Bài giảng Xử lý tín hiệu số nâng cao Chương 2

Chương 2: BIẾN ĐỔI Z VÀ ỨNG DỤNG VÀO HỆ THỐNG LTI RỜI RẠC Bài 1 BIẾN ĐỔI Z Bài 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z Bài 3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC Bài 4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC Bài 5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍANếu x(n) nhân quả thì : (*) (**) Ký hiệu: x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)} X(z) x(n) hay x(n) = Z-1{X(z)} BÀI 1 BIẾN ĐỔI Z 1. ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z:    n 0 n X(z) x(n)z Z  1 Z  Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía Biến đổi Z của dãy x(n): Biến đổi Z 1 phía dãy x(n): (*) (**) Trong đó Z – biến số phức     n n X(z) x(n)zMiền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence) là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho X(z) hội tụ. 2. MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)        ( ) (0) (1) (2) 0 x n x x x n lim ( ) 1 1   n n x n 00 Im(Z) Re(z) R x+ R Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng xtiêu chuẩn Cauchy Tiêu chuẩn Cauchy: Một chuỗi có dạng: hội tụ nếu:Ví dụ 1: Tìm biến đổi Z & ROC của: Giải:   n n  az     0 1 1 1 1 ( )    az X z az z a n n n      lim    1 1 1     n n X(z) x(n)z       n n n a u(n) z      0 . n n n a z x(n)  anu(n) 0 ROC Im(z) /a/ Re(z) Theo tiêu chuẩn Cauchy, X(z) sẽ hội tụ: Nếu: Vậy: a az X z     ;ROC : Z 1 1 ( ) 1x(n)  anu(n 1)   m m  a z      1 1 lim 1  z  a 1 1    n   a z n n     n n X(z) x(n)z          n n n a u( n 1) z       1 . n n n a z   1 0 1       m m a z ( )   1 0 1       n m X z a z 1 1 1    az 0 ROC Im(z) Re(z) /a/ Ví dụ 2: Tìm biến đổi Z & ROC của: Giải: Theo tiêu chuẩn Cauchy, X(z) sẽ hội tụ: Nếu:BÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 1) Tuyến tính x2(n)ZX2(z) :ROC  R2 x1(n)ZX1(z) :ROC  R1 a1x1(n) a2x2(n)Za1X1(z) a2X2(z) x(n)  anu(n)bnu(n1) a  b Giải: Nếu: Thì: Ví dụ 1: Tìm biến đổi Z & ROC của: với ROC chứa R1 R2Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: 1 1 1 ( )    az a u n n Z 1 1 1 ( 1)       bz bnu n Z R2 : z  b anu(n)bnu(n1)Z 1 1 1 1 1 1      az bz 0 ROC Im(z) /a/ Re(z) 0 ROC Im(z) Re(z) /b/ R : z  a 1 R  R  R : a  z  b 1 2 0 ROC Im(z) Re(z) /b/ /a/ Theo ví dụ 1 và 2, ta có:2) Dịch theo thời gian a az a u n n Z     ;ROC : z 1 1 ( ) 1 x(n)  anu(n 1) x(n)  anu(n 1)  a.an1u(n 1) z a az Z az      : 1 1 1 x(n)Z X (z) :ROC  R x(n n0)ZZn0 X (z) :ROC  R'' R R R''   trừ giá trị z=0, khi n0>0 trừ giá trị z=∞, khi n0∞) x 1(n)*x2(n) X1(z)X2(z) Chứa R1  R2 v dv z v X v X j C 1 1( ) 2 2 1       BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG x(n) X(z) ROC (n) 1 z u(n) /z/ >1 -u(-n-1) /z/ /a/ -an u(-n-1) /z/ < /a/ nan u(n) /z/ > /a/ -nan u(-n-1) /z/ < /a/ cos( o n)u(n) (1-z-1coso)/(1-2z-1coso+z-2) /z/ >1 sin( o n)u(n) (z-1sino)/(1-2z-1coso+z-2) /z/ >1 1 1 1   z 1 1 1   az 1 2 1 (1  )   az azBÀI 3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 1. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC    C X( z )zn dz j x( n ) 1 2 1  Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ  Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất phức tạp của phép lấy tích phân vòng Các phương pháp biến đổi Z ngược:  Thặng dư  Khai triển thành chuỗi luỹ thừa  Phân tích thành tổng các phân thức tối giản (*)2. PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ b) Phương pháp: Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo tích phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư tại tất cả các điểm cực của hàm X(z)zn-1 : Thặng dư tại điểm cực Zci bội r của F(z) được định nghĩa:     ci Z Zci r r ci r Z Z F z z z dz d r F z        ( )( ) ( 1)! 1 Res ( ) ( 1) ( 1) Thặng dư tại điểm cực đơn Zci của F(z) được định nghĩa:     Res F(z) ZZci  F(z)(z  zci) ZZci a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực: - Khái niệm điểm cực, điểm không.   C X z zn dz j x n ( ) 1 2 1 ( )  Z ci – các điểm cực của X(z)zn-1 nằm trong đường cong C Res[X(z)zn-1]z=zci - thặng dư của X(z)zn-1 tại điểm cực zci Trong đó:  Tổng cộng các thặng dư tại tất cả các điểm cực, ta được x(n)  n Z Zci i X z z  Res ( ) 1 Ví dụ 1: Tìm biến đổi Z ngược của: ( 2) ( )   z z X z (*) Giải:    C X z zn dz j x n ( ) 1 2 1 ( )      C zn dz z z j 1 2 ( 2) 1       ( 2) Res z z n Thay X(z) vào (*), ta đượcn0: ( 2) ( ) 1    z z X z z n n có 1 điểm cực đơn Zc1=2 Thặng dư tại Zc1=2: ( 2) 2 Res     Z n z z 2 ( 2) ( 2)       Z n z z z  2n n /zci/  xi(n)  Ki(zci)nu(n) Nếu ROC: /z/ < /zci/  xi(n)  Ki(zci)nu(n 1) Vậy:    N i x n xi n 1 ( ) ( ) Xét:Ví dụ 5.: Tìm x(n) biết: 5 6 2 5 ( ) 2 2     z z z z X z Giải: với các miền hội tụ: a) /z/>3, b) /z/