SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (3,0 điểm) √ a) Giải phương trình: sin 3x + cos 3x − 2 cos x + π4 + = 1 2x + x+y + x−y = 16 b) Giải hệ phương trình: 1 x2 + y + (x+y) = 100 + (x−y)2 Câu II (2,0 điểm) Cho dãy số (xn ) thỏa mãn xn+1 n→+∞ xn √ x1 = 30 xn+1 = 30x2n + 3xn + 2011; n ∈ N∗ Tìm lim Câu III (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD cạnh a có I trọng tâm tam giác ABC, J trọng tâm tam giác BCD, vẽ mặt phẳng qua IJ cắt AB, AC, DC, DB điểm M, N, P, Q với AM = x, AN = y (0 < x, y < a) a) Chứng minh M N, P Q, BC đồng quy song song M N P Q hình thang cân 3a b) Chứng minh a(x + y) = 3xy Từ suy 4a ≤x+y ≤ c) Tính diện tích tứ giác M N P Q theo a s = x + y Câu IV (1,0 điểm) Cho phương trình: ax2 + (2b + c)x + 2d + e = có nghiệm khơng nhỏ Chứng minh phương trình ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = có nghiệm Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z > Chứng minh rằng: P = 2xy 2yz 3zx + + ≥ (z + x)(z + y) (x + y)(x + z) (y + z)(y + x) ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn