BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VŨ THỊ DƯƠNG VỀ IĐÊAN CẠNH NHỊ THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2020 BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VŨ THỊ DƯƠNG VỀ IĐÊAN CẠNH NHỊ THỨC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Đỗ Trọng Hoàng Hà Nội – 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung luận văn tìm hiểu, nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình thầy Đỗ Trọng Hồng Các kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, ngày 29 tháng năm 2020 Người cam đoan Vũ Thị Dương Lời cám ơn Trong trình học tập nghiên cứu Khoa Toán học, Học viện Khoa học Cơng nghệ, đến luận văn hồn thành Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Đỗ Trọng Hoàng Thầy người tận hình hướng dẫn, giúp đỡ tơi vượt qua nhiều khó khăn q trình học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, tơi xin gửi lời cảm ơn đến giảng viên giảng dạy, đồng hành Khoa Tốn học Tơi xin cảm ơn Trung tâm đào tạo sau đại học Viện Toán học phòng Đào tạo - Học viện Khoa học Công nghệ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học cao học học viện Hơn nữa, xin gửi lời cảm ơn tới tồn thể bạn bè, gia đình tơi, người sát cánh bên quãng thời gian qua Vũ Thị Dương Danh mục kí hiệu Kí hiệu Trang in(I) ≤lex , ≤glex supp in(f ), lc(f ), lm(f ) RemG (f ) S(f, g) 10 U CLN 10 Ass(I) 17 JG 25 PS (G) 36 dim S/JG 40 Mục lục Lời mở đầu 1 Các kiến thức 1.1 Cơ s Grăobner 1.2 Phân tích nguyên sơ 13 C s Gră obner ca iờan cạnh nhị thức 22 2.1 Iđêan cạnh nhị thức 22 2.2 C s Grăobner v th úng 26 2.3 C s Grăobner rỳt gọn 30 Phân tích nguyên sơ iđêan cạnh nhị thức 36 3.1 Phân tích nguyên sơ iđêan cạnh nhị thức 36 3.2 Iđêan nguyên tố tối tiểu iđêan cạnh nhị thức 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Lời mở đầu Xu hướng kết hợp đại số giao hoán tổ hợp bắt nguồn từ cơng trình tiên phong Richard Stanley [1] vào năm 1975 Kể từ đó, nhiều nghiên cứu mối quan hệ xem xét, iđêan sinh nhị thức hay gọi iđêan nhị thức đóng vai trị quan trọng Từ đầu năm 1990, iđêan nhị thức dần trở thành trào lưu nghiên cứu tích cực từ quan điểm đại số giao hoán tổ hợp Chúng xuất lĩnh vực khác Hình học đại số Đại số thống kê Một nghiên cứu tính chất đại số iđêan nhị thức, chẳng hạn phân tích nguyên s v c s Grăobner, c a bi David Eisenbud Bernd Sturmfels [2] Trong số iđêan nhị thức, iđêan cạnh nhị thức gắn kết cách tự nhiên với đồ thị đơn tạo thành lớp đặc biệt Lớp iđêan nhị thức đưa xem xét nghiên cứu hai nhóm tác giả độc lập Herzog, Hibi, Hreinsdóttir, Kahle, Rauh [3], Ohtani [4] Iđêan cạnh nhị thức xem iđêan sinh số định thức cấp hai ma trận 2×n với hệ số biến x1 , , xn , y1 , , yn sau đây:   x x2 · · · xn y1 y · · · yn   vành đa thức S = K[x1 , , xn , y1 , , yn ] Iđêan cạnh nhị thức có tính chất gặp iđêan khởi đầu iđêan khơng chứa bình phương (Định lý 2.3.2) Dựa vào kết tiếng gần Aldo Conca Matteo Varbaro [5], ta nhận thấy hầu hết tính chất bất biến đại số iđêan cạnh nhị thức iđêan khởi đầu trùng Cho nên, vic tỡm hiu c s Grăobner ca lp iờan ny quan trọng Vấn đề luận ny, chỳng tụi tỡm hiu c s Grăobner ca đặc trưng đồ thị mà iđêan cạnh nhị thc cú c s Grăobner gm cỏc dng bc hai Nhìn chung mơ tả giải tự liệu số chẳng hạn số Betti phân bậc, số quy chiều xạ ảnh iđêan cạnh nhị thức khó Có nhiều giả thuyết bất biến chưa giải (xem [6]) Thông thường, để làm điều này, người ta cần phải hiểu phân tích nguyên sơ Luận văn tìm hiểu vấn đề phân tích nguyên sơ iđêan cạnh nhị thức cấu trúc iđêan nguyên tố tối tiểu Luận văn trình bày thành chương Trong chương 1, nhắc lại số khái niệm Đại số giao hoán sở Grăobner v phõn tớch nguyờn s ca mt iờan Chng dành để trình bày định nghĩa tính cht ca iờan cnh nh thc C s Grăobner v c trng c s Grăobner bc hai cng c a chương Cuối chương 3, chúng tơi nghiên cứu phân tích ngun sơ iđêan cạnh nhị thức, đặc trưng iđêan nguyên tố tối tiểu nghiên cứu Trong suốt luận văn khơng đề cập gì, ta ln kí hiệu R := K[x1 , , xn ] vành đa thức n biến trường K Chương Các kiến thức Trong chương này, chỳng tụi tỡm hiu c s Grăobner v phõn tớch nguyên sơ iđêan Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [7] [8] 1.1 C s Gră obner nh ngha 1.1.1 Kớ hiu M tập đơn thức vành đa thức R Thứ tự từ ≤ thứ tự toàn phần tập M thỏa mãn tính chất sau: (a) ≤ m, với m ∈ M (b) Nếu m1 ≤ m2 mm1 ≤ mm2 , với m1 , m2 , m ∈ M Từ định nghĩa cho ta thấy vành đa thức biến có thứ tự từ, thứ tự xác định bậc đơn thức Cho ≤ thứ tự từ Sau đổi số biến ta ln giả thiết x1 > x2 > > xn Với α = (α1 , , αn ) ∈ Nn , ta viết 33 chấp nhận Tiếp theo chứng minh q vτc uτc fjt(c−1) jt(c) S (uπ fij , uσ fiℓ ) = c=1 biểu diễn chuẩn tắc S (uπ fij , uσ fjℓ ) với phần dư 0, vτc đơn thức định nghĩa sau: Cho w = yi BCNN(uπ , uσ ) Do suy S (uπ fij , uσ fjℓ ) = −wfjℓ Khi đó, (i) Nếu c = vτ1 = xℓ w , uτ1 xjt(1) (ii) Nếu < c < q vτc = (iii) Nếu c = q vτq = xj x ℓ w , uτc xjt(c−1) xjt(c) xj w uτq xjt(q−1) Bây ta chứng minh wxℓ fjj + wfjℓ = xjt(1) t(1) q−1 c=2 wxj wxj xℓ fjt(c−1) jt(c) + fj ℓ xjt(c−1) xjt(c) xjt(q−1) t(q−1) biểu diễn chuẩn tắc wfjℓ với phần dư Mặt khác, ta chứng minh rằng: (∗) w (xj yℓ − xℓ yj ) = wxℓ xj yjt(1) − xjt(1) yj xjt(1) q−1 + c=2 + wxj xℓ xjt(c−1) yjt(c) − xjt(c) yjt(c−1) xjt(c−1) xjt(c) wxj xjt(q−1) yℓ − xℓ yjt(q−1) xjt(q−1) 34 biểu diễn chuẩn tắc w(xj yℓ − xℓ yj ) với phần Vì wxj yℓ = wxj xℓ wxj xjt(q−1) yℓ > xj xj > ··· xjt(q−1) xjt(q−2) xjt(q−1) t(q−2) t(q−1) wxj xℓ wxℓ > xjt(1) yjt(2) > xj yjt(1) , xjt(1) xjt(2) xjt(1) Điều suy rằng, đẳng thức (∗) đúng, biểu diễn chuẩn tắc w(xj yℓ − xℓ yj ) với phần dư Do đó, ta viết lại sau: yjt(1) w (xj yℓ − xℓ yj ) = w xj xℓ − xℓ yj xjt(1) +w xj yℓ − xj xℓ q−1 + wxj xℓ yjt(q−1) xjt(q−1) c=2 yjt(c) yjt(c−1) − xjt(c) xjt(c1) Bc 3: Ta chng minh c s Grăobner G rút gọn Lấy uπ fij , uσ fkl ∈ G mà uπ fij = uσ fkl i < j k < l Lấy π : i = i0 , i1 , , ir = j σ : k = k0 , k1 , , ks = l Giả sử uπ xi yj chia hết cho uσ xk yl uσ xl yk Khi đó, {i0 , i1 , , ir } tập thực {k0 , k1 , , ks } Với i = k j = l, {i1 , , ir−1 } tập {k0 , k1 , , ks } k, i1 , , ir−1 , l đường chấp nhận Điều mâu thuẫn với σ đường chấp nhận Với i = k j = l uσ chia hết cho yj j < k mâu thuẫn với i < j Với {i, j} ∩ {k, l} = ∅, uσ chia hết cho xi yj Do i > l j < k, mâu thuẫn với i < j 35 Hệ 2.3.3 JG iđêan Chứng minh Theo Định lí 2.3.2, thấy thứ tự đơn thức phù hợp in(JG ) iđêan đơn thức không chứa mũ Điều suy in(JG ) iđêan Giả sử f k ∈ JG , với số tự nhiên k Khi đó, in(f k ) = in(f )k ∈ in(JG ) in(f ) ∈ in(JG ) Theo định nghĩa iđêan khởi đầu, tồn g ∈ JG với in(g) = in(f ) Khi đó, chọn a ∈ K cho in(f − ag) < in(f ) Vì (f − ag)k = f k − gh với đa thức h ∈ S Điều suy (f − ag)k ∈ JG Và in(f − ag) < in(f ), quy nạp lí luận để f − ag ∈ JG Do f ∈ JG Chương Phân tích nguyên sơ iđêan cạnh nhị thức Mục đích chương nghiên cứu thành phần nguyên sơ iđêan cạnh nhị thức iđêan nguyên tố tối tiểu Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [10] 3.1 Phân tích nguyên sơ iđêan cạnh nhị thức Cho G đồ thị đơn với tập đỉnh [n] Với tập S ⊆ [n], ta kí hiệu G1 , , Gc(S) thành phần liên thơng đồ thị G \ S Kí hiệu Gi đồ thị đầy đủ với tập đỉnh V (Gi ) Đặt PS (G) = ( i∈S {xi , yi }, JG1 , , JGc(S) ) Nếu S = ∅ P∅ (G) = JG Ví dụ 3.1.1 Xét đồ thị G cho với tập đỉnh [6] đặt tập S = {4} ⊆ [6] 36 37 Khi PS (G) = (x4 , y4 , JG1 , JG2 ), JG1 = (x1 y2 − x2 y1 , x1 y3 − x3 y1 , x2 y3 − x3 y2 ), JG2 = (x5 y6 − x6 y5 ) Bổ đề 3.1.2 Iđêan PS (G) iđêan nguyên tố Chứng minh Trước hết, ta thu gọn đa thức S theo biến xuất PS (G) để đa thức S ′ iđêan nguyên tố P ⊆ S ′ cho S/PS (G) ∼ = S ′ /P Hơn nữa, P có dạng (P1 + + Pc(S) )S ′ với Pi = P∅ (Gi ) ⊆ Si , Si đa thức K[xj , yj | j ∈ V (Gi )] Ta chứng minh P iđêan nguyên tố quy nạp theo i Nếu i = 1, P∅ (G) hiển nhiên iđêan nguyên tố Với i > 1, ta đặt B = T /(P1 + + Pi−1 )T , T đa thức K với biến đa thức S1 , , Si−1 Khi đó, B[xj , yj | j ∈ V (Gi )]/Pi B[xj , yj | j ∈ V (Gi )] ∼ = T [xj , yj | j ∈ V (Gi )]/(P1 + · · · + Pi )T [xj , yj | j ∈ V (Gi )] Điều suy B[xj , yj | j ∈ V (Gi )]/Pi B[xj , yj | j ∈ V (Gi )] miền 38 nguyên A = T [xj , yj | j ∈ V (Gi )]/(P1 + · · · + Pi )T [xj , yj | j ∈ V (Gi )] miền nguyên Cho nên P1 + · · · + Pi iđêan nguyên tố Bổ đề 3.1.3 height(PS (G)) = |S| + (n − c(S)) Chứng minh Đặt nj = |V (Gj )| Khi đó, c(S) height(PS (G)) = height(∪i∈S {xi , yi }) + height(JGj ) j=1 c(S) = 2|S| + j=1 (nj − 1) c(S) = |S| + (|S| + j=1 nj ) − c(S) = |S| + n − c(S) Định lý 3.1.4 Cho đồ thị đơn G với tập đỉnh [n] Khi JG = PS (G) S⊆[n] Chứng minh Rõ ràng ta ln có iđêan nguyên tố PS (G) ⊇ JG Ta chứng minh quy nạp theo n iđêan nguyên tố tối tiểu chứa JG có dạng PS (G) với S ⊆ [n] Theo Hệ 2.3.3, JG iđêan giao iđêan nguyên tố tối tiểu nên khẳng định định lí chứng minh trường hợp 39 Gọi P iđêan nguyên tố tối tiểu JG Trước tiên, ta chứng minh xi ∈ P yi ∈ P Trong phần chứng minh này, ta giả sử đồ thị G liên thông Thật vậy, G1 , , Gr thành phần liên thơng G iđêan ngun tố tối tiểu P JG có dạng P + P2 + + Pr , Pi iđêan nguyên tối tối tiểu JGi Do đó, Pi có dạng mong đợi P có dạng Lấy T = {xi | i ∈ [n], xi ∈ P, yi ∈ / P } Ta cần T = ∅ Điều suy xi ∈ P yi ∈ P Tương tự ngược lại yi ∈ P suy xi ∈ P Do đó, ta có kết luận xi ∈ P yi ∈ P Ta thấy T = {x1 , , xn } Vì JG ⊆ JG iđêan nguyên tố tối tiểu JG (x1 , , xn ) ⊆ P P khơng Giả sử T = ∅ Vì T = {x1 , , xn } G liên thông, nên tồn {i, j} ∈ E(G) cho xi ∈ T xj ∈ / T Vì xi yj − xj yi ∈ JG ⊆ P xi ∈ P nên suy xj yi ∈ P Hơn nữa, P iđêan nguyên tố nên xj ∈ P yi ∈ P Theo định nghĩa T yi ∈ / P nên xj ∈ P Vì xj ∈ / T nên yj ∈ P Lấy G′ đồ thị cảm sinh G với tập đỉnh [n] \ {j} Khi (JG′ , xj , yj ) = (JG , xj , yj ) ⊆ P Do đó, P = P/(xj , yj ) iđêan nguyên tố tối tiểu JG′ với xi ∈ P yi ∈ / P Theo giả thuyết quy nạp, P có dạng PS (G′ ) với tập S ⊆ [n] \ {j} Điều mâu thuẫn với giả thiết T = ∅ 40 Xét đồ thị đơn G Ta tồn tập S ⊆ [n] cho P = (∪i∈S {xi , yi }, P ), P iđêan nguyên tố không chứa biến Đặt G′ đồ thị cảm sinh G tập đỉnh [n] \ S Khi đó, modulo iđêan (∪i∈S {xi , yi }) ta thấy overlineP iđêan nguyên tố nhị thức JG′ không chứa biến Lấy G1 , , Gc thành phần liên thông G′ Ta chứng minh P = (JG′ , , JG′ ) Điều suy P = (∪i∈S {xi , yi }, JG1 , , JGc ) Để đơn giản hóa kí hiệu, giả sử P khơng chứa biến ta chứng minh P = (JG1 , , JGc ), G1 , , Gc thành phần liên thông G Để chứng minh điều này, ta khẳng định {i, j} với i < j cạnh Gk với k fij ∈ P Từ ta suy (JG1 , , JGc ) ⊆ P Vì JG1 , , JGc iđêan nguyên tố JG P iđêan nguyên tố tối tiểu chứa JG Do vậy, P = (JG1 , , JGc ) Lấy i = i0 , i1 , , ir = j đường Gk từ i đến j Ta chứng minh quy nạp r fij ∈ P Khẳng định với r = Giả sử với r > 1, theo giả thiết quy nạp fi1 j ∈ P Mặt khác, xi1 fij = xj fii1 + xi fi1 j Suy xi1 fij ∈ P Vì P iđêan nguyên tố xi1 ∈ / P nên fij ∈ P Từ Bổ đề 3.1.3 Định lý 3.1.4 suy hệ sau: Hệ 3.1.5 Cho đồ thị đơn G với tập đỉnh [n] Khi dim S/JG = max{(n − |S|) + c(S) : S ⊆ [n]} Đặc biệt, dim S/JG ≥ n + c, c số thành phần liên thông G 41 Mệnh đề 3.1.6 Cho G đồ thị đơn với tập đỉnh [n] Khi JG iđêan nguyên tố thành phần liên thông G đồ thị đầy đủ Chứng minh Lấy G1 , , Gr thành phần liên thông G giả sử JG iđêan nguyên tố Vì P∅ (G) = (JG1 , , JGr ) iđêan nguyên tố tối tiểu JG JG iđêan nguyên tố nên JG = (JG1 , , JGr ) Mặt khác, JG = (JG1 , , JGr ) Giả sử G G′ đồ thị đơn với V (G) ⊆ V (G′ ) Khi đó, E(G) = E(G′ ) JG = JG′ 3.2 Iđêan nguyên tố tối tiểu iđêan cạnh nhị thức Cho G đồ thị đơn Mục iđêan PS (G) iđêan nguyên tố tối tiểu JG Mệnh đề 3.2.1 Cho G đồ thị đơn với tập đỉnh [n], S T tập [n] Lấy G1 , , Gs thành phần liên thông G[n]\S H1 , , Ht thành phần liên thông G[n]\T Khi đó, PT (G) ⊆ PS (G) T ⊆ S với i = 1, , t ta có V (Hi ) \ S ⊆ V (Gj ) với j Chứng minh Với U ⊆ [n], kí hiệu LU = (xi , yi : i ∈ U ) Khi đó, PS (G) = (LS , JG1 , , JGs ) PT (G) = (LT , JH1 , , JHt ) Do đó, PT (G) ⊆ PS (G) T ⊆ S (LT , JH1 , , JHt ) = (LS , JG1 , , JGs ) Ta thấy (LS , JH1 , , JHt ) = (LS , JH ′ , , JH ′ ), Hi′ = t (Hi )[n]\S Điều suy PT (G) ⊆ PS (G) T ⊆ S 42 (LT , JH ′ , , JH ′ ) = (LS , JG1 , , JGs ) Điều tương đương với t (JH ′ , , JH ′ ) ⊆ (JG1 , , JGs ) t Vì phần tử sinh iđêan (JH ′ , , JH ′ ) (JG1 , , JGs ) khơng có t biến chung với xi yi với i ∈ S Vì V (Hi′ ) = V (Hi ) \ S, ta chứng minh khẳng định: Với tập A1 , , As B1 , , Bt [n] đôi rời Khi đó, (JA1 , , JAs ) ⊆ (JB1 , , JBt ) với i = 1, , s tồn j cho Ai ⊆ Bj Điều khẳng định điều kiện tập Ai Bj thỏa mãn, ta có bao hàm thức iđêan tương ứng Ngược lại, giả sử (JA1 , , JAs ) ⊆ (JB1 , , JBt ) Khơng làm tính tổng qt, ta giả sử t j=1 Bj = [n] Ta xét toàn cấu χ : S −→ K [{xi , xi z1 }i∈B1 , , {xi , xi zt }i∈Bt ] ⊆ K [x1 , , xn , z1 , , zt ] với χ(xi ) = xi với i χ(yi ) = xi zj với i ∈ Bj j = 1, , t Khi Ker(χ) = (JB1 , , JBt ) Bây ta cố định tập Ai lấy k ∈ Ai Khi k ∈ Bj với k Ta khẳng định Ai ⊆ Bj Thật vậy, lấy l ∈ Ai với l = k giả sử l ∈ Br với r = j Vì xk yl − xl yk ∈ JAi ⊆ (JB1 , , JBt ) Điều suy xk yl − xl yk ∈ Ker(χ) Vì vậy, = χ(xk yl − xl yk ) = xk yl zj − xl yk zr , mâu thuẫn 43 Lấy G1 , , Gr thành phần liên thông G Một biết iđêan tối tiểu JGi với i iđêan tối tiểu JG biết Thật vậy, iđêan JGi iđêan tập biến khác nhau, iđêan nguyên tố tối tiểu JG iđêan r i=t Pi , Pi iđêan nguyên tố tối tiểu JGi Kết sau đặc trưng iđêan nguyên tố tối tiểu JG G đồ thị liên thông Hệ 3.2.2 Cho G đồ thị đơn liên thông với tập đỉnh [n] S ⊆ [n] Khi PS (G) iđêan nguyên tố tối tiểu JG S = ∅ S = ∅ với i ∈ S có c(S \ {i}) < c(S) Chứng minh Nếu S = ∅ P∅ (G) = JG Vì P∅ G khơng chứa đơn thức nên PS G ⊆ P∅ G với S ⊂ [n] Do theo Định lý 3.1.4 P∅ G iđêan nguyên tố tối tiểu JG Giả sử PS (G) iđêan nguyên tố tối tiểu JG Cố định i ∈ S Lấy G1 , , Gr thành phần liên thông G[n]\S Ta xét ba trường hợp sau: Trường hợp 1: Giả sử khơng có cạnh {i, j} G cho j ∈ Gk với k Đặt T = S \ {i} Khi đó, thành phần liên thông G[n]\T G1 , , Gr , {i} Như c(T ) = c(S) + Tuy nhiên, trường hợp xảy Theo Mệnh đề 3.2.1 suy PT (G) ⊆ PS (G) Trường hợp 2: Giả sử tồn xác đồ thị Gk , gọi G1 , tồn j ∈ G1 cho {i, j} cạnh G Khi đó, thành phần liên thông G[n]\T G′1 , G2 , , Gr , V (G′1 ) = V (G1 ) ∪ {i} Như c(T ) = c(S) Trường hợp không xảy theo Mệnh 44 đề 3.2.1 suy PT (G) ⊆ PS (G) Trường hợp 3: Giả sử có thành phần liên thơng, gọi G1 , , Gk (k ≥ 2) jl ∈ Gl với l = 1, , k cho {i, jl } cạnh G Khi đó, thành phần liên thông G[n]\T G′1 , Gk+1 , , Gr , V (G′1 ) = k l=1 V (Gl ) ∪ {i} Do đó, trường hợp c(T ) < c(S) Ngược lại, giả sử c(S \ {i}) < c(S) với i ∈ S Giả sử phản chứng PS (G) không iđêan nguyên tố tối tiểu, tức tồn T ⊆ S với PT (G) ⊆ PS (G) Chọn i ∈ S \ T Theo giả thiết, c(S \ {i}) < c(S) Theo lí luận ba trường hợp trên, ta giả sử G′1 , Gk+1 , , Gr thành phần liên thơng G[n]\{i} , V (G′1 ) = ∪kl=1 V (Gl )∪{i} k ≥ Điều suy G[n]\T có thành phần liên thơng H chứa G′1 Do đó, V (H) \ S chứa tập V (G1 ) V (G2 ) Cho nên V (H) \ S không chứa V (Gi ) Theo Mệnh đề 3.2.1, điều mâu thuẫn với giả thiết PT (G) ⊆ PS (G) Nhận xét 3.2.3 Điều kiện c(S \ {i}) < c(S) với i ∈ S Hệ 3.2.2 tương đương với i ∈ S điểm cắt đồ thị G([n]\S)∪{i} Ví dụ 3.2.4 Trở lại Ví dụ 3.1.1, iđêan nguyên tố tối tiểu JG P∅ (G), P{4} (G), P{5} (G) P{2,4} (G) Từ đó, ta có phân tích ngun sơ iđêan JG JG = P∅ (G) ∩ P{4} (G) ∩ P{5} (G) ∩ P{2,4} (G) 45 Kết luận Iđêan cạnh nhị thức nằm mối quan hệ lĩnh vực đại số lĩnh vực tổ hợp Các kết quan tâm nghiên cứu tích cực Luận văn này, chúng tơi tìm hiểu tổng hợp vấn đề sau đây: (1) Nghiên cứu toán phần tử sinh bậc hai iđêan cạnh nhị thức lập thành mt c s Grăobner (2) C s Grăobner rỳt gn iđêan cạnh nhị thức (3) Nghiên cứu thành phần nguyên sơ iđêan cạnh nhị thức iđêan nguyên tố tối tiểu Vấn đề nhiều nghiên cứu lý thú Nhưng thời gian kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khơng trách khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn 46 Tài liệu tham khảo [1] Richard P Stanley, The upper bound conjecture and Cohen–Macaulay rings, Studies in Applied Mathematics 54 (1975), 135–142 [2] David Eisenbud and Bernd Sturmfels, Binomial ideals, Duke Mathematical Journal, 84 (1996), no 1, 145 [3] Jă urgen Herzog, Takayuki Hibi, Freyja Hreinsdúttir, Thomas Kahle, and Johannes Rauh, Binomial edge ideals and conditional independence statements, Advances in Applied Mathematics, 45 (2010), 317– 333 [4] Masahiro Ohtani, Graphs and Ideals generated by some 2-minors, Communications in Algebra, 39 (2011), no 3, 905–917 [5] Aldo Conca and Matteo Varbaro, Square-free Gră obner degenerations, Inventiones Mathematicae (2020) https ://doi org/10.1007/ s0022 2-020-00958-7 [6] Sara Saeedi Madani, Binomial Edge Ideals: A Survey, in Multigraded Algebras and Applications (V Ene, E Miller Eds.) Springer Proceedings in Mathematics & Statistics (2018), 83-94 47 [7] Lê Tuấn Hoa, Đại số mỏy tớnh: C s Grăobner, NXB HQG 2003, 290 trang [8] Michael F Atiyah and Ian G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969) [9] Marilena Crupi, and Giancarlo Rinaldo, Binomial edge ideals with quadratic Gră obner bases, Electronic Journal of Combinatorics (2011) 18, P211 [10] Jă urgen Herzog, Takayuki Hibi, and Hidefumi Ohsugi, Binomial ideals, Graduate Texts in Mathematics, 279 Springer, Cham, 2018 [11] J Bang-Jensen and G Gutin, Digraphs: Theory, algorithms and Applications, Springer, 2007 ... := {1, , n} Iđêan cạnh nhị thức JG S iđêan sinh nhị thức fij cho i < j {i, j} cạnh đồ thị G Ví dụ 2.1.9 Với đồ thị G Ví dụ 2.1.1, iđêan cạnh nhị thức đồ thị G iđêan sinh nhị thức x1 y2 − x2... 30 Phân tích nguyên sơ iđêan cạnh nhị thức 36 3.1 Phân tích nguyên sơ iđêan cạnh nhị thức 36 3.2 Iđêan nguyên tố tối tiểu iđêan cạnh nhị thức 41 Kết luận 45 Tài liệu tham... toán phần tử sinh bậc hai iđêan cạnh nhị thức lập thnh mt c s Grăobner (2) C s Grăobner rỳt gọn iđêan cạnh nhị thức (3) Nghiên cứu thành phần nguyên sơ iđêan cạnh nhị thức iđêan nguyên tố tối tiểu