ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN NGỌC HÀ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM XẤP XỈ ĐỐI VỚI BÀI TỐN TRƢỢT CỦA TẤM TRONG MƠI TRƢỜNG CHẤT LỎNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN NGỌC HÀ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM XẤP XỈ ĐỐI VỚI BÀI TỐN TRƢỢT CỦA TẤM TRONG MƠI TRƢỜNG CHẤT LỎNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - 2016 i LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS Vũ Vinh Quang, người tận tình hướng dẫn em suốt q trình thực hồn thành luận văn Em xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy giáo tham gia giảng dạy khóa cao học 2014 -2016, người đem tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy, trang bị cho chúng em nhiều kiến thức sở Cuối em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thân thiết người động viên chia sẻ, giúp em suốt trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả Trần Ngọc Hà ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii DANH MỤC CÁC BẢNG iv DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ v MỞ ĐẦU Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Khơng gian hàm phương trình song điều hịa 1.1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.1.2 Không gian Sobolev 1.1.3 Phương trình song điều hòa lý thuyết nghiệm yếu 1.2 Lý thuyết sơ đồ lặp 1.2.1 Sơ đồ lặp hai lớp 1.2.2 Định lý hội tụ phương pháp lặp 1.3 Lý thuyết sai phân 1.3.1 Công thức Taylor 1.3.2 Các phương pháp sai phân đạo hàm 10 1.3.3 Giới thiệu thư viện RC2009 13 Chƣơng MƠ HÌNH BÀI TỐN CƠ HỌC VÀ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM XẤP XỈ 22 2.1 Mơ hình tốn trượt mơi trường chất lỏng 22 2.1.1 Mô hình thực tế 22 2.1.2 Phương trình tốn học hệ điều kiện biên 23 2.2 Phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ 28 2.2.1 Xây dựng sơ đồ lặp xác định  31 2.2.2 Xây dựng sơ đồ lặp xác định  32 iii Chƣơng MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SỐ 34 3.1 Kết kiểm tra trường hợp biết trước nghiệm 34 3.2 Kết xác định nghiệm toán trượt môi trường chất lỏng 37 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 PHỤ LỤC 41 iv DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1: Kết so sánh nghiệm nghiệm xấp xỉ 34 Bảng 3.2: Kết so sánh nghiệm nghiệm xấp xỉ 36 Bảng 3.3: Kết so sánh hai bước lặp liên tiếp 37 v DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 3.1: Đồ thị sai số nghiệm nghiệm xấp xỉ 35 Hình 3.2: Đồ thị sai số nghiệm nghiệm xấp xỉ 36 Hình 3.3: Đồ thị nghiệm xấp xỉ toán gốc 37 MỞ ĐẦU Một số tốn học mơi trường liên tục toán nghiên cứu truyền nhiệt, tốn lý thuyết dao động qua mơ hình hóa đưa tốn biên cho phương trình elliptic cấp hai cấp bốn (phương trình song điều hịa) Trong trường hợp mơi trường điều kiện biên bình thường việc tìm nghiệm tốn thực thơng qua phương pháp giải tích phương pháp tách biến, phương pháp hàm Green phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ phương pháp sai phân hay phương pháp phần tử hữu hạn Tuy nhiên điều kiện biên toán dạng đặc biệt (hỗn hợp hàm đạo hàm, thiếu điều kiện biên hay hỗn hợp mạnh tức đoạn biên trơn tồn loại điều kiện biên dạng hàm (Dirichlet) dạng đạo hàm (Neumann) phương pháp kể thực Để giải toán này, người ta thường nghiên cứu theo hướng sau đây: Sử dụng lý thuyết toán tử biên để xây dựng sơ đồ lặp xác định giá trị thiếu biên, kết hợp với phương pháp phân rã phương trình cấp hai phương trình cấp hai Từ áp dụng phương pháp sai phân để giải toán qua xây dựng nghiệm tốn gốc ban đầu Trong trường hợp biên kì dị phương pháp thường áp dụng phương pháp chia miền Trong tốn học điển hình tốn nghiên cứu trượt đàn hồi mơi trường chất lỏng toán tác giả Nikolai V Priezjev, Anton A Darhuber and Sandra M Troian đưa năm 2005 Đây tốn mơ tả phương trình song điều hòa với dạng điều kiện biên phức tạp Tính chất nghiệm tốn ý nghĩa thực tế tác giả đề cập nhiên vấn đề nghiên cứu phương pháp xác định nghiệm toán chưa đề cập đến Xuất phát từ thực tế đó, mục tiêu nghiên cứu luận văn tìm hiểu mơ hình tốn học tốn mơ tả chuyển động trượt đàn hồi môi trường chất lỏng không nén được, nghiên cứu sở phương pháp toán tử biên miền để xây dựng sơ đồ lặp xác định giá trị biên toán song điều hòa đồng thời nghiên cứu sở phương pháp phân rã chuyển toán xét toán elliptic cấp hai, sử dụng phương pháp sai phân để xác định nghiệm toán gốc, đánh giá kết thực nghiệm Các kết thực nghiệm thực máy tính điện tử Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Nội dung chương trình bày số kiến thức khơng gian hàm, phương trình song điều hòa, lý thuyết sơ đồ lặp lớp, lý thuyết sai phân đặc biệt kết xây dựng thư viện giải số toán biên elliptic cấp hai miền chữ nhật Đây kiến thức công cụ quan trọng sử dụng để nghiên cứu thực tính tốn chương tiếp sau luận văn Các kết tham khảo tài liệu [1, 2, 3, 4] 1.1 Không gian hàm phƣơng trình song điều hịa Định nghĩa 1.1 Cho X tập khác rỗng, X ta trang bị hàm số  : X X   (x , y )  (x , y ), thỏa mãn điều kiện sau 1) (x, y )  x, y  X ; (x, y )   x  y; 2) (x, y )  (y, x ) x, y  X ; 3) (x, z )  (x, y )  (y, z ) x, y, z  X Khi ρ gọi metric hay khoảng cách X Và cặp (X , ) gọi không gian metric (đôi kí hiệu X ) Mỗi phần tử X gọi điểm,  x , y  gọi khoảng cách hai x y điểm X 1.1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.2 Cho X khơng gian tuyến tính, ta đưa vào ánh xạ kí hiệu chuẩn X với x, y  X : X   thỏa mãn điều kiện a x  0; x   x  0; b x   x ; c x y  x  y , 32 Bằng việc sử dụng lý thuyết tốn tử khơng gian hàm, [3] chứng minh sơ đồ lặp hội tụ 2.2.2 Xây dựng sơ đồ lặp xác định  Hoàn toàn tương tự, xét  32 , ta có:  u u  h u  8   h3  7 n n Đây phương trình tốn tử dạng A3  u  h3 Do theo n lý thuyết, hàm  xác định sơ đồ lặp: 3k 1  3k   A3k  7 (2.16) Như sở lý thuyết sơ đồ lặp, nghiệm xấp xỉ toán tổng quát xác định sơ đồ lặp sau đây: Bƣớc 0: Xuất phát từ giá trị ban đầu 0 0 3   32 , 4   Bƣớc 1: Với k  0,1,2, giải hai toán biên cấp hai  (k ) Bài toán với v k    v  f ,    k   v    2 ,   n   k    v    4 ,   n   k   v  6 ,    k  k   v  3 ,    k   v  4 ,    x  , x  1, x  2 , x  31, x  32 , x  4 (2.17) 33 (k ) Bài toán với u u k   v k ,   k   u  n  1,  k   u  3 ,   n u k    ,  k u    u , top    x  , x  1, x  2 , (2.18) x  31  32 , x  4 k 1 k 1 Bƣớc 2: Hiệu chỉnh giá trị cho bước lặp sau 3 , 4 k    u  k   3  3   7   h3   n  k    u  k 1 k  k   4  4   U   h4   n  k 1 k  (2.19) Nhận xét: + Các toán (2.17) - (2.18) toán biên elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp,do việc tìm nghiệm xấp xỉ ln xác định cách sử dụng hàm v1100( ) thư viện RC2009 + Sự hội tụ sơ đồ lặp (2.19) hoàn toàn phụ thuộc vào cách chọn giá trị tham số  - theo điều kiện Về mặt lý thuyết, để đảm bảo điều kiện hội tụ sơ đồ lặp lớp, ta cần chọn tham số   A Kết luận: Nội dung chương nghiên cứu mơ hình trượt mơi trường chất lỏng với điều kiện học vật lý đặc biệt Mơ hình đưa mơ hình tốn học tốn song điều hịa với hệ điều kiện biên phức tạp Dựa lý thuyết sơ đồ lặp lớp, luận văn xây dựng phương pháp lặp cho toán tổng quát Các kết kiểm tra hội tụ sơ đồ lặp đưa chương luận văn 34 Chƣơng MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SỐ Để kiểm tra hội tụ tốc độ hội tụ thuật toán lặp giải toán học tổng quát, sử dụng phương pháp sai phân với độ xác cấp hai O(h  k ) chuyển toán vi phân (2.17) - (2.18) hệ phương trình vector điểm, sau sử dụng hàm thư viện RC2009 để xác định nghiệm số tốn cấp hai từ suy nghiệm tốn song điều hịa gốc tổng qt Trong phần thực nghiệm, miền  lấy miền hình chữ nhật   0  x  2a,  y  b  Lưới chia sai phân M  N  128  64 Trong trường hợp biết nghiệm xác sai số bước lặp   lấy 1  max u i , j * u k   u tốn, trường hợp,   2  max u i, j k 1 u k  (*) kí hiệu nghiệm sai số tính tốn xác định  3.1 Kết kiểm tra trƣờng hợp biết trƣớc nghiệm Bảng 3.1: Kết so sánh nghiệm nghiệm xấp xỉ u * (x , y )  sin x sin y  x  y, h  1,   a  2, b  1,  x  a,  y  b h  0.4 35 Số bƣớc lặp 1 2 0.0999 3.7651 0.0425 0.0577 0.0202 0.0233 0.0098 0.0104 0.0048 0.0050 0.0024 0.0024 0.0012 0.0012 5.10-4 5.10-4 3.10-4 2.10-4 10 1.10-4 1.10-4 11 8.10-5 7.10-5 12 4.10-5 3.10-5 13 2.10-5 1.10-5 14 1.10-5 2.10-6 15 9.10-6 1.10-6 Hình 3.1: Đồ thị sai số nghiệm nghiệm xấp xỉ 36 Bảng 3.2: Kết so sánh nghiệm nghiệm xấp xỉ h a  1, b  1, a  x  0, b /  y  b / u * (x , y )  e x sin y  x  y , h  7,   Số bước lặp 1 2 0.1179 1.2121 0.0045 0.1136 7.810-5 0.0045 1.3.10-4 1.0810-4 1.357.10-4 5.410-6 1.359.10-4 1.710-7 1.359.10-4 8.10-9 1.359.10-4 3.210-10 1.359.10-4 1.510-11 10 1.359.10-4 6.10-13 Hình 3.2: Đồ thị sai số nghiệm nghiệm xấp xỉ 37 3.2 Kết xác định nghiệm tốn trƣợt mơi trƣờng chất lỏng Xuất phát từ kết xây dựng sơ đồ lặp giải toán tổng quát, toán trượt môi trường chất lỏng thực chất trường hợp đặc biệt hàm vế phải f  đồng thời tất điều kiện biên dạng tức gk  0, k  1, 2, 3, 4, 5, 6, trừ điều kiện biên u  utop, x  4 Các kết thực nghiệm xác định từ thuật toán lặp tương ứng Bảng 3.3: Kết so sánh hai bƣớc lặp liên tiếp utop  e x b ;U  x  b , a  2,b  1, h  5,   Số bước lặp    k 1 k      h k 1 20.08 Số bước lặp 0.220 2.1e-12 0.0026 10 7.2e-14 1.510-4 11 1.0e-14 1.9e-6 12 3.5e-16 1.08e-7 13 1.0e-16 2.0e-9 14 5e-17 2  max u i, j u 2  max u i, j 8.2e-11 Hình 3.3: Đồ thị nghiệm xấp xỉ toán gốc u k   38 Nhận xét: Sơ đồ lặp hội tụ với tốc độ hội tụ nhanh, sai số phương pháp tương đương với O(h  k ) phù hợp với lý thuyết sai phân với độ xác cấp hai, tham số lặp lựa chọn khoảng    nghiệm thấy với việc chọn   1.5 qua thực h sơ đồ lặp hội tụ nhanh h Sơ đồ lặp áp dụng toán biên tổng quát với hệ điều kiện biên dạng Dirichlet Neumann tùy ý đoạn biên khác Ví dụ thay hệ điều kiện biên dạng Neunam biên  , 2 dạng Dirichlet… Khi thay điều kiện u  U  hu, x   n u  h u  g , x  32 hệ điều kiện biên dạng tổng quát n ( u , u )   xây dựng sơ đồ lặp lớp để xác n định giá trị   u Tuy nhiên việc chứng minh hội tụ sơ đồ lặp tốn khó, hồn tồn phụ thuộc vào dạng tốn tử A  ( u , ) n 39 KẾT LUẬN Nội dung luận văn nghiên cứu mơ hình tốn trượt môi trường chất lỏng với điều kiện vật lý học phức tạp Các kết luận văn gồm có: Trình bày kiến thức liên quan đến không gian hàm, lý thuyết sơ đồ lặp lớp, phương pháp sai phân, phương trình song điều hịa, thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn thư viện số giải tốn elliptic cấp hai miền hình chữ nhật Trên sở tài liệu [6], luận văn nghiên cứu mơ hình tổng qt tốn trượt môi trường chất lỏng, xây dựng mơ hình tốn học hệ điều kiện biên tốn song điều hịa Trên sở lý thuyết sơ đồ lặp lý thuyết toán tử, luận văn xây dựng sơ đồ lặp xác định giá trị biên, từ đề xuất sơ đồ lặp tìm nghiệm xấp xỉ tốn trượt trường hợp tổng quát Sử dụng ngơn ngữ lập trình Matlab version 7.0 tiến hành xây dựng chương trình tìm nghiệm xấp xỉ toán dựa sơ đồ lặp, kiểm tra độ xác thuật tốn máy tính điện tử Hướng phát triển luận văn tiếp tục nghiên cứu mơ hình học vật lý phức tạp có dạng mơ hình tốn song điều hòa 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt Tạ Văn Đĩnh (2002), Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất khoa học Kỹ thuật, Hà Nội Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Nguyễn Thị Tuyển (2010), “Xây dựng chương trình RC2009 giải số tốn biên elliptic với hệ số hằng”, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, T.69(07):56-63 Tài liệu tiếng Anh Dang Q A, Le Tung Son (2007), “Interative method for solv-ing a mixed boundary value problem for biharmonic equation”, Advances in Deterministic and Stochastic Analysis Eds N M Chuong et al World Scientific Publishing C, pp 103 – 113 Dang Q A, Truong Ha Hai, Vu Vinh Quang (2012), “Interative Method for a Biharmonic Problem with Crack Singgularities”, Applied Mathematical Sciences, 6(62), pp 3095-3018 Marchuk G.I (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New York Priezjev Nikolai V., Darhuber Anton A., Troian Sandra M (2005), “Slip behavior in liquid flims on surfaces of patterned wettability: Comparison between continuum and molecular dynamics simulations”, Microfluidic Reasearch and Engineering Laboratory, Princeton University Samarskij A and Nikolaev E (1989), Numerical methods for Grid Equations, Birkhauser, Basel 41 PHỤ LỤC Các chƣơng trình nguồn giải tốn trƣợt môi trƣờng chất lỏng Trƣờng hợp biết trƣớc nghiệm function quang_ha=quang_ha(a,b,n,t,epxilon) % Chuong trinh giai bai toán truot tam phim moi truong chat long % Ngay lap 5/4/2016 % Da kiem tra xac clc k1=1;k2=1; cc=0; N=2^n; M=2*N; p1=1;p2=N+1;p3=2*N+1;p4=3*N+1; q1=1;q2=N+1;q3=2*N+1; h=a/M;k=b/N;x10=-a;x20=0-b/2;bb=7;to=1/(bb+0.4); %==================================Giai mien 2============= % Buoc 0: Khoi dong cac gia tri ban dau phi2(1:M+1)=zeros(1,M+1); phi4(1:N+1)=zeros(1,N+1); uluu=zeros(M+1,N+1); for i=0:M for j=0:N x1=x10+i*h; x2=x20+j*k; phi(i+1,j+1)=vp(x1,x2,k1,k2,cc);% Ham ve phai ud(i+1,j+1)=u(x1,x2); end; end; thoigian=cputime;saiso=10;count=0;ss=10; while and(countepxilon) count=count+1; % Giai bai toan voi v for i=0:M for j=0:N x1=x10+i*h; x2=x20+j*k; phi(i+1,j+1)=vp(x1,x2,k1,k2,cc);% Ham ve phai ud(i+1,j+1)=u(x1,x2);%Nghiem dung end; end; 42 for j=0:N x2=x20+j*k; b1(j+1)=dh3x(x10,x2); b2(j+1)=dh3x(x10+a,x2); end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M x1=x10+i*h; if i