THÁI THUẦN QUANG CƠ SỞ LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH HÀM DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN Quy Nhơn, 2013 Mục lục Lời nói đầu Chương Không gian định chuẩn i 1.1 Không gian tuyến tính 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Không gian Banach 19 1.4 Không gian - không gian thương 28 1.5 Tốn tử tuyến tính liên tục 32 1.6 Không gian hữu hạn chiều - không gian khả ly 40 45 Bài tập Chương Các nguyên lý 48 2.1 Định lý Hahn-Banach 48 2.2 Nguyên lý ánh xạ mở - Định lý đồ thị đóng 55 2.3 Nguyên lý bị chặn 60 62 Bài tập Chương Không gian liên hợp - Tôpô yếu 64 3.1 Không gian liên hợp 64 3.2 Không gian liên hợp thứ hai - Không gian phản xạ 72 3.3 Tôpô yếu 75 84 Bài tập Chương Một số toán tử khơng gian Banach 87 4.1 Tốn tử liên hợp 87 4.2 Toán tử compact 89 4.3 Phổ toán tử liên tục 91 95 Bài tập Chương Không gian Hilbert 98 5.1 Khái niệm không gian Hilbert 5.2 Hình chiếu trực giao - Cơ sở trực chuẩn 105 5.3 Không gian liên hợp 117 5.4 Tốn tử liên hợp khơng gian Hilbert 120 Bài tập 98 131 Tài liệu tham khảo 135 Chỉ mục 140 Lời nói đầu Giải tích hàm bắt đầu xây dựng vào năm đầu kỷ 20, xem ngành tốn học cổ điển, phương hướng thống Ngày giải tích hàm đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu cấu trúc toán học Những thành tựu to lớn phương pháp mẫu mực xâm nhập vào tất ngành toán học có liên quan lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết biến phân, lý thuyết hàm biến phức, phương pháp tính, Vì nói giải tích hàm nơi gặp gỡ nhiều ngành toán học lý thuyết ứng dụng Giáo trình dành cho sinh viên năm cuối đại học sư phạm toán năm thứ ba ngành cử nhân khoa học tốn Nó trình bày kiến thức giải tích hàm Nội dung giáo trình chia thành chương Chương I trình bày lý thuyết tổng quát không gian định chuẩn tốn tử xác định Chương II giới thiệu cách có hệ thống nguyên lý giải tích hàm, bao gồm: định lý Hahn-Banach, nguyên lý ánh xạ mở định lý đồ thị đóng, nguyên lý bị chặn Banach-Steinhauss Lý thuyết khơng gian liên hợp tơpơ yếu trình bày chương III Chương IV dược dành toàn cho vấn đề lý thuyết toán tử, toán tử compact sơ lược vể phổ toán tử Cuois cùng, chương V sâu nghiên cứu lý thuyết khơng gian Hilbert tốn tử tuyến tính liên tục Sau mõi chương có tập nhằm củng cố nâng cao nội dung kiến thức trình bày Trong khn khổ giáo trình đại học, đề cập nét nhất, khơng thể trình bày tất hướng phát triển giải tích hàm Để nắm bắt giáo trình này, sinh vien cần có kiến thức tối thiểu giải tích cổ điển, đại số tuyến tính, tơpơ đại cương, học phần giải tích trước Tuy nhiên chúng tơi trình bày đầu giáo trình số kiến thức khơng Lời nói đầu ii gian tuyến tính Đồng thời, xen lẫn giảng nhắc lại vài khái niệm kết cần thiết Giáo trình khơng tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận biết ơn ý kiến phê bình, góp ý bạn đồng nghiệp bạn đọc giáo trình Thái Thuần Quang Khoa Toán Đại học Quy Nhơn Chương KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Bài 1.1 Khơng gian tuyến tính Không gian định chuẩn Không gian Banach Không gian - khơng gian thương Tốn tử tuyến tính liên tục Không gian hữu hạn chiều - không gian tập khả ly 19 28 32 40 45 KHƠNG GIAN TUYẾN TÍNH Để chuẩn bị cho giáo trình, chương chúng tơi nhắc lại số vấn đề không gian tuyến tính Trong giáo trình ta ký hiệu K để trường vô hướng gồm số thực R hay số phức C 1.1.1 Khái niệm không gian tuyến tính Trong khơng gian mêtric nghiên cứu vấn đề liên quan đến khoảng cách hội tụ, tính liên tục, Nhưng giải tích cịn nhiều vấn đề khác liên quan đến phép tốn tuyến tính (cộng hai phần tử với 1.1 Khơng gian tuyến tính nhân phần tử với số) Để nghiên cứu vấn đề người ta đưa khái niệm không gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.1 Khơng gian tuyến tính X trường K tập hợp X với hai phép tốn  :X ✂X ĐX ♣x, yq ÞĐ x   y ✌:K✂X ĐX ♣λ, xq ÞĐ λx thỏa mãn tiên đề sau: 1) x   y ✏ y   x với x, y € X 2) x   ♣y   z q ✏ ♣x   y q   z với x, y, z € X 3) Tồn € X cho x   ✏   x ✏ x với x € X 4) Với x € X tồn ✁x € X cho x   ♣✁xq ✏ 5) ♣λµqx ✏ λ♣µxq với λ, µ € K x € X 6) ♣λ   µqx ✏ λx   µx với λ, µ € K x € X 7) λ♣x   y q ✏ λx   λy với λ € K x, y € X 8) 1.x ✏ x với x € X phần tử đơn vị K Từ điều kiện ta thấy phần tử với x ✁x (và gọi phần tử đối x) € X phần tử Nếu K ✏ R X gọi khơng gian tuyến tính thực, cịn K ✏ C X gọi khơng gian tuyến tính phức Khi khơng quan tâm đến trường số K ta nói gọn khơng gian tuyến tính Khơng gian tuyến tính cịn gọi khơng gian vectơ phần tử gọi vectơ 1.1.2 ✌ Một số ví dụ khơng gian tuyến tính Khơng gian Rk Trong Rk xét phép tốn cộng nhân vơ hướng sau Ta đặt x y ✏ ♣ξ1   η1, , ξk   ηk q, αx ✏ ♣αξ1, , αξk q với x ✏ ♣ξ1 , , ξk q, y ✏ ♣η1 , , ηk q α € R Dễ kiểm tra Rk với hai phép toán khơng gian tuyến tính ✌ Khơng gian C ra, bs Ký hiệu C ra, bs tập tất hàm số nhận giá trị K, liên tục ra, bs ⑨ R Với x, y € C ra, bs α € K ta đặt ♣x   yq♣tq ✏ x♣tq   y♣tq, ♣αxq♣tq ✏ αx♣tq, với t € ra, bs 1.1 Không gian tuyến tính Dễ kiểm tra C ra, bs với hai phép tốn khơng gian tuyến tính ✌ Khơng gian C ♣S q Tổng qt ví dụ trên, ta ký hiệu C ♣S q tập tất hàm số nhận giá trị K, liên tục S ⑨ R Định nghĩa phép tốn cộng nhân vơ hướng C ra, bs ta dễ kiểm tra C ♣S q với hai phép tốn khơng gian tuyến tính ✌ Không gian C ✽ ra, bs Ký hiệu C ✽ ra, bs tập tất hàm số khả vi vô hạn ra, bs ⑨ R Định nghĩa phép tốn cộng nhân vơ hướng C ra, bs ta dễ kiểm tra C ♣S q với hai phép tốn khơng gian tuyến tính ✌ Các khơng gian co , dãy số phức Gọi ✽, p ♣p ➙ q Ta ký hiệu CN tập hợp tất ✏ t♣ξ1, ξ2, q € CN : nlim Ñ✽ ξn ✏ 0✉, ✽ ✏ t♣ξ1 , ξ2 , q € CN : sup ⑤ξn ⑤ ➔ ✽✉, co n p ✏ t♣ξ1, ξ2, q € CN : ✽ ➳ ✏ ⑤ξn⑤p ➔ ✽✉ n Với x ✏ ♣ξ1 , ξ2 , q, y x y ✏ ♣η1, η2, q € co (hoặc ✏ ♣ξ1   η1, ξ2   η2, q ✽ , p ) λ € K ta đặt λx ✏ ♣λξ1 , λξ2 , q Rõ ràng, x, y € co (hoặc ✽ ) λ € K x   y, λx € co (hoặc ✽ ) Dễ dàng kiểm tra với hai phép tốn co ✽ khơng gian tuyến tính Nếu x ✏ ♣ξ1 , ξ2 , q, y ✏ ♣η1 , η2 , q € p λ € K rõ ràng λx € p Với n € N ta có ⑤ξn   ηn⑤ ↕ ⑤ξn⑤   ⑤ηn⑤ ↕ maxt⑤ξn⑤, ⑤ηn⑤✉ Cho nên ⑤ξn   ηn⑤p ↕ 2prmaxt⑤ξn⑤, ⑤ηn⑤✉sp ↕ 2p♣⑤ξn⑤p   ⑤ηn⑤pq Vì ✽ ➳ ✏ ⑤ξn   ηn⑤p ↕ 2p n tức x   y tuyến tính ✌ € p ✽ ✁➳ ✏ n ⑤ξn⑤p   ✽ ➳ ✏ ✠ ⑤ηn⑤p ➔ ✽, n Với hai phép toán trên, dễ kiểm tra p không gian Không gian L2 ♣0, 1q Ký hiệu L2 ♣0, 1q tập tất hàm số khả tích Riemann f : ♣0, 1q Đ R, mà chúng bình phương khả tích, tức 1.1 Khơng gian tuyến tính ➩1 ⑤f ♣xq⑤2dx ➔  ✽ Các➩ phép tốn cộng nhân vơ hướng đóng L2 ♣0, 1q Thật vậy, ⑤f ♣xq⑤2 dx ➔  ✽à α € R theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có ➺1 ➺1 ⑤f ♣xq   g♣xq⑤ dx ↕ ♣⑤f ♣xq⑤2   2⑤f ♣xq⑤⑤g♣xq⑤   ⑤g♣xq⑤2qdx 0 ↕ ➺1 ➺1 ⑤f ♣xq⑤2dx   ✁➺ ⑤f ♣xq⑤2dx ➺1 ➺1 ✠1 ✁ ➺ ✠1 ⑤g♣xq⑤2dx   ⑤g♣xq⑤2dx ➔ ✽; ⑤αf ♣xq⑤2dx ✏ ⑤α⑤ ⑤f ♣xq⑤2dx ➔ ✽ Dễ kiểm tra L2 ♣0, 1q với hai phép tốn khơng gian tuyến tính ✌ Khơng gian C k ♣Ωq Cho Ω ⑨ Rn ký hiệu C k ♣Ωq tập hợp tất hàm khả vi liên tục cấp k Ω, tức a ✏ ♣a1 , , an q € Nn với ⑤a⑤ ✏ a1   ☎ ☎ ☎ , an ↕ k đạo hàm riêng Da f ⑤a⑤ ✏ ❇xa ❇ .f❇xa 1 n n tồn liên tục Dễ kiểm tra C k ♣Ωq với hai phép tốn cộng nhân vơ hướng hàm khơng gian tuyến tính 1.1.3 Hệ độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở Hamel Định nghĩa 1.1.2 Giả sử E khơng gian tuyến tính Tập M ⑨ E, M ✘ ∅ gọi độc lập tuyến tính với hệ hữu hạn tx1 , , xn ✉ hệ tα1, , αn✉ ⑨ K, từ đẳng thức n ➳ ✏ αi xi ✏ suy αi ✏ với i ✏ 1, , n i Rõ ràng M độc lập tuyến tính ∅ tính ✘N ⑨M N độc lập tuyến Định lý 1.1.1 Giả sử M hệ độc lập tuyến tính Nếu y tuyến tính vectơ thuộc M y ✏ α1x1   ☎ ☎ ☎   αnxn, với xi € E tổ hợp € M, αi € K, i ✏ 1, , n cách biểu diễn Định nghĩa 1.1.3 Nếu tập M phụ thuộc tuyến tính ⑨ E khơng độc lập tuyến tính M gọi 1.1 Khơng gian tuyến tính Định lý 1.1.2 Tập M ⑨ E phụ thuộc tuyến tính tồn y tổ hợp tuyến tính vectơ thuộc M Định nghĩa 1.1.4 Tập B tuyến tính E nếu: €M ⑨ E gọi sở Hamel không gian a) B độc lập tuyến tính, b) Mọi x € E tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) vectơ thuộc B Định lý 1.1.3 Tập B ⑨ E sở Hamel E B hệ độc lập tuyến tính cực đại, nghĩa B độc lập tuyến tính M ⑩ B, M ✘ B M phụ thuộc tuyến tính Chứng minh a) Điều kiện cần Giả sử B sở E M ⑩ B, M ✘ B Lấy x € M ③B Khi x tổ hợp tuyến tính vectơ thuộc B Vậy M hệ phụ thuộc tuyến tính b) Điều kiện đủ Nếu B hệ độc lập tuyến tính cực đại với x € E, tập B ✶ ✏ B ❨tx✉ phụ thuộc tuyến tính Do tồn x1 , , xn € B ✶ α1 , , αn € K không đồng thời cho α1 x1   ☎ ☎ ☎   αn xn ✏ Trong vectơ xi phải có vectơ x khơng trái với tính độc lập tuyến tính B Ta giả sử x ✏ x1 Khi α1 ✘ 0, trái lại B phụ thuộc tuyến tính Vì x ✏ x1 ✁ ✏ ✁ αα2 ✠ x2   ☎ ☎ ☎   ✁ ✁ ααn ✠ xn tức x tổ hợp tuyến tính vectơ thuộc B ✆ Định lý 1.1.4 Trong không gian tuyến tính E, với hệ độc lập tuyến tính M tồn sở B E cho B ⑩ M Nếu M hệ gồm vectơ x ✘ tùy ý ta Hệ 1.1.5 Mọi khơng gian tuyến tính E ✘ t0✉ có sở Nếu khơng gian tuyến tính E có sở B gồm số hữu hạn vectơ E gọi hữu hạn chiều Số phần tử B gọi số chiều E ký hiệu dim E Nếu E khơng gian tuyến tính hữu hạn chiều ta chứng minh B B ✶ hai sở tùy ý E số phần tử B B ✶ Do định nghĩa số chiều E không phụ thuộc vào sở chọn Nếu E khơng gian tuyến tính hữu hạn chiều, tức E tồn hệ vectơ độc lập tuyến tính gồm vơ hạn phần tử, E gọi vơ hạn chiều 126 5.4 Tốn tử liên hợp không gian Hilbert Thật vậy, giả sử ngược lại có no cho tồn vơ hạn giá trị riêng λα mà ⑤λα⑤ ➙ 1④no Lấy dãy txn✉ từ tập vectơ riêng tương ứng txα✉ Đặt yn ✏ xn Lúc ⑥yn ⑥ ✏ Ayn ✏ λn yn Ta có ⑥xn ⑥ ⑥yn⑥ ✏ λ1 λn n ↕ no ✁1 Như dãy tλ✁ n yn ✉n bị chặn Vì A compact nên tồn dãy tλnk ynk ✉k cho A♣λ✁ nk ynk q ✏ ynk hội tụ Mặt khác, với k, l, k ✘ l λnk ✘ λnl nên ynk ❑ ynl Do ⑥ynk ✁ ynl ⑥2 ✏ ⑥ynk ⑥2   ⑥ynl ⑥2 ✏ Vì tynk ✉ khơng thể dãy Điều mâu thuẫn chứng tỏ Λn hữu hạn với n € N Vậy tập tất giá trị riêng Λ ✏ ❨✽ n✏1 Λn hữu hạn hay đếm Dễ thấy Λ đếm với ε → tùy ý, ta có ⑤λn ⑤ ➔ ε với hầu hết n nên lập thành dãy hội tụ ✆ Bây cho A tốn tử compact tự liên hợp khơng gian Hilbert H Theo Định lý 5.4.10, giá trị riêng khác A lập thành dãy (hữu hạn vơ hạn) có dạng ⑤µ1⑤ ➙ ⑤µ2⑤ ➙ Đặt qµ ✏ dim N ♣Aµ q € N Khi qn gọi bội giá trị riêng µn n Ta ký hiệu te1, , eq ✉ sở trực chuẩn khơng gian N ♣Aµ q, teq  1, , eq  q ✉ sở trực chuẩn khơng gian N ♣Aµ q, 1 1 2 Hợp tất sở trực chuẩn khơng gian ♣Aµi q (tức dãy ten ✉ với en ❑ em , ♣m ✘ nq lập thành hệ trực chuẩn không gian Hilbert H Hệ gọi hệ trực chuẩn vectơ riêng ứng với giá trị riêng khác A Đặt λ1 λq1  1 ✏ λq  2 ✏ ✏ ✏ λq1 ✏ µ1 ✏ λq  q ✏ µ2 λq1  ☎☎☎ qn✁1  1 ✏ ✏ λq1  ☎☎☎ qn ✏ µn Dãy tλn ✉ gọi dãy giá trị riêng tương ứng với dãy vectơ riêng ten ✉ 127 5.4 Tốn tử liên hợp khơng gian Hilbert toán tử A Như tλn ✉ bao gồm tất giá trị riêng khác A, giá trị µn dãy lặp lại bội µn Ta có định lý sau Định lý 5.4.11 Cho H không gian Hilbert, A € L♣H q toán tử compact tự liên hợp Khi với x € H, tồn xo € H mà Axo ✏ cho x biểu diễn dạng ➳ x ✏ xo   ①x, en ②en , n ten ✉ hệ trực chuẩn vectơ riêng A ứng với giá trị riêng khác Chứng minh Ký hiệu M ✏ ①ten ✉② Khi x € H biểu diễn cách dạng x ✏ xo   x1 x1 € M xo € M ❑ ✏ N Vì M khơng gian bất biến tốn tử tự liên hợp A nên N không gian bất biến A Thật vậy, với y € N, n € N ta có ①Ay, en② ✏ ①y, Aen② ✏ ①y, λnen② ✏ λn①y, en② ✏ € M ❑ ✏ N Vậy A♣N q ⑨ N ✞ Đặt A1 ✏ A✞N Vì N khơng gian đóng H Như Ay nên thân khơng gian Hilbert Theo Định lý 5.4.8 tồn giá trị riêng λ A1 cho ⑤λ⑤ ✏ ⑥A1⑥ Gọi xλ € N vectơ riêng A1 ứng với giá trị riêng Vì λ giá trị riêng A nên λ trùng với λµ xλ € M Điều khơng thể M ❳ N ✏ t0✉ Do λ phải giá trị riêng Vậy A1 ✑ tức A♣N q ✏ 0, suy A♣xo q ✏ Còn x1 € M nên x1 khai triển thành chuỗi Fourier theo vectơ en : x1 ➳ ➳ ➳ n n n ✏ ①x1, en②en ✏ ①x1   xo, en②en ✏ ①x, en②en ①xo , en ② ✏ Như biểu diễn x thiết lập ✆ Định lý 5.4.12 Cho H không gian Hilbert, A € L♣H q toán tử compact tự liên hợp ten ✉ hệ trực chuẩn vectơ riêng ứng với giá trị riêng λn ✘ A Khi với x € H, ta có Ax ✏ ➳ λn ①x, en ②en n Chứng minh Theo Định lý 5.4.11, tồn xo x ✏ xo   ➳ n € H cho ①x, en②en, Axo ✏ 128 5.4 Tốn tử liên hợp khơng gian Hilbert Như Ax ✏ ➳ A♣①x, en ②en q ✏ n ➳ ➳ n n ①x, en②Aen ✏ λn ①x, en ②en ✆ Định lý chứng minh Định lý 5.4.13 Cho H không gian Hilbert khả ly, A € L♣H q toán tử compact tự liên hợp Khi H tồn hệ trực chuẩn đầy đủ gồm vectơ riêng toán tử A Chứng minh Theo chứng minh Định lý 5.4.11, không gian Hilbert N không gian riêng A ứng với giá trị riêng λ ✏ (nếu N ✘ t0✉) Vì H khả ly nên N khả ly, có hệ trực chuẩn đầy đủ tfm ✉ N Hợp ten ✉ tfm✉ lập thành hệ trực chuẩn đầy đủ H Điều suy từ cách biểu diễn x ✏ xo   x1 ✆ Bổ đề 5.4.14 Giả sử A € L♣H q toán tử compact tự liên hợp không gian Hilbert ✘ λ khơng phải giá trị riêng Lúc R♣Aλ q ✏ R♣A ✁ λI q không gian đóng H Chứng minh Đặt Y ✏ R♣Aλq Ta chứng minh tồn r → cho ⑥Aλx⑥ ➙ r⑥x⑥, với x € H Giả sử ngược lại, với n € N tồn xn € H, ⑥xn⑥ ✏ cho ⑥Axn ✁ λxn⑥ ➔ n1 (5.21) Vì A compact dãy txn ✉ bị chặn nên tồn dãy Axnk ta có λxnk ✏ Axnk ✁ ♣Axnk ✁ λxnk q Ñ xo ⑥λxnk ⑥ Ñ ⑥xo ⑥ ✘ Hơn từ (5.21), Axnk Axo ✏ λxo Như λ giá trị riêng, trái giả thiết Bây cho yn (5.20) Ñ xo Lúc từ (5.21) ✁ λxn Đ k ta suy € Y, yn Đ yo Lúc có xn € H để yn ✏ Axn ✁ λxn (5.22) Do bất đẳng thức (5.20) ta có ⑥xn ✁ xm⑥ ↕ 1r ⑥Aλxn ✁ Aλxm⑥ ✏ 1r ⑥yn ✁ ym⑥ Ñ ♣m, n Ñ ✽q Như txn ✉ dãy Cauchy nên phải hội tụ xo € H Cho n Ñ ✽ (5.22) ta yo ✏ ♣A ✁ λI qxo Vậy yo € Y Nói cách khác, Y khơng gian đóng H ✆ 129 5.4 Tốn tử liên hợp khơng gian Hilbert Bổ đề 5.4.15 Giả sử A € L♣H q toán tử compact tự liên hợp khơng gian Hilbert H Khi phổ A tập tất giá trị riêng A Chứng minh Giả sử λ giá trị riêng A Khi N ♣Aλ q Bổ đề 5.4.14 biểu diễn H ✏ t0✉ Từ ✏ N ♣Aλq ❵ R♣A✝λq ✏ R♣Aλq ✏ R♣Aλq ta thấy Aλ toàn ánh Vậy Aλ song ánh theo Nguyên lý ánh xạ mở, Aλ phép đồng phôi Như λ giá trị phổ toán tử A ✆ Định lý 5.4.16 Cho H không gian Hilbert, A € L♣H q toán tử compact tự liên hợp, ten ✉ hệ trực chuẩn đầy đủ vectơ riêng A tλn ✉ dãy giá trị riêng tương ứng Khi λ ✘ λ ✘ λn với n với y € H, phương trình Ax ✁ λx ✏ y có nghiệm x biểu diễn dạng ✠ ✁ ➳ λn x✏ ① y, en ②en ✁ y λ n λn ✁ λ Chứng minh Vì λ ✘ λ ✘ λn nên theo Bổ đề 5.4.15, λ giá trị quy A Do tốn tử ♣A ✁ λI q phép đồng phôi Vậy với y € H tồn ➳ x € H để Ax ✁ λx ✏ y Theo Định lý 5.4.12 ta có Ax ✏ λn ①x, en ②en nên n x✏ Để ý 1✁➳ λ ✠ λn ①x, en ②en ✁ y (5.23) n λ①x, en ② ✏ ①Ax ✁ y, en ② ✏ ①Ax, en ② ✁ ①y, en ② Mặt khác ①Ax, en② ✏ ①x, Aen② ✏ ①x, λnen② ✏ λn①x, en② λ①x, en ② ✏ λn ①x, en ② ✁ ①y, en ② hay ①x, en ②♣λn ✁ λq ✏ ①y, en ② Suy ①x, en ② ✏ ①y, en ② Thay vào (5.23) ta có đẳng thức cần chứng minh λn ✁ λ ✆ Trường hợp λ trùng với giá trị λn ta có định lý sau Định lý 5.4.17 Cho H không gian Hilbert, A € L♣H q toán tử compact tự liên hợp, ten ✉ hệ trực chuẩn đầy đủ vectơ riêng A tλn ✉ dãy giá trị riêng tương ứng Khi λ ✘ giá trị riêng có bội q: λ ✏ λm 1 ✏ ☎ ☎ ☎ ✏ λm q phương trình Ax ✁ λx ✏ y (5.24) 130 5.4 Toán tử liên hợp khơng gian Hilbert có nghiệm y € N ♣Aλ q❑ Lúc x nghiệm phương trình (5.24) biểu diễn dạng x✏ ✠ ✁ ➳ λn ① y, en ②en ✁ y   c1 em 1   ☎ ☎ ☎   cn em q λ n λn ✁ λ (5.25) tổng lấy theo tất n khác với m   1, , m   q, c1 , , cm số tùy ý Chứng minh Theo Bổ đề 5.4.14 Định lý 1.4.1 ta có H ✏ N ♣Aλ q ❵ R ♣Aλ q Do phương trình có nghiệm y điều tương đương với y € N ♣Aλ q❑ € R♣Aλq Vì N ♣Aλq❑ ✏ R♣Aλq nên Bây giả sử x nghiệm phương trình (5.24) Khi x✏ ✠ 1✁➳ ♣ Ax ✁ y q ✏ λn ①x, en ②en ✁ y λ λ n Tương tự chứng minh Đinh lý 5.4.17, ta có ♣λn ✁ λq①x, en② ✏ ①y, en②, Do với n (5.26) ①x, en② ✏ λ①y,✁enλ② n λn ✘ λ ( tức n ✘ m   1, , m   q) Còn n ✏ m   k, k ✏ 1, , q ①y, em k ② ✏ 0, đẳng thức (5.26) trở thành 0.①x, en ② ✏ Do chọn ①x, en② ✏ cn, cn số tùy ý Như ta có biểu diễn nghiệm x cho công thức (5.25) ✆ Chú ý 5.4.18 Nếu y ❑ N ♣Aλ q x có dạng (5.25) nghiệm phương trình (5.24) Bạn đọc tự kiểm tra điều cách để ý rằng, nghiệm tổng quát phương trình (5.24) tổng nghiệm tổng quát phương trình Ax ✁ λx ✏ nghiệm phương trình (5.24) (Xem chứng minh chi tiết [1]) 131 Bài tập BÀI TẬP ➍ 5.1 Cho x, y hai phần tử không gian Hilbert H Chứng minh ⑤①x, y②⑤ ✏ ⑥x⑥.⑥y⑥ x, y phụ thuộc tuyến tính ➍ 5.2 Chứng minh khơng gian C Lr0, 1s gồm hàm liên tục r0, 1s khơng gian tiền Hilbert với tích vơ hướng ①f, g② ✏ ➺1 f ♣xqg ♣xqdx, f, g € C Lr0, 1s không gian Hilbert ➍ 5.3 Cho txn ✉, tyn ✉ hai dãy hình cầu đơn vị đóng khơng gian tiền Hilbert H thỏa mãn điều kiện lim ①xn , yn ② ✏ Chứng minh a) lim ⑥xn ⑥ ✏ lim ⑥yn ⑥ ✏ Ñ✽ nÑ✽ n Ñ✽ n Ñ✽ n b) lim ⑥xn ✁ yn ⑥ ✏ ➍ 5.4 Cho M, N hai tập khác rỗng không gian tiền Hilbert H Chứng minh ⑨ N ñ N ❑ ⑨ M ❑ ❑ b) M ❑ ✏ M c) M ⑨ M ⑨ ♣M ❑ q❑ a) M d) Nếu M khơng gian đóng H ♣M ❑ q❑ ✏ M ➍ 5.5 Giả sử H không gian Hilbert L € H ✝, L ✘ Ký hiệu M ✏ tx € H : Lx ✏ 0✉ Chứng minh M ❑ không gian chiều H ➍ 5.6 Giả sử L khơng gian đóng khơng gian Hilbert H x Chứng minh € H € L❑, ⑥y⑥ ✏ 1✉ b) Điều kiện cần đủ để x € L❑ ⑥x⑥ ↕ ⑥x ✁ u⑥ với u € L ➍ 5.7 Giả sử ten✉ hệ trực chuẩn không gian Hilbert H a) mint⑥x ✁ u⑥ : u € L✉ ✏ maxt⑤①x, y ②⑤ : y a) Chứng minh ten ✉ tập đóng, bị chặn không compact Suy H không compact địa phương 132 Bài tập b) Cho tδn ✉ dãy số dương đặt ✏ tx € H : x ✏ S ✽ ➳ cn en ✏ với ⑤cn⑤ ↕ δn✉ n Chứng minh S compact ✽ ➳ ✏ δ2 ➔  ✽ n ➍ 5.8 Nếu A tập đo r0, 2πs, chứng minh ➺ lim Ñ✽ n A cos nxdx ✏ lim Ñ✽ n ➺ A sin nxdx ✏ ➍ 5.9 Giả sử H không gian Hilbert, A toán tử từ H vào H thỏa mãn ①Ax, y② ✏ ①x, Ay② với x, y € H Chứng minh A tuyến tính liên tục ➍ 5.10 Giả sử ten ✉ sở trực chuẩn không gian Hilbert H, Pn ♣xq ✏ n ➳ ①x, ek ②ek , x € H, n ✏ 1, 2, dãy phép chiếu trực giao Chứng minh k ✏1 tPn✉ hội tụ điểm đến toán tử đồng I H không hội tụ theo chuẩn đến I ➍ 5.11 Giả sử ten✉ hệ trực chuẩn không gian Hilbert H, tλn✉ dãy số bị chặn Chứng minh a) Chuỗi ✽ ➳ ✏ λn ①x, en ②en hội tụ với x € H n b) Toán tử Ax ✏ ✽ ➳ ✏ λn ①x, en ②en , x € H tốn tử tuyến tính liên tục Tính ⑥A⑥ n ➍ 5.12 Giả sử M không gian không gian Hilbert H A : M Đ Y tốn tử tuyến tính liên tục từ M vào khơng gian Banach Y Chứng minh ✞ r : H Ñ Y cho A r✞ ✏ A tồn tốn tử tuyến tính liên tục A M ⑥Ar⑥ ✏ ⑥A⑥ ➍ 5.13 Giả sử M không gian đóng khơng gian Hilbert H x✝ phiếm hàm tuyến tính liên tục M Chứng minh tồn phiếm ✞ r H cho x r✞M ✏ x✝ ⑥x r⑥ ✏ ⑥x✝ ⑥ hàm tuyến tính liên tục x ➍ 5.14 Chứng minh toán tử A : L2r0, 1s Đ L2r0, 1s xác định cơng thức Ax♣tq ✏ ➺t x♣sqds, t € r0, 1s tốn tử tuyến tính liên tục Tìm tốn tử liên hợp A✝ A 133 Bài tập ➍ 5.15 Tìm tốn tử liên hợp A✝ tốn tử A xác định Ax♣tq ✏ ➺t tx♣sqds, t € r0, 1s ➍ 5.16 Giả sử H không gian Hilbert, A € L♣H q toán tử tự liên hợp A gọi toán tử dương ①Ax, x② ➙ với x € H Chứng minh phép chiếu trực giao lên khơng gian đóng khơng gian Hilbert tốn tử dương ➍ 5.17 Cho tan ✉ dãy số phức bị chặn A : Ñ định sau: x ✏ ♣ξn q € , Ax ✏ ♣an ξn q a) Chứng minh A € L♣ 2 tốn tử xác q Tính ⑥A⑥ b) Xác định tốn tử liên hợp A✝ Khi toán tử A tự liên hợp? c) Hãy chọn a tử dương ✏ ♣anq cho A toán tử có tốn tử ngược liên tục; A tốn ➍ 5.18 Giả sử tEn ✉ dãy giảm tập lồi, đóng khơng gian Hilbert H Với x € H, ta ký hiệu dn ♣xq khoảng cách từ x đến En Đặt d♣xq ✏ lim dn ♣xq Ñ✽ n a) Chứng minh với x € H cho d♣xq hữu hạn d♣xq hữu hạn với x € H Từ sau ta giả thiết Ký hiệu A♣x, ε, nq ✏ En ❳ B ✶ ♣x, d♣xq   εq ε → 0, B ✶ ♣x, d♣xq   εq hình cầu đóng tâm x, bán kính d♣xq   ε b) Chứng minh ε Đ n Đ ✽ đường kính A♣x, ε, nq tiến đến c) Từ suy E ✏ ❳✽n✏1En ✘ ❍ d♣xq ✏ d♣x, E q ➍ 5.19 Giả sử ten✉ sở trực chuẩn không gian Hilbert H A € L♣H q toán tử compact Chứng minh lim A♣en q ✏ nÑ✽ ➍ 5.20 Giả sử H không gian Hilbert, A € L♣H q toán tử tự liên hợp, λ € C Aλ ✏ A ✁ λI Chứng minh a) Nếu R♣Aλ q ✘ H λ giá trị riêng A 134 Bài tập b) Nếu R♣Aλ q ✏ H R♣Aλ q riêng A ✘ H λ € σ♣Aq λ giá trị c) Nếu R♣Aλ q ✏ H λ giá trị quy A Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Chính, Giải tích hàm, Tập 1, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, (1978) [2] J Dieudonné, Elémént d’Analyse, Tom I, II, Grauthier – Villar, Paris, (1969) [3] R Edvards, Funkcional ny analiz, “Mir”, Moskva (1972) [4] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Bài tập khơng gian tơpơ tuyến tính Banach - Hilbert, NXB ĐHQG Hà nội, (1996) [5] A N Kolmogorov, S V Fomin, lementy teorii funkci i funkcional nogo analiza, “Nauka”, Moskva, (1971) [6] R Meise, D Vogt, Introduction to Functional Analysis, Clarendon Press - Oxford, (1997) [7] Hồng Tụy, Hàm thực giải tích hàm (Giải tích đại), NXB ĐHQG Hà Nội, (2003) [8] K Iosida, Funkcional ny analiz, “Mir”, Moskva, (1967) Chỉ mục ♣K✝nq✝, 68 A , 87 A✁1 , 36 C ♣ S q, C ra, bs, 2, 14, 22 C L ra, bs, 131 C ✽ ra, bs, C k ♣Ω q , GA , 59 L♣E, F q, 38 L2 ♣0, 1q, Lp ♣X q, 14, 23–25 M ❑ , 107 N ♣Aq, 93, 122 R♣Aq, 93, 122 X ✝ , 64 X ✼ , 75 Y ❵ Z, rΓs, 76 Rk , Rµ ♣Aq, 93 dim E, ✝ , 70 ✽ , 3, 13, 22 p , 3, 13, 23 ✝ , 72 p ①., ②, 99 L ♣E, F q, 38 σ ♣Aq, 92 σ ♣X, X ✝ q, 76 σ ♣X, Γq, 76 σ ♣X ✝ , X q, 82 spantx1 , , xn ✉, supp♣xq, ♣Aq, 93, 95 c, 29 co , 3, 13, 22, 29 c✝o , 69 coo , 29 ánh xạ đóng, 59 tuyến tính, 32 tuyến tính liên tục, 32 đầy đủ hội tụ đơn giản, 65 hóa, 26, 104 đồ thị đóng, 59 ánh xạ, 59 đồng phơi, 16, 40 đẳng cự, 16 tuyến tính, 37 định lý đồ thị đóng, 59 mệnh đề tương đương, 32 Arzela -Ascoli, 42 Baire (về phạm trù), 55 Banach, 58 Banach - Alaoglu, 83 Banach - Steinhauss, 61 hình chiếu trực giao, 108 Hahn - Banach, 53 Hanh - Banach, 51 Riesz (không gian hữu hạn chiều), 41 Riesz (dạng tổng quát phiếm hàm), 118 Riesz - Fischer, 115 137 Chỉ mục đẳng thức hình bình hành, 103, 104 Parseval, 112 Pythagore, 105 mêtric sinh chuẩn, 10 bất đẳng thức Bessel, 111, 113 Cauchy - Schwarz, 67 Hă older, 10 Minkowski, 12 Schwarz, 100 b Zorn, 49 bao tuyến tính, biến phân bị chặn, 84 toàn phần, 84 sở Hamel, lân cận, 75 trực chuẩn, 111 chuẩn, đối ngẫu tắc, 51 cảm sinh từ tích vơ hướng, 100, 104 phiếm hàm tuyến tính liên tục, 50 tốn tử, 33 Euclide, 40 hội tụ đều, 16 mạnh hơn, 17 tương đương, 17–19, 39 chuỗi Cauchy không điều kiện, 46 Fourier, 111 hội tụ, 19 hội tụ giao hoán, 46 phân kỳ, 19 codim Y , compact, 41 *yếu, 86 tương đối, 89 yếu, 78 yếu theo dãy, 80 dãy Cauchy, 15, 19 Cauchy theo nghĩa đơn giản, 65 Cauchy yếu, 80 toàn vẹn, 43 giới hạn yếu, 78 giá trị quy, 93 phổ, 92 riêng, 92 giải thức, 93 hình chiếu trực giao, 108 hàm thực chất bị chặn, 85 hệ đầy đủ, 111 độc lập tuyến tính, độc lập tuyến tính cực đại, phụ thuộc tuyến tính, trực chuẩn, 105, 110 trực giao, 105, 110 hệ số Fourier, 111 hệ thức Hilbert, 97 hội tụ đơn giản, 39, 62, 65 điểm, 65 mạnh, 120 điểm, 62 theo chuẩn, 39, 65 theo điểm, 39 không gian định chuẩn, 15 tuyệt đối, 20 yếu, 78, 119 họ đồng liên tục đều, 63 bị chặn đều, 63 không gian đối ngẫu, 51 đối ngẫu đại số, 75 đầy đủ với hội tụ đơn giản, 65 đầy đủ yếu theo dãy, 80 đồng phơi tuyến tính, 37 định chuẩn, 9, 16 định chuẩn con, 27 bổ sung, 26 Banach, 19, 20 toán tử liên tục, 38 138 Chỉ mục compact địa phương, 41 compact yếu theo dãy, 81 con, 28 đóng, 28, 31 đóng sinh tập, 28 bất biến, 92 riêng, 93 hữu hạn chiều, 40 Hilbert, 101 khả ly, 43 liên hợp, 51, 67, 117 liên hợp (đối ngẫu), 64 liên hợp thứ hai (thứ ba ), 72 phạm trù thứ hai, 55 phạm trù thứ nhất, 55 phản xạ, 73 tích, 58 thương, 30, 31 tiền Hilbert (unita), 100, 101 tuyến tính, 2, tuyến tính định chuẩn, tuyến tính con, tuyến tính sinh M , tuyến tính hữu hạn chiều, tuyến tính phức, tuyến tính thực, tuyến tính thương, vectơ, vectơ vô hạn chiều, khai triển Fourier, 115 nửa chuẩn, 49 liên tục, 60 nguyên lý ánh xạ mở, 56, 57 bị chặn đều, 61 phép chiếu trực giao, 109 phép lũy thừa, 92 phần bù đại số, phần bù trực giao, 108 phần dư, 20 phần tử cận trên, 49 cực đại, 49 phổ toán tử, 92, 129 phương trình đặc trưng, 92 phiếm hàm liên tục theo biến, 86 tuyến tính liên tục, 50 quan hệ tương đương, 7, 30 thứ tự, 49 số đối chiều, số chiều, sơ chuẩn, 49 siêu phẳng, song trực giao, 66 suy rộng phiếm hàm, 50 tốn tử, 35 tích vơ hướng, 99 tơpơ sinh chuẩn, 10 sinh mêtric, 10 Tychonoff, 82, 83 xác định họ Γ, 76 yếu, 76 yếu*, 82 tập đóng, 17, 30 đóng yếu, 78 đóng yếu theo dãy, 80 đóng*yếu, 86 đồng liên tục, 42 giải, 93 khơng đâu trù mật, 55 mở, 17 tuyến tính, 49 tồn vẹn, 43 tổ hợp tuyến tính, tổng chuỗi, 19 riêng , 19 trực tiếp, tiên đề Zorn, 48 tiêu chuẩn Cauchy, 20 hội tụ Cauchy - Hadamard, 93 tốn tử compact (hồn tồn bị chặn), 89, 90 compact tự liên hợp, 124, 126–128 dương, 133 giải, 93 Chỉ mục hữu hạn chiều, 89 liên hợp, 88, 120 ngược, 37 tích phân, 121 tự liên hợp, 123 tuyến tính, 32 tuyến tính bị chặn, 33 tuyến tính liên tục, 32 trực giao, 66, 105, 107 hóa (Schmidt), 106 vectơ riêng, 92 139 Chỉ mục 140 ... học lý thuyết ứng dụng Giáo trình dành cho sinh viên năm cuối đại học sư phạm toán năm thứ ba ngành cử nhân khoa học tốn Nó trình bày kiến thức giải tích hàm Nội dung giáo trình chia thành chương... cao nội dung kiến thức trình bày Trong khn khổ giáo trình đại học, đề cập nét nhất, khơng thể trình bày tất hướng phát triển giải tích hàm Để nắm bắt giáo trình này, sinh vien cần có kiến thức tối... Tuy nhiên chúng tơi trình bày đầu giáo trình số kiến thức khơng Lời nói đầu ii gian tuyến tính Đồng thời, xen lẫn giảng nhắc lại vài khái niệm kết cần thiết Giáo trình khơng tránh khỏi thiếu