SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO AN GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Khóa ngày 14 – – 2018 Mơn : TỐN Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (3 điểm) Cho hai số thực Tính α+β α,β thỏa α − 3α + 5α = 1; β − 3β + 5β = Câu (2 điểm) Cho ba số a > 1; b > 1; c > Chứng minh a2 b2 c2 + + ≥ 12 b−1 c −1 a −1 Câu (3 điểm) ( + x ) ( + x2 ) ( + x4 ) = + y7   Giải hệ phương trình  ( + y ) ( + y ) ( + y ) = + x Câu (3 điểm) Có số x ∈ ( 0; 2018π ) để giá trị f ( x) không, với f ( x ) = a cos ( x + 1) + b cos ( x + ) + c cos ( x + 3) a, b, c số thực cho không khoảng f ( x) nhận hai giá trị ( 0; π ) Câu (3 điểm) Cho dãy số ( un ) xác định sau: u0 = 1; u1 = 1; n ( n + 1) un+1 = n ( n − 1) un − ( n − ) un−1; ∀ n ≥ Tính S= u0 u1 u2 u + + + + 2017 u1 u2 u3 u2018 Câu (3 điểm) Trong hộp có viên bi xanh 10 viên bi đỏ kích cỡ giống hệt Bạn An lấy ngẫu nhiên 01 viên bi (lấy xong khơng trả vào hộp), tiếp bạn Bình lấy 01 viên bi Tính xác suất để Bình lấy viên bi xanh Câu (3 điểm) Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M; N trung điểm AB CD Tính độ dài MN góc hợp MN BC …… Hết …… HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN U CẦU CHUNG - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Tổ chấm thảo luận chia điểm phần cho câu ghi vào biên NỘI DUNG CHI TIẾT Câ u Lược giải Cho hai số thực Tính α+β f (α ) = 1; f (β ) = g ( y) = y3 + y y3; y α − 3α + 5α = 1; β − 3β + 5β = f ( x) = x3 − 3x + x = ( x − 1)3 + 2( x − 1) + Theo giả thiết Do thỏa Xét hàm số Xét hàm α,β Điể m 3đ hàm số tăng ¡ nên hàm số g ( y) tăng ¡ Ta có: g (α − 1) = (α − 1)3 + 2(α − 1) = f (α ) − = − g (1 − β ) = (1 − β )3 + 2(1 − β ) = − ( β − 1)3 − 2( β − 1) = −  f ( β ) − 3 = − Vậy g (α − 1) = g (1 − β ) ⇒ α − = − β ⇔ α + β = Cho ba số a > 1; b > 1; c > Chứng minh 2đ a2 b2 c2 + + ≥ 12 b−1 c −1 a −1 a2 b2 c2 a b2 c2 a2 b2 c2 + + ≥ 33 = 33 b−1 c−1 a −1 b−1 c−1 a −1 a −1b−1 c−1 a2 a > ⇒ a − 4a + ≥ ⇔ a ≥ 4(a − 1) ⇔ ≥4 a −1 2 Do Vậy a2 b2 c2 a b2 c2 + + ≥3 × × ≥ 3 4.4.4 = 12 b−1 c−1 a −1 a −1 b−1 c−1 Dấu xảy a = b = c = ( + x ) ( + x2 ) ( 1+ x4 ) = 1+ y7   Giải hệ phương trình  ( + y ) ( + y ) ( + y ) = + x Với x ≠ ta có − x8 ( 1+ x) ( 1+ x ) ( 1+ x ) = 1− x 3đ Do vai trò x; y nhau, giả sử x ≥ y Trường hợp 1: Nếu x = y Ta phương trình: + x + x + x3 + x + x5 + x + x = + x ⇔ x ( x + x + x + x + x + 1) = ⇔ x ( x + 1) ( x + x + 1) = ⇔ x = ∨ x = −1 ( ) ( − 1; − 1) Vậy hệ có nghiệm 0;0 ; Trường hợp 2: Nếu x > y + Nếu x > y > ( + x ) ( + x ) ( + x ) = + x + + x7 > + x > + y Hệ vô nghiệm + Nếu x > > y ( + x ) ( + x ) ( + x4 ) > 1; + y < Hệ vô nghiệm + Nếu > x > y ⇒ x > y ; x < y ; x8 < y Nhân hai vế hệ cho ( 1− x) ( − y ) ta  ( + x ) ( + x2 ) ( + x4 ) = ( + y ) ( − x )   2  ( + y ) ( + y ) ( + y ) = ( + x ) ( − y ) 1 − x8 = ( + y ) ( − x ) = − xy + y − x +   7 1 − y = ( + x ) ( − y ) = − x y + x − y + ⇒ y − x8 = y − x + y − x + xy ( x − y ) Vế trái dương, vế phải âm nên phương trình vơ nghiệm ( 0;0 ) ; ( − 1; − 1) f ( x ) = a cos ( x + 1) + b cos ( x + ) + c cos ( x + 3) Tóm lại hệ có hai nghiệm Ta có cos ( x + a ) = cos x cos a − sin x sin a f ( x ) = a cos ( x + 1) + b cos ( x + ) + c cos ( x + 3) = a ( cos x cos1 − sin x sin1) + b ( cos x cos − sin x sin ) + c ( cos x cos3 − sin x sin 3) = ( a cos1 + b cos + c cos3) cos x − ( a sin1 + b sin + c sin 3) sin x = A cos ( x + φ ) Với A; φ số Do f(x) = nhận hai giá trị khoảng cách hai số liên tiếp 3đ với f ( x) = Vậy π Điều xảy A = với giá trị x ∈ ( 0; 2018π ) 3đ n ( n + 1) un +1 = n ( n − 1) un − ( n − ) un−1 ⇔ n ( n + 1) un +1 − un  = ( n − ) [ nun − un−1 ] Thay n = ⇒ 2u2 = u0 = u1 Thay n = ⇒ 3u3 − u2 = Thay n = ⇒ ( 4u4 − u3 ) = 3u3 − u2 = ⇒ 4u4 − u3 = Tổng quát S= un = n+1 un + ( n + 1) un+1 − un = ⇒ u0 u1 u2 u3 u 2018.2019 + + + + + 2017 = + + + + + 2018 = u1 u2 u3 u4 u2018 Gọi A biến cố “An lấy bi xanh Bình lấy bi xanh” B biến cố “An lấy bi đỏ Bình lấy bi xanh” Biến cố Bình lấy bi xanh biến cố xung khắc nên P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) ( 3đ A ∪ B Do A B ) Mỗi kết cặp a; b a bi An lấy B bi Bình lấy Vì khơng hồn lại nên kết chỉnh hợp chập 18 phần tử Do số cách lấy Số kết thuận lợi cho A 8.7 = 56 A182 = 306 Số kết thuận lợi cho B 10.8 = 80 ⇒ P ( A ∪ B ) = P( A) + P ( B ) = 56 306 80 ⇒ P( B) = 306 ⇒ P( A) = 56 80 + = 306 306 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M; N trung điểm AB CD Tính độ dài MN góc hợp MN BC Đặt uuur r uuur r uuur r AD = a; AB = b; AC = c rr a2 r r r r a.b = a cos 60 = = b.c = c.a 3đ uuuur uuur uuur r r r MN = AD + BC = a + c − b 2 uuuur2 r r r r r rr rr MN = a + b + c + 2ab − 2ac − 2bc 2 2 2 a2 ( a +a +a +a −a −a ) = ( ) ( ) ( a 2 uuuuruuur uuuur uuur MN BC cos MN , BC = + MN BC uuuuruuur r r r r r MN BC = a + c − b c − b = uuuuruuur uuuur uuur MN BC ⇒ cos MN , BC = = MN BC ) ⇒ MN = ( ) ( ( )( ) ) ) ( rr rr r rr r rr a − ab − bc + b + ac − c − bc = 2 uuuur uuur ⇒ MN , BC = 450 ( )