Kiểm tra cũ "3n > 3n + 1, n ∈ N * " Cho mệnh đề chứa biến P(n): a Với n = 1, 2, P(n) hay sai? b Dự đoán mệnh đề P(n) nào? Trả lời: a n 3n 27 ? < > > 3n+1 S Đ Đ 10 b Dự đoán P(n) với ∀n ∈ N * ,n ≥ Ch­¬ng III DÃY SỐ D·ySỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Chương III: - CP số-cấp số cộng cấp số nhân Trong chng nghiên cứu Tiết 37: PHƯƠNG PHÁP minh nhiều khẳng phương pháp chứngQUY NẠP TOÁN HỌC định toán học liên quan tập hợp số tự nhiên “phương pháp quy nạp tốn học.” Tiếp nghiên cứu “dãy số” cuối em tìm hiểu số vấn đề xung quanh dãy số đặc biệt “cấp số cộng” “cấp số nhân.” Xét toán: Chứng minh với số nguyên dương n, ta ln có n(n + 1)(n + 2) 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) = (1) a) Hãy kiểm tra đẳng thức (1) n=1 b) Em kiểm tra đẳng thức (1) với giá trị nguyên dương n hay không ? Không thể kiểm tra với giá trị nguyên dương n, nhiên ta chứng minh khẳng định sau: “ Với k số nguyên dương tùy ý, (1) n=k n=k+1” Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN §1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC Phương pháp quy nạp tốn học Để chứng minh mệnh đề với sau: n ∈ ¥ *ta thực theo bước B1: Kiểm tra mệnh đề với n=1 B2: Giả sử mệnh đề với n = k ≥ (Giả thiết qui nạp-GTQN) Ta chứng minh mệnh đề với n=k+1 ( Phương pháp quy nạp toán học hay gọi tắt phương pháp quy nạp) Ví dụ áp dụng: Ví dụ1: Chứng minh với n ∈ N*, ta có: + + + + n = n(n + 1) (1) Ví dụ1: Chứng minh với n ∈ N*, ta có: n(n + 1) + + + + n = (1) Lời giải: 1(1 + 1) = VP(1) , đẳng thức (1) +) Với n = 1, ta có VT(1) = = k (k + 1) +) Giả sử (1) với n = k ≥ 1, nghĩa + + + + k = (GTQN) Ta phải chứng minh (1) với n = k+1, tức phải chứng minh: (k + 1)[(k + 1) + 1] + + + + k + ( k + 1) = (2) Thật vậy: VT (2) = (1 + + + + k ) + ( k + 1) = = k (k + 1) + (k + 1) (k + 1) [ (k + 1) + 1] = VP (2) n(n + 1) Vậy với n ∈N*, ta có: + + + + n = (1) §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh mệnh đề với n ∈ ¥ *ta thực theo bước sau: B1: Kiểm tra mệnh đề với n=1 B2: Giả sử mệnh đề với n = k ≥ (Giả thiết qui nạp-GTQN) Ta chứng minh mệnh đề với n=k+1 Ví dụ áp dụng: Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n≥ p (p số tự nhiên) thì: Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n=p Ở bước 2, ta giả sử mệnh đề với số tự nhiên phải chứng minh mệnh đề với n=k+1 n=k≥ p §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC Phương pháp qui nạp tốn học Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n≥ p (p số tự nhiên) thì: Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n=p Ở bước 2, ta giả sử mệnh đề với số tự nhiên phải chứng minh mệnh đề với n=k+1 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên dương 3n > 3n + n ≥ , ta ln có n=k≥ p Ví dụ 2: Chứng minh với số ngun dương n ≥ , ta ln có 3n > 3n + 1.(1) Với n = 2, ta có VT(1) = > = VP(1), bất đẳng thức (1) k Giả sử bất đẳng thức (1) với n = k≥ 2, nghĩa là: > 3k + Ta phải chứng minh bất đẳng thức (1) với n = k+ 1, tức : 3k +1 > 3(k + 1) + = 3k + Thật vậy: Theo giả thiết qui nạp có: 3k +1 = 3.3k > 3(3k + 1) = 9k + = 3k + + 6k − > 3k + V × 6k − > nª n : 3k +1 > 3k + Vậy (1) với số nguyên dương n≥2 Ví dụ 3: Chứng minh với n ∈ N ta có * Với n = ta có: u1 = 131 − = 12M un = 13n − 1 (Mệnh đề (1) đúng) Giả sử mệnh đề (1) với n = k≥ 1, nghĩa là: k u Ta phải chứng minh (1) với n = k+ 1, tức : Thật vậy: uk +1 = 13k +1 − = 13.13k − = 13(13k − 1) + 12 = 13uk + 12M Vậy với n ∈N*, ta có: un = 13n − 1M = 13k − 1M uk +1 = 13k +1 − 1M Ví dụ 4: ( 1) CMR ∀n ∈ ¥ * : 1.4 + 2.7 + + n(3n + 1) = n(n + 1) Với n = 1, ta có VT(1) = 1.(3.1+1) =4 = 1.(1+1) 2=VP(1), đẳng thức Giả sử đẳng thức với n = k≥ 1, nghĩa là: 1.4 + 2.7 + + k (3k + 1) = k (k + 1) (GTQN) Ta phải chứng minh với n = k+ 1, tức : 1.4 + 2.7 + + k (3k + 1) + ( k + 1) [ 3( k + 1) + 1] = ( k + 1) [ ( k + 1) + 1] ( 2) = (k + 1)(k + 2) Thật vậy: VT (2) = [1.4 + 2.7 + + k (3k + 1)] + (k + 1) [ 3(k + 1) + 1] = k (k + 1) + (k + 1) [ 3(k + 1) + 1] = (k + 1)[ k (k + 1) + 3k + 4] = (k + 1)(k + 4k + 4) = (k + 1)(k + 2) = VP(2) Vậy với n ∈N*, ta có: 1.4 + 2.7 + + n(3n + 1) = n( n + 1) ( 1) §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh mệnh đề với n ∈ ¥ *ta thực theo bước sau: B1: Kiểm tra mệnh đề với n=1 B2: Giả sử mệnh đề với n = k ≥ (Giả thiết qui nạp-GTQN) Ta chứng minh mệnh đề với n=k+1 Ví dụ áp dụng: HOẠT ĐỘNG NHÓM CMR :1.4 + 2.7 + + n(3n + 1) = n(n + 1) CMR : ∀n ∈ N * cã un = 13n − 1M CMR : n ≥ 2, ∀n ∈ N cã : 3n > 3n + §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC •Nêu phương pháp qui nạp tốn học ? •Chú ý chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n ≥ p ? • Học thuộc nắm qui trình chứng minh tốn phương pháp qui nạp • Các tập 1,2,3,4 tự luyện tập • Bài 5: Đa giác lồi cạnh có đường chéo? • Đọc : Bạn có biết Suy luận qui nạp QUÝ THẦY CÔ CÙNG CÁC EM SỨC KHỎE THÀNH ĐẠT  ... k ≥ (Giả thiết qui nạp-GTQN) Ta chứng minh mệnh đề với n=k+1 ( Phương pháp quy nạp toán học hay gọi tắt phương pháp quy nạp) Ví dụ áp dụng: Ví dụ1: Chứng minh với n ∈ N*, ta có: + + + + n =... ý, (1) n=k n=k+1” Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN §1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề với sau: n ∈ ¥ *ta thực theo bước B1: Kiểm... cứu Tiết 37: PHƯƠNG PHÁP minh nhiều khẳng phương pháp chứngQUY NẠP TỐN HỌC định tốn học liên quan tập hợp số tự nhiên “phương pháp quy nạp tốn học.” Tiếp nghiên cứu “dãy số” cuối em tìm hiểu