ∂⇔=−xyOnnxnydxdydsαααα(-dx=ds.sinαααα)Như vậy trên cùng một đường dòng thì giá trò ψ là hằng số.8. Ý nghóa hàm dòng:Ta có:∫∫∫∫∫∫ ∫ψ−ψ=ψ=∂ψ∂−∂ψ∂=−=α+α=+===BAABBABAyxBAyxBAyyxxBABAnABddxxdyydxudyudssinudscosudsnudsnudsnudsuqrrVậy:ABABq ψ−ψ= 9. Sự trực giao giữa họ các đường dòng và đường đẳng thế: 0)u(u)u(uyyxxxyyx=+−=∂ψ∂∂ϕ∂+∂ψ∂∂ϕ∂Suy ra họ các đường dòng và các đường đẳng thế trực giao với nhau.10. Cộng thế lưu: 2121+ψ+ψ=ψ+ϕ+ϕ=ϕ11. Biễu diễn dòng thế:11. Biễu diễn dòng thế:với z = x+iy = eiα. Thế phức f(z):ψ+ϕ= i)z(fNhư vậy:dydidxdiuudzdfyxψ+ϕ=−=Để biểu diễn dòng chảy thế, ta có thể biễu diễn riêng từng hàm dòng và hàm thế, tacũng có thể kết hợp hàm dòng với hàm thế thành một hàm thế phức như sau:: II. CÁC VÍ DỤ VỀ THẾ LƯU xOyϕϕϕϕ=1ϕϕϕϕ=2ϕϕϕϕ=3ψψψψ=0ψψψψ=1ψψψψ=2ψψψψ=3ψψψψ=-1V0αααα1. Chuyển động thẳng đều: từ xa vôcực tới, hợp với phương ngang một gócα.ux= V0cosα; uy= V0sinαdψ = uxdy - uydxψ = V0ycosα - V0xsinα + CChọn:ψ=0 là đường qua gốc toạ độ⇒ C=0.Vậy: ψ = V ycosα - V xsinαϕϕϕϕ=0ϕϕϕϕ=1ϕϕϕϕ=-1ϕϕϕϕ=-2ϕϕϕϕ=-3ψψψψ=-3ψψψψ=-2ψψψψ=-1Vậy: ψ = V0ycosα - V0xsinαTương tự: ϕ = V0xcosα + V0ysinαBiễu diễn bằng hàm thế phức:F(z) = ϕ+iψ = (V0xcosα + V0ysinα) + i(V0ycosα - V0xsinα)= x(V0cosα- iV0sinα)+yi(V0cosα - iV0sinα)= azvới: a=(V0cosα -iV0sinα) là số phức; z=x+iy là biến phức. 2. Điểm nguồn, điểm hút: với lưu lượng q tâm đặt tại gốc toạ độ.(q>0:điểm nguồn; q<0:điểm hút).⇒ Họ các đường dòng là những đường thẳng qua O.)yxln(4q)rln(2q1rkhi0chọn;C)rln(2qdrr2qdrudrudruddrrd22rr+π=π=ϕ⇒==ϕ+π=ϕ⇒π==θ+=θθ∂ϕ∂+∂ϕ∂=ϕθπ=θπ=ψ⇒=θ=ψ+θπ=ψ⇒θ=θ+−=θθ∂ψ∂+∂ψ∂=ψ⇒=πθθxyarctg2q2q0khi0chọn;C2qdrudrudruddrrd0ur2qurrr=Hàm dòng: Hàm thế vận tốc:yqqψψψψ=(q/4)=π=π=+π=θ+π=+π=π=ϕπ=θπ=ψθθzlnazln2q)reln(2q)elnr(ln2q)ir(ln2q)z(f)yxln(4q)rln(2qxyarctg2q2qii22Kết luận: Oϕϕϕϕψψψψ=0ψψψψ=q/2ψψψψ=3q/4Ghi chú:Trường hợp điểm nguồn (hút) có tâm đặt tại một vò trí khác gốc toạ độ, ví dụ đặt tại A(x0;y0) thì trong công thức tính hàm dòng (hoặc thế vận tốc), tai vò trí nào có các biến x phảithay bằng (x=x0) ; tại vò trí nào có biến y phải thay bằng (y-y0). 3. Xoáy tự do: đặt tại gốc toạ độ và có lưu số vận tốc∫==ΓCconstdsur====ππππΓΓΓΓ−−−−====ππππΓΓΓΓ−−−−====θθθθ++++ππππΓΓΓΓ−−−−====−−−−θθθθππππΓΓΓΓ====++++ππππΓΓΓΓ−−−−====ππππΓΓΓΓ−−−−====ψψψψππππΓΓΓΓ====θθθθππππΓΓΓΓ====ϕϕϕϕ⇒⇒⇒⇒====ππππΓΓΓΓ========θθθθθθθθzlnazln2i)reln(2i)ir(ln2i)rlni(2)z(f)yxln(4)rln(2xyarctg22constr2u0ui22rϕϕϕϕ=ΓΓΓΓ/4Oψψψψϕϕϕϕ=0ϕϕϕϕ=ΓΓΓΓ/4ϕϕϕϕ = ΓΓΓΓ/2ϕϕϕϕ=3ΓΓΓΓ/4ΓΓΓΓ>0: xoáy dươngGhi chú:Γ>0: xoáy dương ngược chiều kim đồng hồ;Γ<0: xoáy âm thuận chiều kim đồng hồ;Tương tự, ta có trên đây là xoáy đặt tại O(0,0).Muốn biễu diễn cho xoáy có tâm đặt tại điểmbất kỳ, ta cũng thực hiện như trong phần ghichú của điểm nguồn, hút. 4. Lưỡng cực: là cặp điểm nguồn + hút có cùng lưu lượng qđặt cách nhau mộtđoạn ε vôâ cùng nhỏ (cho ε→0 với điều kiện εq→m0, là moment lưỡng cực).Ví dụ ta xét trường hợp nằm trên trục hoành:Tìm hàm dòng:+ε−ε+−ε−π=ε−−ε+π=ε−−ε+π=θ−θπ=ψ+ψ=ψ222hnhnyx2xy2xyarctg2q2xy2xyarctg2q2xyarctg2xyarctg2q)(2q+ε−πε−ε++π222y4x22xy2xy12Khi ε→0 tử số trong dấu arctg tiến tới 0 nên ta có thể viết:220222222yxy2my4xy2qy4x2xy2xy2q+π−→+ε−ε−π=+ε−ε+−ε−π=ψ Tìm hàm thế vận tốc:+ε−ε+π=+ε−+ε+π=+ε−−+ε+π=ϕ+ϕ=ϕ2222222222hny2xx21ln4qy2xy2xln4qy2xlny2xln4qTriển khai .2xx)x1ln(2+−=+và bỏ qua các số hạng bậc cao vô cùng bé, ta có:0khiyxx2myxx22q22022→ε+π→ε−επ=ϕ+q-q ψ ψ ψ ψyxy2x2+ε−Vậy tóm lại, đối với chuyển động lưỡng cực thì:z12m)sini(cosrsincos2mrsinicos2m)z(frcos2myxx2mrsin2myxy2m0220002200220π=θ+θθ+θπ=θ−θπ=θπ=+π=ϕθπ−=+π−=ψ Là chồng nhập của chuyển động thẳng đều ngang (U0)+ nguồn tại gốc toạ độ (q)5. Dòng chảy quanh nửa cố thể:θπ+θ=π+=ψπ+θ=+π+=ϕ2qsinru)xy(arctg2qyurln2qcosru)yxln(4qxu000202iểm dừngĐiểm dừng A:====⇔⇔⇔⇔====++++ππππ====∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂ππππ−−−−====⇔⇔⇔⇔====++++ππππ++++====∂∂∂∂ϕϕϕϕ∂∂∂∂⇔⇔⇔⇔========⇔⇔⇔⇔====⇑⇑⇑⇑0y0yxy24qyu2qx0yxx24qux0u;0u0uA220A220yAxAA [...]... = 2axy + 3by 2 ∂x ∂y Các thành phần vận tốc phải thoả phương trình div(u)=0 nên: ∂u x ∂u y + = 0 ⇔ 0,24x + 2ax + 6by = 0 ⇔ (0,24 + 2a )x + 6by = 0 ∂x ∂y Vì div(u)=0 đúng với mọi điểm nên thế (x=0; y=1) vào ta được b = 0 (x=1; y=0) vào ta được a = -0 ,12 ⇒ uA=0; uB = ((0,12*32 -0 ,12*42)2+ (-0 ,24*3*4)2)1/2 = 3 m/s Vì đây là chuyển động thế nên p.tr Ber đúng cho hai điểm bất kỳ A và B, ta có: 2 2 pA u2... tđ > pbh = 0,25m nước ⇒ ptru ck < 9,75m nước hay pA = pB = ρu02/2 uC = -2 u0 C B A D uD = 2u0 pC = pD = -3 ρu02/2 ρ ptru dư > - 9,75m nước Áp suất dư nhỏ nhất trên mặt tru (nếu trụ di chuyển trên mặt thoáng )ï, như ta đã biết, tại vò trí C và D, bà bằng: pC = pD = -3 ρu02/2 ρ γ ρ Vậy nếu trụ di chuyển ở độ sâu 10m thì : pC = pD = 10γn -3 ρu02/2 Suy ra, vận tốc tối đa mà trụ có thể di chuyển được để không.. .6 Dòng chảy quanh cố thể dạng Rankin Là tổ hợp của dòng chuyển động thẳng ngang đều (u0) + nguồn (+q) + hút(-q) Trong đó điểm nguồn và hút nằm trên trục hoành, cách nhau một đoạn 2a hữu hạn, u0 A +q -q 2a 2 2 ϕ = uo x + q ( x + a) + y ln 4π ( x − a ) 2 + y 2 ψ = uo y + q y y arctg − arctg... θ1 − 2π x 2 + y 2 2π r 2πu 0 r 2 Do không có sự trao m 0 bằng đường Thay đường đổi lưu chất giữa r= R= tròn tròn 2πu 0 trong và ngoài đường dòng ψ=0 R2 ϕ = u o r cos θ 1 + 2 r R2 ψ = u o r sin θ 1 − 2 r Điểm dừng Xét đường dòng ψ=0 ⇔ θ=0 và m0 2πu 0 r= m0 2πu 0 thì bản chất dòng chảy vẫn không đổi Ta có hình ảnh của dòng chảy bao quanh trụ tròn (trụ không... thì : pC = pD = 10γn -3 ρu02/2 Suy ra, vận tốc tối đa mà trụ có thể di chuyển được để không có hiện tượng khí thực xảy ra trên mặt trụ phải giải từ bất p.tr : Ptru dư = 10γn -3 ρu02/2 > - 9,75 γn γ ρ ⇔ 3ρu02/2 < 19,75 γn ρ ⇔ u0 < 11, 365 m/s Ví dụ 5: Hai nửa xi lanh được nối với nhau và đặt trong trường chảy đều có thế như hình vẽ Người ta khoét 1 lỗ nhỏ tại vò trí góc α để cho không có lực tác dụng lên... = (1 − 4 sin 2 θ) 2 Trên ¼ mặt trụ ta chọn vi phân ds, gọi dFn là lực tác dụng lên ds từ bên ngoài mặt trụ, ta có: dFn=pds ⇒ dFnx= - pdscosθ = -pRcosθdθ π/2 ⇒ Fnx = − ∫ 0 π/2 2 2 4 ρu 0 ρu 0 R (1 − 4 sin 2 θ ) cos θRdθ = − sin θ − sin 3 θ 2 2 3 0 2 ρu 0 R = 6 Nhận xét: Lực F nx >0 hướng theo chiều dương⇒lực Ftx từ bên trong mặt trụ phải hướng theo chiều âm Như vậy, áp suất tại lỗ khoét phải... tính bằng m).Tìm lưu lượng phẳng qua đường thẳng nối hai điểm A(1,1) và B(2,2) Giải: ∂ϕ ux = =x ∂x ∂ϕ ; uy = =y ∂y ∂ψ = − u y ⇒ ∂ψ = − y∂x ⇒ ψ = − yx + C( y ) ∂x ∂ψ = u x ⇒ − x + C' ( y ) = − x ⇒ C( y ) = const ⇒ ψ = xy + const ∂y ⇒ q AB = ψ B − ψ A = 2 * 2 − 1 * 1 = 3m 2 / s x Ví dụ 3: Fy dF Gió thổi qua mái lều dạng bán trụ R=3m với V=20m/s, không khí có khối lượng riêng θ bằng 1, 16 kg/m3 Tìm lực... θ=π ⇒ có hai điểm dừng A B trước và sau mặt trụ Tìm hai điểm có giá trò vận tốc lớn nhất trên mặt trụ: π 3π u θ = u max ⇔ θ = ; θ = 2 2 u C = −2 u 0 ; u D = 2 u 0 pA = pB = ρu02/2 uC = -2 u0 C B A D uD = 2u0 pC = pD = -3 ρu02/2 ρ ⇒ C, D nằm trên và dưới mặt trụ có giá trò vận tốc lớn nhất Khảo sát phân bố áp suất rên mặt trụ: Áp dụng P.Tr NL trên đường dòng ψ=0 từ điểm xa vô cực đến điểm trên mặt trụ:... π/2 0 ⇒ Ftx = dư α ∫ p α cos θRdθ = p α R[sin θ]0 π/2 = pαR 0 2 o ρu R (1 − 4 sin 2 α ) 2 Ta có: Fnx + Ftx = 0 2 2 ρu o R ρu o R Suy ra: Fnx = − Ftx ⇒ (1 − 4 sin 2 α ) =− 6 2 4 1 ⇒ 4 sin 2 α = ⇒ sin 2 α = 3 3 1 ⇒ sin α = 3 α = 35, 260 π/2 π α Ftx Fnx 0 ... với uθ = −2u0 sinθ + p ∞ + 0 = p tr + tr 2 2 R 2π 2 2 2 2 Γ Giả sư û p∝=pa p dư = ρ u 0 ( 1 − u tr ) = ρ u 0 1 − 2 sin θ − tr 2 2 u0 2 2 π Ru 0 Lực tác dụng trên mặt trụ: Lưu ý : Phương x: Fx =0 2π 2π Phương y: dư n Lực nâng Jukovs ⇒ Fy = − ∫ p tr R sin θ.dθ = − ρΓU 0 ∫ sin θ.dθ =0 0 0 Γ/2πRu0=1 π Điểm dừng Các trường hợp xoáy Γ>0 Γ/2πRu0=2 π Điểm dừng Fy Γ/2πRu0=3 π Điểm . uxdy - uydxψ = V0ycosα - V0xsinα + CChọn:ψ=0 là đường qua gốc toạ độ⇒ C=0.Vậy: ψ = V ycosα - V xsinαϕϕϕϕ=0ϕϕϕϕ=1ϕϕϕϕ =-1 ϕϕϕϕ =-2 ϕϕϕϕ =-3 ψψψψ =-3 ψψψψ =-2 ψψψψ =-1 Vậy:. THEÁ LÖUCHÖÔNG 6THEÁ LÖU dòng chảy phẳng, lưu chất lý tưởng không nén được chuyển động ổn đònhGiới hạn: I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN1. Hàm thế vận tốc:Ta