Bài giảng PPDH hình học (đề cương) PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC HÌNH HỌC Giảng viên: Nguyễn Thị Minh Vân Tài liệu tham khảo: [1] Phương pháp dạy - học hình học trường phổ thơng, Lê Thị Hồi Châu [2] Học toán dạy toán nào? , Nguyễn Tiến Dũng [3] Vẻ đẹp toán học, A.S.Posamentier [4] Hình học phẳng, Kiselev [5] Ơn luyện giải tốn hình học phương pháp véc tơ, Nguyễn Gia Cốc [6] Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải tốn hình học, Nguyễn Đăng Phất [7] Các phép biến hình mặt phẳng, Nguyễn Mộng Hy [8] Các tốn hình học khơng gian, Y.V.Praxolov [9] Lịch sử toán học giản yếu, Nguyễn Thủy Thanh [10] Những yếu tố Didactic Toán, nhiều tác giả Phần 1: Đề cương môn học, tiết / tuần Nội dung tuần Câu hỏi Tài liệu tham Tuần khảo ND1: Tổng quan lịch sử hình học ? [1], [9], Internet ND2: Các phương pháp tiếp cận hình học sơ cấp ND3: Dạy hình học – sao? ND4: Quan điểm thực nghiệm dạy học hình học ND5: Quan điểm tiên đề dạy học hình học ND6: Đọc sách “Dạy toán học toán nào?” [1], [2], [3], [4] Dạy học véc tơ ND7: Lịch sử hình thành lí thuyết véc tơ – kết luận sư phạm rút từ phân tích lịch sử ND8: Về định nghĩa véc tơ ND9: Dạy – véc tơ ND10: Những sai lầm thường gặp học sinh [1], [5] ND11: Dạy học giải toán phương pháp véc tơ, số toán ND12: tập giảng nội dung véc tơ [1], [5] Dạy học phương pháp tọa độ ND13: Phương pháp tọa độ trường phổ thông: lớp 10, lớp 11 ND14: Dạy học giải toán phương pháp tọa độ ND15: Một số toán [1], [4] ND16: Một số toán (tt), Bàn số tốn hình phẳng tọa độ đề thi đại học [4], [5], Internet 10 11 ND17: Tập giảng nội dung phương pháp tọa độ Dạy học phép biến hình ND18: Lịch sử phép biến hình, kết luận sư phạm rút ND19: phép dời hình, phép đồng dạng tốn học phép biến hình trường phổ thơng ND20: Dạy học phép biến hình ND20: Dạy học phép biến hình (tt) ND21: Các tốn ND23: Tập giảng Dạy học hình học khơng gian ND24: Hình vẽ dạy học hình khơng gian ND25: Dạy học hình học không gian ND26: Những sai lầm thường gặp ND27: Những toán ND28: Tập giảng ND29: Bàn sách giáo khoa ND30: Bàn phương pháp, phần mềm áp dụng dạy học hình học [1], [6], [7] [1], [6], [7] [1], [8] [1], [8] Phần 2: BÀI GIẢNG Chương 1: Mở đầu 1.1 Tổng quan Lịch sử phát triển hình học Lịch sử tốn học nói chung, lịch sử hình học nói riêng trình bày chi tiết nhiều sách, theo nhiều cách khác nhau, nhiên, theo đường tiếp cận hình học, từ trực giác, mô tả đến suy luận, chứng minh, giảng chọn trình bày theo sách [1], tác giả sách viết “Có ý kiến đồng hình học với phương pháp suy diễn Nói để nhấn mạnh vai trị hình học việc rèn luyện kỹ lập luận cho học sinh […].Lập luận hình học phong phú trước hết dựa việc quan sát hình vẽ, xây dựng đốn, xem xét có phê phán đốn vừa hình thành cuối tìm hợp thức có tính thuyết phục cách chứng minh Đây q trình mối liên hệ trực giác tính chặt chẽ lập luận thường xun trì” (Lê Thị Hồi Châu, 2004) Ngồi giảng cịn tham khảo thêm sách [9] STT Các Thời kì phát Một số chi tiết câu hỏi, SV phải nghiên cứu thêm tài liệu triển để hoàn chỉnh học Thời Ai Cập Babylon cổ - Mốc thời gian: Ai Cập: hai papyrus – sách cỏ lau lưu truyền papyrus Rhind Luân đôn papyrus Moskva), xem di tích tốn học Ai Cập cổ đại, từ kỉ XXI đến khoảng kỉ XVIII trước công nguyên Babylon quốc gia tồn từ kỉ XX đến kỉ II trước công nguyên - Hình học nảy sinh từ đâu? Người Ai Cập cổ biết tính diện tích hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang hình trịn; thể tích hình hộp chữ nhật, hình trụ: + Thể tích tích hình hộp, hình lập phương, hình lăng trụ, hình trụ diện tích đáy nhân chiều cao +Diện tích tứ giác có cạnh a, b, c, d ( + )×( + ) + Diện tích hình trịn đường kính d diện tích hình vng cạnh Ngồi hình học Ai cập cổ đại cịn phát triển xa biết, theo Democritus “khơng trội tơi lĩnh vực dựng hình từ đường kèm theo chứng minh, kể người đạc điền Ai Cập”([9], tr.11 ) Các bảng đất sét nung người Babylon chứng tỏ họ tính diện tích hình phẳng, hình trịn, thể tích vật thể đơn giản,… + Diện tích hình trịn tính bình phương chiều dài đường tròn chia cho 12 + Người Babylon biết định lí Pitago, tìm ba 45 – 60 – 75, 72 – 65 – 97, 3456 – 3367 – 4825 Hình học tập hợp kiến thức đo đạc Tuy nhiên giai đoạn này, kiến thức hình học chưa tính toán Thời Hy Lạp Cổ Mốc thời gian: kỉ VI – IV trước cơng ngun (khi nói tốn học cổ Hy Lạp nghĩa nói tốn học viết tiếng Hy Lạp khoảng thời gian này) xem xét tổng thể mối liên hệ logic hình học chưa đạt đến trình độ suy diễn, dừng lại mức độ kiến thức đo đạc tính tốn ? Như vậy, nhận thức hình học bắt nguồn từ điều gì? Quy trình nhận thức học sinh có hay khơng? Việc giảng dạy phải đáp ứng điều kiện gì? - - Hình học khoa học suy diễn trừu tượng - Thế kỉ thứ III trước công nguyên - Người Hy Lạp cổ đại biết tổ chức khoa học hình thành trường phái toán học, mở đầu trường phái Ioni – nơi sinh toán học Hy Lạp Nền toán học đặt câu hỏi kiểu Phương Đơng “làm nào” mà cịn đặt tiếp câu hỏi mang tính khoa học đại “tại sao?”, kể từ giai đoạn hình học nhanh chóng trở thành khoa học suy diễn trừu tượng: Thales: Bạn biết khám phá nhà toán học này? Pythagore mang lại nhiều biến đổi sâu sắc cho hình học cách cố gắng chứng minh định lí suy luận logic không dựa vào trực giác cách dựa số sở đầu tiên, Pythagore xem người xây dựng hình học khoa học suy diễn, phát minh hình học ơng: + Định lý tổng góc tam giác + Chia mặt phẳng thành đa giác (tam giác đều, hình vng, lục giác đều) + Giải phương trình bậc hai hình học + Dựng đa giác có diện tích cho trước đồng dạng với đa giác cho trước Ngồi cịn có khám phá quan trọng Pythagore? + Hypocrate, thuộc trường phái Pythagore dùng quy tắc suy diễn, đạt đến trình độ cao để chứng minh số kết hình học, chẳng hạn “diện tích hai hình viên phân đồng dạng tỉ lệ với hai dây cung căng chúng”, biết tính diện tích số nguyệt hình Platon: “khơng cần vào mái vịm tơi khơng phải nhà hình học” Các phép chứng minh trường phái Platon mang đặc trưng toán học, tách khỏi yếu tố thu qua kinh nghiệm quan sát đơn giản Đến kỉ thứ trước công nguyên, kiến thức hình học người Hy Lạp khối lượng lớn phong phú không nội dung mà cịn phương pháp chứng minh, điều đặt móng cho đời Hình học – lý thuyết xây dựng theo tư tưởng phương pháp tiên đề Thế kỉ XVIII XVII, - Hình học thời kì tốn học cao cấp - - - Thế kỉ XIX: Hình học phi Euclid - mơn Cơ sở hình học mà mục đích nghiên cứu việc xếp kiến thức hình học theo trình tự suy luận hợp logic Nhà tốn học bật Euclid Euclid: Bạn biết Euclid thành tựu tốn học ơng? Thắng lợi cách mạng tư sản Anh phát triển xã hội tư chủ nghĩa thúc đẩy phát triển mạnh mẽ khoa học kĩ thuật Hàng loạt phát minh quan trọng thay đổi hẳn mặt giới máy nước, tạo xu hướng nghiên cứu học lý thuyết Từ tốn học bắt đầu quan tâm đến chuyển động đại lượng biến thiên, dẫn đến phát triển số ngành tốn học mới: Hình học giải tích René Descartes Pierre Fermat - kết hợp hình học đại số đời đánh dấu bước ngoặc quan trọng lịch sử phát triển hình học tốn học Tư tưởng hình học biểu diễn quan hệ hình học phương trình đại số thơng qua trung gian hệ tọa độ, từ chuyển tốn hình học thành tốn đại số - dễ giải tốn ban đầu Nhờ đóng góp nhiều nhà tốn học khác, hình học giải tích phát triển từ mặt phẳng lên không gian, từ giúp tốn học nói chung, hình học nói riêng khỏi kiểu tư cụ thể khơng gian vật lí để đạt tới đỉnh cao trừu tượng khái quát Hình học họa hình – lý thuyết việc biểu diễn hình khơng gian lên mặt phẳng đời phát triển mạnh thời kì này, yêu cầu ngành xây dựng kiến trúc, tạo điều kiện cho xuất hình học xạ ảnh Việc giải tốn tính độ dài, diện tích, thể tích liên quan đến đời phép tính tích phân Các tốn tìm tiếp tuyến đường cong, xác định cực trị hàm số có liên hệ đến hình thành phép tính vi phân Mơn hình học vi phân áp dụng phép tính vơ bé vào hình học phát triển rộng rãi kỉ XVIII Định đề hình học Euclid: ? phát biểu định đề Vì định đề khơng phát biểu đơn giản tiên đề nên bị nghi ngờ tiên đề thừa Nhiều nhà tốn học nghĩ định lí, suy từ tiên đề cịn lại Quá trình chứng minh nghìn năm lịch sử chứng minh khơng phải định Thế kỉ XX Hệ tiên đề hoàn chỉnh hình học Euclid - - - - lý, từ nảy sinh hình học mới: hình học phi Euclid ? Phân tích khác tiên đề định đề? Như vậy: công nhận định đề ta có hình học Euclid, khơng cơng nhận định đề ta có hình học phi Euclid Hình học Lobatchevski – Bolyai: Hãy cho biết Hình học gì? Ngồi hình học hyperbolic, cịn có hình học phi Euclid khác hình học Riemann Hình học mà Euclid xây dựng thành công cịn chứa nhiều thiếu sót như: + chưa chọn khái niệm làm xuất phát điểm để định nghĩa khái niệm khác nên vào vòng luẩn quẩn dùng chưa định nghĩa để định nghĩa số khái niệm + Hệ tiên đề mà Euclid xây dựng vừa thừa vừa thiếu: thiếu tiên đề thứ tự liên tục, thừa tiên đề “tất góc vng nhau”,… Euclid dựa mô tả giới thực tế để vào lý thuyết thơng qua tiến trình suy diễn Thực tế giá cụ thể để tham khảo nghĩa, đối tượng thường hình thành từ đối tượng tồn Những thiếu sót bổ sung cách đầy đủ, xác David Hilbert Lý thuyết xây dựng theo hệ tiên đề Hilbert nhờ vào nghĩa cụ thể nào, hồn tồn dựa hình thức hóa kết hợp với tính xác quy tắc suy luận Hệ tiên đề đầy đủ Hình học Euclid gồm nhóm tiên đề: liên thuộc, thứ tự, tồn đẳng, liên tục, song song … Cũng tốn học nói chung, hình học kỉ XX khoa học đa dạng, phong phú không nội dung mà phương pháp nghiên cứu Những tư tưởng lớn xuất vào cuối kỉ trước hệ nhà toán học bổ sung, phát triển, hồn thiện ? Phân tích lịch sử đem lại kết luận sư phạm nào? 1.2 Quan hệ đại số - giải tích – hình học Sơ đồ phát triển Hình học: Phần 2: BÀI GIẢNG Chương 1: Mở đầu 1.1 Tổng quan Lịch sử phát triển hình học Lịch sử tốn học nói chung, lịch sử hình học nói riêng trình bày chi tiết nhiều sách, theo nhiều cách khác nhau, nhiên, theo đường tiếp cận hình học, từ trực giác, mô tả đến suy luận, chứng minh, giảng chọn trình bày theo sách [1], tác giả sách viết “Có ý kiến đồng hình học với phương pháp suy diễn Nói để nhấn mạnh vai trị hình học việc rèn luyện kỹ lập luận cho học sinh […].Lập luận hình học phong phú trước hết dựa việc quan sát hình vẽ, xây dựng đốn, xem xét có phê phán đốn vừa hình thành cuối tìm hợp thức có tính thuyết phục cách chứng minh Đây q trình mối liên hệ trực giác tính chặt chẽ lập luận thường xun trì” (Lê Thị Hồi Châu, 2004) Ngồi giảng cịn tham khảo thêm sách [9] STT Các Thời kì phát Một số chi tiết câu hỏi, SV phải nghiên cứu thêm tài liệu triển để hoàn chỉnh học Thời Ai Cập Babylon cổ - Mốc thời gian: Ai Cập: hai papyrus – sách cỏ lau lưu truyền papyrus Rhind Luân đôn papyrus Moskva), xem di tích tốn học Ai Cập cổ đại, từ kỉ XXI đến khoảng kỉ XVIII trước công nguyên Babylon quốc gia tồn từ kỉ XX đến kỉ II trước cơng ngun - Hình học nảy sinh từ đâu? Người Ai Cập cổ biết tính diện tích hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang hình trịn; thể tích hình hộp chữ nhật, hình trụ: + Thể tích tích hình hộp, hình lập phương, hình lăng trụ, hình trụ diện tích đáy nhân chiều cao +Diện tích tứ giác có cạnh a, b, c, d ( + )×( + ) + Diện tích hình trịn đường kính d diện tích hình vng cạnh Ngồi hình học Ai cập cổ đại cịn phát triển xa biết, theo Democritus “khơng trội tơi lĩnh vực dựng hình từ đường kèm theo chứng minh, kể người đạc điền Ai Cập”([9], tr.11 ) Các bảng đất sét nung người Babylon chứng tỏ họ tính diện tích hình phẳng, hình trịn, thể tích vật thể đơn giản,… + Diện tích hình trịn tính bình phương chiều dài đường trịn chia cho 12 + Người Babylon biết định lí Pitago, tìm ba 45 – 60 – 75, 72 – 65 – 97, 3456 – 3367 – 4825 Hình học tập hợp kiến thức đo đạc Tuy nhiên giai đoạn này, kiến thức hình học chưa 2) Tính tổng = 1+2+3+⋯+ = ( ) cách biểu diễn T tam giác vuông cân Đặt tam giác cạnh thành hình chữ nhật cạnh n n+1, từ suy rs 2T = n(n+1) 3) G Roberval kết tương đương với tích phân = tam giác vng cân sau: Ta xem đoạn thẳng xem tạo thành từ vô hạn đoạn thẳng nhỏ biểu diễn điểm, số điểm tương ứng với số tự nhiên Khi ta xem xét tam giác vuông cân cạnh tạo 4, 5, 6,…điểm; ta thu tổng số điểm S tam giác: - Tam giác cạnh điểm = + = 10 - Tam giác cạnh điểm = + = 15 - Tam giác cạnh điểm = + = 21 - ………………… Các số 4, 5, 6,…là số điểm nửa cạnh phần số điểm nhiều tam giác so với nửa hình vng Vì số đường thẳng nhỏ (số điểm) tam giác hay hình vng vô hạn nên số đường thẳng nhỏ (số điểm) nửa cạnh nhỏ so với phần lại tổng, bỏ qua có mặt Do đó, tam giác xem nửa hình vng Lí luận tương ứng với = Tương tự tính tổng số điểm hình chóp tứ giác đều, tìm hình chóp tứ giác phần ba hình lập phương, tương ứng suy = - !"# 4) Người Hy Lạp dùng phương pháp tỉ lệ phương pháp áp dụng diện tích để giải phương trình đơn giản Phương trình ax = bc – dùng tỉ lệ thức a:c = b: x cách dùng định lí Thales với đoạn song song chắn cạnh góc Phương trình = , x trung bình nhân hai số dương Giải phương trình bậc hai − + = phương pháp diện tích: Ta có hai nghiệm r, s phương trình có tổng a tích b2 Phương trình tương đương − + =0⟺ = ( − ) Vế trái diện tích hình có cạnh b, vế phải diện tích hình chữ nhật với hai cạnh có tổng a Vì tích nghiệm b2 nên b trung bình nhân nghiệm giải phương pháp dựng hình? Xem thêm http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa08/Ruff/GeometricSolutionQuad/QuadSolGeom html 5) Xem ví dụ [1], trang 32 6) Tính hợp thức số phức giải thích phạm vi hình học “…Wessel quy ước ghi đoạn thẳng đơn vị xác định kí hiệu +1, đoạn thẳng đơn vị -1 Một đoạn thẳng đơn vị khác, vng góc với đoạn thẳng đầu có chung gốc kí hiệu & Khi đó, theo định nghĩa phép nhân 1.2.2 đường & = −1 = −1, & = √−1…” xem [1], trang 96 -98 Hay “Argand tìm cách biểu diễn trung bình nhân hai đơn vị đối cuối đến chỗ dùng véc tơ để biểu diễn số phức Ơng cịn thiết lập tương ứng phép toán số phức với phép toán véc tơ Ta thấy hình học sử dụng phương tiện mang lại nghĩa cho khái niệm đại số” Một số ví dụ chương trình phổ thơng tại? Hình học giải tích – giải tốn hình học đại số Sự phát triển hình học địi hỏi phải xét toán liên quan đến đường cong, mặt cong phức tạp, phương pháp tổng hợp bộc lộ hạn chế Nó khiến nhà hình học mong muốn tìm phương pháp tổng quát khơng lệ thuộc vào hình vẽ Cuối kỉ 16, đại số phát triển phương pháp hiệu không số mà loại đại lượng Viète gán cho đối tượng kí hiệu làm cho tính tốn đại số trở nên dễ dàng Phương pháp đồ thị Oresme cho phép biểu diễn tương quan đối tượng Sự phát triển đại số cho phép thay lời giải viện dẫn đến hình học lời giải túy đại số Chính tiền đề tạo điều kiện cho tốn học chuyển sang bước tiến định: hình học giải tích đời! Hình học giải tích ta gọi ngày phương pháp nghiên cứu hình học Descarte mà mấu chốt đặt tương ứng đường cong hình học với phương trình đại số Từ để giải tốn hình học ta dịch sang ngơn ngữ phương trình đại số, biến đổi chúng dạng đơn giản được, dùng phép dựng hình học để giải chúng, cách sử dụng tương ứng thiết lập phép tốn đại số với phép dựng hình học Hình học giải tích cịn hồn thiện thêm Fermat Như vậy, trước đại số phải nhờ đến hình học để tìm nghĩa cho tốn đại số đại số khoa học độc lập, chí cịn ưu tiên so với hình học Descartes cởi bỏ nguyên tắc tính (đặt tương ứng số với độ dài, tích hai số với diện tích, tích ba số với thể tích – xét số dương) quan hiệm đại số nghiên cứu phương trình thuộc dạng mà khơng cần quan tâm đến nghĩa hình học Khái niệm đại lượng khơng cịn rút từ trừu tượng hóa đối tượng cụ thể – túy sản phẩm tư Hình học giải tích phát triển nhanh chóng nhờ nghiên cứu nhiều nhà tốn học J Wallis, Newton Ví dụ giải tốn hình học đại số: 1) Các đường conic vốn xác định qua giao tuyến mặt phẳng với mặt nón trịn xoay Wallis đại số hóa phương trình 2) Giải tốn hình học phẳng, hình học khơng gian đại số cộng với lí thuyết véc tơ đưa đến phương pháp tọa độ giải tốn 3) Ví dụ tốn thi quốc gia 2016: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông cân B, AC = 2a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm đoạn thẳng AC, đường thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC) góc 450 Tính theo a thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ chứng minh A’B vng góc với B’C 1.2.3 Giải tích tốn học đời – sức mạnh phương pháp đại số củng cố Cùng với phương pháp đại số, phương pháp giải tích mà tảng khái niệm hàm số đại lượng vô bé mang lại phương tiện hữu hiệu cho việc nghiên cứu conic nói riêng, đường cong mặt cong nói chung Hơn thế, phép tính tích phân giải tích cịn cho phép giải tốn tìm độ dài, diện tích, thể tích, vốn khơng phải dễ dàng giải phạm vi hình học 1.2.4 Hình học véc tơ – mở rộng kĩ thuật đại số vào hình học “Nếu Hình học giải tích phương pháp đại số hóa hình học cách dùng hệ tọa độ làm trung gian để chuyển đối tượng quan hệ hình học thành đối tượng quan hệ đại số, từ chuyển tốn hình học thành tốn đại số Lý thuyết véc tơ lại hình thành từ xu hướng xây dựng hệ thống tính tốn nội Hình học Nó cho phép đại số hóa hình học khơng ly khỏi hình học cách làm Hình học giải tích” - Ta làm tốn đại số đối tượng hình học ? phân tích trình bày hình học giải tích hình học véc tơ chương trình phổ thơng Điều gây nên hiểu lầm gì? 1.2.5 Sự trở lại phương pháp tổng hợp nghiên cứu hình học Nhằm thiết lập lại cân phương pháp giải tích tổng hợp nghiên cứu hình học, Monge nghiên cứu “Hình học họa hình” hình học họa hình mang lại cho phép tính giải tích phức tạp rõ ràng Sau cơng trình Monge, hình học giải tích phát triển song song với hình học họa hình, hình học vi phân, vai trị thống trị hình học đại số khơng cịn Thậm chí phương pháp đại số giải tích chiếm ưu nghiên cứu hình học 1.3 Các phương pháp tiếp cận hình học sơ cấp “Hình học sơ cấp” khoa học mà đối tượng nghiên cứu hình hình học khơng gian vật lí hai, ba chiều Để nghiên cứu hình học sơ cấp ta dựa phương pháp: phương pháp tổng hợp, phương pháp giải tích phương pháp véc tơ - Phương pháp tổng hợp: ? bạn hiểu phương pháp tổng hợp - Phương pháp giải tích: phương pháp khắc phục khó khăn phương pháp tổng hợp phụ thuộc hình vẽ trường hợp hình vẽ đường phức tạp Những chương trình xây dựng theo quan điểm thực nghiệm ý rèn luyện khả suy luận diễn dịch cho học sinh bậc trung học phổ thông không yêu cầu cao mặt Hoạt động thực hành hình hình học chiếm vị trí quan trọng dạy học hình học khơng gian Thơng qua hoạt động khối hình mà số mệnh đề liên quan đến đường thẳng mặt phẳng khơng gian tính chất hình hình học hình thành 1.6 Quan điểm tiên đề dạy học hình học Theo quan điểm tiên đề, giai đoạn nghiên cứu hình học mơ tả - thực nghiệm tiến hành lớp nên trung học sở phải chuyển sang trình bày hình học khoa học suy diễn, dù khơng q hình thức qua trừu tượng Những sách giáo khoa xây dựng hình học theo xu hướng thường giới thiệu tường minh tiên đề, giải thích việc dùng tiên đề để chứng minh định lí đặt lên hàng đầu chứng minh suy diễn Sách giáo khoa trình bày hình học theo quan điểm tiên đề trọng đến tính mô tả - thực nghiệm bậc trung học sở so với sách giáo khoa giai đoạn trước • Sự cần thiết hoạt động thực nghiệm Đối với bậc trung học phổ thơng rõ ràng phải bước nâng cao yêu cầu rèn luyện suy luận diễn dịch, phát triển tư logic Dạy học hình học bậc phải tạo bước chuyển thật khả suy luận phương pháp tư cho học sinh Tuy nhiên, có thể, chí nhiều cần thiết, dựa vào thực nghiệm – quy nạp mặt sư phạm, hoạt động kiểu góp phần vào việc gợi động cho học sinh giúp học sinh nhận thấy ý nghĩa tri thức hay mối liên hệ hình học thực tiễn Hơn nữa, chất hoạt động toán học phải bao gồm quan sát – thực nghiệm – quy nạp Do việc dạy học, dù trọng lực suy diễn nên cho học sinh quan sát, thực nghiệm đưa kết luận, từ định hướng chứng minh Để hoạt động quan sát, thực nghiệm tốn thời gian dùng phần mềm toán học Chương DẠY - HỌC CHỦ ĐỀ VÉC TƠ1 2.1 Lịch sử hình thành lí thuyết véc tơ • Vì phải nghiên cứu lịch sử hình thành tri thức? • Một chút chuyển hóa sư phạm Tri thức thể chế Thể chế I: (I- institution – tiếng Pháp) - Một thể chế I tổ chức (tập thể) xã hội cho phép, chí áp đặt lên chủ thể cách làm cách nghĩ riêng Ví dụ: đất nước VN với quy định hoạt động giáo dục tạo thể chế dạy học VN Trong phần nói đến “thể chế” ta nói đến “thể chế dạy học” liên quan đến hoạt động học thuật, khoa học: Thể chế dạy học VN, thể chế dạy học Pháp, Mỹ…không liên quan đến “thể chế trị” Tri thức S: (S – savoir – tiếng Pháp) - Mọi tri thức S gắn liền với thể chế I “Một tri thứ không tồn “lơ lửng” xã hội rỗng: tri thức xuất thời điểm định, xã hội định, cắm sâu vào nhiều thể chế.” (Chevallard, 1989) Từ ta có mệnh đề sau: - Mỗi tri thức tri thức thể chế - Cùng đối tượng tri thức sống nhiều chế khác - Để tồn thể chế, tri thức phải tuân theo số ràng buộc Điều kéo theo việc tri thức phải bị biến đổi để phù hợp với đòi hỏi thể chế Đặc trưng tri thức thể chế dẫn đến việc phân biệt nhiều kiểu thao tác liên quan đến tri thức: - Tạo tri thức => Thể chế tạo tri thức Chương trích chủ yếu từ cơng trình Lê Thị Hồi Châu, tham khảo từ [1] [10], tập lấy từ [5] Ngoài cịn có http://www.math.mcgill.ca/labute/courses/133f03/VectorHistory.html - Sử dụng tri thức => Thể chế sử dụng tri thức Dạy học tri thức => Thể chế dạy học Thao tác chuyển tri thức từ thể chế sang thể chế khác => thể chế chuyển đổi , gọi noosphère Ta có sơ đồ sơ đồ sau: Là trình chuyển đổi đối tượng tri thức O (object), đối tượng tri thức O mang nghĩa rộng tri thức S, gồm S tất liên quan đến S I1: Thể chế tham chiếu đối tượng tri thức O I2: Thể chế chuyển đổi – noosphère I3: Thể chế đích đối tượng tri thức O bị biến đổi – O’ O I1 I2 O' I3 Khi I3 thể chế dạy học trình chuyển đổi đối tượng tri thức O sang đối tượng tri thức O’ gọi q trình chuyển hóa sư phạm (transposition didactique) Chuyển hóa sư phạm Lí thuyết chuyển hóa sư phạm lí thuyết đề cập đến vấn đề chuyển hóa đối tượng tri thức bác học thành đối tượng tri thức giảng dạy Mục tiêu nghiên cứu: - Vấn đề hợp pháp đối tượng tri thức giảng dạy: tri thức giảng dạy hợp pháp hóa nào? Dựa vào tri thức tham chiếu nào? Cái định diện tri thức (mà tri thức khác) hệ thống dạy học? - Việc xuất cách có hệ thống chênh lệch tri thức dạy với tri thức tham chiếu hợp pháp hóa (sự chênh lệch sinh ràng buộc hoạt động hệ thống dạy học, tri thức): chênh lệch nào? Những ràng buộc giải thích cho chênh lệch này? Các giai đoạn chủ yếu qui trình chuyển hóa sư phạm là: Tri thức bác học (Thể chế tạo tri Tri thức cần dạy (Thể chế chuyển Tri thức dạy (Thể chế dạy học) Quá trình chuyển đổi tạo khác biệt (đôi lớn) tri thức cần dạy tri thức dạy so với tri thức bác học Khi đó, nghiên cứu khoa học luận (trong có nghiên cứu lịch sử) tri thức cần dạy cho phép làm rõ khác biệt này, đặc trưng tri thức cần dạy so với tri thức bác học Nó giúp ta có nhìn khơng hồn tồn bị bó hẹp hệ thống dạy học hay bó hẹp phạm vi chương trình sách giáo khoa Trong trình biến đổi, vấn đề mà tri thức cho phép giải bị lãng quên, tri thức trao cho chức hồn tồn mới, sở cho hình thành tri thức khác phức tạp sinh từ thể chế sử dụng Những biến đổi mà tri thức phải chịu để trở thành đối tượng dạy học “rất xuất phát từ lí có chất khoa học luận gắn liền với sản sinh tri thức Những biến đổi thường mang tính giải pháp tình huống, chủ yếu tuân theo ràng buộc nội thể chế dạy học” ([1], tr.89) “Việc giới hạn thể chế dạy học để xem xét tri thức cần dạy khơng cho phép ta hình dung đầy đủ có thể, hay ngược lại khơng thể, cần phải xảy dạy học Vì thiếu hiểu biết khoa học luận, người ta lầm tưởng tri thức cần dạy quy định chương trình sách giáo khoa dường “trong suốt”, copy, đơn giản hóa trung thành tri thức toán học, mà khơng có phải bàn cãi Để tránh quan niệm sai lầm người ta cần phải trở lại với cội nguồn lịch sử tri thức Lịch sử giúp vạch rõ trình xây dựng tri thức cộng đồng nhà khoa học, phụ thuộc vào lĩnh vực tốn học có liên quan, từ xác định nghĩa tri thức, tình mang lại nghĩa đó, vấn đề gắn liền với nó, vị trí tương đối tri thức tổng quát Phân tích trả lại cho tri thức nghĩa rộng hơn, phong phú hơn, đầy đủ hơn, điều mà việc nghiên cứu đơn chương trình sách giáo khoa khơng thể mang lại” ([1], tr.90) “Ngồi ra, phân tích lịch sử cịn giúp ta dự đốn khó khăn, chướng ngại mà học sinh gặp phải q trình chiếm lĩnh tri thức Phân tích - cho phép làm rõ động lực hay chướng ngại, bước nhảy quan niệm hay điều kiện cho xuất khái niệm” ([1], tr.90) • Quay lại lịch sử hình thành lí thuyết véc tơ: Khái niệm véc tơ nảy sinh từ hai xu hướng nghiên cứu: Xu hướng thứ nhắm đến việc xây dựng hệ thống “tính tốn nội hình học” Xu hướng thứ hai liên quan đến việc mở rộng tập số thực, cơng trình tìm cách biểu diễn đại lượng ảo (số phức) đóng vai trị quan trọng Những hệ thống tính tốn nội hình học Leibniz hình học vị trí - - - - Tính tốn tâm tỉ cự Mobius - Leibniz (1646 – 1716) xuất phát từ nhận xét phương pháp giải tích Descartes Fermat, công cụ mạnh cho việc giải tốn hình học, tạo che lấp trực giác hình học thực xảy q trình giải tốn Leibniz muốn tìm cách đại số hóa hình học khơng khỏi phạm vi hình học, tức tìm phương pháp cho phép bảo tồn chất hình học tốn Hình học vị trí Leibniz hình thành quan hệ “tương đẳng” : + hai cặp điểm gọi tương đẳng khoảng cách hai điểm cặp + hai điểm gọi tương đẳng hai tam giác chúng tạo nên chồng khít lên nhau,… Từ khái niệm tương đẳng, Leibniz đến quỹ tích: + Với A, B cho trước, quỹ tích điểm X cho A, X tương đẳng với A, B hình cầu; quỹ tích điểm X cho A, X tương đẳng với B, X mặt phẳng Hình học vị trí bị thất bại với lí do: Với khái niệm tương đẳng, xét đến quan hệ hai điểm, Leibniz giữ lại độ dài, khơng có phân biệt AB BA, không xét đến phương khác khơng gian Trong hình học vị trí, khơng có phép tốn đối tượng hình học Mặc dù khơng chủ đích xây dựng lí thuyết véc tơ Tính tốn tâm tỉ cự Mobius lại mơ hình tốn học giống với hệ véc tơ ngày chiếm vị trí quan trọng lịch sử hình thành lí thuyết véc - - - - Tính tốn tương đẳng Bellavitis (1833) tơ Tính tốn tâm tỉ cự quan tâm đến vấn đề sau: Xem xét mối quan hệ đoạn thẳng cộng tuyến (cùng phương) Xem thay đổi chiều ứng với thay đổi dấu, tức AB = - BA Đưa vào quy tắc cộng đoạn thẳng cộng tuyến, sau mở rộng quy tắc dấu quy tắc cộng Định hướng phần mặt phẳng liên quan đến tam giác cách xem đại lượng ghi ba chữ kí hiệu đỉnh gắn thêm vào dấu: ABC = BCA = CAB = - ACB = - BAC = - CBA Khái quát hóa phép cộng trừ đoạn thẳng định hướng cộng tuyến cho trường hợp không cộng tuyến đồng phẳng vào năm 1843 Năm 1862, xây dựng tích hình học (bằng tích véc tơ ngày phương diện số khơng đồng hình bình hành định lướng khơng phải đoạn thẳng định hướng) , tích chiếu (tích vơ hướng) Mặc dù Tính tốn tâm tỉ cự cịn nhiều điểm mập mờ thiếu thiếu xác, Grassmann lí giải “việc thiếu thói quen kết hợp độ dài phương đại lượng nguyên nhân lúng túng này” ([1], tr 94) thành cơng vấn đề sau đóng góp quan trọng cho hình thành lí thuyết véc tơ: + hình thành phép tốn thực thể hình học Các thực thể xem xét phương diện số định hướng không gian + phép nhân hai đoạn thẳng (định hướng) đề cập - Hai đoạn thẳng gọi tương đẳng chúng song song, hướng có độ dài - Kí hiệu “˜” dùng để biểu diễn đoạn thẳng tương đẳng cho phép viết đẳng thức phương trình theo cách viết tương đương với kiểu viết véc tơ ngày - Phép cộng hai hay nhiều đoạn thẳng định nghĩa quan hệ tương đẳng: đặt đoạn cho điểm đầu đoạn trùng với điểm cuối đoạn trước đó, tổng đoạn thẳng tương đẳng với đoạn nối điểm đầu đoạn điểm cuối đoạn cuối Tổng không đổi thay đoạn thẳng đoạn tương đẳng với - Tích đoạn với số định nghĩa - Trong phương trình tuyến tính đoạn, thực tính tốn với phương trình đại số - Độ nghiêng đường xác định góc đường tạo nên với phương nằm ngang tính từ trái sang phải (xét mặt phẳng) - Tích hai đoạn đồng phẳng đoạn có độ nghiêng tổng độ nghiêng, chiều dài tích chiều dài “Mơ hình Bellavitis chứa nhiều yếu tố lí thuyết véc tơ đại Ngày nay, để định nghĩa véc tơ sử dụng quan hệ tương đẳng Hơn thế, phép cộng, phép nhân với số mơ hình Bellavitis trùng với phép toán tương ứng véc tơ ngày nay” - “Bellavitis thử mở rộng lí thuyết sang khơng gian khơng thành cơng Khó khăn mà ơng đụng phải nghĩa tích hai đoạn Rõ ràng mặt phẳng, phương hướng đoạn thẳng hoàn toàn xác định độ nghiêng Nhưng điều khơng cịn khơng gian Và tích hai đoạn theo nghĩa Bellavitis không xác định trường hợp này” - “Lịch sử vấn đề khái quát hóa vào khơng gian ba chiều tính tốn véc tơ mặt phẳng đụng phải vấn đề gai góc phép nhân Người ta thấy rõ điều việc mở rộng hệ thống gắn liền với việc biểu diễn hình học số phức” Biểu diễn hình học số phức “Ngay từ đầu kỉ XV, việc mở rộng tính tốn đại số địi hỏi phải đưa vào khái niệm bậc hai số âm với tư cách đại lượng trung gian cho tính tốn, đặc biệt để giải phương trình bậc ba Vấn đề hợp thức hóa bậc hai số âm mối quan tâm nhiều nhà toán học tận kỉ XIX Một số người tìm cách giải vấn đề với giúp đỡ hình học, giống trước dùng mơ hình lỗ lãi, (biểu diễn đường thẳng số) để giải thích cho số âm Chính q trình tìm cách biểu diễn hình học số phức (thời gọi “ảo”, “phi lí”, “khơng thể”) mà họ đến với tính tốn véc tơ” Việc biểu diễn hình học số phức thực độc lập nhà toán học, mơ hình họ lại giống nhau, ta trình bày mơ hình Wessel Argand, người xuất phát từ hình tính tốn Thời Hy Lạp Cổ Mốc thời gian: kỉ VI – IV trước cơng ngun (khi nói tốn học cổ Hy Lạp nghĩa nói tốn học viết tiếng Hy Lạp khoảng thời gian này) xem xét tổng thể mối liên hệ logic hình học chưa đạt đến trình độ suy diễn, dừng lại mức độ kiến thức đo đạc tính tốn ? Như vậy, nhận thức hình học bắt nguồn từ điều gì? Quy trình nhận thức học sinh có hay khơng? Việc giảng dạy phải đáp ứng điều kiện gì? - - Hình học khoa học suy diễn trừu tượng - Thế kỉ thứ III trước công nguyên - Người Hy Lạp cổ đại biết tổ chức khoa học hình thành trường phái tốn học, mở đầu trường phái Ioni – nơi sinh toán học Hy Lạp Nền toán học đặt câu hỏi kiểu Phương Đông “làm nào” mà đặt tiếp câu hỏi mang tính khoa học đại “tại sao?”, kể từ giai đoạn hình học nhanh chóng trở thành khoa học suy diễn trừu tượng: Thales: Bạn biết khám phá nhà tốn học này? Pythagore mang lại nhiều biến đổi sâu sắc cho hình học cách cố gắng chứng minh định lí suy luận logic khơng dựa vào trực giác cách dựa số sở đầu tiên, Pythagore xem người xây dựng hình học khoa học suy diễn, phát minh hình học ơng: + Định lý tổng góc tam giác + Chia mặt phẳng thành đa giác (tam giác đều, hình vng, lục giác đều) + Giải phương trình bậc hai hình học + Dựng đa giác có diện tích cho trước đồng dạng với đa giác cho trước Ngồi cịn có khám phá quan trọng Pythagore? + Hypocrate, thuộc trường phái Pythagore dùng quy tắc suy diễn, đạt đến trình độ cao để chứng minh số kết hình học, chẳng hạn “diện tích hai hình viên phân đồng dạng tỉ lệ với hai dây cung căng chúng”, biết tính diện tích số nguyệt hình Platon: “khơng cần vào mái vịm tơi khơng phải nhà hình học” Các phép chứng minh trường phái Platon mang đặc trưng toán học, tách khỏi yếu tố thu qua kinh nghiệm quan sát đơn giản Đến kỉ thứ trước cơng ngun, kiến thức hình học người Hy Lạp khối lượng lớn phong phú khơng nội dung mà cịn phương pháp chứng minh, điều đặt móng cho đời - - - - - với khái niệm số phức kết chứng minh được: đường thẳng song song với trục thực viết ± , vng góc với trục thực viết ± √−1 đường thẳng mặt phẳng biểu diễn dạng + √−1 Từ ơng thiết lập tương ứng phép toán đại lượng ảo với việc dựng hình học đường Trong chứng minh trên, Argand rõ không cần thiết phải cố định điểm gốc Như đây, khái niệm véc tơ xác định cách ngầm ẩn Hơn thế, ơng cịn chứng minh mặt phẳng đường thẳng phân tích thành tổ hợp tuyến tính hai đường khơng cộng tuyến phân tích Phương pháp Argand hoàn thiện thêm với nhà nghiên cứu khác, phương pháp mở rộng vào không gian chiều phép nhân chưa khái qt hóa thành cơng Hamilton (1805 – 1865) xác định hệ số p, q, r (không phải số thức) công thức biểu thị đường thẳng không gian Servoir (cùng nghiên cứu với Argand) )*2 + )*4 + - )*5, với 2, 4, góc tạo đường thẳng với ba trục vng góc Lý thuyết quaterneon Theo quan điểm Hamilton, đại số xem khoa học thời gian, số âm quay ngược lại với thời gian Để giải thích tính hợp thức số phức, ơng xây dựng cấu trúc đại số cặp hai phần tử Trên tập hợp cặp, ông định nghĩa phép cộng hai cặp, phép nhân cặp với số, sau phép nhân hai cặp: (a1, a2)(b1, b2) = (a1b1 – a2b2, a1b2 + a2b1) Với định nghĩa phép nhân, ta có (0,1)(0,1) = (-1, 0), số phức có hợp thức! Hamilton người đưa thuật ngữ véc tơ theo nghĩa tốn học rõ ràng Trong khơng gian, véc tơ ba (x, y, z) hay đoạn thẳng mà biểu diễn 2.2 Kết luận sư phạm rút từ phân tích lịch sử Lịch sử hình thành lí thuyết véc tơ khó khăn mà nhà toán học gặp phải: - Việc định hướng đối tượng hình học - Việc xây dựng phép toán nhân đường định hướng Vậy việc học véc tơ có đem lại khó khăn cho học sinh? Kết nghiên cứu Lê Thị Hồi Châu cho thấy khó khăn mà học sinh phải đương đầu là: - Khó khăn việc vượt khỏi thống trị mô hình metric để xem xét hình học định hướng - Khi vượt khỏi ảnh hưởng mơ hình metric lại khó khăn việc chiếm lĩnh hai đặc trưng định hướng véc tơ - Khó khăn việc hiểu chất kép đại số - hình học phép tốn véc tơ 2.3 Về định nghĩa véc tơ 2.3.1 Nhắc lại định nghĩa khơng gian véc tơ Phần trích từ sách “Tốn học cao cấp, tập 1, Đại số Hình học giải tích” nhóm tác giả Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, tr 233 – 235: “ Xét tập V khác rỗng mà phần tử ta quy ước gọi véc tơ trường số thực R Giả sử V ta định nghĩa hai phép toán: phép cộng hai véc tơ phép nhân véc tơ véc tơ với số thực Phép cộng hai véc tơ luật hợp thành × → cho phép tạo từ cặp véc tơ x, y ∈ V véc tơ tổng chúng, kí hiệu x + y Phép nhân véc tơ với số , cịn gọi tích chúng, kí hiệu kx Nếu 10 yêu cầu (tiên đề) sau thỏa mãn với x, y, z ∈ k, l ∈ : tập V gọi khơng gian véc tơ trường R: (1) Nếu x y ∈ x + y ∈ (2) x + y = y + x, ∀ , < ∈ (3) x + (y + z) = (x + y) + z, ∀ , ∈ cho > + = + > = , ∀ ∈ Phần tử > gọi phần tử trung hòa phép cộng, (hay V) (5) Với ∈ 7, tồn phần tử − ∈ cho x + (-x) = (-x) +x = > Phần tử − gọi phần tử đối xứng (hay phần tử đối) x (6) Nếu ? ∈ : ∈ ? ∈ (7) k(x+y) = kx +ky, ∀ , < ∈ 7, ∀? ∈ : (8) (k+l)x = kx + lx, ∀ ∈ 7, ∀?, @ ∈ : (9) k(lx) = (kl)x, ∀ ∈ 7, ∀?, @ ∈ : (10) 1.x = x, ∀ ∈ … Thí dụ: tập : tập véc tơ hình học mặt phẳng có chung gốc tập véc tơ hình học tự mặt phẳng ta đồng véc tơ tương đẳng (tức véc tơ phương, hướng, độ dài một) không gian véc tơ với với hai phép toán, cộng hai véc tơ nhân véc tơ với số thực Tương tự, :A tập véc tơ hình học khơng gian hay véc tơ hình học tự khơng gian (trong ta đồng véc tơ tương đẳng) hai phép tốn khơng gian véc tơ.” 2.3.2 Các cách định nghĩa véc tơ Theo [1],véc tơ định nghĩa theo cách sau: Định nghĩa véc tơ Toán học “Véc tơ xét véc tơ nghiên cứu hình học Tập hợp véc tơ hình học mơ hình khơng gian véc tơ tổng qt đại số tuyến tính Từ quan điểm tốn học túy, người ta định nghĩa khái niệm véc tơ hình học qua hệ tiên đề khơng gian véc tơ, qua lớp tương đương đoạn thẳng định hướng qua lớp tương đương cặp điểm thứ tự” Định nghĩa Định nghĩa qua lớp tương Định nghĩa qua lớp tương qua hệ tiên đương đoạn thẳng định đương đoạn thẳng thứ tự đề không hướng gian véc tơ - Xét cặp điểm Xem mục - Một đoạn thẳng thứ tự (A, B) mặt 2.3.1 xác định điểm mút phẳng, A điểm đầu, điểm điểm đầu, B điểm mút điểm cuối, gọi đoạn thẳng cuối Hai cặp điểm (A, B) (C, D) định hướng gọi tương đương, kí - Đoạn thẳng có điểm đầu A, điểm cuối B kí hiệu (A, B) ~ (C, D) hiệu AB hai đoạn thẳng - Những đường thẳng AD BC có song song với xác trung điểm định phương - Quan hệ “tương Phương đoạn thẳng đương” có tính định hướng phương chất phản xạ, đối đường thẳng chứa xứng, bắc cầu Do đó, tập hợp cặp điểm - Hai đoạn thẳng định đường thẳng hướng gọi phân thành phương thuộc - - - - - - hai đường thẳng song song phương Mỗi phương có hai hướng (chiều) ngược Hướng đoạn thẳng định hướng hướng từ điểm đầu đến điểm cuối, theo hai hướng đường thẳng chứa Hai đoạn thẳng định hướng AB, CD gọi hướng chúng: • Nằm hai đường thẳng song song với thuộc nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AC nối hai điểm đầu chúng • Hoặc thuộc đường thẳng hai tia chứa tia lại Hai đoạn thẳng định hướng gọi tương đương chúng có độ dài hướng Quan hệ “tương đương” có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu chia đoạn thẳng thành lớp tương đương Mỗi lớp tương đương gọi véc tơ Lớp tương đương chứa đoạn thẳng định hướng AB gọi véc EEEEEF Đoạn tơ kí hiệu CD - - - - lớp tương đương Hai cặp điểm thuộc lớp chúng tương đương Mỗi lớp tương đương gọi véc tơ Lớp tương đương chứa cặp điểm thứ tự (A, B) kí hiệu EEEEEF Cặp điểm (A, CD B) gọi đại diện cho véc tơ EEEEEF CD EEEEEF lớp tất Véc tơ CD cặp điểm thứ tự tương đương với (A, B) Nếu (A, B) ~ (C, D) EEEEEF hay EEEEEF véc tơ CD GH ta EEEEEF = GH EEEEEF viết CD Hình học – lý thuyết xây dựng theo tư tưởng phương pháp tiên đề Thế kỉ XVIII XVII, - Hình học thời kì tốn học cao cấp - - - Thế kỉ XIX: Hình học phi Euclid - mơn Cơ sở hình học mà mục đích nghiên cứu việc xếp kiến thức hình học theo trình tự suy luận hợp logic Nhà tốn học bật Euclid Euclid: Bạn biết Euclid thành tựu tốn học ơng? Thắng lợi cách mạng tư sản Anh phát triển xã hội tư chủ nghĩa thúc đẩy phát triển mạnh mẽ khoa học kĩ thuật Hàng loạt phát minh quan trọng thay đổi hẳn mặt giới máy nước, tạo xu hướng nghiên cứu học lý thuyết Từ tốn học bắt đầu quan tâm đến chuyển động đại lượng biến thiên, dẫn đến phát triển số ngành tốn học mới: Hình học giải tích René Descartes Pierre Fermat - kết hợp hình học đại số đời đánh dấu bước ngoặc quan trọng lịch sử phát triển hình học tốn học Tư tưởng hình học biểu diễn quan hệ hình học phương trình đại số thơng qua trung gian hệ tọa độ, từ chuyển tốn hình học thành tốn đại số - dễ giải tốn ban đầu Nhờ đóng góp nhiều nhà tốn học khác, hình học giải tích phát triển từ mặt phẳng lên không gian, từ giúp tốn học nói chung, hình học nói riêng khỏi kiểu tư cụ thể khơng gian vật lí để đạt tới đỉnh cao trừu tượng khái quát Hình học họa hình – lý thuyết việc biểu diễn hình khơng gian lên mặt phẳng đời phát triển mạnh thời kì này, yêu cầu ngành xây dựng kiến trúc, tạo điều kiện cho xuất hình học xạ ảnh Việc giải tốn tính độ dài, diện tích, thể tích liên quan đến đời phép tính tích phân Các tốn tìm tiếp tuyến đường cong, xác định cực trị hàm số có liên hệ đến hình thành phép tính vi phân Mơn hình học vi phân áp dụng phép tính vơ bé vào hình học phát triển rộng rãi kỉ XVIII Định đề hình học Euclid: ? phát biểu định đề Vì định đề khơng phát biểu đơn giản tiên đề nên bị nghi ngờ tiên đề thừa Nhiều nhà tốn học nghĩ định lí, suy từ tiên đề cịn lại Quá trình chứng minh nghìn năm lịch sử chứng minh khơng phải định - - - - phép tịnh tiến Nếu hai điểm A, B lấy theo thứ tự này, tương ứng với qua phép tịnh tiến T, tức T(A) = B ta nói chúng biểu biễn cho véc tơ, kí hiệu EEEEEF CD Như véc tơ phép tịnh tiến Tất cặp điểm tương ứng qua phép tịnh tiến biểu diễn véc tơ Tổng hai véc tơ véc tơ xác định phép tịnh tiến tích hai phép ứng với hai véc tơ ban đầu Véc tơ - không phép tịnh tiến đồng Khi phép tịnh tiến véc tơ định nghĩa sau, theo [1]: • Phép tịnh tiến ánh xạ từ mặt phẳng lên nó, biến điểm X thành điểm X1, sap cho: + Tia XX1 có hướng cho + Đoạn XX1 có độ dài cho Hướng tia XX1 hướng phép tịnh tiến Phép tịnh tiến thường kí hiệu chữ T Phép tịnh tiến hoàn toàn xác định ta biết cặp điểm tương ứng với qua phép tịnh tiến Thật vậy, qua phép tịnh tiến T ảnh A A1 ảnh điểm X tùy ý điểm X1 cho XX1 có độ dài hướng với đoạn AA1 Cặp điểm (A, A1) gọi - - - - - - Hai véc tơ nằm hai đường thẳng song song trùng gọi hai véc tơ phương Trên phương có hai hướng ngược Hướng véc tơ EEEEEF hướng từ điểm gốc A CD đến điểm B theo hai hướng đường thẳng chứa EEEEEF EEEEEF Hai véc tơ CD GH gọi EEEEEF , EEEEEF = GH nhau, kí hiệu CD chúng có hướng độ dài EEEEEF , có vơ số véc tơ Cho véc tơ CD EEEEEF , với gốc điểm CD Tập hợp tất véc tơ xem EEEEEF kí hiệu F Véc tơ CD gọi đại diện F Nếu EEEEEF = GH EEEEEF = IJ EEEEEF = ⋯, CD EEEEEF EEEEEF đại diện véc GH , IJ tơ F Ta gọi F véc tơ tự Mỗi véc tơ tự hoàn toàn xác định qua đặc trưng phương, hướng độ dài Để biểu diễn véc tơ tự do, ta lấy điểm gốc ? Phân tích cách định nghĩa véc tơ sách giáo khoa hành: véc tơ kí hiệu EEEEEEEF CC Ta nói T phép tịnh tiến theo véc tơ EEEEEEEF CC • Nếu A’, B’ tương ứng ảnh hai điểm A, B qua phép tịnh tiến AA’ // BB’; nửa đường thẳng AA’, BB’ có hướng AA’ = BB’ Hai điểm A, A’ lấy theo thứ tự này, biểu diễn EEEEEEF véc tơ mà ta kí hiệu CC′ 2.4 Dạy – học véc tơ ... tốn nội Hình học Nó cho phép đại số hóa hình học khơng ly khỏi hình học cách làm Hình học giải tích” - Ta làm tốn đại số đối tượng hình học ? phân tích trình bày hình học giải tích hình học véc... khơng lí bị gián đoạn f Hình học khoa học khác Tốn học nói chung, hình học nói riêng ln đồng hành khoa học khác Hình học có mặt khoa học sau: - Hóa học: hình học cần thiết cho việc hiểu cấu trúc... cho học sinh phổ thơng? Bạn đưa dẫn chứng cho lí a, b, c a Hình học đem lại trí tưởng tượng khơng gian b Hình học gắn với tư logic c Hình học gắn với đời sống d Hình học nghệ thuật Hình học vốn