1 L I C# C#M ! N Trong q trình hồn thành lun v$n, &ã &'( c s* ch +  &.o, h'/ ng ng d1n, &3ng viên tn tình c5a giáo: Th.S &ồn Th' Th' Chun, gi7ng viên khoa Tốn Lí – Tin, &8ng th9 i nhn &'( c s * góp ý v;  &; tài, t.o &i;u ki=n thun l ( i v;  c)   s>  v  vt ch?t, th9 i gian, tài li=u tham kh7o c 5a thAy khoa Tốn – Lí – Tin, phịng nghiên cBu khoa hCc th' vi =n tr '9  '9 nngg &.i h Cc Tây BDc Bên c.nh &ó tơi cịn nhn &'( c s *  &3ng viên giúp &E   cc 5a b.n t p th G l /  p K47 &.i hCc s' ph.m Toán, s* giúp &E  trong  trong vi=c &ánh máy, in ?n c5a t ?t c 7 b n bè, ng'9 i thân  Nhân dI p  p này, cho phép tơi bày tK lịng biLt ) n sâu sDc t/ i s*  giúp &E , &3ng viên quý báu c5a thAy cô, b.n, t/ i nhMng ng'9 i thân, &) n vI  liên quan, &Nc bi=t giáo Th.S &ồn Th' Th' Chuyên.  S) n La, tháng 05 n$m 2010  Ng'9 i th*c hi=n Lê Th' Th' Li  Li**u    2 M.C L L.C L9 i c7m ) n…………………………………………………………….……… n…………………………………………………………….……… PhAn m>  &Au…………………………………………………………………… Lí chCn khoá lun………………………………………………… OPi t'( ng, ng, ph') ng ng pháp, ph.m vi nghiên cBu……………………… 3 MQc &ích, nhi=m vQ và nhMng &óng góp c5a khố lun…………… Ch') ng ng M3t sP kiLn thBc liên quan………………………… quan…………………………….….… ….….… 1.1 Không gian Sobolev………………………………………………….…… 1.2 M3t vài không gian c 5a hàm 17 1.2.1 Không gian hàm H -1…………………………………………….……… 17 1.2.2 Không gian phQ thu3c th9 i gian …………… ………………………… 18 Không gian hàm L p(0,T;X) ………………………………………… 18 Không gian hàm C( C([0,T];X)…………… [0,T];X)…………………………… …………………….……… 18 …….……… 18 1.3 Các b?t &Rng thBc………………………………………………………….19 1.3.1 B?t &Rng thBc Gronwall-Bellman…………… Gronwall-Bellman…………………………… ………………….……… 19 ….……… 19 1.3.2 B?t &Rng thBc n$ng l'( ng……………………………………….……… 19 ng……………………………………….……… 19 Ch') ng ng 2.Tính &Nt &úng c5a tốn Cauchy – Dirichlet &Pi v/ i ph') nngg trình Parabolic c? p hai…………………………………… hai……………………………………………….…… ………….…… .21 .21 2.1 M>  &Au 21 2.1.1 ThiLt l p toán toán 21 .21 2.1.2 Mơ típ c5a &Inh ngh S a nghi=m suy r 3ng 22 2.1.3 Nghi=m suy r 3ng 23 2.2 S* t8n t.i nh?t c5a nghi=m suy r 3ng 25 2.2.1 M3t sP &ánh giá tiên nghi=m 25 2.2.2 S* t8n t.i nghi=m suy r 3ng .28 2.2.3 Tính nh?t nghi=m suy r 3ng 30 K Lt lun 31 Tài li=u tham kh7o:……………………………………………… ……………32    3 PH0 PH 0N M1  M1  &0 &0U U Lí ch2 ch2n khố lu4 lu4n Trong ch') ng ng trình c5a bc &.i hCc, b'/ c &Au &ã &'( c làm quen v/ i môn ph') ng ng trình &.o hàm riêng Trong &ó, ta &ã biLt &'( c v?n &;  c)    b7n liên quan &Ln ph') ng ng trình Lapace, ph') ng ng trình truy;n sóng, ph') ng ng trình truy;n nhi=t ph') ng ng trình &) n gi7n lAn l'( t &.i di=n cho ba l/  p  ph') ng ng trình &.o hàm riêng ph') ng ng trình lo.i eliptic, hypebolic parabolic Khi hCc ta th?y r Tng, &i;u ki=n t8n t i nghi=m theo ngh S a thơng th'9 ng ng th'9 nngg &ịi h Ki nhi;u yLu tP khDt khe nh' tính tr )  )n  &Ln c ? p c 5a ph ') ng ng trình, &i;u gây khó kh$n xét tốn &Pi v/ i ph') ng ng trình nhMng mi;n  b?t kì hoNc &Pi v/ i nhMng toán c5a ph') ng ng trình tUng quát h) nn OG khDc  phQc &i;u này, thay &i tìm nghi=m cU  &iGn, ng'9 i ta &i tìm nghi=m suy r 3ng, tBc là nghi=m “ thô” lúc &Au nghi=m “ gAn” v / i nghi=m h Au khD p n) i hoNc nghi=m cU &iGn gCi chung nghi=m thông th'9 ng ng Sau &ó nh9  các  các cơng c Q  c5a gi7i tích hàm, ta làm cho nghi=m dAn &Ln nghi=m thơng th'9 ng ng Chính vy, ph') ng ng trình &.o hàm riêng cịn v ?n &; r ?t m/ i mV và bí Wn kích thích s*  khám phá c5a nhMng sinh viên u thích Nh Tm góp phAn giúp nhMng b.n sinh viên nhMng &3c gi7 u mơn ph') ng ng trình &.o hàm riêng nói chung  b7n thân tác gi 7  nói riêng hiGu sâu h) n v;  mơn hCc tiL p tQc tìm hiGu khám phá, tơi m.nh d.n nghiên cBu &; tài: “Nghiên cBu tính &Nt &úng c5a tốn Cauchy – Dirichlet &Pi v/ i ph') ng ng trình parabolic c? p hai” &6 &6ii tt89  89 ng, ng, ph8:  ph8: ng ng pháp, ph; ph;m vi nghiên c và nhB  nhB ng ng @óng góp cD cDa khố lu4 lu4n 3.1 M> M>c @ích nghiên c  trong   R  N Lu u ∈ C  (Ω)  thì bao &óng c5a t  p h(  p &iGm x cho u ( x)  ≠ 0  &'( c gCi giá c5a hàm u(x) u(x)   kí hi=u  suppu  suppu  Nh' vy hàm u(x) = 0,  x ∈ Ω \ suppu Ta có +) C 0 (Ω) t p h(  p t?t c7 các hàm thu3c C (  Ω)  sao cho giá c5a chúng compact thu3c vào Ω C k ( ) C k  ( ) C  ( ) +) Ω = Ω ∩ Ω ∞ ∞ +) C0 (Ω) = C (Ω) ∩ C 0 (Ω) 1.1.2 Không gian Lp  Trong không gian &Inh chuWn có m3t l/  p khơng gian Banach &Nc bi=t quan tr Cng không gian L p mà d'/ i &ây ta sZ kh7o sát &'nh &' nh ngh N a a Cho mt không gian Ω   mt $  $ o µ mt σ  −   $%i s'  F   F t ) p    6 c*a Ω H -  t    t c / các hàm s'    f ( x) có l 0 y th 2 a b )c p, (1 ≤  p < +∞) c*a modun kh/ tích Ω có ngh5 a là  ∫  f  p d µ < +∞ ’ Ω   , µ )    g -i khơng gian  L p (Ω Khi Ω m3t t p &o &'( c Lebesgue &ó R k    µ   m3t &3  &o Lebesgue ta viLt  L p (Ω)     , µ ) ( &ó ta khơng phân bi =t hàm t ') n T p h(  p  L p (Ω ngg &') nngg nhau, ngh S a bTng hAu khD p n) i) i) m3t khơng gian tuyLn tính &Inh chuWn v/ i phép tốn thông th'9 ng ng v; c3ng hàm sP, nhân hàm sP, v/ i chuWn  f  p  p  p = ( f d µ )   Ω &'nh &' nh lí ∫    , µ )   v7 i ≤  p < +∞   mt khơng gian tuy: n tính $ n $* ( không gian Banach) &'nh &' nh lí Gi/  s@   Ω  là  l mt miA n R n T ) p hB  p t   t  c/ các hàm liên t Cc Ω  v7 i giá compact trù m)t không gian  L p (Ω), p ≥   &'nh lí 3.(Tính khP &'nh khP ly) Gi/ s@   pp D  1  1 Ω  là mt miA n thuc R n T En t %i mt t ) p $: m $3B c phFn t @  @  cc*a không gian  L p (Ω),  sao cho bao tuy: n tính c*a trù m)t  L p (Ω)   Ch 0 , cho ∫   p  f ( x) − f ( x + y ) dx ph> thu  thuQQc thR  thR i gian &'nh &' nh ngh N a 3. Không gian L p(0,T;X) g Em t    t c/ các hàm $ o $3B c u : [ 0,T ] → X  v7 i  ∫  0 T   p      p (i) u  L p ( 0,T ; X ) : =  u(t ) dt     ng t*   f : [ 0, T ] → L2 (U )    b> i [ f (t )] ( x) : = f ( x, t ) ( x ∈U ; t ∈ [0, T ]) Khi &ó nLu cP &Inh hàm v ∈ H (U ) , ta có thG nhân ph') ng ng trình &.o hàm riêng ∂u + Lu = f   b> i v và tích phân chúng, ta &'( c ∂t     23   d  (u ', v) + B [u , v; t ] = ( f , v)  ' =  ,   dt  (9) ng  L2 (U ) v/ i mbi t ∈ [0, T ] ,  cN p kí hi=u ( , ) tích vô h'/ ng Ta th?y (10) ut = g + Cho : =  f − n ∑ g  x j  j =1 n ∑b u i i =1  xi  trong U TT  .  − cu  và  j := n ∑a u ij ( j = 1, 1, n)    xi i =1 T] (10) &Inh ngh S a không gian &Pi ng1u kéo theo vL  ph7i c5a (10) thu3c không gian Sobolev  H −1 (U )  ta &'( c u t   n  H − (U )  j = ≤  ∑ g  j  L2 (U )     ≤   C u ( H (U ) f + L (U )   )  Oánh giá g( i ý r Tng có thG tìm nghi=m suy r 3ng v/ i u ' ∈ H −1 (U )   '9 ng a.e t ∈ [0,T ] ,  trong tr '9  ng h(  p sP  h.ng tY  &Au tiên (9) có thG  biGu diXn giPng < u ', v >,  < , > kí hi=u m3t cN p c5a  H −1 (U )  và  H 01 (U ) 2.1.3 NghiA NghiAm suy rQ rQng &'nh &' nh ngh N a a  M t hàm u ∈ L2 (0, T ; H 01 (U )) ,  v7 i u ' ∈ L (0, T ; H − (U )) ,  $3B c g -i nghiQm suy r ng c*a toán biên ban $Fu thS   nh. t n: u thIa mãn $ iA u kiQn sau (i) < u ', v > + B [u, v; t ] = < f , v > , ∀v ∈ H 01 (U ) , a.e t ∈ [0, T ] ,   (ii) u(0) = g     Chú ý 1.  Theo &Inh lí c5a 1.2.2 ch') ng ng th?y u ∈ C ([0, T ] ; L2 (U ) ) ,    &ó &Rng thBc (ii) hiGu theo ngh S a trù mt    24  M t hàm u $3B c g -i nghiQm cW   $ iX n c*a toán (1) n: u   u ∈ C 2,1(U T ) ∩ C (U T )  và   tho/ mã  mãn (1) Gi7  sY u nghi=m c U  &iGn c5a tốn Khi &ó ∀v ∈ C0∞ (U ) Nhân hai vL  c5a &Rng thBc ut  + Lu = f   v  / i η   r 8i l?y tích phân hai vL trên tr Q  U T    ta &'( c (11) n  ∂u  ∂  ij ∂u   n i ∂u v + ∑ b v + cuv  dx = ∫ fvdx    a   ∫U  ∂t v − i∑   ∂ x ∂ x ∂xi , j =1 i =1  i  j   U  Áp dQng cơng thBc tích phân t]ng phAn &i;u ki=n biên ta có n ∂  ij ∂u   ij ∂u ∂v = − a v d x a dx      ∑ ∫U i∑ ∫      x x x x ∂ ∂ ∂ ∂ , j =1 i  j   j i U  i , j =1 n Thay vào (11) ta &'( c n n  ∂u  i ∂u ij ∂u ∂v ∞ + + + = ∀ ∈ , (U )    v a b v c u v d x f v d x v C   ∑ ∑ ∫U  ∂t i, j=1 ∂x j ∂xi i=1 ∂xi ∫   U  Oi;u có ngh S a < u ', v > + B [u, v; t ] = < f , v >, ∀v ∈ C0∞ (U ) , a.e t ∈ [0, T ]  Nh'ng C0∞ (U )  trù mt  H 01 (U )   suy &Rng thBc &úng v/ i ∀v ∈ H 01 (U )   MNt khác t]  u ∈ C 2,1 (U T ) ∩ C (U T  )   &i;u ki=n biên c5a toán (1) suy u ∈ H 01 (U )   Ta th?y r Tng nLu tốn có nghi =m cU &iGn ln có nghi =m suy r 3ng nhiên &i;u ng'( c l.i khơng &úng nghi=m cU  &iGn &ịi hKi hàm u có &.o hàm theo  xi   &Ln c? p c5a ph') ng ng trình c? p hai &.o hàm theo t &Ln c? p m3t Trong &ó nghi=m suy r 3ng c5a tốn ch+  &ịi h Ki &.o hàm suy r 3ng theo &Ln c? p m3t B> i vy ph') ng ng trình &.o hàm riêng hi=n &.i ng'9 i ta &i tìm nghi=m suy r 3ng c 5a tốn chBng minh t8n t i nh?t nghi=m suy r 3ng    25 Sau &ó &i tìm m3t sP &i;u ki=n &G nghi=m suy r 3ng có thG thành nghi=m cU &iGn hoNc nghi=m hAu khD p n) i c5a toán 2.2 S_  S_  t`  t`n t; t;i nhS nhSt cD cDa nghiA nghiAm suy rQ rQng 2.2.1 MQ MQt ss66 @ánh giá tiên nghiA nghiAm Chúng ta &ã xây d*ng nghi=m suy r 3ng c5a toán biên ban &Au thB nh?t  bTng ph') ng ng pháp x? p x+  Galerkin Gi7  sY các hàm ωk = ωk ( x)  ( k =1,…) là =1,…) là tr )  )n    ∞ (12) {ωk }k =1  là tr *c giao c5a  H 01 (U ),     ∞ (13) {ωk }k =1  là tr *c chuWn c5a  L2 (U )   CP &Inh m3t sP nguyên d') ng ng m, ta tìm &'( c m3t hàm (14) um : [0, T ] → H (U )   có d.ng um (t ) : = d mk  (t ) m ∑d k =1 (t )  ωk ,    h= sP, ( ≤ t ≤ T ; k = 1, , m)   &ó (15) d mk  (0) = ( g , ω k  ) k  m   ( k = 1, , m)   (0  ≤ t ≤ T , k (16) (um′ , ω  k ) + B [um , ω k ; t ] = ( f , ωk ) (0 = 1, , m) Ta tìm &'( c m3t hàm um  có d.ng (14) tho7 mãn nh'  m3t phép chiLu m (16) c5a tốn (1) lên khơng gian hMu h.n biGu diXn b> i {ωk }k =1 &'nh &' nh lí ( C   u tr tr úc c $a ng ng hi 'm x    p   x  ) **    M GG i  s'  nguyên   nguyên m = 1,…sY   xu. t hiQn nh. t mt hàm um  có d %ng (14) tho/  mãn (15), (16) Ch  thành  thành h= tiL p tuyLn c5a ph') ng ng trình vi phân th'9 nngg m kl l k   (19) d ′ (t ) + ∑ e (t ) dm (t ) = f (t ) (k = 1, m)   k m l =1 Do &ó t8n t.i nh?t m3t hàm t Qc liên tuy=t &Pi d m (t) = (d m1 (t)),, ., d mm (t )))),   có d.ng (14) thKa mãn (15), (19) tBc thKa mãn (15), (16), a.e t ∈ [ 0, T ]   Chú ý Cho m → ∞  và ch+ ra dãy c5a nghi=m um  thKa mãn (15), (16) h3i t Q  yLu &Ln nghi=m c5a (1), &G làm &'( c &i;u ta cAn có &ánh giá sau T En t %i mt hN ng ng s'  C,  C, phC thuc nh. t vào U, T h Q s'   cc*a L  sao cho (20) max um (t )  L2 (U ) + um t∈[0,T ] L2 ( ,T ; H 01 (U )) + um ' L  (0,T ;H − (U ))   ≤ C( f  L2 ( 0,T ; L2 (U )) + g  L (U ) ) , cho m = 1,2,…(B. t $V ng ng thS c nZng l 3B  ng) 3B ng)   yêu  yêu cAu nghiên cBu tính &Nt &úng c5a tốn Cauchy- ... Ph;m vi nghiên c