SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn - Vịng I ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) SỐ BÁO DANH: Câu (2.5 điểm): Giải phương trình: x 4n + x 2n + 2012 = 2012 (n ∈ ¥ * ) Câu (2.5 điểm): Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức: u1 =  1 3  * u = u +  n+1  n u ÷; (n ∈ ¥ ) n    Tính: lim un ? Câu (1.5 điểm): Cho các số thực dương x, y, z Chứng minh rằng: 1 36 + + ≥ 2 x y z + x y + y z + z x2 Câu (2.0 điểm): Cho tam giác ABC có M trung điểm cạnh BC, N chân · đường phân giác góc BAC Đường thẳng vng góc với NA N cắt đường thẳng AB, AM P, Q theo thứ tự Đường thẳng vng góc với AB P cắt AN O Chứng minh OQ vuông BC Câu (1.5 điểm): Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x+2 = y + z http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word HẾT http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn - Vịng I (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012) HƯỚNG DẪN CHẤM (ỏp ỏn, hng dn ny cú trang) yêu cầu chung * Đáp án trình bày lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan * Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm * Điểm tồn tổng (khơng làm trịn số) điểm tất Câu Nội dung Điểm 2,5 điểm Phương trình: x 4n + x 2n + 2012 = 2012 (n ∈ N*) (1) 0,25 Đặt t = x2n ≥ 0, phương trình (1) trở thành: 0,5 t + t + 2012 = 2012 1 ⇔ t + t + = t + 2012 − t + 2012 + 4 0,5 1  1  ⇔  t + ÷ =  t + 2012 − ÷ 2  2  0,25 0,25 ⇔ t + = t + 2012 ⇔ t + t − 2011 = Giải phương trình (2) ta được: t = (2) 0,25 −1 + 8045 thỏa mãn điều kiện Phương trình có nghiệm: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x1 = 2n −1 + 8045 và −1 + 8045 , n ∈ ¥ * x = − 2n 2 0,5 2,5 điểm Theo công thức xác định dãy (un ) , ta có un > 0; ∀n ∈ ¥ * 0,5 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 1  1 3 un+1 =  2un + ÷ =  un + un + ÷ ≥ un2 = 3 ; ∀n ∈ ¥ * 3 un   un  un 0,5 Do đó: un ≥ 3 ; ∀n ∈ ¥ *   − un3  1 Mặt khác: un+1 − un = un + − un =  − un ÷ =  ÷≤ un  un   un  Vậy (un ) là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn Giả sử, lim un = a Ta có: a = a + ⇔ a = ⇔ a = 3 a a Vậy: lim un = 3 0,5 0,5 0,5 1.5 điểm 1 36 + + ≥ x y z + x2 y2 + y z + z x2 1 1 ⇔ (9 + x y + y z + z x )  + + ÷≥ 36 x y z Ta có: ( xyz ) 0,25  xy + yz + zx  = ( xy ) ( yz ) ( zx ) ≤  ÷   0,25 Do đó: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  1   xy + yz+zx  27 ( xy + yz+zx )  x + y + z÷ = ÷ ≥ xyz ( xy + yz+zx )     2 = 0,25 27 xy + yz+zx Mặt khác: + x y + y z + z x = + ( x y + 1) + ( y z + 1) + ( z x + 1) 0,25 ≥ ( + xy + yz + zx )   1  ⇒  (9 + x y + y z + z x )  + + ÷  x y z   27 ≥ 3 + ( xy + yz+zx )  xy + yz+zx   = 108  + + ( xy + yz + zx )   xy + yz + zx   ≥ 108  + ( xy + yz + zx ) xy + yz + zx   ÷ = 1296  1 2 2 2 1 Suy ra: (9 + x y + y z + z x )  + + ÷ ≥ 36 x y z Dấu “=” xảy và khi: x = y = z = 0,25 0,25 2.0 điểm 0,25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A y B P Q N M C O x Chọn hệ trục tọa độ Nxy cho A, N nằm trục hoành 0,25 Vì AB không song song với các trục tọa độ nên phương trình nó có  b  dạng : y = ax + b (a ≠ 0) Khi đó : A =  − ;0 ÷, P = (0; b)  a  0,25 AC qua A và đối xứng với AB qua trục hoành nên có phương trình : y = -ax – b PO qua P, vuông góc với AB nên có phương trình : y = − x + b a O là giao điểm PO và trục hoành nên O = (ab,0) BC qua gốc tọa độ nên : 0,25 +) Nếu BC không nằm trục tung thì phương trình BC có dạng y = cx với c ≠ 0,c ≠ ± a (vì B, C không thuộc trục hoành, BC không song song với AB và AC) B là giao điểm BC và AB nên tọa độ B là nghiệm hệ : 0,25  y = ax + b bc   b ⇒ B= ;  ÷ c−a c−a  y = cx C là giao điểm BC và AC nên tọa độ C là nghiệm hệ :  y = − ax − b b bc   ⇒ C = − ;−  ÷  c+a c+a  y = cx http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word uuuu r bc abc   ab AM = c; a ) ; Do đó : M =  , suy : ÷ 2 ( 2 a (c − a ) c −a c −a  Từ đó ta có phương trình AM là : y = 0,25 a2 ab x+ c c Q là giao điểm AM với trục tung nên  ab  uuur  1 Q =  0; ÷⇒ QO = ab  1; − ÷ c  c   uuur Do đó QO là vectơ pháp tuyến BC nên QO vuông góc BC +) Nếu BC nằm trục tung thì tam giác ABC cân tại A nên M ≡ N, đó O thuộc AN nên QO vuông góc BC 0,25 0,25 1,5 điểm Giả sử ( x, y, z ) là nghiệm nguyên dương phương trình Ta có: x+2 = y + z + yz ⇔ x − ( y + z ) = yz − ⇒ [ x − ( y + z ) ] = yz − yz + 12 = yz − [ x − ( y + z ) ] − 12 ⇒ [ x − ( y + z ) ] + [ x − ( y + z ) ] + 12 = yz 0,25 − [ x − ( y + z ) ] + yz + 12 Nếu x ≠ ( y + z ) thi = Ô (vô lý) x − ( y + z)  y =1  z = ⇒ x = Nếu x = y + z thì yz = ⇔  y =    z = 0,25 0,25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Thử lại, ta thấy: (4; 3; 1) và (4; 1; 3) là nghiệm phương trình 0,5 Vậy: nghiệm nguyên dương phương trình đã cho là (4; 3; 1) và (4; 1; 3) 0,25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word