Chuyên đề : Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng Lời nói đầu Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức hay và khó của toán học phổ thông, đặc biệt bài tập về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức không thể thiếu đợc trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp. Ngoài việc sử dụng các phép biến đổi tơng đơng thông thờng với bất đẳng thức, ngời học đã quá quen thuộc với việc vận dụng bất đẳng thức Cauchy để giải toán. Tuy nhiên bằng việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ngời ta vẫn xây dựng đợc nhiều bất đẳng thức mới hay và khó. Các bất đẳng thức này có thể tham khảo từ các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp. Chuyên đề Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng giới thiệu cách tiếp cận mới với bất dẳng thức Cauchy. Hy vọng nó sẽ góp thêm cho bạn đọc những kinh nghiệm trong việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải toán. Chuyên đề đợc viết trong phạm vi nhỏ hẹp nên nội dung có thể cha sâu, rất mong nhận đợc sự góp ý của các bạn đồng nghiệp. http://violet.vn/tranthuquynh81 1 Chuyên đề :Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng Nội Dung A. Các kiến thức cần nhớ. 1. Định lý: Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc bằng (không nhỏ hơn) trung bình nhân của n số đó. + Với 1 2 ; ; ; 0 n a a a ta luôn có 1 2 1 2 . . n n n a a a a a a n + + + . Dấu = xảy ra 1 2 . n a a a = = = * Với n=2: 1 2 ; 0a a ta có 1 2 1 2 2 a a a a + . Dấu = xảy ra 1 2 a a = * Với n=3 : 1 2 3 ; ; 0a a a ta có 1 2 3 3 1 2 3 3 a a a a a a + + . Dấu = xảy ra 1 2 3 a a a = = 2. Hệ quả: a) Nếu các đại lợng không âm có tổng không đổi thì tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau b) Nếu các đại lợng không âm có tích không đổi thì tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau B. Một số áp dụng của BĐT Cauchy. 1. Xây dựng bất đẳng thức một biến và áp dụng. Ví dụ 1: Cho 0 1a . Chứng minh rằng: 1 (1 ) 4 a a Giải: Do 0 1a 1 0a . áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm a và 1-a ta có 2 1 1 (1 ) 2 4 a a a a + = ữ (đpcm). Dấu = xảy ra 1 1 2 a a = = Ví dụ 2: Cho 0 , , 1a b c< < . Chứng minh rằng trong ba bất đẳng thức sau: 1 1 1 (1 ) ; (1 ) ; (1 ) 4 4 4 a b b c c a > >f có ít nhất một bất đẳng thức sai. Giải: Nhân vế với vế của ba BĐT đã cho ta đợc: 1 (1 )(1 )(1 ) (1) 64 abc a b c > http://violet.vn/tranthuquynh81 2 Mặt khác theo VD1 ta có 1 (1 )(1 )(1 ) (2) 64 abc a b c Mâu thuẫn giữa (1) và (2) suy ra đpcm. Chuyên đề :Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng Ví dụ 3: Cho 1 ; ; 2 a b c > và a+b+c=3. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 5 2( ) 5 2( ) 5 2( ) a b c P b c c a a b = + + + + + Giải: Ta có 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 5 2( ) a a a a a a a a b c + = + (1) Tơng tự có: 2 5 2( ) b b c a + (2) 2 5 2( ) c c a b + (3) Cộng vế với vế của ba BĐT (1); (2); (3) tađợc 3P a b c + + = (Đpcm). Dấu = xảy ra 1a b c = = = 2. Sử dụng hằng đẳng thức Ví dụ1: Cho a,b,c>0 . Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a b ab b c bc c a ca + + + + + + + + + + Giải: Ta có (a-b)+(b-c)+(c-a)=0 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 0 a b b c c a a b ab b c bc c a ca + + = + + + + + + P Q = trong đó 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c P a b ab b c bc c a ca = + + + + + + + + 3 3 3 2 2 2 2 2 2 b c c Q a b ab b c bc c a ca = + + + + + + + + Khi đó ta có 2P P Q= + = 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b ab b c bc c a ca + + + + + + + + + + + Lại có 2 2 3 3 2 2 2 2 1 3 3 a b ab a b a b a b ab a b ab + + + + + + + 2( ) 2 3 3 3 3 a b b c c a a b c P + + + + + + + = http://violet.vn/tranthuquynh81 3 3 a b c P + + (Đpcm). Dấu = xảy ra a b c = = Chuyên đề :Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng Ví dụ 2: (tơng tự ví dụ 1) Cho a,b, c>0. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 3 6 3 2 2 6 4 3 9 12 a b c a b c a b b c c a + + + + + + + 3. Sử dụng các hằng số. Ví dụ 1: Cho a, b, c >0 thoả mãn ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng: 3 3 3 1 3 a b c+ + Giải: Ta có 3 3 1 3 3 3 a b ab+ + suy ra 3 3 1 3 3 3 b c bc+ + suy ra 3 3 1 3 3 3 c a ca+ + Cộng vế với vế của các BĐT trên ta đợc 3 3 3 1 2( ) 3( ) 3 3 a b c ab bc ca+ + + + + = 3 3 3 1 3 a b c+ + (Đpcm) Dấu = xảy ra 3 9 a b c = = = Ví dụ 2:Cho a,b,c>0 thoả mãn a+b+c=3abc. Chứng minh rằng: 5 5 5 1 1 1 3 a b c + + . Giải: Ta có 1 1 1 3 3a b c abc ab bc ca + + = + + = áp dụng BĐT Cauchy cho các số dơng ta có: 5 5 1 1 5 1 1 1 a b ab + + + + tơng tự 5 5 1 1 5 1 1 1 b c bc + + + + suy ra 5 5 1 1 5 1 1 1 c a ca + + + + Cộng vế với vế của các BĐT trên ta đợc 5 5 5 1 1 1 1 1 1 2 9 5 15 a b c ab bc ca + + + + + = ữ ữ 5 5 5 1 1 1 3 a b c + + (Đpcm). Dấu = xảy ra 1a b c = = = http://violet.vn/tranthuquynh81 4 * Các bài tập có cách giải tơng tự Ví dụ 3: Cho a,b,c>0 thoả mãn 2 2 2 3 a b b c c a c a b + + = . CMR: 6 6 6 3 3 3 3 a b c b c a + + Ví dụ 4: Cho a,b,c>0 thoả mãn a+b+c=3. CMR: 6 6 6 2 2 2 2 2 2 3 a b c b c c a a b + + Chuyên đề :Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng 4. Sử dụng BĐT Cauchy trong bài toán tìm cực trị Ví dụ 1: Cho hai số dơng x, y thoả mãn điều kiện x+y=10. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 T x y = + Giải:Ta có 2 1 1 10 10 2 (10 ) 5 10 2 x y T x y xy x x x x + = + = = = + ữ suy ra 2 5 5 MinT x= = Ví dụ 2: Cho trớc hai số dơng a, b còn hai số dơng x, y thay đổi thoả mãn 1 a b x y + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x+y. Giải: Ta có 1 ( ) a b a b x y x y x y x y + = + + = + ữ 2 2 bx ay abxy x y a b a b a b ab y x xy + = + + + + + = + + ( ) 2 ;Min x y a b ab x a ab y b ab + = + + = + = + Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 3yz x zx y xy z P xyz + + = Giải: ĐK: 1; 2; 3x y z Ta có 2 1 3 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 . . 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 y x z x y y P x y z x y z + + + = + + + + = + + 1 1 1 2; 4; 6 2 2 2 2 3 MaxP x y z = + + = = = * Một số bài tập áp dụng Ví dụ 4: Cho x,y,z >0 thoả mãn x+y+z=1. http://violet.vn/tranthuquynh81 5 T×m: a) GTNN cña x y P xyz + = b) GTLN cña 1 1 1 x y z Q x y z = + + + + + VÝ dô 5: Cho hai sè thùc d¬ng x, y tho¶ m·n 1x y+ ≤ . T×m GTNN cña 2 2 1 1 4M xy x y xy = + + + VÝ dô 6: Cho ba sè thùc d¬ng x,y,z tho¶ m·n 1x y z+ + ≤ . T×m GTNN cña 1 1 1 2( ) 3A x y z x y z   = + + + + +  ÷   http://violet.vn/tranthuquynh81 6 . Mâu thuẫn giữa (1) và (2) suy ra đpcm. Chuyên đề :Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng Ví dụ 3: Cho 1 ; ; 2 a b c > và a+b+c=3. Chứng minh rằng: 2 2 2. CMR: 6 6 6 2 2 2 2 2 2 3 a b c b c c a a b + + Chuyên đề :Bất đẳng thức Cauchy và ứng dụng 4. Sử dụng BĐT Cauchy trong bài toán tìm cực trị Ví dụ 1: Cho