Sáng kiến kinh nghiệm Phơng trình vô tỉ Th viện SKKN của Quang Hiệu http://quanghieu030778.violet.vn/ Lời nói đầu Đứng trớc yêu cầu của công cuộc đổi mới , giáo dục phải luôn luôn đi trớc một bớc , vì thế đòi hỏi ngành giáo dục nói chung và mỗi ngời thầy nói riêng phải gánh vác một trọng trách hết sức nặng nề. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại xứng đáng với vị trí của nó trong xã hội thì các nhà giáo dục phải đổi mới ( học hỏi, nghiên cứu ) để đề ra những định hớng kịp thời. Trong quá trình giáo dục thì việc dạy học trong các nhà tr - ờng là chủ yếu, và trong mỗi nhà trờng thì bản thân mỗi giáo viên phải luôn luôn phấn đấu nâng cao hiệu suất giờ lên lớp , có làm đ - ợc nh vậy thì mới nâng cao đợc chất lợng đào tạo, gây đợc uy tín đối với học sinh, củng cố niềm tin với phụ huynh học sinh và toàn xã hội. Là một giáo viên dạy toán THCS, trong những năm qua tôi đã đặt ra cho mình một nhiệm vụ là phải nghiên cứu tìm ra những phơng pháp thích hợp cho giảng dạy , những vấn đề cụ thể phù hợp với đối tợng thực tế. Một trong những chuyên đề mà tôi tâm đắc nhất là " Phơng trình vô tỷ ". Tôi đã tham khảo rất nhiều tài liệu viết về "Phơng trình vô tỷ ", phần nào các tác giả đã đa ra những bài toán tơng đối đa dạng, tuy nhiên còn tản mạn trong nhiều cuốn sách khác nhau. Để giáo viên có tài liệu bồi dỡng chuyên đề cho học sinh khá, giỏi - Tôi xin mạn phép các tác giả đợc lựa chọn ra một số bài toán, phân giải, giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức và nắm chắc chuyên đề trên. Phơng trình vô tỷ mới đợc đa vào trong chơng trình toán lớp 9 cải cách giáo dục và mới chỉ là các dạng rất đơn giản, vì vậy việc dạy "Phơng trình vô tỷ "là kiến thức mới và rất khó đối với giáo viên dạy toán cấp 2. Mặc dù số tiết học trong phân phối ch - ơng trình không có nhng trong đề thi thờng hay gặp dạng phơng trình vô tỷ. Sáng kiến kinh nghiệm Phơng trình vô tỉ "Phơng trình vô tỷ " là một vấn đề dạy giải bài tập có một đặc thù riêng - Ta có thể đa về các phơng trình đã biết cách giải, thông qua đó mà tìm nghiệm của phơng trình nói trên. Hệ thống bài tập về "Phơng trình vô tỷ " có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh ( khá, giỏi ) dạy và học. Rèn luyện cho học sinh năng lực từ những kiến thức quen biết , nhận dạng và đa những dạng bài tập cha biết cách giải về dạng quen biết đã biết cách giải, có đợc hệ thống bài tập để ôn luyện cho học sinh thi cuối cấp cũng nh thi vào PTTH. Sáng kiến kinh nghiệm Phơng trình vô tỉ Phần nội dung 1- Định nghĩa Ph ơng trình vô tỷ . Phơng trình vô tỷ là phơng trình đại số trong đó ít nhất một số hạng là biểu thức vô tỷ đối với ẩn số ( tức là ẩn số nằm trong dấu căn ). Trong chơng trình THCS, ta thờng gặp những phơng trình vô tỷ mà chứa ẩn số trong các biểu thức dới dấu căn bậc hai. 2- Đ ờng lối chung . - Tìm miền xác định của phơng trình . - Khử căn đa về phơng trình đại số. - Giải phơng trình đại số . - Nhận định kết quả và trả lời. 3- Các ph ơng pháp và ví dụ . a-Phơng pháp nâng lên luỹ thừa. Dạng 1: ( ) xf = ( ) xg Sơ đồ cách giải : ( ) xf ( ) xg = ( ) 0 xg Đ/k: ( ) 0 xf ( ) xf = ( ) [ ] xg 2 Ví dụ 1 : Giải phơng trình 1 + x 1 = x ( ) 1 Điều kiện : + 1 01 01 x x x Sáng kiến kinh nghiệm Phơng trình vô tỉ Với điều kiện trên, 2 vế không âm, bình phơng 2 vế của (1) ta đợc phơng trình tơng đơng: 1 + x x = 2 12 + x x 2 - 3x = 0 x = 0 hoặc x = 3. Đối chiếu với điều kiện trên ta thấy chỉ có x = 3 thoả mãn Vậy phơng trình có 1 nghiệm x = 3 * Nhận xét: Khi giải phơng trình dạng trên , học sinh thờng hay mắc sai lầm là không đặt điều kiện cho g ( ) x 0 . Chẳng hạn, ở ví dụ 1 nếu không đặt điều kiện 011 x thì khi giải phơng trình x 2 - 3x = 0 học sinh sẽ trả lời là phơng trình có 2 nghiệm là: x 1 = 0 ; x 2 = 3, nhng thay x= 0 vào phơng trình (1) thì vế phải bằng 1 ; vế trái bằng -1. Sở dĩ có sai lầm trên vì học sinh cha nắm chắc tính chất của luỹ thừa bậc hai : Dạng 2: ( ) xf + ( ) xg + ( ) xh = - Tìm điều kiện dể phơng trình có nghĩa : ( ) 0 xf ` ( ) 0 xg ( ) 0 xh - Biến đổi 2 vế của phơng trình không âm ( với phơng trình chứa căn bậc hai ) ta bình phơng 2 vế để đợc phơng trình tơng đ- ơng. Sau đó đa phơng trình về dạng đã biết cách giải. Ví dụ : Giải phơng trình : 3 + x 25 = x . Chuyển vế : 3 + x + 21 x 5 = Điều kiện : Sáng kiến kinh nghiệm Phơng trình vô tỉ = 2 02 03 x x x Hai vế không âm, bình phơng hai vế ta đợc: ( )( ) 23223 ++++ xxxx 25 = 62 2 + xx x224 = 6 2 + xx x = 12 ( ) 12 x Bình phơng 2 vế ta có : x 2 + x - 6 = 144 - 24 x + x 2 15025 = x x = 6 ( thoả mãn ) Vậy phơng trình có 1 nghiệm x = 6. Dạng 3: ( ) ( ) ( ) xhxgxf =+ Cách giải tơng tự nh dạng 2. Ví dụ: Giải phơng trình : xxx 1271 =+ Chuyển vế: 7121 +=+ xxx Điều kiện: + 127 07 012 01 x x x x Hai vế không âm. Bình phơng hai vế ta đợc: ( )( ) 71227121 ++=+ xxxxx 484192 2 =+ xxx Sáng kiến kinh nghiệm Phơng trình vô tỉ Do 127 x , 2 vế không âm. Bình phơng 2 vế ta đợc: - 4x 2 + 76x-336 = x 2 -8x + 16 5x 2 -84x + 352 =0 ; 5 44 1 = x x 2 =8 ( Thoả mãn ) Vậy phơng trình có 2 nghiệm 8; 5 44 21 == xx Dạng 4: ( ) ( ) ( ) ( ) xkxhxgxf +=+ Cách giải tơng tự dạng 3. Ví dụ : Giải phơng trình . 0941 =++++ xxxx Chuyển vế : 419 +++=++ xxxx Điều kiện : 0 x Bình phơng 2 vế ta đợc: 45241929 22 ++++++=++++ xxxxxxxx 452924 22 ++=++ xxxx 4592 22 ++=++ xxxx Bình phơng 2 vế ta đợc: 459944 222 ++=++++ xxxxxx xxx =+ 9 2 (x 0 ) Bình phơng 2 vế ta đợc: Sáng kiến kinh nghiệm Phơng trình vô tỉ x 2 +9x =x 2 9x = 0 x=0 ( Thoả mãn ). Vậy phơng trình có một nghiệm x=0. Nhận xét : Khi giải phơng trình vô tỷ ta cần chú ý đến việc tìm miền xác định của phơng trình . Sau khi biến đổi 2 vế của phơng trình không âm ( Với phơng trình chứa căn bậc 2 ) ta bình phơng 2 vế để đợc ph- ơng trình tơng đơng . Nếu bớc khử căn vừa rồicha khử hết đợc các căn thức bậc hai chứa ẩn, ta tiếp tục chuyển vế và đặt điều kiện để bình ph ơng tiếp. Thực hiện các phép biến đổi tơng đơng để đa phơng trình về dạng phơng trình quen thuộc ( bậc nhất hoặc bậc hai ). Giải phơng trình trung gian rồi nhận định kết quả và trả lời về số nghiệm của phơng trình đầu. Tuy nhiên với những phơng trình chỉ có ẩn số nằm trong dấu căn bậc 2, tức là phơng trình có dạng: ( ) xfa ( ) cxgb = ( a,b,c là hệ số ) ngoài cách giải nêu trên ta còn có thể khử căn bằng cách nhân 2 vế của phơng trình với biểu thức liên hợp của vế trái . Ví dụ : Giải phơng trình 211 2 =++++ xxxx (1) Ta thấy 0 4 3 2 1 1 2 2 + =+ xxx x Vậy miền xác định : Rx Nhân hai vế của phơng trình với : Sáng kiến kinh nghiệm Phơng trình vô tỉ 11 22 +++ xxxx ta đợc phơng trình tơng đơng: ( ) ( ) 11211 2222 +++=+++ xxxxxxxx 11 22 +++= xxxxx (2) Cộng vế theo vế phơng trình (1) và (2) ta có phơng trình t- ơng đơng : xxx +=++ 212 2 ( ) ( ) = = + +=++ 0 2 03 02 214 2 2 2 x x x x xxx Vậy phơng trình đã cho có nghiệm kép x 1 =x 2 =0 b- Phơng pháp đặt ẩn phụ. * Với những phơng trình vô tỷ có dạng đặc biệt. ( ) ( ) 0 =+ cxfbxaf Dùngphép biến đổi sau: Đặt ( ) 0 = txf Ta đa phơng trình về dạng phơng trình bậc 2 : 0 2 =+ cbtat Ví dụ : Giải phơng trình 3393232 22 =++++ xxxx 042932932 22 =+++++ xxxx Đặt điều kiện : ` ++=++ 2 9 2 3 2932 22 xxxx 0 16 63 4 3 2 2 + += x x Đặt : 0932 2 yxx =++ ta có Sáng kiến kinh nghiệm Phơng trình vô tỉ y 2 +y -42 =0 Giải phơng trình đợc : y 1 =6 ( thoả mãn) Y 2 = -7 ( loại ) 02732 369326932 2 22 =+ =++=++ xx xxxx Giải phơng trình đợc : 2 9 ;3 21 == xx Vậy phơng trình có nghiệm là : 2 9 ;3 21 == xx * Đối với phơng trình có dạng : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xgxhxfnxhxf =++ ta dùng phép biến đổi sau : Đặt ( ) ( ) xhxft += Ví dụ giải phơng trình ( )( ) xxxxx xxxxx 21321221 2132221 2 =++++ =+++ (1) Đặt điều kiện : 2 13 2 x Đặt : ( )( ) ( )( ) 12212 21221 021 2 2 +=+ ++++= =++ xtxx xxxxt txx Phơng trình (1) có dạng : t 2 + t- 2x + 1 = 13 -2x t 2 + t - 12 = 0 Sáng kiến kinh nghiệm Phơng trình vô tỉ Giải phơng trình đợc : t 1 = 3 ( thoả mãn ) t 2 = -4 ( loại ) .321 =++ xx Hai vế không âm, bình phơng 2 vế ta đợc : xxx xxx xxx = = =+ 52 21022 92212 2 2 2 (x 5 ) Bình phơng 2 vế ta đợc : x 2 - x- 2 = 25 -10x + x 2 9x = 27 x =3 ( thoả mãn ) Vậy phơng trình có một nghiệm x =3. Chú ý : Khi giải phơng trình vô tỷ bằng phơng pháp đặt ẩn dụ , ta cần hớng dẫn học sinh đặt điều kiện cho ẩn dụ. Số nghiệm của phơng trình đầu phụ thuộc vào số nghiêm phơng trình bậc hai trung gian và điều kiện có nghĩa của phơng trình đầu . + Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì phơng trình đầu vô nghiệm. + Nếu phơng trình bậc hai trung gian có nghiệm nhng nghiệm đó không thuộc miền xác định của phơng trình đầu thì ph- ơng trình đầu vô nghiệm. + Trái lại, nếu các nghiệm số tìm đợc của phơng trình bậc hai trung gian làm cho các ẩn số của phơng trình đầu thuộc miền xác định của nó thì phơng trình đã cho có nghiệm. c -Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ : Giải phơng trình ( ) 191611441 =+++ xxxx (1) Điều kiện : [...]... hai vế là rời nhau, khi đó phơng trình vô nghiệm Ví dụ : Giải phơng trình : x 1 5 x 1 = 3 x 2 Sáng kiến kinh nghiệm Phơng trình vô tỉ Điều kiện để phơng trình có nghĩa là x 1 Với điều kiện x 1 5 x 1 vế trái của phơng trình là số này thì x 5 x do đó âm, còn vế phải không âm Vậy phơng trình vô nghiệm Dạng 2 : Sử dụng tính đối nghịch ở 2 vế : Ví dụ : Giải phơng trình : 3 x + 6 x + 7 + 5 x + 10... nghiệm Phơng trình vô tỉ x 1 (1) ( x 2 1 x 2 + 1 Nếu 1 x 5 ) 2 + ( x 3 1 ) 2 =1 x 3 =1 1 ta có phơng trình : 2 x 1 + 3 x 1 =1 2 x 1 = 4 x 1 = 2 x 1 = 4 x =5 không thuộc khoảng đang xét Nếu 5 x 10 ta có phơng trình : x 1 2 + 3 x 1 = 1 ox = 0 Nghiệm của phơng trình là : + Nếu x 10 5 x 10 ta có phơng trình : x 1 2 + x 1 3 =1 2 x 1 = 6 x 1 = 3 x-1 =9 x=10 ( thoả mãn ) Vậy phơng trình có nghiệm... 1 vào phơng trình đã cho ta đợc: y - 1 = x 2 -2x + 2 Kết hợp và ta có hệ: y 2 -2y - x + 3 = 0 x 2 - 2x -y +3 = 0 Trừ hai vế của hệ ta đợc: Sáng kiến kinh nghiệm Phơng trình vô tỉ y2 - x2 - y + x = 0 ( y - x )( y + x - 1 ) = 0 y=x x+y=1 -Nếu x=y Thay vào ta có x 2 - 3x + 3 = 0 vô nghiệm -Nếu x + y = 1 y = 1 - x thay vào ta đợc: x 2 - x + 2 = 0 vô nghiệm Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm Một... =9 Biến đổi đợc về phơng trình : x 2 x 2 = 5 x ( x 0) Dấu (=) xảy ra a=b Do đó (1) x = 4 x 1 x 2 4 x + 1 = 0 1 x 4 Giải phơng trình đợc : x =2 3 ( thoả mãn ) e- Phơng pháp đa về hệ phơng trình Ví dụ: Giải phơng trình : x 2 = x 2 2x... 5 2 Vậy phơng trình có nghiệm khi 2 vế đều bằng 5 Lúc đó x+1 =0 Thử lại : VT = x=-1 3 6 + 7 + 5 10 +14 = 5 VP = 4+2-1=5 Vậy phơng trình có 1 nghiệm x =-1 Dạng 3 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Ví dụ : Giải phơng trình 3 x 2 + x +1 = 3 Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phơng trình + Với thì x 3 3 x 2 1 VT 3 + Với x 3 3 ; x +1 2 thì x 2 1 ; x +1 2 VT 3 Vậy x=3 là nghiệm của phơng trình Sáng kiến... Phơng trình đã cho có thể viết dới dạng x2 - 6 + Đặt x 6 -6=0 ta đợoc phơng trình t x 2 6 = t 0 2 +t-6=0 Giải phơng trình trung gian đợc t 1 = 2 ( thoả mãn ) t 2 = - 3 < 0 ( loại ) x2 6 = 2 x 2 -6 = 4 x 2 = 10 x = 10 14 - Đa phơng trình về dạng : 3( x 3) +1 + 4( x 3) + 9 = 4 ( x 3) 2 2 2 (1) Ta thấy VT 1+3 =4 VP 4 (1) có nghiệm 2 vế đều bằng 4 x- 3 = 0 x = 3 Sáng kiến kinh nghiệm Phơng trình. .. x 1 =13 x x 1 x 13 Điều kiện : Bình phơng 2 vếta đợc : x-1= 169 - 26x + x 2 x 2 -27x +170 =0 Giải phơng trình đợc x 1 =17 x 2 ( loại ) = 10 ( thoả mãn ) 2- Điều kiện : x 2 Bình phơng 2 vế ta đợc x - 2 = x 2 - 4x + 4 Phơng trình vô tỉ Sáng kiến kinh nghiệm x 2 + 5x + 6 = 0 Giải phơng trình đợc x1 = 2 ; x2 = 3 3 - điều kiện x 1 2 x 4x + 3 0 * Bình phơng 2 vế ta đợc : x 2 - 4x + 3 = x 2 -2x . Phơng trình vô tỉ Phần nội dung 1- Định nghĩa Ph ơng trình vô tỷ . Phơng trình vô tỷ là phơng trình đại số trong đó ít nhất một số hạng là biểu thức vô tỷ. ch - ơng trình không có nhng trong đề thi thờng hay gặp dạng phơng trình vô tỷ. Sáng kiến kinh nghiệm Phơng trình vô tỉ "Phơng trình vô tỷ "